自动控制原理-5.5-开环频率指标和闭环频率特性-(7)
自动控制原理-5.5-开环频率指标和闭环频率特性-(7)
1) 2.5( 1
s in
1)2
上式表明，高阶系统的随着的增大而减小，调节时间
随着的增大也减小，且随增大而减小。
7
3. 开环频率特性的高频段对系统性能的影响
高频段是由小时间常数的环节决定的，由于其转折频
率远离c ，所以对系统动态性能影响不大，然而从系统
抗干扰的角度看，高频段特性很有意义的。
对于单位反馈系统，开环和闭环传函的关系为
(s) G(s)
1 G(s)
由于在高频段，一般 20lgG(j) << 0，即G(j) << 1，
故有
G( j)
( j)
G( j)
1 G( j)
即闭环幅频等于开环幅频。
8
因此开环对数对频特性高频段的幅值，直接反映了 系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝值越低， 系统抗干扰能力越强。
通过以上分析，可以看出系统开环对数频率特性表 征了系统的性能。对于最小相位系统，系统的性能完全 可以由开环对数幅频特性反映出来。希望的系统开环对 数幅频特性归纳一下有以下几个方面：
9
（1）如果要求系统具有一阶或二阶无静差特性，则开环 对数幅频特性的低频段应有20dB/dec或40dB/dec的斜 率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的增益。 （2）开环对数幅频特性以20dB/dec的斜率穿越0分贝线， 且具有一定的中频段宽度，这样系统就有一定的稳定裕 度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。 （3）具有尽可能大的0分贝频率，以提高闭环系统的快 速性。 （4）为了提高系统抗干扰能力，开环对数幅频特性高频 段应有较大的负斜率。
b 1 2 2 2 4 2 4 4
c
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验第5章习题解答
第5章频率特性法频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。
频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。
频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。
2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。
频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。
各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。
开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。
3）开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。
开环对数幅频特性L(ω)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L(ω)中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。
对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。
4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH平面中的(－l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。
利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。
稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。
自动控制原理 第五章 频率特性法
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相
自动控制原理第五章
自动控制原理第五版：《自动控制原理第五版》是科学出版社出版的图书，作者是胡寿松。
本书精选了第四版中的主要内容,加强了对基本理论及其工程应用的阐述。
内容提要：本书系《自动控制原理》第五版,比较全面地阐述了自动控制的基本理论与应用。
全书共分十章,前八章着重介绍经典控制理论及应用,后两章介绍现代控制理论中的线性系统理论和最优控制理论。
书中深入浅出地介绍了自动控制的基本概念,控制系统在时域和复域中的数学模型及其结构图和信号流图;比较全面地阐述了线性控制系统的时域分析法、根轨迹法、频域分析法以及校正和设计等方法;对线性离散系统的基础理论、数学模型、稳定性及稳态误差、动态性能分析以及数字校.图书目录：第五版前言第一章自动控制的一般概念1-1 自动控制的基本原理与方式1-2 自动控制系统示例1-3 自动控制系统的分类1-4 对自动控制系统的基本要求1-5 自动控制系统的分析与设计工具习题第二章控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域数学模型2-2 控制系统的复数域数学模型2-3 控制系统的结构图与信号流图2-4 控制系统建模实例习题第三章线性系统的时域分析法3-1 系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差计算3-7 控制系统时域设计习题第四章线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析4-5 控制系统复域设计习题第五章线性系统的频域分析法5-1 频率特性5-2 典型环节与开环系统的频率特性5-3 频率域稳定判据5-4 稳定裕度5-5 闭环系统的频域性能指标5-6 控制系统频域设计习题第六章线性系统的校正方法6-1 系统的设计与校正问题6-2 常用校正装置及其特性6-3 串联校正6-4 反馈校正6-5 复合校正6-6 控制系统校正设计习题第七章线性离散系统的分析与校正7-1 离散系统的基本概念7-2 信号的采样与保持7-3 z变换理论7-4 离散系统的数学模型7-5 离散系统的稳定性与稳态误差7-6 离散系统的动态性能分析7-7 离散系统的数字校正7-8 离散控制系统设计习题第八章非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响8-3 相平面法8-4 描述函数法8-5 非线性控制的逆系统方法8-6 非线性控制系统设计习题第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观测性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计习题第十章动态系统的最优控制方法10-1 最优控制的一般概念10-2 最优控制中的变分法10-3 极小值原理及其应用10-4 线性二次型问题的最优控制10-5 动态规划10-6 控制系统优化设计习题参考文献附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换附录B 矩阵微分法附录C MATLAB辅助分析与设计法。
