扭转时的强度计算.
第4节 圆轴扭转时的强度计算
55 . 5 MPa [ ]
故：此阶梯形圆轴满足强度条件。
第六章 圆轴的扭转
第四节
一、强度条件
圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时 的强度条件
max
T WP
[ ]
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
0.8kNm
1.0kNm
第六章 圆轴的扭转 2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0 . 8 10 63 . 7 a [ ] AB段： max WP 3 ( 40 10 ) 16 d 45 0 . 818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 1 10 max Pa WP 3 3 4 ( 55 10 ) (1 0 . 818 ) 16
扭转刚度计算.
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ ] =1.0°/m，工作时最 内径d=85mm，许用切应力 [ ]=60MPa，
大力偶矩M =1500N· m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。
max 180M n /(GI P ) [θ ]
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照 [ ] =（0.25~0.5）°/m [ ] =(0.5~1.0) °/m [ ] =(1.0~2.5) °/m
精度要求不高的轴
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
M n Wn [ ] (0.2 403 109 60106 )N m 768N m
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200/ 9550 )kW 16kW
二、刚度计算 圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
，即
max M n/W n [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速n=200r/min， 材料的许用切应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强
(仅供参考)第十九章-扭转的强度与刚度计算
一、外力偶矩的计算
前面已经指出 ，使轴产生扭转变形的是外力偶矩。但是作用于轴上的外力偶矩往
往不是直接给出的，而是给定轴所传递的功率和轴的转速。以图 19-3 所示的传动轴为例，
由电动机的转速和功率可以求出传动轴 AB 的转速及通过皮带轮输入的功率。功率由皮
带轮传到轴 AB 上，再经右端的齿轮输出。设通过皮带轮给 AB 轴输入的功率为 N（kW），
因为 1kW=1000N·m/s 因此每秒钟输入功应为 ： W = N ×1000(N ⋅ m)
（a）
电动机是通过皮带轮以力偶矩 Me 作用于 AB 轴上的，若 AB 轴的转速为每分钟 n 转，
则力偶矩 Me 在每秒内完成的功应为 ：
W = 2π × n × Me(N ⋅ m)
(b)
60
因为 Me 所完成的功也就是皮带轮给 AB 轴输入的功，故（a）、（b）两式应相等，这
据微元的平衡要求，不仅左右一对面上有大小相等，方向相反的剪应力 τ ，在上下一对
面也必须有剪应力τ ′ ，而且由力矩平衡条件 ∑ mz = 0 有：
(τtdy)dx = (τ ′tdx)dy
由此得到：
τ =τ′
（19-2）
这表明，在相互垂直的两个微面上，剪应力总是成对出现的，它们数值相等，而方
向均垂直于两微面的交线，或指向或背离这一交线。这就是剪应力互等定理。
利用第三节中的（b）式和（c）式，上式可以写成：
φ
φ
图 19-9
u = 1 τγ 2
再由剪切胡克定律（式 19-3）得：
u = 1 τγ = τ 2 2 2G
46
第四节 圆轴扭转时的应力与变形
一、横截面上剪应力计算公式
圆轴扭转时，在已知横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的应力分布规律，
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
扭转杆件的强度、刚度计算
12.3 扭转杆件的强度、刚度计算对受扭转的杆件，除了强度要求外，通常刚度也要同时考虑。
受扭杆件危险点均为纯剪切应力状态。
对纯剪切应力状态，可以证明，与第一强度理论对应的强度条件为≤（12-4）与第三、四强度理论对应的强度条件为≤（12-5）≤（12-6）式中，[τ]为许用切应力，它与许用正应力之间的关系为脆性材料[ τ ] = （0.8 ~ 1）[ σ ]塑性材料[ τ ] = （0.5 ~ 0.6）[ σ ]例12-4一钢传动轴如图12-4a所示，转速n = 208rpm，主动轮B的输入功率P=6kW，两个从动轮A、CB的输出功率分别为P A = 4kW，P c = 2kW。
已知：轴的许用应力[σ] = 60MPa，许用单位扭转角[ϕ]=1︒/m，切变模量G = 80GPa，试设计轴的直径d。
解：1．计算外力偶矩，绘扭矩图。
用截面法及扭矩符号的规定，得AB、BC段的扭矩分别为T AB = 183.6N·mT BC = -91.8N·m根据以上计算结果，作扭矩图如图12-4b所示2．按强度条件设计轴的直径由扭矩图可见，最大扭矩为T max = 183.6N·m，危险截面为AB段各横截面。
危险点在危险截面上周边各个点，处于纯剪切应力状态。
