浙江省台州六校高二数学上学期期中联考试题 文 新人教A版
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
2021年高二数学上学期期中试题文新人教A版一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )．A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝13．200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布图如图所示，则时速在的汽车大约有多少辆？（）A、 30B、 40C、 50D、 604．命题“存在实数，使”的否定是（）A．对任意实数，都有 B．不存在实数，使C．对任意实数，都有 D．存在实数，使5．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )A、 B、34C、 D、586.下列说法错误的是（）A．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题B．命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”C．命题：存在，使，则：对任意的D．命题“存在，使”是真命题7. 双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．8．命题“（2x+1）（x-3）<0”的一个必要不充分条件是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9.曲线与曲线的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 10．在中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为( )A.233B.33C ．2D ．112.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以710为概率的事件是 （ ）A ．恰有1件一等品B ．至少有一件一等品C ．至多有一件一等品D ．都不是一等品二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分。
浙江省台州市高二上学期期中联考数学试题(解析版)
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率后可求直线的倾斜角.
【详解】直线 的斜率为 ，故其倾斜角 满足 ，
【详解】由题可知圆心 ，半径 ，
则点 到圆心 的距离 ，
切线长 ，可看作 到定点 的距离，
由 ，则点 在圆 内.
则 的最小值即为 到直线 的距离，
如图，过 作直线 垂直于 ，垂足为 ，与 轴的交点即为点 .
，则直线 ： ，即
令 ，得 ,即
所以当点 与 重合时， 最小值.
故选：C.
非选择题部分（共110分）
7.若 为直线 的倾斜角，则过两点 、 的直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的值，利用直线的斜率公式结合弦化切可求得结果.
【详解】由题意可得 ，所以， .
故选：B.
8.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，过E，F，C1三点的平面截正方体所得的截面的面积为（）
【详解】解：设圆台的上下底面的半径分别为r，R，
则 ，所以 ，
，所以 ，
作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意圆台的母线长为3，
所以 ，
即该圆台的高为 .
故选：A.
5.在空间中，已知直线 ，两个不同的平面 ， ，一定能推出“ ”的条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
2021年高二数学上学期期中联考试题 文 新人教A版
2021年高二数学上学期期中联考试题文新人教A版注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。
考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。
交卷时只交机读卡和答题卷。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、数列23,45，67,89……的第10项是A．1617B．1819C．2021D．22232、在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a＝2,c＝4,B＝60°,则b等于A．28 B．27 C．12 D．2 33、不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方4、对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列5、已知f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则f(x)有A．最大值为－4 B．最大值为0 C．最小值为0 D．最小值为－46、数列满足:其前项积为，则=（）A. B. C. D.7、推理过程a b ac bc a bac bdc d bc bd d c>>⎫⎫⇒⇒>⇒>⎬⎬>>⎭⎭共有三个推理步骤,其中错误步骤的个数为A．0 B．1 C．2 D．38、在数列中，（c为非零常数,）且前n项和，则实数k等于A.1B.1C.0D.29、△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，则△ABC为A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定10、已知，给出下列四个结论：①;②;③;④其中正确结论的序号是A．①②B．②④C．②③D．③④11、如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：① 测量;② 测量;③测量则一定能确定间距离的所有方案的序号为A. ②③B. ①③C. ①②D. ①②③12、将正偶数,,,,按如表所示的方式进行排列，记表示第行和第列的数,若,则的值为A. B.C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
浙江省台州市高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
高二 数学（文科）一、选择题（每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的倾斜角为45°，则m 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 2．命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是A.若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数B. 若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数C.若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数D.若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4．在空间中，设m 表示直线，,αβ表示不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若βα//，α//m ，则β//mB ．若βα⊥，α⊥m ，则β//mC ．若βα⊥，α//m ，则β⊥mD ．若βα//，α⊥m ，则β⊥m 5．一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．32 B ．2 C ．34D ．66．若0433222=-+c b a ，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为A.32 B. １ C. 21 D. 43 （第5题图）7．直线210x a y ++=与直线()2130a x by +-+=互相垂直，,a b R ∈则ab 的最小值为A ． 1B ．2C ．4D ．58. 直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则的取值范围是A.02m <<B. 12m ≤≤C. 12m <<D.22m -<<9．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 为1CC 的中点， 那么异面直线OE 与1AD 所成角的余弦值等于A.62 B. 22C. 33D. 6310．设12,x x 是关于x 的方程2210x mx m ++=的两个不相等的实数根，那么过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线与圆221x y +=的位置关系是A. 相切B. 相离C. 相交D. 随m 的变化而变化 二、填空题（每小题3分，共21分.把答案填在答卷中相应横线上）11．已知直线l 被坐标轴截得线段中点是()1,3-，则直线l 的方程是 ▲ ． 12．若一个球的体积为43π，则它的表面积为 ▲ ．13．将直线:l 33y x =+绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线l '，则直线l '的方程是 ▲ ．14．ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕AC 边旋转一周所成的几何体的体积为 ▲ ．15．若圆221x y +=和圆224470x y x y ++-+=关于直线l 对称，则l 的方程是 ▲ ．16．设MN αβ--是直二面角，,,,βα⊂⊂∈AC AB MN A ∠BAN=∠CAN=45°，则∠BAC= ▲ ．