高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理
三角函数恒等变换知识点总结
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三角函数 三角恒等变换知识点总结
一、角的概念和弧度制:
（1)在直角坐标系内讨论角:
角的顶点在原点,始边在 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。
2．图像
3、图像的平移
对函数y=Aｓｉn(ωx＋)＋k（A＞0,ω>0,≠0,k≠0),其图象的基本变换有:
(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的．A＞1,伸长;Ａ＜1，缩短.
(2)周期变换（横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω>1，缩短;ω＜1，伸长.
（3）相位变换（横向平移变换):是由φ的变化引起的.＞0,左移;<０,右移.
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用:
①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。
注意：用平方关系，有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤:
③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的,而是有无数多个.
步骤:①确定角 所在的象限;
如:角 的终边上一点 ，则 。注意r>0
(2)在图中画出角 的正弦线、余弦线、正切线;
比较 , ， , 的大小关系:。
(３）特殊角的三角函数值:
０
sin
cｏs
三、同角三角函数的关系与诱导公式:
（１）同角三角函数的关系
作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
三角函数的恒等变换总结
三角函数的恒等变换总结三角函数的恒等变换，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变换成另一个与它等价的表达式．三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展，进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方祛，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握下列最基本最常见的变换：（1）公式变换三角公式是三角恒等变换的基础，必须深刻理解公式、抓住公式的特点，熟练地将三角公式正向、逆向、变形和综合使用。
①正确理解公式中和、差、倍的相对性例如单角可以看成是和角的差，又可以看成与角的和，可以看成是的半角，又可以看成是的倍角这样我们在三角恒等变换的过程中，就能整体地把握角之间的关系，灵活使用公式。
③抓住公式中角、函数、结构的特点．例如在公式中，角减半则函数次数翻倍．第一种变形便于和因式分解相联系，后两种变形直接地将用的余弦或正弦表示出。
又如在公式中，涉及到、的和与积，这个公式常常和韦达定理联用．③公式的正向使用要特别注意一个三角函数式的多种表达形式和几个三角公式的联用。
例如：④公式的逆向使用．如⑤公式的变形使用．如：，，，（2）角度变换角度变换是三角函数恒等变换的首选方法。
在进行三角恒等变换时，对角之间关系必须进行认真的分析。
①分析角之间的和、差、倍、分关系。
如，，，②在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角。
③熟悉两角互余、互补的各种形式，如，，正确使用诱导公式。
④引入辅助角进行角的变换。
如其中辅助角在哪个象限，由、的符号确定，的值由确定。
下列特殊情况必须熟记：；；；（3）函数变换函数变换是指“弦化切”法和“切化弦”法。
在同角三角函数变换中，弦切互化主要是应用公式；在非同角三角变换中，函数变换往往依赖于角度变换。
（4）1的变换。
如：，，，，，（5）幂的变换公式，常用来升幂和降幂，所便根据需要将三角函数式按一定方向进行变形。
三角恒等变换的基本题型三角恒等变换主要包括求值、化简、证明．（1）求值常见的有给用求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角间关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；③给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．（2）化简化简有两种常见的形式①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．（3）证明它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明．证明时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．③有附加条件的恒等式的证明/证明的关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．消元法即用代入加减、乘除、平方后相加减等手段消去某些量；基本量方法就是适当选择其中可以独立取值的量作为基本量，把其它的量都用基本量表示出来，从而将问题归结为研究这些量之间的关系．。
高中数学中的三角函数恒等式知识点总结
高中数学中的三角函数恒等式知识点总结在高中数学中，学习三角函数是一个重要的环节。
而三角函数的恒等式更是其中的难点之一。
