【湖南师大内部资料】高中数学精美可编辑课件：(椭圆(1))
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湘教版高中数学选修2-1课件2.1.2椭圆的几何性质(1)
作业：
3、P为椭圆
x2 y2
43
1上任意一点，F1、F2是焦
点， 求∠F1PF2的最大值.
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2 (a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
4 5
2.1.1椭圆的定义与标准方程_课件-湘教版数学选修1-1
1．△ABC的三边a＞b＞c且成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1，0)、 (1，0)，求顶点B的轨迹方程．
解 设 B(x，y)，因为 a，b，c 成等差数列， 所以 a＋c＝2b＝4， 即|BA|＋|BC|＝4，且 4＞2， 故点 B 应在椭圆x42＋y32＝1 上． 又 a＞c，即 （x－1）2＋y2＞ （x＋1）2＋y2， 所以 x＜0. 当 x＝－2 时，B、A、C 共线，故排除， 所以顶点 B 的轨迹方程为x42＋y32＝1(－2＜x＜0)．
2．如何判断两共焦点的椭 相同，由 c2＝a2－b2，知共焦点的椭圆， 形状可不同，方程形式上有关联．与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)共焦点 的椭圆方程可设为a2x＋2 k＋b2y＋2 k＝1(k>－b2)，此类问题常用待定系 数法求解．
预习测评
a2＝75，b2＝25.
答案 C
3．已知椭圆的方程为x82＋my22＝1，焦点在 x 轴上，则其焦距为 ________．
解析 由于焦点在 x 轴，故 a2＝8，b2＝m2，由 c＝ a2－b2， 可得 2c＝2 8－m2.
答案 2 8－m2
4．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝________.
3．椭圆的方程中，a，b，c 三者之中 a 最大，且满 足 a2＝b2＋c2 ． 4．如图所示，在△OF2B 中，|OF2|＝c，|OB|＝b，则|BF2|＝a．
自主探究 1．椭圆的两种标准方程，能否合为一种一般情势？
提示 椭圆的两种标准方程都是关于 x2，y2 的二元二次方程， 当焦点在 x 轴时，标准方程为ax22＋by22＝1，当焦点在 y 轴时，标准 方程为：ay22＋bx22＝1，其中的 a＞b＞0，若焦点位置不能确定时， 可将方程设为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)或xm2＋yn2＝1(m＞0， n＞0，m≠n)都可以．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆的定义和标准方程课件湘教选修1_1
解：因为 2a=6
2c= 2 5
所以 a=3
c= 5
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
b2 a2 c2 9 5 4
b2 a2 c2 9 5 4
焦点在X轴的椭圆标准方程为 焦点在Y轴的椭圆标准方程为
(a>0)
(c>0)
(b>0)
Y
Y
M
F2
M
F1
解：
o
F2
X
令F1(-c,0)，F2 (c,0) |F1F2|=2c 常数=2a
(c>0) (a>0)
o X
解： F1
令F1(0，-c), F2 (0，c) | F1F2|=2c (c>0) 常数=2a (a>0)
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
SABF1
1 5 3 4 X 16
2
课 堂 小 结
1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2)
焦距为： 4 2
2 . 已知椭圆的焦点为 F1 (-3，0) ，F2 (3，0)，
椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，求椭圆的
标准方程。
解： 因为 F1(3, 0), F2 (3, 0)
Y
M
所以焦点在X轴上，c=3
设椭圆标准方程为
Y
解
1 SABF1 = 2 AF1 OB
B
=
1 2
高中数学 2.1.1椭圆的定义与标准方程(一)课件 湘教版选修11
第二十一页，共27页。
(4)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n＞0 且 m≠n)，
由94m＋245n＝1，得 3m＋5n＝1，
m＝16，n＝110，
所以，椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
第二十二页，共27页。
题型三 椭圆标准方程的应用 【例 3】 方程2mx－2 1＋3－y22m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 求 m 的取值范围． 解 由题意得 3－2m>2m－1>0， 即23m－－2m1>>20， m－1，解得12<m<1. 点评 判断椭圆焦点在 x 轴，y 轴的依据是标准方程中的 x2， y2 对应的分母，焦点在分母大的对应轴上．
第二页，共27页。
自主探究 1．椭圆的定义中为何要使“常数大于|F1F2|”？若改为等
于|F1F2|或小于|F1F2|，点的轨迹是什么？ 提示 若缺少了“常数大于|F1F2|”这一条件，点的轨迹不 一定是椭圆．当距离(jùlí)之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线 段F1F2，当距离(jùlí)之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
（ （－a322a）2 23＋）（2＋－bb1222＝）12＝ ，1，解得ab22＝ ＝155. ， 所以椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
第十六页，共27页。
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 根据题意有（ a12＋－a（22 ）－22＋b2 （3）b232＝）12，＝1，解得ab22＝ ＝51， 5. 因为 a＜b，所以方程无解．综上①②知，所求椭圆的标准方 程为1x52 ＋y52＝1.