17.在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ▲ ．OC 1B 1D D A 1（第9题图）FBDAPEG三、解答题（本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分8分）已知命题p ：点()1,A m 到直线3420x y --=的距离1d >,命题q ：方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，若p ⌝和p q ∨都为真命题,求实数m 的取值范围.19．（本小题满分10分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为3，侧棱AA 1=,233 D 是CB 延长线上一点，且BD=BC. （1）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （2）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.（第19题图）20．（本小题满分10分）已知圆C ：()()22344x y -+-=（1）若平面上有两点()()1,0,1,0A B -，点P 是圆C 上的动点，求使22AP BP +取得最小值时P 的坐标；（2）若Q 是x 轴上的点，,QM QN 分别切圆C 于,M N 两点，若23MN =，求直线QC 的方程.21．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 是菱形，6AC =，3BD =E 是PB 上任意一点。
浙江省台州市2021年高二上学期数学期中考试试卷A卷
浙江省台州市2021年高二上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2019高一上·天津月考) 命题 : ,则命题的否定为________.2. （1分） (2018高三上·合肥月考) 设等差数列的前项和为，若，则________.3. （1分） (2017高二上·莆田月考) 圆锥曲线的准线方程是________.4. （1分） (2018高二下·普宁月考) 已知命题：若，则方程至少有一负根，写出命题的逆命题________．5. （1分） (2016高三上·思南期中) 设F1、F2分别是双曲线x2﹣ =1的左右焦点，点P在双曲线上，且 =0，则| |=________．6. （2分） (2020高一下·宁波期中) 在等差数列中，， .则 ________；此数列前30项的绝对值之和为________.7. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x 满足x2+2x﹣8＞0且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．8. （1分） (2018高二上·江苏月考) 设分别为具有公共焦点和的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且，则 ________ .9. （2分）(2020·宣城模拟) 将正整数排成如图：试问2020是表中第________行的第________个数．10. （1分） (2018高二上·宁夏期末) 过点Q(4,1)作抛物线的弦AB,恰被Q所平分,则弦AB所在直线方程为________.11. （1分）(2017·青浦模拟) 等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4 ，则双曲线C的实轴长等于________12. （1分）依次写出数列a1=1、a2、a3…，法则如下：若an﹣2为自然数，则an+1=an﹣2，否则an+1=an+3．则a6=________．13. （1分） (2016高二上·辽宁期中) 已知P为椭圆 =1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为________．14. （1分） (2016高二上·临沂期中) 已知 {an}中，a1= ，an+1=1﹣（n≥2），则a2016=________二、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递减，命题q：对任意实数x都有x2﹣3ax+1＞0恒成立；若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围．16. （10分）(2018·宝鸡模拟) 设是首项为，公比为的等比数列，为数列的前项和.（1）已知，且是的等差中项，求数列的通项公式；（2）当时，令，求证：数列是等差数列.17. （10分） (2015高二上·黄石期末) 已知圆A：（x+2）2+y2=1，圆B：（x﹣2）2+y2=49，动圆P与圆A，圆B均相切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）已知点N（2，），作射线AN，与“P点轨迹”交于另一点M，求△MNB的周长．18. （15分）(2020·长沙模拟) 已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，．（1）若，求的值；（2）若是公比为的等比数列，求证：数列为等比数列；（3）若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：，，，，成等差数列的充要条件是．19. （10分） (2016高二上·桓台期中) 已知椭圆 =1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2 ．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．20. （10分）(2017·衡阳模拟) 已知数列{an}的首项a1=4，当n≥2时，an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；（2）若cn=4bn•（nan﹣6），如果对任意n∈N* ，都有cn+ t≤2t2 ，求实数t的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。
浙江省台州中学高三数学上学期期中试题 文 新人教A版
高三 数学(文)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分（共50分）参考公式：球的表面积公式 S =42πR 柱体的体积公式 V =Sh 球的体积公式 V =343πR 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 其中R 表示球的半径 台体的体积公式 V =31h (1S +21S S +2S ) 锥体的体积公式 V =31Sh 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 h 表示台体的高 如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集}5,4,3,2,1{=U ，}5,4,3{},3,2,1{==B A ，则=⋂)(B C A U （ ） A ．φ B ．}3{ C ．}2,1{ D ．}5,4{2．已知复数i(1i)z =-，（i 为虚数单位），则=||z （ ） A ．1 B ．1i + C ．2 D ．23．设0.5393,log 2,log 5a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ． a b c <<4．函数π()sin π2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，]11[，-∈x ,则 （ ） A ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递减 B ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递增 C ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递增 D ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递减5．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则9a = （ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．246.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 （ ）频率 组距0.02A ．π3433+B ．π343+C ．63π+D ．633π+ 7．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 （ ） A ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥8．数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9．右图是二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象，则函数)()(x f e x g x'+=的零点所在的区间是 （ ） A.)0,1(- B.)1,0( C.(1,2) D.)3,2(10．已知1F ，2F 分别为22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[2,3]C ．(1,3]D ．[3,)+∞ 二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．11．已知函数cos π(0)()(1)1(0)xx f x f x x ⎧=⎨-+>⎩≤，则1()3f = ．12．