河北省唐山市区县联考2020届高三上学期第一次段考数学(文)试卷

数学试题 文一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1、已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（ ）A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1 D ．{}12、命题“”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ．3、设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan5c π=，则（ ） A.a b c << B.c b a << C. b c a << D.c a b <<4、若，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5、设是两条直线， ， 表示两个平面，如果，，那么“”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A.-B.C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31xf x =-，则13(log 12)f 的值为（）A ．53-B ．53C ．13-D ．1310、已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ，60ACB ∠=，AB =DC =O 的表面积为（ ）A ．24πB ．30πC ．36πD ．42π 9、若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为( ) A.B.C.D.11、定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数11()(13)2x g x x -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812、若存在两个正实数,x y 使得等式(1ln )ln x x x y ay +=-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13、函数()f x =的定义域为__________．14、已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ=，则αβ+=_____． 15、设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．16、已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共6小题，共70分） 17、（10分）设命题p ：函数21()2ln 2f x x x ax =--在区间[]2,3单调递增，命题0,q x R ∃∈： 使得2002860x ax a +--≤.如果命题“p 或q”是真命题，命题“p 且q”是假命题，求实数a 的取值范围.18、（12分）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．(1)求的值；(2)若角满足，求的值．19、（12分）已知()()211e 2x f x x ax =--． (I)当a =2时，求函数()f x 的单调区间；(II)若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.20、（12分）如图，在三棱柱ABM DCN -中，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，E 、F 分别为棱MA 、DC 的中点. （1）求证：//EF 平面MNCB ； （2）若2AB AM ==，120ABC ∠=︒，且平面MADN ⊥平面ABCD ，求四棱锥E BCNM -的体积.21、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA = //AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（1）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （2）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（3）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？ 若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．22、（12分）设()()ln ,f x ax bx x f x =+ 在x e =处的切线方程是0x y e +-=， （其中 2.718...e =为自然对数的底数）. （1）求,a b 的值 （2）证明：()21xf x x e ≤+高三年级第一次阶段考试数学试卷（文科答案） 一、选择题 1-5 CDBAA 6-10 BACCD 11 B 12 D 二、填空题 13、()0,1(1,]e 14、23π 15、1(,)2-∞- 16、①②三、解答题17、解：当P 为真命题：()2f x x a x=--'，()'0f x ≥在[2,3]恒成立，即2a x x ≤-，∵2x x -为单调增函数，∴min 2()1a x x≤-=，即1a ≤； 当q 为真命题时，即()244860a a ∆=++≥，∴4a ≤-或2a ≥-； 由题意p ，q 一真一假，即当p 真q 假：42a --＜＜；当q 真p 假：1a >， 综上所述，42a --＜＜或1a >. 18、【详解】（1）由题意，角的终边经过点,则由三角函数的定义，可得,所以.（2）因为，所以 ,又因为，所以当时，； 当时，.综上所述：或.19、(I ) 当a =2时，'f ()x(e 2)xx =-()-ln 2∞，减()ln 2+∞，增 （II ）由(I )得()'e (e )x xf x x ax x a =-=-.① 若1a >，则当(,0)x ∈-∞时，0,e 1,e 0,x x x a <<-<所以'()0f x >； 当(0,ln )x a ∈时，ln 0,e e 0,x a x a a >-<-=所以'()0f x <．所以()f x 在0x =处取得极大值.② 若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，0x >，e e 10x x a -≥->，所以'()0f x >． 所以0不是f (x )的极大值点． 综上可知，a 的取值范围是（1，+∞）．20、证明：（1）取NC 的中点G ，连接FG ，MG ， 因为//ME ND 且12ME ND =， 又因为F ，G 分别为DC ，NC 的中点，//FG ND 且12FG ND =， 所以FG 与ME 平行且相等，所以四边形MEFG 是平行四边形， 所以//EF MG ，又MG ⊂平面MNCB ，EF ⊄平面MNCB ， 所以//EF 平面MNCB .（2）取AD 的中点K ，在ABK ∆中，2AB =，1AK =，60BAK ∠=︒， ∴2222cos603BK AB AK AB AK =+-⨯⨯︒=， ∴222AB AK BK =+，∴90AKB ∠=︒，即AK BK ⊥. ∵平面MADN ⊥平面ABCD ，平面MADN平面ABCD AD =，又BK ⊂平面ABCD ，∴BK ⊥平面MADN .2E BCNM E BMN A BMN B AMN V V V V ----===11||2333AMN S BK ∆=⋅⋅=⋅=，∴即四棱锥E BCNM -的体积为3. 21、（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ， 由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得AG AB 2GC DC ==.由1PE PA 3=,得AE2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AGEP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC =BC =AB 2=，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC . （Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ， 由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .由PA =AD 1=，PA AD ⊥，得3PF 2=. 22、解（1）()ln f x a b b x '=++ 由题意，可得()1()0f e a b b f e ae be =++=-⎧⎨=+='⎩解得1,1a b ==-（2）由（1）知()ln f x x x x =- 令()21ln (0)x h x x x x x x e =--->，则()1ln 2xh x x x e'=-+- ()1120x h x x e''=---<,(1)0h '<，当()0,0x h x '→>()()01g x g ''≤=，又()10g '<，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x '=即00012ln x x x e =-+所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减 所以()()0200000max 1ln x h x h x x x x x e==--- ()0000022000000000111121x xx x x x x x x x x x x x e e e e e ⎛⎫⎛⎫=+---=+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0001x m x x e =-，()00110x m x e'=+> 又()()00,10m m <>所以()10,1x ∃∈，使得()10m x =此时 111x x e =，()11ln x x =- ()10h x '=01x x ∴=，()00m x ∴≤，()()00h x h x ∴≤≤；故()21x f x x e≤+。