恒等式是指对于某个特定的三角函数，无论值为何，该等式始终成立。
下面将对高中数学中的三角函数恒等式的知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦函数恒等式：- 余弦函数的倒数等于正弦函数：sec(x) = 1/cos(x)- 余弦函数的平方等于正弦函数的补数：1 - sin²(x) = cos²(x)- 余弦函数的平方等于正弦函数的余补数：sin²(x) + cos²(x) = 12. 正弦函数恒等式：- 正弦函数的倒数等于余弦函数：csc(x) = 1/sin(x)- 正弦函数的平方等于余弦函数的补数：1 - cos²(x) = sin²(x)- 正弦函数的平方等于余弦函数的余补数：sin²(x) + cos²(x) = 13. 正切函数恒等式：- 正切函数的倒数等于余切函数：cot(x) = 1/tan(x)- 正切函数的平方等于正割函数的平方减1：sec²(x) - 1 = tan²(x) - 正切函数的平方等于余割函数的平方减1：cot²(x) + 1 = csc²(x)二、和差恒等式1. 正弦函数的和差恒等式：- 两个角的正弦函数和等于这两个角的正弦函数乘积的和：sin(x ±y) = sin(x)·cos(y) ± cos(x)·sin(y)2. 余弦函数的和差恒等式：- 两个角的余弦函数和等于这两个角的余弦函数乘积的差：cos(x ±y) = cos(x)·cos(y) ∓ sin(x)·sin(y)3. 正切函数的和差恒等式：- 两个角的正切函数和等于这两个角的正切函数之和除以它们的差：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)·tan(y))三、倍角恒等式1. 正弦函数的倍角恒等式：- 正弦函数的倍角等于两倍角的正弦函数乘以余弦函数的平方减一：sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)2. 余弦函数的倍角恒等式：- 余弦函数的倍角等于两倍角的余弦函数的平方减一：cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2·cos²(x) - 1 = 1 - 2·sin²(x)3. 正切函数的倍角恒等式：- 正切函数的倍角等于两倍角的正切函数的平方减一除以两倍角的正切函数的平方加一：tan(2x) = (2·tan(x)) / (1 - tan²(x))四、半角恒等式1. 正弦函数的半角恒等式：- 正弦函数的半角等于根号下一加正弦函数的二分之一：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]2. 余弦函数的半角恒等式：- 余弦函数的半角等于根号下一加余弦函数的二分之一：cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x))/2]3. 正切函数的半角恒等式：- 正切函数的半角等于正根号下一减余弦函数的二分之一除以正根号下一加余弦函数的二分之一：tan(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/(1 + cos(x))]通过对以上恒等式的学习和掌握，可以更好地理解和应用三角函数在高中数学中的相关问题，也为未来学习更高层次的数学知识打下坚实的基础。
三角恒等变换知识点总结详解
三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。
这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。
1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。
2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。
3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。
- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。
- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。
4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。
- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。
- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
三角恒等变换与方程知识点总结
三角恒等变换与方程知识点总结三角函数是数学中重要的概念之一，它们在解决各种数学问题和实际应用中发挥着重要作用。
其中，三角恒等变换和方程是学习三角函数的重点内容之一。
本文将就三角恒等变换和方程的相关知识点进行总结和归纳。
一、三角恒等变换1. 三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
它们之间存在一些基本的关系，如正弦函数与余弦函数的关系sin(x) = cos(π/2 - x)、正切函数与余切函数的关系tan(x) = 1 / cot(x)等。
这些基本的关系可以帮助我们简化和转化三角函数的表达式。
2. 三角函数的倒数关系根据三角函数的定义，我们可以得到正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数、正弦函数与余弦函数之间的倒数关系。
例如，sin(x) / cos(x) = tan(x)、cos(x) / sin(x) = cot(x)等。
这些倒数关系可以帮助我们互相转化三角函数的表达式。