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2012年2月1日至3月1日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 ．13．一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为 ．14．若直线l ：4mx y -=被圆C ：22280x y y +--=截得的弦长为4，则m 的值为 ．15．设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则32z x y =-+的最小值为 ．16．在边长2的等边ABC ∆中， M BC 点为线段中点,若P 是ABC ∆所在平面内一点，且PA为单位向量，则PA PM ⋅的最大值为 ．17．已知关于x 的不等式()221x ax -<有三个整数解,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 已知△ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c且22cos ,12BB b ==. （1）若512A π=，求边c 的大小； （2）若2a c =，求△ABC 的面积．19．（本小题满分14分）已知等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 92053=+a a ，数列2log 3n n a b =,(*n N ∈) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；（2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n ．20.(本题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，090BCD ∠=, 2BC CD ==,AD BD = ,EC 丄底面ABCD , FD 丄底面ABCD 且有2EC FD ==.(1)求证:AD 丄BF ;(2)若线段EC 的中点为M ,求直线AM 与平面ABEF 所成角的正弦值.21.（本小题满分15分）已知函数2()()e ,.xf x x a a R =-∈ （1）求()f x 的单调区间；（2）对任意的(],1x ∈-∞，不等式()4e f x ≤恒成立，求a 的取值范围.22．（本题满分15分）已知抛物线22x py =(0p >).抛物线上的点(,1)M m 到焦点的距离为2(1)求抛物线的方程和m 的值；(2)如图，P 是抛物线上的一点，过P 作圆()22:11C x y ++=的两条切线交x 轴于,A B 两点，若CAB ∆的面积为335,台州中学2013学年第一学期期中参考答案高三 数学（文）1-10CDBAB DACBC11.1/2 12. 4320人13. 2/5 14.2±15.-6 16. 49,916⎛⎤⎥⎝⎦222221181cos ,sin()6256663C=-A-B=,sin 4sin (2)(1),2cos ,2,31113,,sin 326B B B B B b cC B B b a c ac B a c c c S ac B ππππππππ+=∴-=∴-=∴=====+-==∴===.(1)由已知或（舍去）由正弦定理得：由知由余弦定理得得．…-------14分19．解：（1）}{n a 是等比数列，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=92032412131q a q a q a ，两式相除得：10312=+q q 313==q q 或者，}{n a 为增数列，3=∴q ，8121=a ………………-------4分 5111323812---⋅=⋅==∴n n n n qa a --------6分 52log 3-==∴n a b n n ，数列}{n b 的前n 项和)9(212)54(2n n n n S n -=-+-=---8分 （2）122221-+++=n b b b b T n =)52()52()52()51(12-+-+-+--n =052121>---n n即：152+>n n,1452,145254+⨯>+⨯< 5min =∴n ………………………………………………14分（只要给出正确结果，不要求严格证明）20.（Ⅱ）如图，过点M 作BE MN ⊥于N ，连接AN .又由EC AB BC AB ⊥⊥,，⊥∴AB 平面BCE .…9分MN AB ⊥∴，可得⊥MN 平面ABEF .故MAN ∠即为直线AM 与平面ABEF 所成角. …11分又由EMN ∆∽EBC ∆，可得33=MN ； 且2222221)2()22(++=++=CM BC AB AM 11=， …13分3333sin ==∠∴AM MN MAN . 故直线AM 与平面ABEF 所成角的正弦值为3333. …14分()()()()222'2221.()2()(22)22x xxxf x x a e x ax a e f x x a x a a e x a x a e =-=-+⎡⎤=+-+-=---⎡⎤⎣⎦⎣⎦当x 所以单调递减区间是(a －2，a)． ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]极大＝f(a －2)＝4e a －2．（1）当a ≤1时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a －2)或f(1)ACF EDBM（第20题）N由221(2)44(1)(1)4a a f a ee f a e e -≤⎧⎪-=≤⎨⎪=-≤⎩,解得－1≤a ≤1； （2）当a －2≤1＜a ，即1＜a ≤3时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a －2)，此时f (a －2)＝4e a －2≤4e 3－2＝4e ；()2max (3)21,3,()(1)14,a a f x f a e e ->>==->∴当即不符合题意综上,得a 取值范围[]-13， ………14分22．[解] （Ⅰ）由抛物线定义易得 12,22pp +=∴= 抛物线方程为24,2x y m ==± …5分 (2)设点2(,)4t P t ,当切线PB 斜率不存在, 1(1,)4P ,设切线01:(1)4PB y k x -=-,圆心(0,1)C -到切线距离为半径09151(,0),4099ABCk A S =∴=∴-∴=不符合题意同理当切线PA 斜率不存在,59ABCS=, 当切线PA ,PB 斜率都存在.即1t ≠±, 设切线方程为：2()4t y k x t -=- 圆心(0,1)C -到切线距离为半径1,即1= ,两边平方整理得:()242221212(1)0,,4162t t t t k t k k k --+++=设为方程的两根 韦达定理得:()()42212242122=+6042(1)4+=1162=1t t t t k k t t t k k t ⎧⎪∆>⎪⎪⎪+⎪⎨-⎪⎪⎪+⎪⎪-⎩则切线21:()4t PA y k x t -=-, 切线22:()4t PB y k x t -=-,得2212,0,,0,44t t A t B t k k ⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22121212222211*********12720,1272((ABCABC k k t t SAB k k k k S t t t t P P -=⨯=-====+∴--=∴=∴±±或或 ……15分。
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A 版（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分） 1． 双曲线：的渐近线方程是（ ） A ． B ． C ． D ．2．抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值为（ ）A 4BCD －4 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）A B C D4．设抛物线上一点P 到轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A ．12B ．8C ．6D ．45． 若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 15 C ．4 D. 177． 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 28. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为( )A. x 23＋y 22＝1B. x 23＋y 2＝1 C. x 212＋y 28＝1 D. x 212＋y 24＝19． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A. x 25－y 220＝1B. x 220－y 25＝1C. 3x 225－3y 2100＝1D. 3x 2100－3y225＝110． 已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是( )A ．2B ．1C ．D ．11．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线线的方程为( )A ．B ．C ．D ．12．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（ )A B C D 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设双曲线C 的两个焦点为(－3,0)，(3,0)，一个顶点是(2，0)，则C 的方程为________． 14．与双曲线有共同的渐近线，且过点(－3,4)的双曲线方程是________.15．设抛物线C 1的方程为y ＝x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E ．若曲线C 2上的点到E 、F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为_______．16．已知椭圆+=1(a>b>0)与抛物线y 2=2px(p>0)有相同的焦点,P 、Q 是椭圆与抛物线的交点,若PQ 经过焦点F,则椭圆+=1(a>b>0)的离心率为 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在等差数列中，.（1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，求的值.18．在中，角所对的边分别为，且()()bc 3a c b a c b =++-+．（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若成等比数列，试判断的形状． 19．（12）设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为,且离心率为2，已知点A （） （1）求双曲线的标准方程；（2）过点A 的直线L 交双曲线于M,N 两点，点A 为线段MN 的中点，求直线L 方程。
浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
台州市2023学年第一学期期中考试试卷高二数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,1- B.()2,1 C.()1,2- D.()1,2【答案】A 【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】210x y +-=的一个方向向量是()2,1-,故选：A2.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221x y -=的渐近线方程为（）A.22y x =±B.y =C.y x =±D.24y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据等轴双曲线即可求解.【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，故选：C3.圆1C ：22210240x y x y +-+-=与圆2C ：222260x y x y +++-=的公共弦所在直线方程为（）A.240x y ++=B.2490x y -+=C.240x y -+=D.240x y --=【答案】B 【解析】【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.【详解】由221:(1)(5)50C x y -++=，即1(1,5)C -，半径为由222:(1)(1)8C x y +++=，即2(1,1)C --，半径为，所以12||C C <=<，即两圆相交，将两圆方程作差得2222210222604x y x y x y x y +-+----+=-，整理得2490x y -+=，所以公共弦所在直线方程为2490x y -+=.故选：B4.已知(2,0)(4,)A B a -，两点到直线:10l x y -+=的距离相等，则=a （）A.4 B.6C.2D.4或6【答案】D 【解析】【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知点()2,0A -，()4,B a ，直线:10l x y -+=，由于点A 与点B 到直线l 的距离相等，，解得：4a =或6a =.故选：D5.“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两直线垂直，求出a 的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以()()110a a ⨯+⨯-=，所以R a ∈．当1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，而当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的必要而不充分条件，故选:B ．6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A.27π8 B.64π27C.9π4D.25π16【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得1x ，进而得到1y ，利用勾股定理求得BF ，进而得到sin BAF ∠，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得AFB △的外接圆半径为R ，然后计算其面积.【详解】设()11,A x y ，由抛物线的定义可知113x AF AB =+==，所以12x =，代入抛物线的方程中得到1y ==由几何关系可知BF ==1sin 3y BAF AF ∠==.设AFB △的外接圆半径为R ，由正弦定理可知2sin BFR BAF=∠，解得R =，所以AFB △的外接圆面积为227ππ8R =.故选：A7.有以下三条轨迹：①已知圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=，动圆P 与圆A 内切，与圆B 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为1C ；②已知点A ，B 分别是x ，y 轴上的动点，O 是坐标原点，满足||4AB =，AB ，AO 的中点分别为M ，N ，MN 的中点为P ，点P 的运动轨迹记为2C ；③已知A ，直线l ：x =，点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2，点P 的运动轨迹记为3C .设曲线123,,C C C 的离心率分别是123,,e e e ，则（）A.123e e e << B.132e e e << C.321e e e << D.231e e e <<【答案】A 【解析】【分析】由题意求出点P 的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.【详解】对于①，因为圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=．所以为()1,0A -，A 的半径13r =，()10B ,，B 的半径21r =，设动圆P 的半径为R ，则21PB r R R =+=+，13PA R r R =-=-，可得314PB PA R R +=-++=为定值，所以圆心P 在以A 、B 为焦点的椭圆上运动，由24a =，1c =得2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，即动圆P 圆心的轨迹1C 方程为22143x y+=，所以143122e ==，对于②，设(),P x y ，()(),0,0,A a B b ，因为||4AB =，所以2216a b +=，因为AB ，AO 的中点分别为M ，N ，所以,22a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，,02a N ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 的中点为P ，所以,24a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2244a x a x bb y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，因为2216a b +=，所以2241616x y +=，故点P 的运动轨迹记为2C ：()22104xy y +=≠，所以222e ==；对于③，设点()00,P x y2=，整理可得2200142x y -=.所以，点P 的运动轨迹3C的方程为：22142x y -=，所以3=22e =，所以123e e e <<.故选：A .8.已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，121||||(2)2PF PF λλ=≤≤，则椭圆的离心率的最大值为（）A.3B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得()22211e λλλ-+=+，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设2||,|PF x =则12||PF PF x λλ==，122PF PF a +=,所以221ax x a x λλ+=⇒=+，由余弦定理可得()22222214212c x x x x x λλλλ=+-⋅⋅=-+，故()()22224411a c λλλ=-++，进而可得()22211e λλλ-+=+，令1t λ=+，则3,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，222233331t t e t t t-+==-+，令112,,33m m t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以222331331e m m t t =-+=-+，对称轴为12m =，所以2331y m m =-+在11,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故当13m =和23m =时，213313y m m =-+=，故2331y m m =-+的最大值为13，所以()2max13e=，故e 的最大值为3，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C ：221x y m-=的焦点在x 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的虚轴长为2C.双曲线C 的焦距为22D.双曲线C 的离心率为223【答案】AB 【解析】【分析】由题设可得3a b =，结合已知方程得双曲线方程为2219x y -=，进而判断各项正误.