运筹学课件 06对偶理论和灵敏度分析

1 第三张表： B 4 0
0 1 0
2 0 ， 4
1 0 B -1 4 1 0 0
1 - 2 2 1 4
1 3 c3 C B B 1 P3 0 2 0 3 4 2 0





是(D)的

Y 由于Y b C B B 1b C X ，根据性质 4 ， 的最优解。
是 (D)
6、 互补松弛定理
Y 分别为(P) 和(D) 的可行解，则它们为(P)和(D) 设X 、

的最优解的充分必要条件是：Y X S 0 和YS X 0 。其中， XS，YS 为(P)、(D)标准型问题中的松弛变量和剩余变量。 证：设(P)和(D)的标准型是： max z CX min Yb (P) AX X S b (D) YA YS C
例3 试求下述线性规划问题的对偶问题 min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
x1 x2 3 x3 x4 5 2 x1 2 x 3 x4 4 x 2 x 3 x4 6 x1 0 ; x2 , x3 0 ; x4无约束
解：设对偶变量为y1,y2,y3,对偶问题模型为：
1 0
0 1
C N CB B 1 N B 1 N
- CB B 1 B 1
- CB B -1b -1 B b
方程组中，非基变量为 0，基变量系数矩阵为单 位矩阵，故 XB=B-1b
z C B B 1 b P'j B 1 Pj
1 1 B B 可知，XS 的系数总对应 ；已知 ，就能求出
j c j C B B 1 Pj c j C B P'j
整个表。
如例1 的初始表和第三张表
cj CB 0 0 0 -z
CB 2 0 3 cj XB x1 x4 x2 -z
2 b 8 16 12 0
b 2 8 3 -13
3 x2 2 0 [4] 3
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
第二章 对偶理论和灵敏度分析
§ 1 单纯形法的矩阵描述
本节重点： 单纯形表各部分的数量关系
用矩阵描述单纯形法的每一次迭代、每一张单纯形 表， 能更深刻地理解单纯形法。 本节只考虑下列问题：
max z CX AX b s .t . X 0
标准型为：
max z CX AX X s b s .t . X， X s 0
此方程组的系数增广矩阵为：
1 0
0 1
C N CB B 1 N B 1 N
- CB B 1 B 1
- CB B -1b -1 B b -1
1 0
C CB B 1 A B 1 A
- CB B 1 B 1
- CB B -1b -1 B b
min y1b1 y2b2 y m bm a11 a12 a1n （D）( y1 , y2 , ym ) am1 am2 amn y1 , y2 , , ym 0 ( c , c , , c ) 1 2 n
(P)有 m 个约束 n 个变量，(D)有 m 个变量 n 个约束，(D) 的一个变量对应(P)的一个约束，反之亦然。 例如： max z 2 x1 3 x2 min 8 y1 16 y2 12 y3 x1 2 x2 8 y1 s .t . y1 4 y2 2 16 y2 (D) (P) 4 x1 2 y1 4 y3 3 4 x2 12 y3 y1 , y2 , y3 0 x1 , x2 0 系数： 8 1 16 4 12 0 2 2 0 4 3 转 翻 8 1 2 16 12 4 0 0 4
Z=CB（ B-1 b－ B-1 NXN－ B-1 XS）+CNXN+0XS = CB B-1 b+ （CN－CB B-1 N）XN－ CB B-1 XS
此方程组的系数增广矩阵为：
-Z
XB
XN
XS
右端
即方程组为：-Z+(C－CBB-1A)X－CBB-1XS=-CBB b B-1AX+B-1XS=B-1 b
注意： B 的列顺序 和 XB 的下标顺序 相同。
CBB-1 称为单 纯形乘子向量。
§ 2 改进单纯形法
单纯形法中，除换入变量外，非基变量系数列的迭 代运算是多余的。为了减少计算量和存储量，产生了改 进单纯形法。当 m<<n 时这种改进的效果明显。
§3 对偶问题的提出
第一章例1 某工厂，已知数据同前。若工厂决策者准备将所 有资源出租或转让，问应该如何定价？ 设出租单位设备台时的租金和出让单位原材料 A 、 B 的附 加费为y1、y2、y3。
Y 分别是(P)和(D)的最优解，由性 必要性：若 X ， 质 4 可知