3. 三角函数的周期性三角函数在定义域内都具有周期性。
对于正弦函数和余弦函数来说，它们的周期都是2π；对于正切函数和余切函数来说，它们的周期都是π。
这个周期性的特点使得我们在计算和求解问题中可以将一个周期内的结果推广到整个定义域。
4. 三角函数的和差化简公式三角函数的和差化简公式是指将两个三角函数相加或相减之后能够转化为一个三角函数的公式。
常见的和差化简公式有正弦函数的和差化简公式sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)、余弦函数的和差化简公式cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)等。
这些化简公式在计算中可以简化运算步骤，提高计算效率。
二、三角方程的求解1. 三角方程的基本性质三角方程是指含有三角函数的方程。
解三角方程的关键是找到满足方程的三角函数的取值范围和周期性。
三角函数的计算与恒等变换知识点总结
三角函数的计算与恒等变换知识点总结三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的计算中。
掌握三角函数的计算方法和恒等变换是学习数学和解题的基础。
本文将对三角函数的计算方法和常用的恒等变换进行总结，帮助读者更好地理解与应用。
一、初识三角函数三角函数由正弦函数、余弦函数和正切函数三部分组成，分别用sin、cos和tan表示。
在直角三角形中，正弦函数表示斜边与对边之比，余弦函数表示斜边与邻边之比，正切函数表示对边与邻边之比。
以角A为例，正弦函数sin(A) = 对边/斜边，余弦函数cos(A) = 邻边/斜边，正切函数tan(A) = 对边/邻边。
三角函数的计算基于这些比例关系。
二、三角函数的计算1.计算角度关系角度可以用度数或弧度来表示。
其中，360°=2π弧度，180°=π弧度。
常用的角度关系有：a) 角度转弧度：弧度 = 图中角度× π / 180°b) 弧度转角度：角度 = 弧度× 180° / πc) 相反角：sin(-A) = -sin(A)，cos(-A) = cos(A)，tan(-A) = -tan(A)2.计算特殊角的三角函数值特殊角指180°、90°、60°、45°、30°等特定的角度。
这些角的三角函数值是固定的，掌握它们可以简化计算。
特殊角的三角函数值如下：角度 |0° |30° |45° |60° |90° |180°-------- |-------| ----------|---------------|--------------|----------|---------sin(A) | 0 | 1/2 |1/√2 |√3/2 | 1 | 0cos(A) | 1 |√3/2 |1/√2 |1/2 | 0 | -1tan(A) | 0 |√3/3 | 1 |√3 | ∞ | 03.利用三角函数计算三角形的边长和角度通过已知边长和角度，可以利用三角函数计算未知的边长和角度。
(完整word版)三角恒等变换知识总结
三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β）(1— tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-。
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角-降次，降角-升次)．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。
3.辅助角公式：sin cos4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+。
4。
简单的三角恒等变换（1)变换对象:角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质.（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式,设计变换途径. 5。
常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用,求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角:A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+； （3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =，1212a b x x y y =+，12120a b x x y y ⊥⇔+=1221//0a b x y x y ⇔-=;二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于( ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=_______________。