【详解】由题设23263a b b a b =⨯=⇒=，而1b =，故3a =，则29m a ==，所以双曲线方程为2219x y -=，实轴长为26a =，虚轴长为22b =，焦距为210c =103，故A 、B 对，C 、D 错.故选：AB10.已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.124PF PF += B.直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为34-C.存在点P 满足1290F PF ∠=D.若12F PF △的面积为1，则点P 的横坐标为263±【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A ，计算出1PA 和2PA 的斜率计算B ，根据圆的直径所对圆周角为90 判断C ，由三角形面积公式判断D.【详解】A 选项中，因为椭圆方程为22143x y +=，则24a =，所以2a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，所以124PF PF +=，A 正确；B 选项中，椭圆的左、右顶点分别是()12,0A -，()22,0A ，设()00,P x y ，因为点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，所以将()00,P x y 代入到椭圆方程得：2200143x y +=，且1002PA y k x =+，2002PA y k x =-，所以1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，因为2200143x y +=，所以()222000331444x y x 骣琪=-=×-琪桫，所以122020344PA PA y k k x ⋅==--，B 正确；C 选项中，由椭圆方程知，24a =，23b =，21c =，若1290F PF ∠=，则点P 在以线段12F F 为直径的圆上，以线段12F F 为直径的圆的方程为221x y +=的圆在椭圆内，所以椭圆上不存在P 满足1290F PF ∠=，C 错误；D 选项中，121200112122F PF S F F y y =�创= ，所以01y =，所以代入到2200143x y +=知，03x =±，D 正确.故选：ABD11.设直线系M :22(1)2220a x ay a --++=，则下面四个命题正确的是（）A.存在定点P 在M 中的任意一条直线上B.圆222:0.9N x y +=与M 中的所有直线都没有公共点C.对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC 【解析】【分析】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离均为2，则直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.【详解】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离为()222121a d a +===+，故直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，对于A 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，其中存在两条切线平行，所以M 中所有直线经过一个定点不可能，故A 选项错误；对于B 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，而圆2220.9x y +=内含于圆224x y +=中，得M 中的所有直线均与圆()2220.9x y +=无公共点，故B 选项正确；对于C 选项，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 选项正确；对于D 选项，正ABC 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D 选项错误.故选：BC12.三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A.11(1,2,3)i ii FA FB +=为定值 B.112233////A B A B A B C.若1232S S S +=，则1232a a a += D.若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】【分析】设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，利用韦达定理求得1212,y y y y +，进而可求得1212,x x x x +，结合焦半径公式即可判断A ；判断i i A B k 是否为定值即可判断B ；求出i S ，即可判断CD.【详解】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，消x 得2440iy y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i iFA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+==+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++====---因为i a 不是定值，所以i i A B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知直线l的方程为4y =+，则倾斜角为_______，在y 轴上的截距为________.【答案】①.60 ②.4【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y 轴交点的纵坐标即得.【详解】直线l的方程为4y =+的斜率k =α，则tan α=，于是60α= ；当0x =时，4y =，所以直线l 在y 轴上的截距为4.故答案为：60 ；414.准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为__________.【答案】28y x=【解析】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出p 值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为2x =-，得该抛物线开口向右，且22p =，得4p =，故抛物线的方程为：28y x =.故答案为：28y x=15.过点()0,1的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于,P Q 两点，则PQ 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可知()0,1即为椭圆与直线的交点，设()00,Q x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出PQ .【详解】根据题意可知，显然()0,1在椭圆上，不妨取0p x =，则()0,1P ，设()00,Q x y ，由,P Q 不重合可知01y ≠，且220014x y +=，即220044x y =-所以()222220002000014412325P y y Q x y y y y =++--=-+-=-+，根据二次函数性质可知，当031y =-时，2PQ 取最大值为163，即可得PQ .16.已知12F F ，分别为双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆的半径为1r ，12BF F △的内切圆的半径为2r ，21216r r a ≤，则双曲线的离心率的取值范围为_________.【答案】(1,5]【解析】【分析】设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出12122O GF O F O △∽△，可得出()212r r c a =-，可得出关于c 、a 的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】设12AF F △、12BF F △的内切圆圆心分别为1O 、2O ，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11F M F G =，22F G F N =，所以，()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=.故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切.在122O O F △中，()122122*********O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠= ，即122O O F G ⊥，12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠= ，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O GO F O F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()212c a r r -=⋅，由题意可得：()2216-≤c a a ，可得4-≤c a a ，即5<≤a c a ，所以(]1,5=∈c e a.故答案为：(]1,5.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点()1,0A -，(0,1)B .（1）求直线l 的一般式方程；（2）若点(1,2)C --，求点C 关于直线l 的对称点的坐标.