求回归直线方程
求线性回归直线方程的步骤
请同学们回忆一下,我们以前是否学过 变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点:
相同点:两者均是指两 个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系; 相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非 随机变量的关系,而相关关系是随机变量 与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
小结：
（1）判断变量之间有无相关关系，简便方 法就是画散点图。 （2）当数字少时，可用人工或计算器，求 回归方程；当数字多时，用Excel求回归方 程。 （3）利用回归方程，可以进行预测。
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一
般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。
0
解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0
10x y
2
x
i 1
2 i
10 x
110 10 0 1 110 10 0
a y bx 0 b 0 0
∴所求回归直线方程为 ^ y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x , y , x y ；
i i i i
第二步：计算
x, y, xi , xi y
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
线性回归方程公式
线性回归方程公式线性回归是一种用于预测连续数值变量的统计方法。
它基于一个线性的数学模型，通过寻找最佳的拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。
线性回归方程公式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
线性回归的基本假设是：1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量的变化可以通过自变量的线性组合来解释。
2.残差独立同分布：误差项ε是独立同分布的，即误差项之间不存在相关性。
3.残差服从正态分布：误差项ε服从正态分布，即在每个自变量取值下，因变量的观测值呈正态分布。
4.残差方差齐性：在每个自变量取值下，因变量的观测值的方差是相等的。
线性回归的求解方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的平方差来估计回归系数。
具体步骤如下：1.数据收集：收集自变量和因变量的观测数据。
2.模型设定：根据自变量和因变量之间的关系设定一个线性模型。
3.参数估计：通过最小化平方误差来估计回归系数。
4.模型检验：通过检验残差的随机性、正态性和方差齐性等假设来检验模型的合理性。
5.模型拟合：利用估计的回归系数对未知自变量的观测值进行预测。
6.模型评估：通过评估预测结果的准确性来评估模型的性能。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归方程可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用来求解线性回归模型，如梯度下降法和最大似然估计法等。
这些方法可以在不同的情况下选择使用，以获得更好的回归模型。
线性回归是一种经典的预测分析方法，被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会科学、自然科学等。
通过建立合适的线性回归模型，可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并用于预测未来的趋势和变化。
回归直线方程
课本P90习题3.1 V1
3.1回归分析的基本思想 及其初步应用(3)
建立回归模型的基本步骤 1)确定解释变量和预报变量; 2)画出散点图; 3)确定回归方程类型; 4)求出回归方程; 5)利用相关指数或残差进行分析.
问题：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收 集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
相关程度越小．
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.25]--负相关一般; r∈[0.25, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
例题1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身 高和体重数据如下表：
编号 1
160 170 180
它的均值E(e)= 0,方差D(e)=σ2 > 0
探究:在线性回归模型中,e是一个不可观测 的量,那么应该怎样研究随机误差?如何衡量 预报的精度?
为了衡量预报的精度,需要估计的σ2值?
n
Q( , ) ( yi xi )2 i 1
随机误差ei yi bxi a(i 1, 2,....n) 其估计值为: eˆi yi yˆi yi bˆxi aˆ eˆi称为相应点(xi,yi )的残差
果这种分析工作称为残差分析
了解残差图的制作及作用。P85 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为 心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。身高异与常体 重
点
残 差 图
• 错误数据 • 模型问题
总偏差平方和,残差平方和,回归平方和三者的 含义与它们间的关系:
yˆ = 0.849x - 85.172
线性回归方程公式
线性回归方程公式线性回归是一种常见的统计学方法，用于建立一个预测目标变量与一个或多个自变量之间的线性关系模型。
它是一种广泛应用的回归方法，适用于各种领域，如经济学、金融学、社会学、生物学和工程学等。
线性回归模型可以表示为以下形式：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2+ ... + bp*Xp，其中Y是目标变量，X1、X2、...、Xp是自变量，b0、b1、b2、...、bp是回归系数。