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《三角函数恒等变换》知识归纳与整理一、基本公式1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±)( 同名乘积的和与差S C C S S βαβαβα±=±)( 异名乘积的和与差T T T T T βαβαβα1)(±=±（2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22=S C S C C 222222112ααααα-=-=-= 差点等于1T T T2212ααα-=（3） 半角的三角函数212C Sαα-±=212C C αα+±=C C Tααα+-±=112θθθθθsin cos 1cos 1sin 2-=+=T2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差][21)()(C C C C βαβαβα-++==S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-=（2） 和差化积][222C S S S βαβαβα-+=+][222C S S S βαβαβα+-=-][222C C C C βαβαβα-+=+ ][222S S C C βαβαβα-+-=-（3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）T T S 22212ααα+=T T C 222211ααα+-=T T T 22212ααα-=（4） 辅助角公式 )sin(cos sin 22ϕ++=+x x b x a b a其中：ab =ϕtan常见的几种特殊辅助角公式：① )4sin(2cos sin π+=+x xx② )3sin(2cos 3sin π+=+x x x③)6sin(2cos sin 3π+=+x x x④ )4sin(2cos sin π-=-x x x⑤ )3sin(2cos 3sin π-=-x x x⑥ )6sin(2cos sin 3π-=-x x x二、理解证明1、两个基本公式的证明①S S C C C βαβαβα-=+)(的证明方法：在单位圆内利用两点间的距离公式证明。
计算繁杂。
在化简中注意使用“1cos sin 22=+αα”②S S C C C βαβαβα+=-)(的证明方法：在单位圆内利用向量的数量积证明。
计算简便。
运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。
或者：在单位圆内利用三角函数线证明。
构图较难。
利用三角函数线的加减、平移来代换。
2、由两角和向差的演变方法：用β-代替β，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。
3、由余弦向正弦的演变方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：)sin()])2([cos βαβαπ+=--，展开即可推导出正弦的两角的和公式。
4、由正弦和余弦推导正切方法：利用：)tan()cos()sin(βαβαβα±=±±可以推导出正切的两角和与差有的公式。
5、由两角和推导二倍角方法：把βα+换成αα+代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。
6、由余弦的二倍角推导半角方法：由余弦的二倍角公式：S C S C C 222222112ααααα-=-=-=，把α2换成α，即α换成2α，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。
然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。
另外：关于正切的另一个半角公式：θθθθθsin cos 1cos 1sin 2-=+=T可以通过：2cos2sin 2tanθθθ=来理解。
特别体会其演变过程中的转化思想：分子、分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简。
7、由两角的和与差推导积化和差方法：整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。
相加会抵消尾项，相减会抵消首项。
这与完全平方的和与差的加减类似。
)()(22b a b a -++会抵消中间项，剩下首尾项的2倍；而)()(22b a b a -+-会抵消首尾项，剩下中间项的2倍。
8、由两角的和与差推导和差化积方法：对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。
利用展开相抵原则即可得到。
关键是角度的转换问题。
只有一个角无法展开。
因此引入了一个合新的角度变换方法：把单角：α和β转换成两角的和与差：22βαβαα-++=，22βαβαβ--+=。
于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。
9、万能公式的理解方法：利用二倍角公式转换：2cos2sin2sin ααα=，然后把分母“1”巧妙利用。
12cos2sin2sin ααα=，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。
值得高度关注。
222cos2sin212cos2sin2sin cossin22ααααααα+==，然后上下再同时除以2cos2α即得。
同样利用二倍角公式转化余弦：22cos sincos 22ααα-==122sin cos22αα-再巧妙利用“1”的转化：2222cos sin sincos2222αααα+-，上下同时除以2cos 2α即得。
对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。
10、辅助角公式的理解方法：辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。
只是通过一些转换化成：αββαsin cos cos sin ±的形式而已。
对于x b x a cos sin +来说：要通过换元法来转换，这种换元法叫三角换元法（以前的换元法叫代数换元法）。
三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简化式子的作用。
