快速傅里叶变换算法及其在信号处理中的应用毕业论文
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种信号处理中常用的数学工具，用于将信号从时间域转换到频率域。
它在信号处理中有着广泛的应用，包括音频、图像、视频等领域。
本文将介绍傅里叶变换在信号处理中的应用，并探讨其重要性和优势。
傅里叶变换在音频处理中的应用非常广泛。
音频信号是一种时间域上的信号，通过傅里叶变换可以将其转换为频率域上的信号。
这样一来，我们可以更加清晰地观察信号中不同频率成分的特征。
例如，在音乐中，通过对音频信号进行傅里叶变换，我们可以分析歌曲中不同音调的频率成分，从而实现音频的去噪、音频特征提取等功能。
另外，在音频编码和压缩中，傅里叶变换也扮演着重要的角色，通过对音频信号进行变换，可以将其转换为频率域上的信号，再根据频率成分的重要性进行压缩，从而实现音频的高效传输和存储。
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用。
图像信号是一种二维信号，通过傅里叶变换可以将其转换为二维频率域上的信号。
这使得我们可以更好地理解图像中不同频率的空间特征。
例如，在图像增强中，傅里叶变换可以用于图像锐化、边缘检测等操作。
另外，在图像压缩中，傅里叶变换也是一种常用的方法，通过对图像进行变换，可以将其转换为频率域上的信号，再根据频率成分的重要性进行压缩，从而实现图像的高效传输和存储。
傅里叶变换在视频处理中也有着重要的应用。
视频信号是一种时间和空间上的信号，通过傅里叶变换可以将其转换为时频域上的信号。
这使得我们可以更好地观察视频中不同时间和空间上的频率成分。
例如，在视频压缩中，傅里叶变换可以用于对视频帧进行变换，将其转换为频率域上的信号，再根据频率成分的重要性进行压缩，从而实现视频的高效传输和存储。
傅里叶变换在信号处理中的应用非常广泛。
通过将信号从时间域转换到频率域，可以更加清晰地观察信号的频率成分，从而实现信号的分析、处理和优化。
无论是音频、图像还是视频，傅里叶变换都为我们提供了一种强大的工具，使得信号处理变得更加高效和精确。
浅谈傅里叶变换及其应用小论文(1)
浅谈傅里叶变换及其应用小论文(1)傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理、电子电路、图像处理等领域有很广泛的应用。
本文就浅谈傅里叶变换及其应用。
一、傅里叶变换的原理傅里叶变换的基本思想是将时域上的信号表示为频域上的频谱，即任意周期函数可以表示为若干余弦函数和正弦函数的和。
通俗地说，就是将一个时域上的信号拆分成若干个正弦波，然后对每个正弦波进行变换，得到这个函数在频域上的表示。
二、傅里叶变换的应用1. 信号滤波在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波。
当我们需要将一个信号中的某个频率分量去除时，就可以使用傅里叶变换，找到这个频率分量对应的正弦波，然后将其去除。
2. 图像处理在图像处理中，傅里叶变换也是一个重要的工具。
对于一张图像，可以将其转换为频域上的频谱，并进行滤波处理，最后再将其转换回时域上的图像。
3. 电子电路分析在电子电路分析中，傅里叶变换可以用于求解电路中的各种频率分量。
通过傅里叶变换，可以将电路中的交流信号转换为频域上的表达形式，然后方便地进行分析和设计。
三、傅里叶变换的实现方式傅里叶变换在数学上可以使用积分公式进行求解，但是在实际应用中，一般采用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）进行计算，这样可以提高计算速度。
四、总结傅里叶变换是一种重要的数学工具，在通信、信号处理、图像处理、电子电路等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，可以通过离散傅里叶变换或快速傅里叶变换进行计算。
对于需要进行信号处理或电路设计的人来说，掌握傅里叶变换的原理和应用是非常重要的。
快速傅立叶变换算法及应用
快速傅立叶变换算法及应用快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算傅立叶变换的算法。
傅立叶变换是将一个时间域上的连续函数转换为频域上的函数，可以将信号从时域表示转换为频域表示，从而分析信号的频谱特性。
FFT算法的基本思想是将一个N点的DFT（离散傅立叶变换）分解成两个N/2点的DFT，并重复这个过程，直到分解成两个1点的DFT，然后进行反向合并，最终得到完整的傅立叶变换结果。
使用FFT算法计算傅立叶变换的速度非常快，该算法的时间复杂度是O(NlogN)，远远优于直接计算的O(N^2)时间复杂度。
因此，在信号处理、图像处理、数字滤波、通信系统等领域都广泛应用了FFT算法。
FFT算法的应用之一是频谱分析。
通过将信号转换到频域，我们可以得到信号的频谱，从而得到信号的频率分布。
这对于分析信号的频率特性非常有用。
例如，在音频处理中，我们可以通过FFT算法将音频信号从时域转换到频域，并提取出其频率分布，进而进行声音的降噪、音乐合成和频率滤波等操作。
另一个重要的应用是信号滤波。