这个方程描述了目标变量Y与自变量X之间的线性关系，通过调整回归系数的值可以拟合数据并预测未知数据的值。
线性回归模型的目标是找到最佳拟合直线，使得预测值与实际观测值之间的误差最小化。
常用的误差衡量指标是残差平方和（RSS），也可以使用其他指标如平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）。
线性回归模型的建立过程包括两个主要步骤：参数估计和模型评估。
参数估计是通过最小化误差来确定回归系数的值。
最常用的方法是最小二乘法，通过最小化残差平方和来估计回归系数。
模型评估是用来评估模型的拟合优度和预测能力，常用的指标包括决定系数（R^2）、调整决定系数（Adjusted R^2）和F统计量。
线性回归模型的假设包括线性关系、误差项的独立性、误差项的方差恒定以及误差项服从正态分布。
如果这些假设不成立，可能会导致模型的拟合效果不佳或不可靠的预测结果。
对于线性回归模型的建立，首先需要收集相关的数据，然后进行数据的处理和变量选择。
数据处理包括缺失值处理、异常值处理和变量转换等。
变量选择是通过统计方法或经验判断来选择对目标变量有影响的自变量。
常见的变量选择方法包括逐步回归、岭回归和lasso回归等。
在建立模型之后，需要对模型进行评估和验证。
评估模型的拟合优度是通过决定系数和F统计量来实现的，较高的决定系数和较小的F统计量表明模型的拟合效果较好。
验证模型的预测能力可以使用交叉验证等方法。
线性回归模型还有一些扩展形式，如多项式回归、加权回归和广义线性回归等。
回归性方程
回归性方程
回归方程是根据样本资料通过回归分析所得到的反映一个变量（因变量）对另一个或一组变量（自变量）的回归关系的数学表达式。
回归直线方程用得比较多，可以用最小二乘法求回归直线方程中的a,b，从而得到回归直线方程。
原理
对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。
指具有相关的随机变量和固定变量之间关系的方程。
回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，一条最好地反映x与y之间的关系直线。
离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。
数学表达:Yi-y^=Yi-a-bXi.
总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即(Yi-a-bXi)^2计算。
线性回归方程的公式为：b=（x1y1+x2y2+…xnyn-nxy）/（x1+x2+…xnNX）。
线性回归方程是数理统计中使用回归分析来确定两个或多个变量之间定量关系的统计分析方法之一。
线性回归方程公式_数学公式
线性回归方程公式_数学公式线性回归方程公式线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。
线性回归方程公式求法：第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术)平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二：分别计算分子和分母：(两个公式任选其一)分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n__x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。
先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归方程的应用线性回归方程是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。
这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定。
线性回归有很多实际用途。
分为以下两大类：如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。
当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。
给定一个变量y和一些变量X1,...,Xp，这些变量有可能与y相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y不相关的Xj，并识别出哪些Xj的子集包含了关于y的冗余信息。
直线回归法公式
直线回归法公式直线回归法公式1. 简介直线回归法是一种用于建立变量之间线性关系的统计方法。
它通过找到一条最佳拟合直线，以最小化观测值与拟合值之间的误差，来预测因变量的值。
直线回归法广泛应用于经济学、统计学和机器学习等领域。
2. 简单线性回归简单线性回归是直线回归法的最基本形式，用于建立一个自变量和一个因变量之间的线性关系。
其回归方程可以用以下公式表示：y=β0+β1x+ϵ其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ϵ是误差。
举个例子来说明简单线性回归公式的应用。
假设我们要研究一个国家的人口增长与经济增长之间的关系。
我们收集了一系列年份和对应的人口数量和GDP增长率数据。
我们可以使用简单线性回归来建立人口数量（因变量）与GDP增长率（自变量）之间的关系模型。
3. 多元线性回归多元线性回归是在简单线性回归的基础上进一步扩展，用于建立多个自变量和一个因变量之间的线性关系。
其回归方程可以用以下公式表示：y=β0+β1x1+β2x2+⋯+βp x p+ϵ其中，y是因变量，x1,x2,…,x p是自变量，β0,β1,β2,…,βp是回归系数，ϵ是误差。
举个例子来说明多元线性回归公式的应用。
假设我们要研究一个公司的销售额与广告投入、产品价格、季节性因素等变量之间的关系。
我们可以使用多元线性回归来建立销售额（因变量）与广告投入、产品价格、季节性因素等（自变量）之间的关系模型。
4. 最小二乘法最小二乘法是直线回归法中常用的参数估计方法，用于寻找最佳拟合直线。
其原理是最小化观测值与拟合值之间的误差平方和。
最小二乘法通过最小化以下目标函数来估计回归系数：nmin∑(y i−y î)2i=1其中，y i是观测值，y î是拟合值，n是观测值的数量。
使用最小二乘法可以得到最优的回归系数，使得拟合直线与观测值之间的误差最小化。
5. 总结直线回归法是一种用于建立变量之间线性关系的统计方法。
简单线性回归和多元线性回归是直线回归法的两种形式。
如何求回归直线方程
第二章 统计
