小学奥数基础教程(加法乘法原理)
五年级奥数专题 加法原理和乘法原理综合(学生版)
学科培优数学“加法原理和乘法原理综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题知识梳理乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.例题精讲【试题来源】【题目】从五年级8个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,那么一共有多少种评选方法？【试题来源】【题目】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字,相邻的字颜色不同,共有多少种写法？【试题来源】【题目】北京到广州之间有10个站,其中只有两个站是大站（不包括北京、广州）,从大站出发的车辆可以配卧铺,那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？【试题来源】【题目】7个相同的球放在4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种？【试题来源】【题目】如图所示,沿线段从A 走最短路线到B 有多少种走法？【试题来源】【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择？GD F CE BA106343211111BA【试题来源】【题目】用1,2,3,4这4个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1234,4321等,求全体这样的四位数之和．【试题来源】【题目】某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票？【试题来源】【题目】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.【试题来源】【题目】12个人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同选法？【试题来源】【题目】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种．【试题来源】【题目】在2000到2999这1000个自然数中,有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【试题来源】【题目】将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。
小学奥数--加法原理乘法原理
加法原理与乘法原理加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
小学阶段只学习两个原理的简单应用。
【题目1】：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法【解析】：运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
小学奥数- 加乘原理之数字问题(一)
一、加乘原理概念
生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中 的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加 法原理来解决．
还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．
【例 13】从 1 到 100 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个?
【巩固】 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个?
【巩固】 从 1 到 300 的所有自然数中，不含有数字 2 的自然数有多少个?
【例 14】 将各位数字的和是 10 的不同的三位数按从大到小的顺序排列，第 10 个数是
【例 19】自然数 8336，8545，8782 有一些共同特征，每个数都是以 8 开头的四位数，且每个数中恰好有两 个数字相同．这样的数共有多少个？
【巩固】 在 1000 到 1999 这 1000 个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？
【例 20】如果一个三位数 ABC 满足 A B ， B C ，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数．
二、加乘原理应用
应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理， 综合分析，正确作出分类和分步． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问 题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互．不．影．响．的独．立．步．骤．来完成，这几步是完成这件任务缺．一．不． 可．的．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．
小学奥数——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题,就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时,又有几种不同的方法,要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么,他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连,可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法,注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到,用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地,如果完成一件事需要个步骤，其中,做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有种不同的方法．这就是乘法原理．例1.某人到食堂去买饭,主食有三种,副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是:①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3.书架上有6本不同的外语书,4本不同的语文书,从中任取外语、语文书各一本,有多少种不同的取法？例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形?例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数?②可组成多少个没有重复数字的三位数?分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以,每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以,数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上,可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上,由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法．例6.由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数,故个位上只有能取1、3、5中的一个,有3种不同的取法;十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．例7.右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B,由于A已放定,那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D,再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D,D有1种放法，本题要由乘法原理解决．例8.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值,看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值,共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样,第一步，从8张壹角的人民币中取;第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．但要注意，要求“至少取一张”。