在数字信号处理中，常常需要对信号进行滤波以去除噪声、增强信号或者提取信号特征。
FFT算法可以将信号转换到频域，通过在频域上进行滤波操作，最后将信号重新转换回时域。
这样，在频域上对信号进行滤波的计算量相对较小，且可以通过调整频率分量的幅值进行滤波。
例如，在图像处理中，我们可以通过FFT将图像转换到频域，然后通过滤波器去除图片上的噪声或者增强图像细节。
FFT算法还广泛应用于通信系统中的调制与解调技术。
在数字通信中，信号常常需要转换到频域进行调制或者解调操作。
通过FFT算法，可以将调制信号转换到频域，从而得到频域上的调制信息，再将其转回时域进行解调。
这样可以降低计算复杂度，提高调制解调的效率。
总之，快速傅立叶变换算法是一种高效的计算傅立叶变换的算法，其应用广泛且重要。
在信号处理、图像处理、数字滤波及通信系统等领域中，通过FFT算法可以实现频域分析、滤波操作以及调制解调等功能。
关于傅里叶变换的毕业论文
关于傅里叶变换的毕业论文傅里叶变换是数学中的一种重要工具，它可以将一个函数分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换具有广泛的应用领域，包括信号处理、图像处理、通信等。
本文将介绍傅里叶变换的基本原理和应用，并探讨其在图像处理中的具体应用。
首先，我们来介绍傅里叶变换的基本原理。
傅里叶变换是将一个函数从时域转换到频域的过程。
具体而言，对于一个连续函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt) dt其中，e^(-jωt)表示复指数函数，ω为角频率。
傅里叶变换可以将函数f(t)分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加，F(ω)即是每个频率分量的幅度和相位。
傅里叶变换可以用于信号处理中的频谱分析。
对于一个信号，它可以看作是由不同频率的波形叠加而成。
利用傅里叶变换，我们可以将信号分解成各个频率分量，并分析每个频率分量的贡献。
这对于了解信号的特征和处理信号具有重要意义。
傅里叶变换还可以用于图像处理中的频域滤波。
在图像处理中，我们常常需要对图像进行降噪、增强或者去除某些频率分量等操作。
利用傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，然后对频域图像进行操作，最后再将频域图像转换回时域，得到处理后的图像。
这种频域滤波的方法可以更好地处理一些特定问题，比直接在时域进行图像处理要有效。
本文将主要研究傅里叶变换在图像处理中的应用。
首先，我们将介绍离散傅里叶变换(DFT)的算法和实现方法。
然后，我们将探讨图像的频谱分析和频域滤波方法，并通过实验验证其效果。
最后，我们将讨论傅里叶变换在图像压缩和图像识别中的应用，并对其进行探讨和分析。
在实验部分，我们将选取一些常见的图像进行频谱分析和频域滤波。
首先，我们将通过傅里叶变换将图像转换到频域，并绘制出图像的频谱图。
然后，我们将对频域图像进行滤波操作，例如去除高频分量或者增强低频分量。
最后，我们将将处理后的频域图像转换回时域，并与原始图像进行对比和分析。
傅里叶变换在信号处理中的应用
课程论文论文名称：傅里叶变换在信号处理中的应用学生姓名：学号：_ 系别：专业班级：授课教师：二○一三年六月摘要：傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和，是一种特殊的积分变换。
傅立叶变换是数字信号处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换信号，对信号的特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述信号分析的第二种语言，广泛应用于信号的分析与处理。
因此，对涉及信号处理的工作者，深入研究和掌握傅立叶变换及其扩展形式的特性，是很有价值得。
把傅立叶变换的理论通其物理解释相结合，将有助于解决大多数信号处理问题。
傅里叶变换可分为连续傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换。
关键词：傅里叶变换、时域、频域、信号处理、调制、滤波、抽样 1.连续傅里叶变换函数f(x)的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件，即： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积。
（1）一维连续傅里叶变换及反变换：单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为：dx e x f u F ux j ⎰∞∞--=π2)()(其中12-=j ，x 称为时域变量，u 为频率变量。
当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)du e u F x f ux j ⎰∞∞-=π2)()(（2）二维连续傅里叶变换及反变换：二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v) 定义为：dxdy e y x f v u F vy ux j )(2),(),(+-∞∞-∞∞-⎰⎰=πx,y 为时域变量，u,v 为频域变量。