自动控制原理_卢京潮_利用开环频率特性分析系统的性能
5.6 利用开环频率特性分析系统的性能在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直接、准确。
因此，须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。
考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以Bode 图为基点，首先讨论开环对数幅频特性)(ωL 的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。
实际系统的开环对数幅频特性)(ωL 一般都符合如图5-49所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。
将)(ωL 人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。
低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指穿越频率（或截止频率）c ω附近的频段；高频段指频率远大于c ω的频段。
这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息，需要分别进行讨论。
需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。
一般控制系统的频段范围在Hz 100~01.0之间。
这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。
5.6.1 )(ωL 低频渐近线与系统稳态误差的关系系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。
因此，)(ωL 低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。
根据)(ωL 低图5-49 对数频率特性三频段的划分频段可以确定系统型别υ和开环增益K ，利用第3章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。
5.6.2 )(ωL 中频段特性与系统动态性能的关系开环对数幅频特性的中频段是指穿越（或截止）频率c ω附近的频段。
设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-50（a ）所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为dec dB /20-，相角 90)(-=ωϕ，因而相角裕度 90=γ；图5-50（b ）的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为dec dB /40-，相角 180)(-=ωϕ，因而相角裕度 0=γ。
自动控制原理
ω = +∞ (1, j 0) ω = ∞
奈氏曲线顺时针包围 (-1,j0)点2圈，即 N=－2 所以有： Z=P－N=2
仿真
即闭环系统在s右半平面有2个极点，所以系统不稳定。
5.4.3 虚轴上有开环极点时的奈氏判据
如下列图所示的奈氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些 是不稳定的。
Im
Im
Im
1
ω = +∞ 0
1.6 ∞
奈氏曲线顺时针包围 (-1,j0)点2圈，即 N=－2 所以有：
(1, j 0)
ω = 0+
仿真
Z=P－N=2
即闭环系统在s右半平面有2个极点，所以系统不稳定。
5.4.3 虚轴上有开环极点时的奈氏判据
对于如下形式的开环传递函数 K G(s)H(s) = s(Ts +1)(T2s +1) 1 其奈氏图与实轴交点为 此时的 ω =
5.4.3 虚轴上有开环极点时的奈氏判据
虚轴上有开环极点时的奈氏判据
jω
由于不能通过F(s)的任何零、极点，所 以当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴 （包括原点）上时，则以这些点为圆 心，作半径ε为无穷小的半圆，按逆时 针方向从右侧绕过这些点。 F ( s ) 的极点 因此，F(s)的位于s平面右半部的零点 和极点均被新奈氏回线包围在内。而将 位于坐标原点处的开环极点划到了复平 面的左半部。 这样处理满足了奈氏判据的要求（应用 奈氏判据时必须首先明确位于s平面右 半部和左半部的开环极点的数目）。
2ω + ω + 0.5ω 2ω ω 0.5ω = 0
ω = 1.87
此时
A(ω) = 0.44
可以判断出交点在点(-1,j0) 的右侧
自动控制原理-频率特性与系统性能的关系
A(ω)= ω
1
ω 2ζωn
第四节 频率特性与系统性能的关系
二阶系统的开环对数频率特性曲线
时域法中：
L(ω)/dB
σ%—系统的平稳性
-20dB/dec
ts —系统的快速性
0
ωc
Φ(ω)
2ξ ωn
ω
频域法中：
0
-40dB/dec
ω
ωc
-90
—系统的快速性 -180
第五章 频率特性法
第五节 频率特性与系统性能的关系
频率特性法是通过系统的开环频 率特性和闭环频率特性的频域性能指 标间接地表征系统瞬态响应的性能。
一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系
第四节 频率特性与系统性能的关系
一 、开环频率特性与系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高 三个频段。
第四节 频率特性与系统性能的关系
（2）中频段的斜率与动态性能的关系 频段较Φ设(宽s系)=，统1可+G中G(近频s()s似)段=认斜1+为率ωSωS整2c为22c2个-=4曲0Sd2ω+线Bωc/2是dce2 c一，条且斜中 率为-40系dB统/d处ec的于直临线界。稳定状态。
开环传递函数：
L(ω)/dB
2. 中频段
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它 反映了系统动态响应的平稳性和快速性。
（1）穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统中频段斜率为20dB/dec且中频