小学四年级奥数(乘法原理和加法原理)
小学四年级奥数第4讲乘法原理和加法原理知识方法…………………………………………………在现实生活中，经常要将两种或两种以上的事物进行搭配。
如果完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件工作的方法总数就是等于各类完成这件工作的综合。
这种方法我们称之为加法原理，也叫分类计数原理。
如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤中又有很多种不同的方法，那么完成这件工作的方法，就是把每一个步骤中的不同方法连乘起来。
这种方法我们称之为乘法原理，又叫做分步计数原理。
重点点拨…………………………………………………【例1】小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法?分析我们可以把他们所排列的位置分为一、二、三号位。
把他们的排列分成三个步骤。
从一号位开始可以有三个选择，这时二号位只能有两个选择(因为一号位已经站了一个人)，这时三号位只能有一个选择。
这样我们可以根据乘法原理进行解决。
解答2×3=6(种)答:有6种不同的排法【例2】书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。
如果从中各取一本科技书、一本故事书和一本英语书，那么共有多少种取法?分析完成这件工作可以分三步完成，第一步取科技书有5种取法，再取一本故事书有6种取法，最后取一本英语书有8种取法，根据乗法原理可以求出所有的取法。
解答5×6×8=240(种)答:共有240种取法。
【例3】一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。
(1)从两个盒子任取一个小球，有多少种不同的取法?(2)从两个盒子里各取个球，有多少种不同的取法？分析 (1)从两个盒子里任取一个球，可以从第一个金子里取，也可以从第二个盒子里取，这是两大类不同的方法，所以是加法原理的间题。
(2)从两个金子里各取一个小球，这要分两个步骤进行。
可以先从第一个盒子里取球后，再从第二个盒子里取球，这是乘法原理的问题。
小学奥数——乘法原理与加法原理
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小学奥数基础教程(加法乘法原理)ppt课件
这也叫做加法原理
精选ppt
例2:小红到学校有三条路，学校到小明家有四 条路，问小红想经过学校到小明家，有几条
路可以到达？
学校 小红家
小明家
小红家到学校有 3 条 学校到小明家有 4 条 小红家到小明家有（ ）条
3 ×4＝12（条）
精选ppt
从刚才的例子可以看出： 做一件工作必须分两（或
借一本故事书，有几 种借法？
5 × 3＝15（种）
想：一共有多少种不 同的借法？
精选ppt
运用1：四年1、2、3、4、5班排球队要进行比赛， 每个队都要和其他队比赛一场，一共有多少场比赛？
想：完成什么任务呢？
两个队进行一场比赛， 那1队和2队比赛完成 任务了吗？
完成了，1队和3队比 赛一场也完成了吗？
1队：1队－2队，1队－3队，1队－4 队，1队和5队 共4场
那2队有几场呢？注意不重复哦。
也完成了，那么，可 以分类完成，用什么 原理呢？
4+3+2+1＝10（场）
加法原理
精选ppt
运用2：用0、2、3、6三个数字，可以组成几个不 同的三位数，其中最小的一个是几？
想：这道题是用分类还是分步骤？
第一步
精选ppt
第一步
第三步
百位
十位
个位
小百 小十小个 位 位位 最 最最
2 03
3种2、 3种：余 3、6 下3个
2种：余下 2个
3 ×3 ×2＝18
注意：整数首位不 能为“0”哟
精选ppt
练习2： 1、用0、7、3、6、4这几个数字可以组成几个不同 的在三位数？最大的是多少？ 2、平平到食堂吃饭，荤菜有4种，素菜有3种，汤有 2种。如果他只吃一种菜有几种吃法？如果他要吃一 菜一汤又有几种呢？ 3、用1角、2角和5角的人民币组成一元（张数无限 制），有多少种不同的组成方法？
小学奥数——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时,要分几步才能完成，而在完成每一步时,又有几种不同的方法,要知道完成这件事一共有多少种方法,就用我们将讨论的乘法原理来解决.例如某人要从北京到大连拿一份资料,之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法?分析这个问题发现,某人从北京到天津要分两步走.第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法,所以他从北京到天津共有下面的三种走法:3×1=3．如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津,那么他从北京到天津则有以下的走法:共有六种走法,注意到3×2=6.在上面讨论问题的过程中,我们把所有可能的办法一一列举出来.这种方法叫穷举法.穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤.由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数,就是完成这件事所有的方法数.一般地，如果完成一件事需要个步骤,其中,做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法,…，做第步有种不同的方法,那么,完成这件事一共有种不同的方法.这就是乘法原理.例1.某人到食堂去买饭,主食有三种,副食有五种,他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法?补充说明：由例题可以看出,乘法原理运用的范围是:①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题.例2.右图中有7个点和十条线段,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书,从中任取外语、语文书各一本,有多少种不同的取法?例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、10０米跑、２00米跑四项中的一项比赛,问:报名的结果会出现多少种不同的情形?例5.由数字0、1、2、3组成三位数,问:①可组成多少个不相等的三位数?②可组成多少个没有重复数字的三位数?分析在确定由0、1、2、３组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数.所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0,故有3种不同的取法;十位上,可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上,也有4种不同的取法．②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上,不能取0,有3种不同的取法;十位上,由于百位已在1、2、3中取走一个,故只剩下0和其余两个数字,故有3种取法；个位上,由于百位和十位已各取走一个数字,故只能在剩下的两个数字中取,有2种取法.例6.由数字１、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数,需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成,由于要求组成的数是奇数,故个位上只有能取1、３、5中的一个，有３种不同的取法;十位上,可以从余下的五个数字中取一个,有5种取法;百位上有４种取法；千位上有3种取法,故可由乘法原理解决．例7.右图中共有1６个方格,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出现一个棋子.问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事.第一步放棋子Ａ，A可以放在16个方格中的任意一个中,故有16种不同的放法；第二步放棋子B,由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B,故还剩下9个方格可以放B,B有9种放法；第三步放C,再去掉Ｂ所在的行和列的方格,还剩下四个方格可以放C,C有4种放法；最后一步放D，再去掉Ｃ所在的行和列的方格,只剩下一个方格可以放D,D有１种放法,本题要由乘法原理解决.例8.现有一角的人民币4张,贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张,至多取９张，那么,共可以配成多少种不同的钱数?分析要从三种面值的人民币中任取几张,构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的,再取贰角的,最后取壹元的.