当给定F(u,v)，通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)：dudv e v u F y x f vy ux j )(2),(),(+∞∞-∞∞-⎰⎰=π2.离散傅里叶变换（1）一维离散傅里叶变换及反变换：单变量离散函数f(x)（x=0，1，2，…，M-1）的傅里叶变换F(u)定义为：∑-=-=10/2)(1)(M x Mux j ex f Mu F πu=0，1，2，…，M-1当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)∑-==10/2)(1)(M u Mux j eu F Mx f πx=0，1，2，…，M-1由欧拉公式 θθθsin cos j e j += 有：∑-=-=10/)2()(1)(M x Mux j ex f M u F π)/)2sin(/)2(cos()(110M ux j M ux x f M M x ππ-+-=∑-=)/2sin /2(cos )(110M ux j M ux x f MM x ππ-=∑-=（2）二维离散傅里叶变换及反变换：图像尺寸为M ⨯N 的函数f(x,y)的DFT 为：)//(21010),(1),(N vy M ux j M x N y e y x f MNv u F +--=-=∑∑=π其中u=0，1，2，…，M-1， v=0，1，2，…，N-1；u 和v 是频率变量。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用信号处理是指对信号进行采集、处理和分析的过程，而傅里叶变换是信号处理领域中一种重要的数学工具。
本文将讨论傅里叶变换在信号处理中的应用，并介绍其原理和基本算法。
一、傅里叶变换原理傅里叶变换是数学中一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的核心思想是将一个信号表示成一系列谐波的叠加。
傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而对信号进行更深入的了解和处理。
在数学表示上，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(ω) = ∫[−∞, ∞] f(t)e^(−iωt)dt其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，ω表示角频率， i是虚数单位。
傅里叶变换将时域信号f(t)变换为频域信号F(ω)，通过分析F(ω)可以了解信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的算法傅里叶变换有多种算法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
这些算法在信号处理中具有广泛的应用。
以快速傅里叶变换为例，它是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
FFT算法的核心思想是将傅里叶变换的计算复杂度由O(N^2)降低到O(NlogN)，使得快速傅里叶变换在计算机中得到快速的实现。
FFT算法的基本步骤如下：1. 将信号分为偶数点和奇数点。
2. 对偶数点和奇数点分别进行FFT变换。
3. 将两个FFT结果进行合并。
通过FFT算法，可以快速计算出信号的傅里叶变换结果，从而更快地获得信号的频域特性。
三、傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 信号滤波：傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的谐波分量，通过对特定频率的谐波分量进行滤波，可以实现对信号的降噪和去除干扰等目的。
2. 音频处理：傅里叶变换可以将音频信号转换为频谱图，通过分析频谱图可以了解音频信号的音调、音高以及音量等特性。
这在音频编码、音乐处理等领域中非常有用。
3. 图像处理：傅里叶变换在图像处理中也有重要的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像的频域表示，从而实现图像的滤波、增强和压缩等操作。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用信号处理是一门关于数字或模拟信号的处理、分析和表示的学科，傅里叶变换（Fourier Transform）则是信号处理中一种重要的数学工具。
傅里叶变换可以将一个时域信号转换为频域表示，从而帮助人们更好地理解和处理各种信号。
本文将从傅里叶变换的定义和原理入手，探讨其在信号处理中的应用。
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的数学方法。
在信号处理中，傅里叶变换可以将一个连续信号（或离散信号）表示为一系列振幅和相位谱的复数信号。