【答案】（1）10x y -+=（2）()3,0-【解析】【分析】（1）先求出直线l 的斜率，从而利用点斜式求出直线l 的方程，化为一般式；（2）设出对称点(),D m n ，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出30m n =-⎧⎨=⎩，得到对称点.【小问1详解】直线l 的斜率为()10101-=--，所以直线l 的方程为10y x -=-，即10x y -+=；【小问2详解】设点C 关于直线l 的对称点坐标为(),D m n ,显然CD 的中点坐标满足10x y -+=，即121022m n ---+=，又直线CD 与直线l 垂直，故211n m +=-+，联立121022m n ---+=与211n m +=-+，解得30m n =-⎧⎨=⎩，所以点C 关于直线l 的对称点的坐标为()3,0-.18.已知直线:4l y x =-，圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142140C x y x y +--+=.（1）求直线l 被圆1C 截得的弦AB 的长；（2）判断圆1C 和圆2C 的位置关系，并给出证明.【答案】（1）||AB =（2）内切，证明见详解【解析】【分析】（1）化简圆1C 为标准方程，求出1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离d ，则AB =，代入求解即可得出答案；（2）化简圆2C 为标准方程，求两圆的圆心距与21r r -，21r r +比较，即可得出答案.【小问1详解】因为圆221:64120C x y x y +-++=，所以221:(3)(21C x y -++=），则圆1C 的圆心为1C ()3,2-，11r =，则1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离为：2d ==，所以||AB ==【小问2详解】因为222:142140C x y x y +--+=，则222:(7)(136C x y -+-=），则圆2C 的圆心为2C ()7,1，26=r ，12215C C r r ====-，所以两圆内切.19.已知圆C 经过()2,0，(0,2)，(2,4).（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 相切，且与x 轴正半轴交于点(,0)A a ，交y 轴正半轴于点(0,)B b .求(4)(4)a b -⋅-的值.【答案】（1）22(2)(2)4x y -+-=；（2）(4)(4)8a b --=.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；（2）设直线:1x y l a b+=，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.【小问1详解】令圆222:()()C x a y b r -+-=，则()()()()()()222222222200224a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，可得2224a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以22:(2)(2)4C x y -+-=.【小问2详解】由题意，设直线:1x y l a b+=，即0bx ay ab +-=，而(2,2)C 且半径为2，直线l 与圆C2=，则222(22)4()a b ab a b +-=+，所以222224()4()4()a b ab a b a b a b +-++=+，化简得(4)(4)8a b --=.20.已知动点M 到定点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）取E 上一点(1,)(0)P a a >，任作弦PA PB ，，满足1PA PB k k ⋅=,则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）定点为(3,2)--【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点M 的轨迹方程；（2）首先将P 点代入抛物线中求得参数a 的值，然后假设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用已知条件1PA PB k k ⋅=，得到12122()12y y y y ++=，最后代入直线AB 方程中即可得到恒过定点.【小问1详解】已知动点M 到定点()1,0的距离比到直线2x =-的距离小1，可得动点M 到定点()1,0的距离与到直线=1x -的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹E 的方程为24y x =.【小问2详解】将()1,P a 代入24y x =中，可得：24a =，0a > ，故得：2a =，即得：()1,2P ；如图，设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于122212*********PA PB y y k k y y --⋅=⋅=--，整理可得：()1212212y y y y ++=.2122122141144AB y y k y y y y -==+-，则根据点斜式方程可得：2111241:4AB l y y x y y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，整理得：1212124:AB y y l y x y y y y =+++由直线AB 的方程()()1212121212121212244432y y y y y x x x y y y y y y y y y y -+=+=+=+-+++++，可知直线AB 恒过定点()3,2--21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为23+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】【分析】（1）根据题意求出a b c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB CD 、所在直线斜率为k ，则BC AD 、斜率为1k -，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【小问1详解】因为2c e a ==，2c a +=+2==c a ，所以2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】当矩形ABCD 一组对边斜率不存在时，矩形ABCD 的边长分别为4和2，则矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 的四边斜率都存在时，不妨设AB CD 、的斜率为k ，则AD BC 、的斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，由10∆=，可得2241m k =+，显然直线CD 的方程为y kx m =-，则直线AB CD 、之间的距离为1d ==，同理可得：AD BC 、之间的距离为2d =所以矩形ABCD的面积为1210S d d ==，取等条件：1k =±，当AB 斜率存在时，8S >.综上所述，面积S 的取值范围是[]8,10.。
浙江省新高考2023-2024学年高二上学期期中联考语文试卷(含答案)
浙江省新高考2023-2024学年高二上学期期中联考语文试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、现代文阅读阅读下面文字，完成各题。
材料一：一部好小说应该具有哪些特性？它的主题应该能引起广泛的兴趣，即不仅能使一群人——不管是批评家、教授、有高度文化修养的人，还是公共汽车售票员或者酒吧侍者——感兴趣，而且具有较普遍的人性，对普通男女都有感染力。
主题还应该能引起持久的兴趣，一个选择只有一时兴趣的题材进行创作的小说家，是个浅薄的小说家，因为一旦人们对这样的题材失去兴趣，他的小说也就像上星期的报纸一样不值一读了。
作者讲述的故事应该合情合理而且有条有理，故事应该有开端、中间和结尾，结尾必须是开端的自然结局。
情节要具有可能性，不仅仅要有利于主题发展，还应该是由故事自然产生的。
小说中的人物要有个性，他们的行为应该缘于他们的性格，决不能让读者议论说：“某某人是决不会干那种事的。
”相反，要读者不得不承认：“某某人那样做，完全是情理之中的事。
”要是人物又很有趣，那就更好。
福楼拜的《感情教育》虽然受到许多著名批评家的高度称赞，但是他选择的主人公却是个没有个性、没有生气，也没有任何特点的人，以致他的所作所为以及在他身上所发生的一切，都无法使人产生兴趣。
结果，虽然小说中有许多出色之处，但整部小说还是难以卒读。
为什么我认为人物必须具有个性。
因为要求小说家创造出完全新型的人物，是强人所难，小说家使用的材料是人性，虽然在各种不同的环境中人性千变万化，但也不是无限的，人们创作小说、故事、戏剧、史诗已有几千年历史，一个小说家能够创造出一种新型人物的机会，可说微乎其微，回顾整个小说史，我所能想到的唯一具有独创性的人物就是堂·吉诃德。
然而，即便是他，我还是毫不惊讶地听说，有个知识渊博的批评家已为他找到一个古老的祖先。
因此，只要一个小说家能通过个性来观察他的人物，只要他的人物个性鲜明，而且鲜明到足以让人错以为他是一种独创的人物，那么这个小说家就已经是很成功了。
浙江台州中学高二数学上学期第二次统练文试题新人教A版