1．(1)对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得 散点图(1)；对变量 u，v 有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)， 得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( C )
栏目 导引
第二章 统计
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 解析：图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变 量y负相关；图(2)中的数据v随着u的增大而增大，因此u与v 正相关．
1．两个变量之间的关系与其对应的散点图特征 (1)两个变量间的关系是函数关系时，数据点位于某曲线上． (2)两个变量间的关系是相关关系时，数据点位于某曲线附近． (3)两个变量间的关系是线性相关时，数据点位于某直线附近．
栏目 导引
第二章 统计
2．对回归直线与回归方程的理解 (1)回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归 直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归 直线，所以回归直线也具有随机性． (2)对于任意一组样本数据，利用最小二乘法公式都可以求得 “回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在 回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此， 对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前 提下再求回归方程．
3．下列关系中，有相关关系的是___②_____． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系． 解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水 稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有 相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既 不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时 期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．
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“求直线的回归方程”的教学设计
一•教学内容分析
本节课的主要内容为用最小二乘法求线性回归方程。
所以，在内容重点的侧重上,
本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。
考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。
基于上述内容分析，确定本节课的教学重点为知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
二•教学目标分析
本节课要求学生了解最小二乘法思想，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，理解线性回归方程概念和回归思想，在以上过程中体会随机思想: 1∙能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的点的偏差”的表达方式；
2•知道最小二乘法的思想，了解其公式的推导过程；
3•能结合具体案例，根据回归方程系数公式建立回归方程；
4•利用回归方程预测，体现用“确定关系研究相关关系”的回归思想；
三.重点，难点分析
在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程后，在学生现有知识能力范围内，如何选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然。
知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到的最大矛盾。
在教学中，要防止两种倾向：一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程；二是过多纠缠于数学刻画过程，
甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行证明说理。
这两种倾向，都脱离了实际情况，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标；后者人为拔高教材要求，脱离了本节课教学要求。
所以，本节课的教学难点是：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”并在此过程中了解最小二乘法思想。
通过“降次举特例说明，进行合情推理”是学生突破此难点的一个方法。
四•教学过程设计
1 •课题引入
问题1:（投影上节课探究结果）如何评价这些“直线”的优劣？理由呢？
问题2:能否从几何直观角度用文字语言叙述你的理由？
问题3: “从整体上看，各点与此直线的距离最小”中，距离等于偏差吗？作为
判断优劣的标准，可以等同吗?
设计意图：在上节课“计算预测值与实际值偏差”的经验基础上，通过学生对“从
整体上看，各点与此直线的点的距离的最小”这一新标准与旧经验的冲突和联系，对
“优劣问题”展开反思：从旧经验“单个点”到新标准“所有点”，突出“整体”二字；从
旧经验“偏差计算”到新标准“点线距离”，对比几何描述直观性和代数表达便捷性，揭示出两者是同一标准的不同表述。
师生活动：在上节课铺垫的基础上，学生不难回想到上节课比较不同“回归直线”优劣的方法一一通过计算样本点与直线对应点纵坐标差比较偏差。
在此铺垫基础上，教师可结合图形，用代数符号y、Ii标记，为下一步代数表达做好准备。
第二问更具有几何直观性，学生也易于接受此标准，达成“几何”与“代数”的转化、“距离” 与“偏差”的转化。
若学生对“距离”与“偏差”有疑问，教师可提出问题 3 ,通过
观察课本92页图2.3 - 6,简单介绍偏差处理法的优越性和等价性即可。
2.知识发展
设回归直线方程为。
-■ + ；,( X i, y)表示第i个样本点，
问题1你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？