分析思考过程如下：若直接换元：令cos a =ϕ，则怎样用三角函数式表示b 呢？无法完成换元过程，因此：x b x a cos sin +化不成αββαsin cos cos sin ±的形式。
若提公因式呢！假如公因式为ab ，则得：)cos 1sin 1(cos sin x a x b ab x b x a +=+，此时令b1cos =ϕ，也无法用三角函数表示出a 1，因而化不成：αββαsin cos cos sin ±的形式。
所以公因式必然与a 、b 同时有联系。
考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数a 、b 放到直角三角形中来思考：若a 、b 分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：b a22+。
这个常数b a22+显然与a 、b 都有关系。
假如公因式是b a22+，则x b x a cos sin +化为：)cos sin (cos sin 222222x bx ax b x a ba ba b a++++=+此时令ϕcos 22=+ba a（此时在直角三角形中，a 为邻边，b a 22+为斜边） 所以：ϕsin 22=+ba b（此时在直角三角形中，b 为对边，b a22+为斜边）于是x b x a cos sin +化为：)cos sin sin (cos cos sin 22x x x b x a b a ϕϕ++=+根据两角和的正弦公式得：)cos sin sin (cos cos sin 22x x x b x a b aϕϕ++=+=)sin(22ϕ++x b a在直角三角形中：ab=ϕtan （对边：邻边）当然：若令ϕsin 22=+ba a，则ϕcos 22=+ba b则于是x b x a cos sin +化为：)cos cos sin (sin cos sin 22x x x b x a b aϕϕ++=+=)(cos 22ϕ-+x b a所以：x b x a cos sin +=)(cos 22ϕ-+x b a=)(cos 22x b a-+ϕ此时：ba=ϕtan （对边：邻边） 在此推导过程中，千万注意：两种演变中的ϕ是不同的（实质上这两个ϕ角互余）。
不然就会产生以下错觉：)cos()sin(ϕϕ-=+x x 。
如果注意到两个ϕ角互余，那么就会得到：)]2(cos[)sin(ϕπϕ--=+x x下面来分析这个结论：)]2(cos[)sin(ϕπϕ--=+x x右边＝])(2cos[)]}(2[cos{]2)cos[()]2(cos[ϕπϕππϕϕπ+-=+--=-+=--x x x x由诱导公式得：=+=+-)sin(])(2cos[ϕϕπx x 左边所以结论成立。
三、实际运用1、给角求值：告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。
（1）求︒15sin 、︒cos15的值 方法1：直接用半角公式可求得：︒15sin =2232423243222312cos301-=-=-=-=︒- =426221322)13(2-=-=-︒cos15=2232423243222312cos301+=+=+=+=︒+ =426221322)13(2+=+=+ 方法2：由两角的差求得：︒︒-︒︒=︒-︒=︒30sin 45cos cos30sin45)30sin(4515sin=426424621222322-=-=⨯-⨯ 同理可得：︒︒+︒︒=︒-︒=︒30sin 45sin 30cos 45cos )30(45cos 15cos =426424621222322+=+=⨯+⨯ 方法3：用60°与45°的差角求得︒︒-︒︒=︒-︒=︒45sin 60cos cos45sin60)45sin(6015sin=426424622212223-=-=⨯-⨯ 同理可得：︒︒+︒︒=︒-︒=︒45sin 60sin 54cos 06cos )45(60cos 15cos=426464222232221+=+=⨯+⨯方法4：利用直角三角形作图计算延长CA 到D ，使AD=AB 。
则易知：∠D=15°设BC=1，则AB=2，AC=3； CD=2+3 ∴）（3242134811115sin )32(222+=+=+=+==︒+CDBC BCDBBC=426261)13(21211)3(2-=+=+⨯=⨯+ 同理可求得cos15°）（3242323483213215cos )32(222++=++=++=+==︒+CDBC CDDBCD=4264)32()26(2632+=+⨯-=++ 方法5：利用诱导公式和倍角公式求解：利用诱导公式我们知道：150cos °的值，然后利用倍角公式可求得75cos °的值，再利用诱导公式就可以求出sin15°的值。
∵150cos °=23-， ∴75cos °=2150cos 1︒+=42683242231-=-=- ∴42615sin -=︒ 同理可得：∵150sin °=21，∴75sin °=2150cos 1︒-=42683242231+=+=+∴42615cos +=︒（2）求︒15sin +︒cos15的值 方法1：分别求出︒15sin 的值：426- 和 ︒cos15的值：426+ 二者相加得：︒15sin +=︒cos15426-+426+=26462=方法2：直接利用辅助角公式计算：︒15sin +26232sin602)4515sin(2cos15=⨯=︒⨯=︒+︒=︒ 方法3：巧妙利用公式：1cos sin 22=+αα和倍角公式︒15sin +︒cos15==︒︒+=︒+︒cos15sin1521)cos15(sin152︒+30sin 1=264623211===+方法4：运用向量计算：将︒15sin +︒cos15写成：115sin ⨯︒+1cos15⨯︒ 这样可以看成两个向量的数量积。