C X Y b


于是
Y A X YS X Y A X Y X S






又由于

Y ，X S 0 ， Y S， X ，



所以必有 YS X 0 ，Y X S 0 意义：
Y X S 0 x si yi 0




(反之亦然)
5、 对偶定理 若(P)有最优解，则(D)也有最优解，且目标函数最 优值相等。 证：设 X 是(P)的最优解，它对应的基矩阵是 B， 这时必有
C C B B A 0 ， z C X C B B 1b
1


Y 设 Y C B B 1 ，则Y A C , Y 0 ，说明 可行解,
Y 0 X 0
2、 弱对偶性 Y ，有 对于 (P) 的任一可行解 X 和 (D) 的任一可行解 C X Yb 。 证： 由于Y A C ，X 0 有 Y AX C X A X b , Y 0 ，所以 Y b Y A X C X 。 又
3、 无界性 若(P)为无界解，则(D)无可行解。 证： (P) 为无界解意味着 C X 无界。若 (D) 有可行 解Y ，则由弱对偶性，C X Y b ，矛盾。 注意：(D)无可行解，(P)不一定为无界解。 此性质还说明： (P)有可行解，(D)不一定有 可行解。
Max w=5y1+4y2+6y3
y1 +2y2 y1 -3y1 +2y2 +y3 y1 - y2 +y3 ≥2 + y3 ≤3 ≤-5
=1 y1≥0, y2≤0, y3无约束
4．1 对偶问题的基本性质 1． 对称性 原问题和对偶问题的概念是相对的。可以是 min Yb max z CX YA C AX b (P) (D)
0 x3 1 -4 0 -2
0 x4 0 1 0 0
0 x4 0 0 x5 -1/2 [2] 1/4 1/4
XB x3 x4 x5
x1 1 4 0 2
2 x1 1 0 0 0
cj CB 0 0 0 -z XB x3 x4 x5 b 8 16 12 0
2 x1 1 4 0 2
3 x2 2 0 [4] 3
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0
CB 2 0 3
cj XB x1 x4 x2 -z
2 b 2 8 3 -13 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 -4 0 -2
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -1/2 [2] 1/4 1/4
1 0 1 B b 4 1 0 0 1 0 B 1 P2 4 1 0 0
1 - 2 8 2 2 16 8 1 12 3 4 1 - 2 2 0 2 0 0 1 4 1 4
Max Z= CBXB+CNXN+0XS (()) BXB+NXN+IXS=b XB,XN,XS≥0 (1) (2)
XB=B-1 b－ B-1 NXN－ B-1 XS,
代入（0）式，有
Z=CB（ B-1 b－ B-1 NXN－ B-1 XS）+CNXN+0XS = CB B-1 b+ （CN－CB B-1 N）XN－ CB B-1 XS
展开式如下：
Max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 （P） am1 x1 a12 a1n b1 x2 am2 amn bm x n x1 , x2 , , xn 0
i 1 m
xsi 和 yi 二者必有一为零( i =1 ,…,m)
7、(P)的单纯形表的检验数行对应(D)的一个基解，其对 应关系是
在满足收入不能低于利润的条件下，按照市场规则， 总收入只能尽可能小，模型为
min 8 y1 16 y2 12 y3 s .t . y1 4 y2 2 y1 y1 , y2 , y3 0
2 4 y3 3
此问题就是第一章例 1 的对偶问题。 从理论上也可引出对偶问题。对偶问题的提出在运筹学中有 重要的理论意义。
2 3
例2 证明 max z CX min Yb AX b 的对偶问题是 YA C X 0 Y无符号约束 证： Y' AX=b AX b — 对应 '' Y -AX -b — 对应 由定义，对偶问题的约束条件为： Y ' A Y '' A C
Y ' 0 ,Y '' 0 ' '' Y Y Y 令 ，得(P)的对偶问题为: min Yb YA C