这种变换可以将时间域上的信号分解为不同频率的分量，将频率和振幅信息展现在频域上。
傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用，特别是在滤波、频谱分析和数据压缩等领域。
首先，傅里叶变换在滤波中的应用十分广泛。
滤波是信号处理中常用的一种技术，用于去除信号中的噪声或不需要的频率成分。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域表示，并对频谱进行分析。
通过分析频谱，我们可以根据需要选择性地滤除特定频率的成分，从而达到滤波的效果。
第二，傅里叶变换在频谱分析中也被广泛应用。
频谱分析是指对信号的频域特性进行分析和研究。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以观察信号的频谱，了解信号中各频率的分布情况。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分、功率谱密度等信息，从而对信号进行进一步的处理和分析。
第三，傅里叶变换在数据压缩中也有重要的应用。
数据压缩是指对信号或数据进行无损或有损压缩的过程，目的是减少存储空间或传输带宽。
傅里叶变换可以将信号从时域转换为频域，通过对频域信号进行处理，可以选择性地保留或丢弃一些频率成分，从而实现信号的压缩。
通过在压缩领域中应用傅里叶变换，可以实现对信号进行高效的压缩和还原。
此外，傅里叶变换还在其他领域中有着广泛的应用。
例如，傅里叶变换在音频和图像处理中得到了广泛应用。
在音频处理中，傅里叶变换可以将音频信号分解为不同频率的成分，从而实现音频信号的分析和编辑。
数字信号处理中的快速傅里叶变换
数字信号处理中的快速傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是数字信号处理中一种重要的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦波，可以提取出信号的频谱信息，进而进行频域分析和滤波等操作。
本文将介绍快速傅里叶变换的原理、算法流程以及在数字信号处理中的应用。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是以傅里叶变换为基础的一种高效的算法。
傅里叶变换是将一个周期函数（或有限长的信号）分解成若干个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这些正弦和余弦波的频率和振幅反映了原始信号的频谱特征。
传统的傅里叶变换算法复杂度较高，难以在实时信号处理中应用。
而快速傅里叶变换通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将传统傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。
二、快速傅里叶变换的算法流程快速傅里叶变换算法采用分治法的思想，将信号逐步分解成更小的子问题，并通过递归地计算子问题的频域结果来获得最终的结果。
其算法流程如下：1. 输入原始信号，设信号长度为N。
2. 如果N为1，则直接返回原始信号。
3. 将原始信号分为偶数项和奇数项两部分。
4. 对偶数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D1。
5. 对奇数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D2。
6. 根据傅里叶变换的性质，将D1和D2组合成整体的频域结果，得到最终结果。
7. 返回最终结果。
三、快速傅里叶变换在数字信号处理中的应用1. 频谱分析：快速傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，通过分析信号的频谱特征，可以提取信号的频率成分，并得到各频率成分的振幅和相位信息。
在音频、图像处理等领域，频谱分析是常见的操作，可以实现音乐信号的频谱可视化、图像去噪和图像压缩等任务。
2. 滤波操作：快速傅里叶变换可以将信号转换到频域后进行滤波操作。
在通信系统中，为了提高信号抗干扰能力和传输效率，通常使用滤波器对信号进行处理。
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快速傅里叶变换算法及其在信号处理中的应用毕业论文目录摘要 (I)Abstract (II)1.绪论1.1选题背景 (1)1.2 课题研究的意义 (2)2.快速傅里叶变换原理及性质2.1快速傅里叶变换原理 (3)2.2快速傅里叶变换的优越性 (4)2.3快速傅里叶变换的意义 (4)3.快速傅里叶变换的算法3.1快速傅里叶变换算法 (6)3.2 Cooley=Tukey FFT算法 (8)3.3 Rader-Brennr FFT算法 (9)3.4 Goertsel 算法 (10)4.快速傅里叶变换在信号处理中的理论应用4.1利用FFT计算连续时间信号的傅里叶变换 (13)4.2利用FFT计算离散信号的线性卷积 (17)4.3利用FFT进行离散信号压缩 (19)4.4利用FFT对离散信号进行滤波 (22)4.5利用FFT提取离散信号中的最强正弦分量 (24)5.