高二 数学 （文科）一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1、点(2,0,3)位于（ ）A ．y 轴上B ．x 轴上C ．x oz 平面内D ．y oz 平面内 2、过点(1,),(1,4)M m N m -+的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）Ａ．1 B ．12 Ｃ．2 Ｄ．13３、“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为12F F 和，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF的（ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍5、如果双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.2C. 3D. 226、设点M 为抛物线2(0)y ax a =>上的动点，点(1,1)A 为抛物线内部一点，F 为抛物线的焦点，若MA MF +的最小值为2，则a 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．87、正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、Q 分别为111,,AB BB C D 的中点，过M 、N 、Q 的平面与正方体相交截得的图形是（ ）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8、已知(3,0,1)A -∆、B(0,-2,0)、C(2,4,-2)，则ABC 是（ ）A.等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 以上都不对9、设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，有下列四个命题： ①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中为真命题的是（ ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④10、已知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.(0,1)B.10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题：(本大题共7小题，每小题3分，共21分)11、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为____________12、设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为__________13、设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++= .14、已知2():20p x x x m +->，如果(1)p 是假命题，(2)p 是真命题，则实数m 的取值范围是_________________.15、在各棱长都等于1的正四面体O ABC -中，若点P 满足(1)OP xOA yOB zOC x y z =++++=,则OP 的最小值为_____________.16、在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有_____________（个）.17、已知直线y a =交抛物线2y x =于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C,使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为___________.台州中学2013学年第一学期第二次统练答题卷高二 数学 （文科）11、___________________ 12、_________________ 13、______________________ 14、___________________ 15、_________________ 16、______________________17、___________________三、解答题（本大题有5小题，共49分） 18、（7分）已知命题[]2:"1,2,0"P x x a ∀∈-≥命题2000:",220"q x R x ax a ∃∈++-=若命题""p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围.班级_______________姓名_______________号次________考试号_____________ …*……………………装………………………订………………… 线 ……………………………19、（7分）光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点( 1.6)D -，求BC 所在直线的方程.20、（10分）已知圆C ：222430x y x y ++-+=（1）若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）从圆C 外一点(,)P x y 向圆引一条切线，切点为,M O 为坐标原点，且有PM PO =，求点P 的轨迹方程.21、（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D 、E 、F 分别为棱AB 、BC 、11A C 的中点. （1）证明：1//EF ACD 平面. （2）证明：平面111ACD A ABB ⊥平面. （3）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.22、（13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C 、D 两点，若8,AC DB AD CB k +=求的值.台州中学2013学年第一学期第二次统练答案高二 数学（文科）一、选择题：(本大题共10小题，每小题 分，共 分)二、填空题：(本大题共7小题，每小题3分，共21分)11． 3 12．6 14、38m ≤< 15、3、4 17、1a ≥ 三、解答题（本大题有5小题，共49分）18、p 真 21a x a ≤∴≤……………………………………………………（2分）q 真 2244(2)02012a a a a a a =--≥∴+-≥∴≥≤-或…… （3分）""p q ∴∧为真命题，a 的取值范围为21a a ≤-=或………………………（2分）19、 A 关于x 轴的对标点(3,4)A '--，D 关于y 轴的对称点(1,6)D '，……………（2分）由光学知识知，,,,A B C D ''四点共线.且52A D K ''=，…………………………（3分）故BC 所在的直线方程为5270x y -+=………………………………………（2分）20、（1）设所求直线l 的方程为0x y a ++=…………………………………………（1分）13a a =∴==-或…………（3分）即直线l 的方程为1030x y x y ++=+-=或………………………………（1分）（2）222PM PC PO =∴-=……………………………………（3分）2222(1)(2)2x y x y ∴++--=+即2430430x y P x y -+=∴-+=点的轨迹方程为：2…………………（2分）21、22、。
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时间：2012.11.30
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在直角坐标系中，直线330x y +-=的倾斜角是（ ） A ．
6π B ．3π C ．56π D ．23
π 2．若a ,b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 和α的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．b 在α内 D ．平行、相交或b 在α内
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ
，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A ．
1222+ B ． 212
+ C ． 12+ D ． 22+ 4．点(1,3)A 关于直线y kx b =+的对称点是(2,1)B -，则直线y kx b =+在x 轴上的截距是（ ）
A ．
56 B ．65- C ．54 D ．32- 5．如图，在同一直角坐标系中，正确表示直线y ax =与y x a =+的是（ ）
6．已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m； ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．如图，E 、F 分别是正方形21DD SD 的边21,DD D D 的中点，沿SE 、SF 、EF 将它折成一个几何体，使21,,D D D 重合，记作D ，给出下列位置关系： ①SD ⊥面EFD ； ②SE ⊥面EFD ；③DF ⊥SE ；④EF ⊥面SE D ．
其中成立的有
（ ）
A ．①与②
B ．①与③
C ．②与③
D ．③与④
8.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么2
2
y x +的最小值为( )
A ．5
B ．10
C ．52
D ．102 9．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、2、3，则此三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．9π
10．将半径为R 的圆面剪切去如图中的阴影部分，沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正
三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值是（ ）
A ．
3)32(3- B ．3)223(3- C ．3322- D ．3
2
233-
二．填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11.以点(－2,3)为圆心且与y 轴相切的圆的方程是 .
