四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共计50分）1．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④2．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．B D∥平面CB1D1B．A C1⊥BDC．A C1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．（5分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0D．25．（5分）若方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．﹣1 B．2C．﹣1或2 D．不存在6．（5分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有（）对平面与平面垂直．A．1B．2C．3D．48．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB 面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8D．49．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积10．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）A．16 B．C．D．32二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11．（5分）与直线7x+24y=5平行，并且距离等于3的直线方程是．12．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为．14．（5分）相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是．二、解答题（每题5分，共25分）16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．17．（13分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，V A=VB=VC=2．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）VD与平面ABC所成角的正弦值；（3）求三棱锥C﹣ABV的体积．19．（12分）如图，已知二面角α﹣AB﹣β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；（2）求点P到直线AB的距离．20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成600的角？说明理由．21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共计50分）1．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④考点：简单空间图形的三视图．专题：阅读型．分析：利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．解答：解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．2．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．解答：解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题．3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．B D∥平面CB1D1B．A C1⊥BDC．A C1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．4．（5分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0D．2考点：两条直线垂直的判定；直线的倾斜角；两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：先求出l的斜率，利用垂直关系可得l1的斜率，由斜率公式求出a 的值，由l1∥l2 得，﹣=1，解得b值，可得结果．解答：解：∵l的斜率为﹣1，则l1的斜率为1，∴k AB==1，∴a=0．由l1∥l2 得，﹣=1，得b=﹣2，所以，a+b=﹣2．故选B．点评：本题考查两直线平行、垂直的性质，斜率公式的应用．5．（5分）若方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．﹣1 B．2C．﹣1或2 D．不存在考点：二元二次方程表示圆的条件．专题：计算题；直线与圆．分析：由二元二次方程表示出圆的条件，列出关系式，即可求出a的值．解答：解：∵方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示一个圆，∴A=C≠0，即1=a+2，解得：a=﹣1．此时方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0为方程x2+y2﹣2x﹣1=0表示圆．故选：A．点评：此题考查了圆的一般方程，熟练掌握二元二次方程表示圆的条件是解本题的关键．6．（5分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有（）对平面与平面垂直．A．1B．2C．3D．4考点：平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中PA⊥平面ABC，结合面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABC，及平面PAC⊥平面ABC，由圆周角定理的推论，结合线面垂直的性质和判定定理可证得：BC⊥平面PAC，进而可得平面PBC⊥平面PAC，综合上述讨论结果，可得结论．解答：解：∵PA⊥圆O所在平面ABC，PA⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面ABC，同理可得：平面PAC⊥平面ABC，∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC，又∵PA⊥圆O所在平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC又∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC∴BC⊥平面PAC，又∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PAC综上相互垂直的平面共有3组．故选：C点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的相互转化是解答的关键．8．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB 面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求S PAOB=2S△PAO=的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心（0，0），半径r=2，由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴S PAOB=2S△PAO=，在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA2=PO2﹣r2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4，所求四边形PAOB的面积的最小值为8．故选C点评：本题考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．根据题意得出PO⊥l时所求圆的面积最小是解本题的关键．9．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．解答：解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．点评：本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．10．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）A．16 B．C．D．32考点：棱台的结构特征；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到5PB2+PC2=16，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值．解答：解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴16=PA2+PB2+PC2，又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，设PB=，PC=4sinα，则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC=cosα+4sinα=sin（α+∅）≤．则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为，故选B．点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11．（5分）与直线7x+24y=5平行，并且距离等于3的直线方程是7x+24y+70=0，或7x+24y ﹣80=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：待定系数法．分析：设出平行直线系方程，根据两平行线间的距离等于3解出待定系数，从而得到所求的直线的方程．解答：解：设所求的直线方程为7x+24y+c=0，d==3，c=70，或﹣80，故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0，故答案为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．点评：本题考查求直线方程的方法，利用平行直线系方程的形式，待定系数法求出待定系数，进而得到所求的直线方程．12．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r 及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为57π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成，其中下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．据此可计算出答案．解答：解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．圆锥的高h==4．∴V==57π．故答案为57π．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．14．（5分）相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间角．分析：已知PA⊥PB，PO⊥平面AOB，∠PAO=30°，∠PBO=45°，直线PA，PB这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB，由此能求出这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值．解答：解：如图，已知PA⊥PB，PO⊥平面AOB，∠PAO=30°，∠PBO=45°，直线PA，PB这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB，设PO=x，则AO=，BO=x，PA==2x，PB==，AB==，∴cos=﹣，∴sin∠AOB==．