快速傅里叶变换在数字信号分析与处理的实际应用5.1快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用 (29)5.2采用异步实现的快速傅里叶变换处理器 (31)5.3快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用 (33)致谢 (36)参考文献 (37)1 绪论傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原本难以处理的时域信号相比比较容易地转换成易于分析的频域信号，我们可以利用一些专业工具对这些频域信号进行处理、加工，使信号转化为可以对其进行各种数学变换的数学公式，对其进行处理。
最后还可以根据傅立叶反变换将这些频域信号转换成原来的时域信号，这是一种特殊的积分变换。
它能够将满足一定条件的某个函数表示成为正弦基函数的线性组合或者积分。
然而，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。
快速傅氏变换（FFT），即离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的[1]。
对于计算机处理信号方面上是一大进步。
系统的速度不但取决于其本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于运用的算法，算法运算量的大小直接影响到对设备的控制质量。
通过傅立叶变换（DFT），运用测试软件进行检测，我们可以看出，快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计方案提供了简单算法，有着非常重要的意义。
1. 1 选题背景近十多年来，数字信号处理技术同大规模集成电路、数字计算机等，都有了突飞猛进的发展，日新月异，早已成为了一门具有强大生命力的技术科学。
因为它本身就具有一系列的优点，所以能够有效地促进工程技术领域的技术改造和科学发展，应用领域也更加地广泛、深入，越来越受到人们的重视。
在信号处理中，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是比较常用的变换方法之一，它在各种数字信号处理系统中扮演着及其重要的角色。
由于离散傅里叶变换（DFT）而发现了频率离散化，可以直接用它来分析信号的频谱、计算滤波器的频率响应、以及实现信号通过线系统的卷积运算等，因而在信号的谱分析等方面有着非常大的作用。
傅里叶变换已经有一百多年的历史了，我们熟知频域分析往往比时域分析更优越，不仅简单明了，而且易于分析较为复杂的信号。
但需要用较为精准的数字方法，即DFT，进行谱分析，在快速傅氏变换（FFT）出现以前是不切实际的。
由于DFT的计算量太大，即使运用计算机也很难对问题进行实时的有效处理，所以DFT并没有得到真正的应用。
直到1965年库利（J.W.Cooly）和图基（J.W.Tukey）首次发现DFT的一种快速算法，局面才发生根本性的变化。
继库利和图基算法出来之后，桑德（G.Sander）等快速算法也相继出现，又经过其他学者一步步改进，很快就出现了通用型的快速傅里叶变换，简称FFT。
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）并非与离散傅里叶变换完全不同的另一种变换，而是为了减少DFT计算次数而诞生的一种快速、有效的算法。
应当指出的是，也是因为当时电子数字计算机的“落后”条件也促成了这个算法的提出。
它使得DFT 的运算量大大的缩小简化，它推动了近30年来信号处理技术止步不前的前进发展，成为了数字信号处理应用领域里强有力的工具，为DFT乃至数字信号处理技术的实际应用创造了良好的条件，从而使DFT在实际使用中得以广泛的应用[2]。
数字信号处理器（DSP），是一种可编程的高性能处理器。
近年来发展尤为迅速，它不仅应用于数字信号处理方面，而且在图像处理、语音处理、通信等领域得到广泛的应用。
之前通用的微处理器在运算速度上已经很难适应信号实时处理的高要求。
DSP处理器中集成了高速的乘法硬件，能快速、准确地进行大量数据的乘法以及加法的运算。
数字信号处理区别于普通的科学计算与分析，它强调运算的实时性。
除了需要普通微处理器所强调的高速运算和控制能力之外，鉴于实时数字信号处理的特点，在处理器结构、指令系统、指令流程上做了很大程度上的改进。
1. 2 课题研究的意义如上所述，基于对DSP的快速傅里叶变换算法的研究，从而使FFT算法能够有效地在DSP芯片上实现。
DSP芯片的出现，使FFT的实现更加方便。
多数的DSP芯片都能够在一个指令周期完成一次乘法和加法，并且提供了专门的FFT指令，完成一次指令的周期只需10ns，使得FFT算法在DSP芯片上实现的速度更加快速。
快速傅里叶变换为频谱分析、卷积、相关数字滤波器设计与实现与功率谱计算、传递函数建模、图像处理等，提供了快速有效的运算方法。
FFT技术应用DSP芯片，从而可以提供使调制、解调、压缩、解压缩的数据传输更为高效的信号处理解决方案，因而广泛应用于雷达、图像处理、通信、生物医学和声纳领域。