第二十七页，共27页。
(1)大前提是在平面上． (2)必须是到两定点距离的和． (3)常数与|F1F2|的关系．当常数与|F1F2|相等时，轨迹为线 段F1F2，当常数小于|F1F2|时，轨迹不存在，只有当常数大于
(4)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n＞0 且 m≠n)，
由94m＋245n＝1，得 3m＋5n＝1，
m＝16，n＝110，
所以，椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
第二十二页，共27页。
题型三 椭圆标准方程的应用 【例 3】 方程2mx－2 1＋3－y22m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 求 m 的取值范围． 解 由题意得 3－2m>2m－1>0， 即23m－－2m1>>20， m－1，解得12<m<1. 点评 判断椭圆焦点在 x 轴，y 轴的依据是标准方程中的 x2， y2 对应的分母，焦点在分母大的对应轴上．
第二页，共27页。
自主探究 1．椭圆的定义中为何要使“常数大于|F1F2|”？若改为等
于|F1F2|或小于|F1F2|，点的轨迹是什么？ 提示 若缺少了“常数大于|F1F2|”这一条件，点的轨迹不 一定是椭圆．当距离(jùlí)之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线 段F1F2，当距离(jùlí)之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
（ （－a322a）2 23＋）（2＋－bb1222＝）12＝ ，1，解得ab22＝ ＝155. ， 所以椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
第十六页，共27页。
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 根据题意有（ a12＋－a（22 ）－22＋b2 （3）b232＝）12，＝1，解得ab22＝ ＝51， 5. 因为 a＜b，所以方程无解．综上①②知，所求椭圆的标准方 程为1x52 ＋y52＝1.
第二十七页，共27页。
(1)大前提是在平面上． (2)必须是到两定点距离的和． (3)常数与|F1F2|的关系．当常数与|F1F2|相等时，轨迹为线 段F1F2，当常数小于|F1F2|时，轨迹不存在，只有当常数大于
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程
变式训练1
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a+c=10,a-c=4;
(2)焦点在x轴上,焦距为4,且椭圆过点(0,2);
(3)经过(-2,0),( √2 ,-1)两点.
解 (1)∵a+c=10,a-c=4,
∴a=7,c=3,
∴b2=a2-c2=72-32=40.
2
∴所求椭圆的标准方程为
49
2
+ =1
40
2
或
49
2
+ =1.
40
(2)根据题意,要求椭圆的焦点在 x 轴上,焦距为 4,则 c=2.
又椭圆过点(0,2),∴b=2,则有 a =b +c
2
2
2
=8,故椭圆的标准方程为
8
2
(3)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n),
4 = 1,
由
解得
2 + = 1,
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
2
故动圆圆心的轨迹方程为
25
2
+ =1.
16
变式探究
本例题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.
圆的条件是 m>n>0,其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n>m>0.
(2)若给出椭圆方程 Ax2+By2=C,则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形
高中数学椭圆的简单几何性质(共16张PPT)公开课ppt课件
半轴长
长半轴长为a,短半轴
长为b. a>b
离心率
e c a
a、b、c的关系 a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半
轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
例1.已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 ,短轴长是： 6 ,
焦距是： 8
,离心率= 4 ,
5
焦点坐标是： (0, 4) ,顶点坐标是：(5, 0)0,,3
外切矩形的面积等于：
60
。
练1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐 标和离心率.