∴这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．故答案为：．点评：本题考查两条直线在平面内的射影所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是①②④．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间角．分析：①利用二面角的大小区判断．②利用线面角的定义去判断．③利用异面直线的概念去判断．④利用二面角的大小进行判断．解答：解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC是二面角B﹣PA﹣C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=，所以当点P无限靠近点O时，即高无限小时，∠BDC接近，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π），所以①正确．②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P﹣ABC 是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为，所以②正确．③因为因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条，所以③错误．④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则∠BDC=，此时∠EDC=，（其中E是BC的中点），，所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成，又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为，此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N 与平面PAC和平面PAB都成，所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．所以④正确．故答案为：①②④．点评：本题综合考查了正三棱锥的性质以及利用正三棱锥研究线面角和二面角的大小，综合性强，难度大．二、解答题（每题5分，共25分）16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）E，H分别为AB，DA的中点，可得EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，根据直线和平面平行的判定定理证得BD∥平面EFGH．…（2）取BD中点O，由条件利用等腰三角形的性质证得AO⊥BD，CO⊥BD．从而证得BD⊥平面AOC，BD⊥AC．利用三角形的中位线的性质证得四边形EFGH是平行四边形，再利用平行线的性质证得EF⊥EH，可得四边形EFGH为矩形．解答：证明：（1）∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH．…（4分）（2）取BD中点O，连续OA，OC，∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．…（7分）∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．…（12分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定和性质的应用，属于中档题．17．（13分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．考点：恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k 的取值范围．（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．解答：解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．点评：本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，V A=VB=VC=2．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）VD与平面ABC所成角的正弦值；（3）求三棱锥C﹣ABV的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）得出AC⊥VO，AC⊥VD即可证明．（2）根据棱锥V﹣ABC的体积为V V﹣ABC=S△ABC•VO=可求得．解答：解：（1）∵V A=VB，O为AB中点，∴VO⊥AB，连接OC，在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，V A=VC，∴△VOA≌△VOC，∠VOA=∠VOC=90°，∴VO⊥0C∵AB∩OC=0，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴VO⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO，又∵V A=VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD，∵VO⊂平面VOD，VD⊂平面VOD，VD∩VO=V，∴AC⊥平面VOD，（2）由（1）知VO是棱锥V﹣ABC的高，且VO==．又∵点C是弧的中点，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，∴三角形ABC的面积S△ABC=AB•CD==1，∴棱锥V﹣ABC的体积为V V﹣ABC=S△ABC•VO=故棱锥C﹣ABV的体积为，点评：本题考查了直线与平面的垂直问题，体积计算问题，属于中档题，思路要清晰，认真．19．（12分）如图，已知二面角α﹣AB﹣β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；（2）求点P到直线AB的距离．考点：异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（1）根据题意，证出AB⊥平面PCD，从而得到AB⊥CD，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90°．（2）设平面PCD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE．证出∠CED为二面角α﹣AB ﹣β的平面角，从而∠CED=120°．然后在四边形PCDE中利用余弦定理解三角形，算出CD=，进而得到PE==，得到P到直线AB的距离．解答：解：（1）∵PC⊥α于C，PD⊥β于D．∴PC⊥AB，PD⊥AB．又PC∩PD=P．∴AB⊥平面PCD．∵CD⊂平面PCD，∴AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成角的大小为90°．…（6分）（2）设平面PCD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE由（1）可知，AB⊥平面PCD．∴AB⊥CE，AB⊥DE，AB⊥PE．∴∠CED为二面角α﹣AB﹣β的平面角，…（8分）从而∠CED=120°．∵PC⊥α，PD⊥β．∴PC⊥CE，PD⊥DE．∴∠CPD=60°．又PC=2，PD=3．∴由余弦定理，得CD2=4+9﹣12cos60°=7，从而CD=．…（10分）∵PE为四边形P CED的外接圆直径．∴由正弦定理，得PE==．即点P到直线AB的距离等于．…（12分）点评：本题在120度的二面角中，求异面直线所成角和点P到直线AB的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、二面角的平面角定义和正余弦定理等知识，属于中档题．20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成600的角？说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明DE⊥平面A1CD，可得A1C⊥DE，利用A1C⊥CD，CD∩DE=D，即可证明A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A1C交A1B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A1CD，从而可求截面EFH的面积；（3）假设线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角，建立坐标系，利用向量知识，结合向量的夹角公式，即可求出结论．解答：（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD．又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE．又A1C⊥CD，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE…（4分）（2）解：过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A1C交A1B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A1CD．因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=．∵A1C⊥平面BCDE，FH∥A1C，∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，∴．…（8分）（3）解：假设线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．设P点坐标为（a，0，0），则a∈．如图建系C﹣xyz，则D（0，1，0），A1（0，0，），B（6，0，0），E（4，1，0）．∴，．设平面A1BE法向量为，则，∴，∴，设平面A1DP法向量为，因为，．则，∴，∴．则cos＜，＞===，∴5656a2﹣96a﹣141=0，解得∵0＜a＜6，∴所以存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．…（12分）点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用点到平面的距离公式求距离．（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．（3）利用向量法求线段的长度．解答：解：（1）连接AO，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，，在△AOA1中，A1O=2，在△BOA 1中，，则．又S△CAB=2．设点C到平面A1ABB1的距离为h，则由得，=．从而．…（4分）（2）如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，﹣2，0），A1（0.0，2），B（0，2，0），B1（﹣1，2，2），C1（﹣1，﹣2，2）．设平面BCC1B1的法向量，又，．由，得，令z=1，得x=2，y=0，即．设平面ABC1的法向量，又，．由，得，令b=1，得a=2，c=3，即．所以，…（7分）由图形观察可知，二面角A﹣BC1﹣B1为钝角，所以二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值是．…（9分）（3）方法1．在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1．因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C．从而OE⊥B1C在△AOA1中，为异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）方法2．设向量，且∵，．∴．令z1=1，得x1=2，y1=0，即．∵．所以异面直线AA1，B1C 的距离，即为MN的最小值．…（14分）点评：本题主要考查利用向量法求二面角的大小和线段长度问题，要求熟练掌握相关的定理和公式．。