2.快速傅里叶变换原理及性质数字信号中的傅里叶变换,通常是采用离散型傅里叶变换(DFT)。
DFT 存在的缺点就是计算量太大,不易进行实时处理。
比如，计算一个N 点的DFT ,一般需要2N 次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算.因此,当N 较大或要求对信号进行实时处理时,往往很难实现达到所需的运算速度。
1965年,J.W.Cooly 和J.W.Tukey 发现了DFT 的一种快速算法,经过后来学者的进一步改进, 很快便形成了一套高效的运算方法,即现在通用的快速傅里叶变换, 简称FFT( The FastFourier Transform)。
快速傅里叶变换的实质是利用式(3-1)中的权函数nk N W 的对称性和周期性,把N 点DFT 进行一系列分解和组合,使整个DFT 的计算过程变成一系列叠代运算过程,使DFT 的运算量大大简化,为DFT 及数字信号的实时处理和应用创造了非常良好的条件[3]。
2. 1 快速傅里叶变换原理快速傅里叶变换原理：1. 将长序列DFT 分解为短序列的DFT2. 利用旋转因子的对称性、周期性、可约性。
将时域序列逐次分解为一组子序列，依据旋转因子的特性，由子序列的DFT 来实现整个序列的DFT [4]。
其中：快速傅里叶变换分为两种，分为基2时间抽取算法和基2频率抽取算法基2-时间抽取(Decimation in time)FFT 算法⎩⎨⎧+=]12[]2[][r x r x k x 其中:r=0,1,2… 12-N （2-1）基2-频率抽取(Decimation in frequency)FFT 算法⎩⎨⎧+=]12[]2[][m X m X m X （2-2）2. 2 快速傅里叶变换的优越性设n x 为N 项的复数序列，依据DFT 变换，任一)(m x 的计算都需要有N 次复数乘法和（1-N ）次复数加法，而且一次复数乘法等同于四次实数乘法和两次实数加法，同样的，一次复数加法等同于两次实数加法，即使我们把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N 项复数序列的)(m x , 即N 点DFT 变换大约就需要2N 次运算。
当1024=N 点甚至更多的时候，需要N 2=1048576次运算。
在FFT 中，利用WN 的对称性和周期性，把一个N 项序列（设k N 2=,k 为正整数），分为两个2/N 项的子序列，而且每个2/N 点的DFT 变换需要()22/N 次运算，再运用N 次运算把两个2/N 点的DFT 变换重新组合成一个N 点的DFT 变换。
如此变换以后，总的运算次数就变成了2/)2/(222N N N N +=+。
承接上面的例子，当1024=N 时，总的运算次数就变成了525312次，这样看来，节省了大约50%的运算量。
而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT 运算单元，那么N 点的 DFT 变换就只需要nN 2log 次的运算，N 在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是 FFT 的优越性.当然，FFT 提高了运算速度,但是,也对参与运算的样本序列作出了限制,即要求样本数为2^N 点.离散傅里叶变换DFT 则无上述限制[5]。
2. 3 快速傅里叶变换的意义傅立叶变换的物理意义：傅立叶变换是数字信号处理技术领域一项很重要的算法。
要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶变换原理的意义。
傅立叶变换原理表明：任何连续测量的时序或信号，都能够表示成为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而利用该原理而创立的傅立叶变换算法则利用直接能测量到的原始信号，并以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、相位和振幅。
与傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。
该反变换从本质上说也就是一种累加处理，这样便可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。
因此，也可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），我们可以利用一些专业工具对这些频域信号进行加工、处理。
最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成原来的时域信号。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换其实就是一种特殊的积分变换。
它能够将满足一定条件下的某个函数表示成为正弦基函数的线性组合或者积分形式。
在不同的研究领域里，傅里叶变换具有多种形式各异的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。