回归直线方程—最小二乘法
回归直线方程是否有关的概率
回归直线方程是否有关的概率回归分析是统计学中一种用于探究自变量和因变量之间关系的分析方法。
在回归分析中，我们通常会得到一个回归方程，用来描述自变量和因变量之间的关系。
这个回归方程通常是一个直线方程，也称为直线回归方程。
直线回归方程可以表示为：Y = a + bX，其中Y是因变量，X是自变量，a是截距，b是斜率。
直线回归方程的斜率b表示自变量X每变化一个单位时，因变量Y相对应变化的量。
而直线回归方程的截距a表示当自变量X为0时，因变量Y 的取值。
回归方程的确定通常需要通过最小二乘法来进行。
最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来确定回归方程的方法。
残差是每个数据点的实际观测值与回归方程预测值之间的差异。
最小二乘法通过调整回归方程的斜率和截距，使得残差的平方和最小，从而得到最佳的回归方程。
在回归直线方程的确定中，我们通常会关注回归方程的拟合程度，即回归方程对数据的拟合程度。
回归方程的拟合程度通常通过R方来衡量，R方的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对数据的拟合程度越好。
回归直线方程的确定与概率也是密切相关的。
在回归分析中，我们通常会对回归方程的显著性进行检验，以确定回归方程是否能够准确地描述自变量和因变量之间的关系。
回归方程的显著性检验通常是通过t检验或F检验来进行的。
在回归方程的显著性检验中，我们通常会计算回归方程的p值。
p值表示在零假设成立的情况下，观察到的数据或更极端数据的概率。
如果回归方程的p值小于显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝零假设，认为回归方程是显著的，能够准确描述自变量和因变量的关系。
因此，回归直线方程的确定与概率是有关的。
通过回归方程的显著性检验，我们可以确定回归方程的可靠性，从而确定回归方程是否能够准确描述自变量和因变量的关系。
在回归分析中，概率统计的方法能够帮助我们更好地理解回归方程的意义，以及回归方程的确定程度。
最小二乘法公式的多种推导方法
最小二乘法公式的多种推导方法最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，因其推导方法比较复杂，高中数学《必修3》简单介绍了最小二乘法的思想，直接给出了回归直线斜率a和截距b的计算公式，省略了公式的推导过程。
中学数学教师没有引起足够的重视。
在文[1]中作者的困惑之一就是“公式推导，教不教？”，为了加强学生学习能力的培养和数学思想方法的渗透，让师生更好的了解数学发展的价值，公式推导，不仅要教，而且要好好的教。
下面给出几种公式推导的方法，供教学参考。
给出一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），且实数xi不全相等，求回归直线y=ax+b的斜率a和截距b，使得所有点相对于该直线的偏差平方和达到最小。
设实数xi不全相等，所求直线方程为y=ax+b要确定a，b，使函数f（a，b）=∑ni=1（axi+b-yi）2最小。
方法1[2]由于f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）+（-a）-b]2=∑ni=1{[yi-axi-（-a）]2+2[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+[（-a）-b]2}=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+2∑ni=1[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+n[（-a）-b]2，注意到∑ni=1[yi-axi-（-a）][（-a）-b]=（-a-b）∑ni=1[yi-axi-（-a）]=（-a-b）[∑ni=1yi-a∑ni=1xi-n（-a）]=（-a-b）[n-na-n（-a）]=0，因此f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+n[（-a）-b]2=a2∑ni=1（xi-）2-2a∑ni=1（xi-）（yi-）+∑ni=1（yi-）2+n（-a-b）2=n（-a-b）2+∑ni=1（xi-）2[a-∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2]2-[∑ni=1（xi-）（yi-）]2∑ni=1（xi-）2+∑ni=1（yi-）2在上式中，后两项和a，b无关，而前两项为非负数，因此要使f取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即a=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2，b=-a（其中x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，（x，y）称为样本点的中心。
普通最小二乘回归法
普通最小二乘回归法第1页普通最小二乘回归法普通最小二乘回归法（Ordinary Least Squares，OLS）是一种统计学方法，它把拟合直线的不确定性归入到残差的不确定性中，使拟合直线尽可能接近数据的偏差。
就是把一组样本数据，用最佳拟合函数来解释它，使参数矩阵的乘积最小化。
普通最小二乘回归法是一种简单的线性回归方法，它假设样本的特征之间没有相互关系，因此忽略了任何影响模型拟合程度的复杂性。
OLS的基本原理是通过最小化残差的平方来最小化总体模型预测的误差平方。
残差指观测值和预测值之间的差值。
普通最小二乘回归的模式是一个线性回归模型，它把数据表示为一个函数，数据拟合的效果要比最大似然法好得多。
普通最小二乘回归的优点1. 简单：能够用少量的步骤完成。
2. 快速：有算法可以用来更快地计算最小二乘回归。
3. 准确：可以更准确地预测数据。
4. 稳定：抗噪声能力较强。
第2页普通最小二乘回归的应用普通最小二乘回归是一种非常有用的数据拟合方法，它有很多应用领域，包括经济学、工程学、生物学、计算机科学、物理学等等。
1. 经济学：普通最小二乘回归经常被用来拟合研究经济问题，比如薪水、物价、汇率等数据。
2. 生物学：普通最小二乘回归可以用来拟合特定基因的表达水平与某种疾病的相关性等。
3. 计算机科学：可以用来判断计算机程序的性能和执行速度。
4. 工程学：用来估算各种物料的力学特性、汽车、飞机的性能等等。
普通最小二乘回归的缺点1. 拟合时关系必须是线性的：普通最小二乘法假定样本的特征之间的关系必须是一元或多元线性关系。
如果关系是非线性的，则模型效果可能不好。
2. 数据需要服从正态分布：最小二乘回归的假设之一就是数据服从正态分布，但在实际应用中常常会出现非正态分布的数据，这时最小二乘回归可能就不再有效了。
3. 方程解受多元共线数据的影响大：多元共线数据会严重影响方程解的收敛性，导致模型无法正确拟合。
“最小二乘法求线性回归方程”教学设计
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ “最小二乘法求线性回归方程”教学设计最小二乘法求线性回归方程教学设计一．内容和内容解析本节课的主要内容为用最小二乘法求线性回归方程。
本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。
在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程后，解决好用数学方法刻画从整体上看，各点与此直线的距离最小，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式最小二乘法，有助于更好的理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。
就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行优劣评价是假设检验的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。
了解最小二乘法思想，比较各种估算方法，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解。
最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现。
而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。
所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估1 / 10算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。
考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞割裂；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。
基于上述内容分析，确定本节课的教学重点为知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
算法学习笔记——最小二乘法的回归方程求解
算法学习笔记——最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最近短暂告别⼤数据，开始进⼊到了算法学习的领域，这时才真的意识到学海⽆涯啊，数学领域充满了⽆限的魅⼒和乐趣，可以说更甚于计算机带给本⼈的乐趣，由于最近正好看到线性代数，因此，今天我们就来好好整理⼀下机器学习领域中的⼀个⾮常重要的算法——最⼩⼆乘法，那么，废话不多说，我们直接开始吧 !1. 最⼩⼆乘法介绍1.1 举例现实⽣活中，我们经常会观察到这样⼀类现象，⽐如说某个男的，情商很⾼，⾝⾼180，家⾥很有钱，有房，有车，是个现充，结果就是他有好⼏个⼥朋友，那么从⼀个观测者的⾓度来看，该男性具备好多个特征(⽐如EQ值较⾼，⾝⾼较⾼，有钱对应的布尔值是True等等)，输出结果就是⼥友的个数；这只是⼀条记录，那么，当我们将观测的样本数扩⼤到很多个时，每个个体作为输⼊，⽽输出就是每个个体的⼥朋友数量；于是在冥冥之中，我们就能感觉到⼀个男性拥有的⼥友数量应该和上述特征之间存在着某种必然的联系。
然后可以这样理解，决定⼀个男性可以交到⼥友数量的因素有很多，那么，在那么多的因素之中，肯定有⼏项因素⽐较重要，有⼏项相对不那么重要，我们暂时将每个因素的重要程度⽤⼀个数值来表⽰，可以近似理解为权重，然后将每个权重和因素的数值相乘相加，最后再加上⼀个常数项，那么这个式⼦就可以理解为⼀个回归⽅程。
1.2 SSE,SST和SSR有了上述的基础，我们就可以做这样⼀件事，预先设定好⼀个⽅程(先简单⼀点，假设该⽅程只有⼀个⾃变量)：y = ax + b，a和b是我们要求出来的；那么，我们可不可以这样理解，每输⼊⼀个x，即能通过这个计算式输出⼀个结果y，如果输出的y和真实的y偏差是最⼩的，那么不就能说明这个⽅程拟合的是最佳的了吗？顺着这个思路，原问题就可以演变成⼀个求解当a和b各为多少时能使得这个偏差值最⼩的求最优化问题了，或者说我们的⽬标就是求使得SSE最⼩的a和b的值。
回归分析的基本原理及应用
回归分析的基本原理及应用概述回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解变量之间的相关性，并通过建立模型来预测未来的结果。
在本文中，我们将介绍回归分析的基本原理，并探讨其在实际应用中的具体作用。
回归分析的基本原理回归分析基于以下两个基本原理：1.线性关系：回归分析假设自变量与因变量之间存在线性关系。
换句话说，自变量的变化对因变量的影响可以通过一个线性方程来描述。
2.最小二乘法：回归分析使用最小二乘法来估计回归方程中的参数。
最小二乘法试图找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
回归分析的应用场景回归分析在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•经济学：回归分析用于研究经济中的因果关系和预测经济趋势。
例如，通过分析历史数据，可以建立一个经济模型来预测未来的通货膨胀率。
•市场营销：回归分析可以用于研究消费者行为和市场需求。
例如，可以通过回归分析来确定哪些因素会影响产品销量，并制定相应的营销策略。
•医学研究：回归分析在医学研究中起着重要的作用。
例如，通过回归分析可以研究不同因素对疾病发生率的影响，并预测患病风险。
•社会科学：回归分析可帮助社会科学研究人们的行为和社会影响因素。
例如，可以通过回归分析来确定教育水平与收入之间的关系。
回归分析的步骤进行回归分析通常需要以下几个步骤：1.收集数据：首先需要收集相关的数据，包括自变量和因变量的取值。
2.建立回归模型：根据数据的特点和研究的目的，选择适当的回归模型。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
3.估计参数：使用最小二乘法估计回归模型中的参数值。
这个过程目的是找到一条最能拟合数据点的直线。
4.评估模型：通过分析回归模型的拟合优度和参数的显著性，评估模型的有效性。
5.预测分析：利用建立好的回归模型进行预测分析。
通过输入新的自变量值，可以预测对应的因变量值。
回归分析的局限性回归分析虽然在许多领域中有广泛应用，但也存在一些局限性：•线性假设：回归分析假设因变量与自变量之间存在线性关系。
最小二乘法OLS和线性回归
1
本章要点
最小二乘法的基本原理和计算方法
经典线性回归模型的基本假定
BLUE统计量的性质 t检验和置信区间检验的原理及步骤 多变量模型的回归系数的F检验 预测的类型及评判预测的标准 好模型具有的特征
2
第一节
最小二乘法的基本属性
一、有关回归的基本介绍
金融、经济变量之间的关系，大体上可以分 为两种：
（1）函数关系：Y=f(X1,X2,….,XP)，其中Y的 值是由Xi（i=1,2….p）所唯一确定的。 （2）相关关系: Y=f(X1,X2,….,XP) ，这里Y的 值不能由Xi（i=1,2….p）精确的唯一确定。
3
图2-1 货币供应量和GDP散点图
注意：SRF中没有误差项，根据这一方程得到 的是总体因变量的期望值
17
于是方程（2.7）可以写为：
ˆ ˆ ˆ yt xt ut
和残差项（
（2.9）
总体y值被分解为两部分：模型拟合值（
ˆ u t ）。
ˆ y）
18
3.线性关系 对线性的第一种解释是指：y是x的线性函数， 比如，y= x。 对线性的第二种解释是指：y是参数的一个线 性函数，它可以不是变量x的线性函数。 2 比如，y= x 就是一个线性回归模型， 但 y x 则不是。
(一) 方法介绍
本章所介绍的是普通最小二乘法（ordinary least squares,简记OLS）;
最小二乘法的基本原则是：最优拟合直线应该 使各点到直线的距离的和最小，也可表述为距 离的平方和最小。
假定根据这一原理得到的α、β估计值为 、 ， ˆ yt 。 xt ˆ ˆ ˆ 则直线可表示为
232回归直线方程—最小二乘法-PPT精品文档
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27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据最小二乘法公式， 利用计算机可以求出 其回归直线方程
散 y 0 . 5 7 7 x 0 . 4 8 点 图
回 归 直 线
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线 求出回归直线的方程 我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量 那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数 ； ；
(2)计算 xi 与 yi 的乘积,再求 (3)计算 ；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
13
年 龄 脂 肪
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强. 回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？Fra bibliotek方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
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b
i1
n
x i2
2
nx
i1
,
a y b x
n
( xi x)( yi y )
b
1
n
(xi x)2 1
a y b x
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
BG
12
求线性回归方程的步骤：
思考：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看得
出的数值与真实数值之间的关系，从中你体会到
了什么？ y0.577x0.48
存在样本
点不在直线上
x=27时，y=15.099%
x=37时，y=20.901%
可利用回归方程
预测不同年龄段
的体内脂肪含量
的百分比。
BG
15
（2012山东临沂二模，20,12）假设关于某设备的 使用年限x和所有支出的维修费用y（万元），有如 下表的统计资料：
使用年 限x
2
3
4
5
6
维修费 用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求： （1）线性回归直线方程 （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
yi bixa
(x1,y1)
(xi，yi) (xn，yn)
(x2，y2)
BG
10
பைடு நூலகம்
Q y 1 b 1 a 2 x y 2 b 2 a 2 x y n b n a 2 x
这样通过求此式的最小值而得到回 归直线的方法，即使得样本数据的 点到回归直线的距离的平方和最小
的方法叫做最小二乘法.
法二
法三
1.画一条直线 1.在散点图中 2.测量出各点 多取几组点， 与它的距离 确定出几条直 3.移动直线， 线的方程 到达某一位置 2.分别求出各 使距离的和最 条直线的斜率、 小，测量出此 截距的平均数 时直线的斜率 3.将这两个平 与截距，得到 均数当成回归 回归方程。 方程的斜率与
截距。
BG
图散 点
回 归 直 线
BG
1
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线
求出回归直线的方程
我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量
那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
BG
2
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
截距。
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法四
最 小 二 乘 法
5
求回归方程的关键
——如何使用数学方法来刻画“从整体上看，
各点到此直线的距离最小”。
假设两个具有线性相关关系的变量的一组数 据:(x1, y1),(x2, y2),...... (xn, yn)
下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的距离。
BG
6
最小二乘法的公式的探索过程如下：
1.设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
2.设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是待 定的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得到
Yi=bxi+a（i=1，2，…，n） y 3.它与实际收集得到的yi之间偏差是
（xi ，yi ）
根据有关数学原理推导，a，b的值由下列公式给出
n
n
xi x yi y
xiyi nxy
b i1 n
2
xi x
i1 n
xi2
2
nx
i1
i1
a ybx
BG
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n
Σ（yi-Yi）的最小值
i=1
n
Σ|yi-Yi|的最小值
i=1
n
Σ（yi-Yi）2的最小值
i=1
n
xi yi n x y
根据最小二乘法公式，
利用计算机可以求出
其回归直线方程
回
归
图散
y0.577x0.48 点
直 线
BG
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年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
yi-Yi
yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）
（x1，y1）
这样，用这n个偏差的和来刻画
“各点与此直线的整体偏差”
是比较合适的。
BG
（x2，y2）
7
(x1 ,y1)
(xi ,yi)
(x2 ,y2)
yi-(bxi+a)
因此用 y=bx+a的“整体距离”
表示各点到直线
BG
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由于绝对值使得计算不方便，在实际应用 中人们更喜欢用
(1)求平均数
；
(2)计算 xi 与 yi 的乘积,再求
；
(3)计算
；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
BG
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年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
Q y 1 b 1 a 2 x y 2 b 2 a 2 x y n b n a 2 x
(x1,y1)
(xi，yi)
yi bixa
(xn，yn)
(x2，y2)
BG
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这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即
点到直线 ybxa的“整体距离”最小.
Q y 1 b 1 a 2 x y 2 b 2 a 2 x y n b n a 2 x
法四
？ ？ 3
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强.
回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？
BG
4
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
法二
法三
1.画一条直线 1.在散点图中 2.测量出各点 多取几组点， 与它的距离 确定出几条直 3.移动直线， 线的方程 到达某一位置 2.分别求出各 使距离的和最 条直线的斜率、 小，测量出此 截距的平均数 时直线的斜率 3.将这两个平 与截距，得到 均数当成回归 回归方程。 方程的斜率与
问题:在一次对人体脂肪含量与年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：
年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6