问题2：偏差有正有负，我们可以怎么规避？比较绝对值处理和平方处理，我们选择哪种合适？
设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为
“代数表达”过程，体验“最小二乘法思想”。
师生活动：在引入的设问中，已经解决了转化的问题，由于上节课学生有“用具
体数据来计算偏差”的经验，学生易于抽象出各点偏差表示式y i —「i =y i—( bx+a)
(i =1, 2, , , n),进而不难得出：Q= (yι—bxι—a) +(y2—bx2 —a) +, + (y∏ —bx∏
—a)。
问题2可在投影屏上举极端例子说明，学生会发现此处理方法的局限性，学生
可能会提出多种方法，教师肯定其观点，说明去绝对值对后续研究不便，可类比“方差”处理方式，采用平方处理方法，教师投影：
Q (K_应］2+ {y2-bx2~a) J…+-bx i -a)Q
i-i
问题3：从代数上说，偏差最小既哪个量最小？当样本点的坐标(X i, y i)确定时，
上述表达式可否化为关于a、b的二次式呢？
设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解，而直接从∏个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度。
而由具体到抽象，由特殊到一般，是学生顺利完成认知过程的一般性原则。
通过此问，让学生了解化简的结果，在此过程中，既熟悉了新符号，又通过观察展开式，能唤起学生已有认知结构中关于处理带参数的二次多项式最小值问题的数学处理方法，揭示∏个点的代数式
本质也是关于a、b的二次多项式，从而了解最小二乘法思想，突破教学难点。
师生活动：教师指出：可米用n个偏差的平方和Q= (yι—bxι—a) )+ ( y2—bx2—a) 2+, + ( y∏ - bx∩ - a) 2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度：记
Q=二(向学生说明二的意义)。
在此基础上，给出可求出使Q为最小值时的a、b的值的线性回归方程系数公式：∑λ(∖- χ)(y i-y) ∑ X i y i-fix y b = J= ⅛J ' ∑⅛-^)2∑χi2-^2
f-l i-L
a -y-bx
问题4:这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求a,b
的值，你会按怎样的顺序求呢？
设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识, 通过这个
问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解。
师生活动：由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求
Siy I、n 、
无、
理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照 ' 顺序来求，再代入公式。
问题5：回归直线通过样本点中心，观察此公式，比照平均数与样本数据之间的关系线方程如何体现这点？
设计意图：在不确定问题探讨中出现的确定性性质，比较有戏剧性，能再次激发学生的探究欲望，而此问题的探究，使得学生在“回归直线是两个变量具有相关关系的代表”的理解上，上升到“ 回归直线是双变量样本点的中心”这一高度，深化对回归直线和回归思想的理解，完成学生认知结构的再次建构。
3.知识深化：
问题1：观察公式，根据表一数据，需要计算哪些新数据，才能求出线性回归方程系数？计算量大不大？我们用计算器来代替这重复的劳动，请大家一起跟我来操作人体的脂肪百分比和年龄
年龄23394550545760
脂肪9. 521 . 227. 528. 230. 230. 835. 2
设计意图：公式形式化程度高、表达复杂，通过分解，可加深对公式结构的理解。
同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性。
a,b时，必须要有条
师生活动：可让学生观察公式，充分讨论，得出要计算: 厂五个新数据。
而后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完 成。
问题2：利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程:
师生活动：教师利用 EXCIe 软件，示范操作，并适时给出回归直线答案，检测正
确与否。
师生活动：教师利用 Excle 软件，合并表中数据，求出此时的回归直线，比较回 归直线异同。
问题3：同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的 相关关
系是否就转变成确定关系？
问题4：若给出的样本数据相关程度较弱， 按照公式能否求出系数 a 、b ?此时的
直线方程是回归直线吗？
设计意图：明确样本点的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想。
同时，
明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一 种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念。
在重复求解回归直线 的过程中，使学生掌握利用计算器求回归直线的操作方法，了解计算机处理方法。
五•习题检测设计
1、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表
（用计算器直接求回 归直线）：
(1)画散点图；(2)从散点图中发现温度与热饮销售杯数之间关系的一般规律;
n 、
i-1
(3)求回归方程；
(4)按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数。
为什么与表中不同？如果某
天的气温是-5C时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数；
设计意图：通过此题，让学生完整经历求回归直线过程。
其中第4问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免。
而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值。
六、课堂小结设计
请你对本节课的内容进行小结，并谈谈你的收获以及课后的学习安排。
设计意图：让学生进行小结，谈谈体会，帮助他们回归反思、归纳概括。