A1
F1
bocΒιβλιοθήκη aA2F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？，说明椭圆与 x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、 A1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 (-a，0)F1 和短轴。
（1）x2+9y2=81
(2) 25x2+9y2=225
(3)16x2+y2=25
(4) 4x2+5y2=1
练2.已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 的离心率 e 3 ,
湘教版 椭圆的定义和标准方程优秀课件
x a
2 2
y2 1 2 b
2 2
(a b 0 )
2 2 2 2
c a b
2 2
b a c 5 3 1 6
x2 y2 1 25 16
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故所求椭圆的标准方程为：
3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6， 两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标 准方程。
a =5 ,b =4
c a b 1 c 1 2c 2
2 2 2
2
2
a 1 6 ,b 8
2 2
c2 a2 b2 1 688 c 2 2
( 1 ,0 ) ,F ( 1 ,0 ) 焦点为：F 1 2 焦点为： F ( 0 , 22 ) , F ( 0 , 22 ) 1 2 焦距为： 2 焦距为： 4 2
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
|MF1|+|MF2|= 2a (a>0)
2 2 2 2 ( x + c )+ y + ( x c )+ y = 2 a
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
2 2 2 2 x + ( y + c )+ x + ( y c )= 2 a
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
ba ck ne
解 ： 因为 5 4
1.求下列椭圆的焦点和焦距。 x2 y2 2 2 (1) 1 ( 2 ) 2 x y 1 6 5 4 y2 x2
16 8 1
例题
所以焦点在X轴上
2.1.2椭圆的简单几何性质_课件-湘教版数学选修1-1
于是a＝5，b＝4，c＝ 25－16＝3.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，
离心率e＝
c a
＝
3 5
，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，
0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
点评 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准情势，然后根据方程 判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何 性质．
①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共 点；
当m＝－ 5 或m＝ 5 时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数
根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共 点；
当m<－ 5或m> 5时，Δ<0，方程③没有实数根，直线与椭
圆没有公共点．
点评 (1)直线与椭圆公共点个数的判断方法为：联立直线与 椭圆方程，消去方程组中的y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方
2b2 r1r2
－1≥
（r12＋2b2r2）2－1＝2ab22－1(当且仅当r1＝r2时取“＝”号)．
由此可知当P点为短轴的端点时θ角最大，设∠F1PF2的最大
角为θ0，当θ0<90°时，椭圆上不存在点P使得∠F1PF2＝90°；当
θ0＝90°，椭圆上存在两个点使得∠F1PF2＝90°；当θ0>90°
2c
对称轴 x轴y轴 ，对称中心原点 e＝ac(0＜e＜1)
自主探究 1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示
可以，由于e＝ac，又c＝ a2－b2，
故e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22.
2.
如图所示，椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线 段或量？ 提示 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
【湖南师大内部资料】高中数学必修Ⅰ精美可编辑课件 (1.1 空间几何体的结构(6课时))
知识探究（二）：圆柱的结构特征 思考1：如图所示的空间几何体叫做圆 柱，那么圆柱是怎样形成的呢？
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其 余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
思考2：在圆柱的形成中，旋转轴叫做圆柱的轴， 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面， 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面， 平行于轴的边在旋转中的任何位置叫做圆柱侧面 的母线. 你能结合图形正确理解这些概念吗？
思考3：经过圆锥任意两条母线的截面是 什么图形？
思考4：经过圆锥的轴的截面称为轴截面， 你能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征 吗？
知识探究（四）：圆台的结构特征
思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆 台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成？
思考2:与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、 底面、侧面、母线，它们的含义分别如 何？
旋转体
思考6：一般地，怎样定义多面体？围
成多面体的各个多边形，相邻两个多边
形的公共边，以及这些公共边的公共顶
点分别叫什么名称？
面
顶点
由若干个平面
棱
多边形围成的
几何体叫做多
面体 .
思考7：一般地，怎样定义旋转体？
轴
由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体
知识探究（二）：棱柱的结构特征
NBA
思考2:从旋转的角度分析，球是由什么 图形绕哪条直线旋转而成的？
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆 面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简 称球.
思考3:半圆的圆心、半径、直径，在球 体中分别叫做球的球心、球的半径、球 的直径，球的外表面叫做球面.那么球的 半径还可怎样理解？
球面上的点到 球心的距离
【湖南师大内部资料】高中数学精美可编辑课件：(椭圆(2))
•概念辨 析
•M
•F1
•F2
•动点M的轨迹：•线段F1F2 .
•动点M的轨迹：•不存在.
•概念辨
析
•用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
•(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为
6的点的轨迹.
•是
•(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为
4的点的轨迹.
•不是
•(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为 3的点的轨迹.
•(1)a = 4 , b = 1, 焦点在x轴上.
•(2)a = 4 , c = ,焦点在y轴上.
•(3)a + b = 10 , c = .
•典例讲 评
•例2 0），（2，0），并且经过点
，求它的标准方程.
•形成结 论
求椭圆方程的方法和步骤：
•①根据题意，设出标准方程；
•（根据焦点的位置设出标准方程）
•②根据条件确定a,b的值； •③写出椭圆的方程.
•课堂小 结
•（1）椭圆的定义： •（2）标准方程的两种形式：
（3）求椭圆方程.
•当焦点在x轴上时：
•当焦点在y轴上时：
•概念辨 析
•判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上 ，并指明a2、b2，写出焦点坐标.
•答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0）
•答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5）
•答:在y 轴上(0,-1)和(0,1)
•典例讲 评
•例1 写出适合下列条件的椭圆的标准
•
方程.
•M
•点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
•与F1和F2的距离的和等于正 •常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .