解三角形章节复习

解 如图所示，某人在 C 处， AB 为塔高， 他沿 CD 前进 ,CD＝ 40，此时∠ DBF＝ 45° ， 过点 B 作 BE⊥ CD 于 E，则∠ AEB＝ 30° ， 在△ BCD 中， CD＝ 40，∠ BCD＝ 30° ， ∠ DBC＝ 135° ， CD BD 由正弦定理，得 ＝ ， sin∠ DBC sin∠ BCD 40sin 30° ∴ BD＝ ＝ 20 2.∠ BDE＝ 180° － 135° － 30° ＝ 15° . sin 135° 在 Rt△ BED 中， 6－ 2 BE＝ DBsin 15° ＝ 20 2× ＝ 10( 3－ 1)． 4 在 Rt△ ABE 中， ∠ AEB＝ 30° ， 10 ∴ AB＝ BEtan 30° ＝ (3－ 3)(米 )． 3 10 故所求的塔高为 (3－ 3)米． 3
规律总结：(1)根据所给等式的结 构特点利用余弦定理将角化边进 行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论， 同时还要注意整体思想、方程思 想在解题过程中的运用．
题型二 正、余弦定理的综合应用 例 2 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c. π (1)若 c＝2，C＝ ，且△ABC 的面积为 3，求 a，b 的值； 3 (2)若 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC 的形状．
例 1 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边， cos B b 且 ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
思维启迪
cos B b 由cos C＝－ ， 2a＋c
利用余弦定理转化为边的关系求解．
解
a2＋c2－b2 (1)由余弦定理知：cos B＝ ， 2ac
变式训练 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， 且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求 A 的大小； (2)若 sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状．
思维启迪
(1)正弦定理 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B,c＝2Rsin C 将
思维启迪 由于 AB＝5， ∠ADB＝45° ， 因此要求 BD， 可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中， AB ＝ 5 ， AC ＝ 9 ， ∠ACB ＝ 30° ，因此可用正弦定理求出 sin∠ABC，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即可．
53＋ 3· sin 45° ＝ sin 105° 53＋ 3· sin 45° ＝ sin 45° cos 60° ＋cos 45° sin 60° 5 3 3＋ 1 ＝ ＝10 3(海里)． 3＋ 1 2
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30° ＋(90° －60° )＝60° ， BC＝20 3海里， 在△DBC 中，由余弦定理得
解
在 △ ABC 中， AB＝ 5， AC＝ 9， ∠ BCA＝ 30° . AB AC 由正弦定理，得 ＝ ， sin∠ BCA sin∠ ABC AC· sin∠BCA 9sin 30° 9 sin∠ ABC＝ ＝ ＝ . AB 5 10 ∵ AD∥ BC，∴∠BAD＝ 180° －∠ ABC， 9 于是 sin∠ BAD＝ sin∠ ABC＝ . 10 9 同理，在△ ABD 中， AB＝ 5， sin∠BAD＝ ， 10 AB BD ∠ ADB＝ 45° ，由正弦定理： ＝ ， sin∠ BDA sin∠ BAD 9 2 9 2 解得 BD＝ .故 BD 的长为 . 2 2 规律总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形
（2）第一课时主要是闯关训练，同时完成例1和变式训练，比较顺 利；
（3）第二课时完成例2、例3及其变式训练，时间刚好。其中3班龚 凯峰提出例1的第(1)问 还可以用正弦定理，正好印证了两大定理各展所长，各有利弊，王 洋提出例3可以过D作AC的平行线，从而在三角形BDE中直接用正 弦定理可以求出BD的长； （4)第三课时讲了例4、例5及例4的变式训练，重点是引导启发学 生画出示意图，将实际问题能很快转化为解三角形的问题，例5后 面的变式训练未进行。
a2＋b2－c2 cos B b cos C ＝ .将上式代入 ＝－ 得： 2ab cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b ·2 ＝－ ， 2 2 2ac a ＋b －c 2a＋c 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3 2 (2)将 b＝ 13， a＋ c＝ 4， B＝ π 代入 b2＝ a2＋ c2－ 3 2accos B，得 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 1 ∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝3. 1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ . 2 4
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105° －60° ＝45° ， 在△A1B2B1 中，由余弦定理， B1B22＝A1B12＋A1B22－2A1B1· A1B2· cos 45° 2 ＝20 ＋(10 2) －2×20×10 2× ＝200. 2
2 2
∴B1B2＝10 2. 因此，乙船的速度的大小为 10 2 20 ×60＝30 2(海里/小时)． 即乙船每小时航行 30 2海里．
解析：
如图所示，连结
A 1 B 2，
由已知 A 2 B 2 ＝ 10 2 ，
20 A 1 A 2 ＝ 30 2 × ＝ 10 2 ， ∴ A 1 A 2＝ A 2 B 2 ， 60
又 ∠ A 1 A 2 B 2 ＝ 180° － 120° ＝ 60° ， ∴△ A 1 A 2 B 2 是等边三角形， ∴ A 1 B 2 ＝ A 1 A 2 ＝ 10 2 ，
规律总结
布置作业：
1、课本P64总复习参考题 2、练习册第二章测试题
（1）章节复习计划用两课时，实际上用了三课时，原来采用的是 让学生自己归纳总结本章的知识内容和数学思想方法，由于本章只 有两个定理，设计的公式不多，故采用让学生闯关的方法来回顾主 要的数学知识和方法，然后和学生一起探讨例题和变式训练，最后 由学生完成，训练学生的动手能力；
章节复习(三课时）
知识梳理
[难点正本 疑点清源] 解三角形时，三角形解的个数的判断 在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角 或直角
图形
关系式 a＝bsin A 解的个 数 一解
bsin A <a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
题型一
利用正、余弦定理求解三角形
解
π (1)∵c＝2，C＝3，
∴由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C 得 a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC 的面积为 3， 1 ∴2absin C＝ 3，ab＝4.
a2＋b2－ab＝4， 联立方程组 ab＝4，
解得 a＝2，b＝2.
(2)由 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A， 得 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即 2sin Bcos A＝2sin Acos A， ∴cos A· (sin A－sin B)＝0， ∴cos A ＝0 或 sin A－sin B＝0， 当 cos A＝0 时，∵0<A<π， π ∴A＝ ，△ABC 为直角三角形； 2 当 sin A－sin B＝0 时，得 sin B＝sin A，由正弦定理得 a＝b，即 △ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
规律总结：在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的 思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定 理即可求角．
题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 例 3 如图所示，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，AB＝5，AC＝9， ∠BCA＝30° ，∠ADB＝45° ， 求 BD 的长．
• 例5(2010·陕西卷)如图，A，B是海面上位 于东西方向相距5(3＋ 3 )海里的两个观测 点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西 60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位 于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30海里/时，该救援船到达D点需要多长时 间？
题型4 正余弦定理在实际生活中的应用
变式训练 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后，望见塔 在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30° ，求塔高．
思维启迪 依题意画图，某人在 C 处，AB 为塔
高，他沿 CD 前进，CD＝40 米，此时∠DBF＝ 45° ，从 C 到 D 沿途测塔的仰角，只有 B 到测 试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为 AB tan∠AEB＝BE，AB 为定值，BE 最小时，仰角 最大．要求出塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，需先求 BD(或 BC)．
角化为边． (2)利用正弦定理将边化为角表示．
解 (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 1 故 cos A＝－2，又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . ①
(2)由①得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 3 ∴ ＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C， 4 又 sin B＋sin C＝1， 1 ∴sin Bsin C＝ . 4 1 解②③联立的方程组，得 sin B＝sin C＝ . 2 因为 0° <B<60° ，0° <C<60° ，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形 3)海里， ∠DBA＝90° －60° ＝30° ，∠DAB＝90° －45° ＝45° ， ∴∠ADB＝180° －(45° ＋30° )＝105° . DB AB 在△DAB 中，由正弦定理得 ＝ ， sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB ∴DB＝ sin∠ADB