根据最大切应力理论，强度条件应为≤≤得 d ≥3．按刚度条件设计轴的直径由刚度条件式（12-2），扭转刚度条件为ϕmax = ≤[ ϕ]≤[ϕ]得d≥为了同时满足强度及刚度要求，应在以上两计算结果中取较大值作为轴的直径，即轴的直径应大于或等于34mm，可取d = 34mm。
例12-5实心圆轴横截面上的扭矩T = 5kN·m。
轴的许用应力[ ] = 87MPa，试按强度设计轴的直径D。
若将轴改为空心圆轴，且内外直径之比，试设计截面尺寸。
并比较实心圆轴和空心圆轴所需的材料用量。
解：本题按第四强度理论来设计。
对实心愿轴，由强度条件式（12-6）≤即≤得D≥取D = 80mm。
第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
基础篇之四第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。
本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。
4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。
在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算：[][]e kw 9549[N m]r /min P M n =⋅其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。
如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N •m/s ），则e []7024[N m][r /min]P M n =⋅马力 外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。
图4－1 受扭转的圆轴用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有M x －M e = 0由此得到图4－3 剪应力互等M x = M e与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。
因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。
据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。
当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。
绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。
【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。
扭转强度计算公式
扭转强度计算公式
扭转强度是指材料可以承受持续转变外力的能力，它也是衡量材料结构强度的一个重要指标。
由于它对于确定材料性能及其结构安全性起着重要作用，因此了解扭转强度和计算其值非常重要。
扭转强度的计算可以通过以下公式来实现：T=F * r / J，其中T为扭转强度，F为外力，r为外力的作用半径，J为扭转截面积矩，即材料主轴线上的横截面积。
通过上述公式可以看出，要计算扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J的大小。
外力F是指作用在材料上的外力，可以通过实验来确定。
而扭转截面积矩J是指材料的横截面积，可以通过实验或理论计算来确定。
在实际应用中，扭转强度的计算还受到水平和垂直外力的影响，因此，在计算扭转强度时，必须考虑外力的方向和强度。
在计算扭转强度时还要考虑材料的尺寸、形状和结构，以及外力的作用点。
这些因素都会影响材料的扭转强度，因此，在计算扭转强度时，必须将这些因素考虑在内。
要计算材料扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J，还要考虑材料尺寸、形状和结构以及外力方向和强度等因素。
通过恰当的计算，可以准确地测量出材料的扭转强度，从而为结构的安全性
提供可靠的参考。
——扭转的强度和刚度计算
例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
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一、强度计算
1 强度条件： 塑性材料： 脆性材料：
Mn max WP 0.5 0.6
0.8 1.0
2 强度计算的三个方面： a、强度校核 b、截面选择 c、许可荷载确定
• 例1
• • • •
Wp
D3
1 16
4
d 90 2 2.5 0.944 D 90
4 3
•将
得
Wp
903
16
1 0.944 29400m m ，代入上式，
Mn 1.5 103 51MPa 60MPa max 9 Wp 2940010
• 所以 该轴满足强度条件。如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5 ，
Mn
KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。 由平衡条件，得 （2） 校核强度 由公式 max
• 解：（1 ）计算扭矩
M n m 2.5KN .m
Mn ，得 WP
M n M n 2.5 103 16 max 2 59MPa 60MPa 2 W p d 6 10 16
•
所以，满足强度要求。
• 例2 如图为某汽车传动轴简图，传递的最大力矩m=1.5KN.m,
• • 轴为无缝钢管，外径D=90mm，厚T=2.5mm,已知许用剪应 力 60MPa ，试校核该轴的强度。
解：1. 求扭矩Mn. 取脱离体如图(b).
M n 1.5kN.m 由平衡条件 M x 0 得： Mn •2. 强度校核 由公式 max W p •式中 Wp 是空心圆截面的抗扭截面模量