段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲 线是一条斜率为-20dB/dec的直线。
第四节 频率特性与系统性能的关系
中频段对数幅频特性曲线
开环传递函数：
G解对(设 ωj：tωt应g性1g：)-的(-1=11ωω的的ωω)变ωcjω3c2曲频关ω--3c化tt(g线=率系g1ω-ω范K-+111如3特。3jc(21围=ω==ω性图+73110j2ω8):ω～o(o12ω+) j2ωω,0可3L-)2(求ω0ωd)B1得//dd-ω4Be0:c2dBω/d-4ec0cdBω/d3ec ω
自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法
5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处
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1) 2.5( 1
s in
1)2
上式表明，高阶系统的随着的增大而减小，调节时间
随着的增大也减小，且随增大而减小。
7
3. 开环频率特性的高频段对系统性能的影响
高频段是由小时间常数的环节决定的，由于其转折频
率远离c ，所以对系统动态性能影响不大，然而从系统
抗干扰的角度看，高频段特性很有意义的。
Mr
10
10.8 1.0
② Mr 、 b 与ts 的关系
M (b )
2 n
0.707
(n2 b2 )2 4(nb )2
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
3
ts n
b
ts
3
1 2 2
40dB/dec
N=2
1
2. 系统的暂态性能和开环频率特性的关系 1) 二阶系统 典型二阶系统的结构图如图示
开环传递函数为
G(s)
n2
s(s 2n )
R(s)
+﹣
C(s) G(s)
① 与p%之间的关系
G( j)
n2
j( j 2n )
由A(c) =1，计算开环截止频率c有
10
3.7.2 用闭环频率特性分析系统的动态性能
1. 二阶系统
其闭环传函为
(s)
s2
2 n
2
n
s
2 n
其闭环频率特性为
(
j )
(
2 n
n2 2)
j2n
① Mr与p%的关系
M()
2 n
(
2 n
2
)2
4(n
)2
d M() 0
d
r
两者基本上是一致的。
5
L()/dB
G(s)
7
s(0.087s 1)
20
20dB/dec
10 11.5
0
1
20
40dB/dec
()/()
0
90
180
6
2) 高阶系统
近似的关系式
p
0.16 0.4( 1
s in
1)
ts
k1 c
k1
2 1.5( 1
G(s)
7
s(0.087s 1)
试用相角裕度估算过渡过程指标p% 与ts。
解：系统开环伯德图如图所示
由图可得， c =7， = 58.7 根据 = 58.7 ，可得 = 0.592，则
p % = 9.95% ts = 0.52(s)
直接求解系统，得 = 0.64
p% = 7.3% ts = 0.522(s)
B 1
r 来计算Mr ，并且 较 1+G(jc)
小，可近似认为
0
G(jc)
AB=∣1+G(jc)∣
c A
于是有
Mr
G( jc ) 1 G( jc )
G( jc )
通过以上分析，可以看出系统开环对数频率特性表 征了系统的性能。对于最小相位系统，系统的性能完全 可以由开环对数幅频特性反映出来。希望的系统开环对 数幅频特性归纳一下有以下几个方面：
9
（1）如果要求系统具有一阶或二阶无静差特性，则开环 对数幅频特性的低频段应有20dB/dec或40dB/dec的斜 率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的增益。 （2）开环对数幅频特性以20dB/dec的斜率穿越0分贝线， 且具有一定的中频段宽度，这样系统就有一定的稳定裕 度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。 （3）具有尽可能大的0分贝频率，以提高闭环系统的快 速性。 （4）为了提高系统抗干扰能力，开环对数幅频特性高频 段应有较大的负斜率。
r n 1 2 2
11
1
Mr
2
1 2
当 > 0.707时，不存在谐振峰值，幅频特殊性单调
衰减；当 < 0.707时，Mr 越小，系统阻尼性能越好
越大， p%越小M。r
()
p% 8
70
100 7 80 6
60
50
60 5
40
40 4 20 3
p
30 20
02
n2
1
c c2 (2n )2
c n
1 4 4 2 2
2
则相角裕度 为
()
= 180 + (c)
p%
100
=180 90 arctan(c/2n ) 80
2
60
arctan
2 2 1 4 4
40
20
在时域分析中，知
5.7 频率特性分析
5.7.1 用开环频率特性分析系统的性能 1. 系统稳态误差和开环频率特性的关系
系统开环传递函数中的积分环节的数目（系统类型） 确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近 线的高度，则决定于开环系数的大小。所以，稳态误差由 开环对数幅频特性的低频渐近线确定。
N=０
20dB/dec N=1
2 4 2 4 4
13
2. 高阶系统
M p 0.16 0.4(Mr 1)
ts
k1 c
k1 2 1.5(Mr 1) 2.5(Mr 1)2
14
5. 7 . 3 开环频域指标与闭环频域指标的关系
1. 与Mr 的关系
一般， Mr出现在c 附近，就是说用c 代替
ts c
在时域分析中，知
12
3
10
ts n
8 6
c
ts
3
1 4 4 2 2
4 2
6
tan
0
0 20 40 60 80
可以看出，调节时间与相角裕度和幅值穿越频率都有 关系。如果两个二阶系统的相同，则它们的超调量也相同， 这时比较大的系统，调节时间较短。
4
例5-19 一单位反馈控制系统，其开环传递函数
对于单位反馈系统，开环和闭环传函的关系为
(s) G(s)
1 G(s)
由于在高频段，一般 20lgG(j) << 0，即G(j) << 1，
故有
G( j)
( j)
G( j)
1 G( j)
即闭环幅频等于开环幅频。
8
因此开环对数对频特性高频段的幅值，直接反映了 系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝值越低， 系统抗干扰能力越强。
0
70
60
50
40
p
30 20
10
p e 1 2 100%
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
由图明显看出， 越大， p%越小； 越小， p%
越大。为使二阶系统不致于振荡太厉害以及调节时间太
长，一般希望
30 70
3
② 、c与ts 之间的关系