12.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是
____________.
13. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .
15．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
16.设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈
（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是 ；
（2）若直线l 不经过第二象限，则实数a
的取值范围是 ．
17.如图：二面角l αβ--的大小是60o
，线段,,AB B l AB α⊂∈与l 所成角为45o
，则AB 与平面β所成角的正弦值是_________ ．
三．解答题（共5小题，满分52分）
18.（本小题满分8分）已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l 的方程 ．
19. (本小题满分10分)已知：四边形ABCD 是空间四边形，E, H 分别是边AB ，AD 的中点，
F, G 分别是边CB ，CD 上的点，且2
3CF CG CB CD ==
．
求证：（1）四边形EFGH 是梯形；
（2）FE 和GH 的交点在直线AC 上 ．
20. (本小题满分10分)已知圆x 2＋y 2
－6x －8y ＋21＝0和直线kx －y －4k ＋3＝0.
(1)求证：不论k 取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点； (2)求当k 取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长．
21. （本小题满分12分)如图， 在直角梯形ABCP 中，
BC ∥,,,=2.AP AB BC CD AP AD DC PD ⊥⊥==
点E 、F 分别是PC D 、B 的中点，现将PDC CD ∆沿折起，使PD ABCD ⊥平面, （1） 求证：EF ∥平面PAD ; （2） 求点A 到平面PBC 的距离．
22.（本小题满分12分）如图5，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点 ．
图5
（1）求二面角B1MNB的正切值；
（2）求证：PB⊥平面MNB1；
（3）若正方体的棱长为1，画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离．
2012学年第一学期高二年级数学（文）期中考试参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）
三、解答题（共5小题，共52分）
18. 解：设直线l 方程为4x+3y+b=0， --------------------------- 1分
则l 与
x 轴、y 轴的交点为A(4b -
,0),B(0,3
b -).---------- 3分
∴｜AB ｜=
b 12
5
. ---------------------- 4分
由｜OA ｜+｜OB ｜+｜AB ｜=10, 得
12
|
|53||4||b b b +
+=10.∴b=±10. ------------------- 7分
∴l 方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.
-----------------
8分
（2）由（1）知EF ，HG 相交，设EF HG K =
∵,K EF EF ABC ∈⊂平面，∴K ABC ∈平面 ------------ 7分 同理K ACD ∈平面，又平面ABC
ACD 平面AC =
∴ K AC ∈ ------------------分 10 故FE 和GH 的交点在直线AC 上．
20. (1)证明：已知圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2
＝4，其圆心(3,4)到直线kx －y －4k ＋3＝0的距离为
|3k －4－4k ＋3|
1＋k
2
＝
|k ＋1|1＋k
2
.
------------------------2分
要证明直线和圆总有两个不同的公共点，只要证|k ＋1|1＋k
2
<2，即证(k ＋1)2<4(1＋k 2
)，即
证3k 2
－2k ＋3>0.
而
3k
2
－2k ＋3＝3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k －132
＋
8
3
>0成
立． ---------------------------5分
(2)由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短，
--------------------6分
而
d ＝
|k ＋1|1＋k
2
＝
k ＋12
k 2＋1
＝
1＋2k k 2＋1≤ 1＋1＋k 2
k 2＋1
＝2.
--------------8分
当且仅当k ＝1时，“＝”成立，即k ＝1时，d max ＝ 2. --------------9分
故当k ＝1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为222
－2
2
＝2 2. ---10
分
21. .解（1）连结AC,
底面ABCD 是正方形，∴AC 交BD 于点F ，且F 是AC 中点
又点E 为PC 中点，∴EF ∥PA,,EF PAD PA PAD ⊄⊂平面平面
EF ∴∥平面PAD -------------5分 (2)设点A 到平面PBC 的距离为h 。
PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC,
又DC ⊥BC,DC
PC=D,∴BC ⊥面PDC ，∴BC ⊥PC.
又由PD ⊥DC,PD=DC=2,得PC=2,∴222222
1
21=⋅⋅=⋅⋅=∆BC PC S PBC 从而h h S V PBC PBC A 3
2
231=⋅⋅=∆- --------------------8分
（3）解：PB=
2
13
，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一： -----------------------12分。