但注意到,取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币,得到的钱数是相同的.这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑.即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值,共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从８张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱.这样，第一步,从8张壹角的人民币中取;第二步,从3张壹元的人民币中取共４种取法,即0、1、2、３.但要注意,要求“至少取一张”.生活中常有这样的情况,就是在做一件事时，有几类不同的方法,而每一类方法中,又有几种可能的做法．那么,考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决.例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到天津,有4趟长途汽车从北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法?分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车,有这两大类走法，如果乘火车,有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法.上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+４=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法.在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成.并且两大类方法是互无影响的,那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数.一般地,如果完成一件事有类方法,第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做法，…，第类方法中有种不同的做法,则完成这件事共有种不同的方法．这就是加法原理.例1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书.小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书１50本,不同的科技书200本，不同的小说10０本．那么,小明借一本书可以有多少种不同的选法？例2.一个口袋内装有3个小球,另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同.问：①从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?②从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?补充说明:由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中,做完一件事要分成若干个步骤,一步接一步地去做才能完成这件事;加法原理中，做完一件事可以有几类方法,每一类方法中的一种做法都可以完成这件事.事实上,往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容,综合使用这两个原理.例3.如右图,从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走.那么,从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法.第一类，由甲地途经乙地到丙地．第二类，由甲地直接到丙地．例4.如下页图,一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点,要求任何点和线段不可重复经过．问:这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到Ｂ点有两类走法，一类是从A点先经过Ｃ点到Ｂ点,一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中,都要用乘法原理，而最后计算从Ａ到Ｂ的全部走法时，只要用加法原理求和即可．例5.有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上分别标有数字１、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形?分析要使两个数字之和为偶数,只要这两个数字的奇偶性相同,即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．例6.从1到５00的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到5０0的所有自然数可分为三大类，即一位数,两位数,三位数.一位数中,不含４的有8个，它们是1、2、３、5、6、7、8、９；要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理．要确定一个三位数,可以先取百位数,再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理.补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个０的三位数,如:把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数.如:把11看成011.那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去50０外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、２、3这四种选法；十位上,有0、1、２、3、5、6、7、8、9这九种选法;个位上，也有九种选法.所以,除500外，有4×9×9=３２４个不含4的“三位数”．注意到,这里面有一个数是00０,应该去掉．而５0０还没有算进去，应该加进去.所以,从１到500中,不含4的自然数仍有324个.这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后,问题很简捷地得到解决.例7.如图,要从A点沿线段走到Ｂ，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到,从A到B要一直向右、向上,那么，经过下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点.也就是说从A到B点的路线共分为四类,它们是分别经过C、D、E、F的路线．自我检测1.某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地,现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走,从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2.如右图,在三条平行线上分别有一个点，四个点,三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形.问：一共可以画出多少个这样的三角形？3.在自然数中,用两位数做被减数,用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式?4.一个篮球队，五名队员A、B、Ｃ、D、Ｅ，由于某种原因，C不能做中锋,而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问:共有多少种不同的站位方法?5.由数字1、2、3、４、5、6、７、8可组成多少个①三位数?②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数?④百位为８的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数?6.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0,其余各位数上可以是0～９中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复.那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？1.如右图,从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路,从丁地到丙地有四条路,问:从甲地到丙地共有多少种走法?2.书架上有６本不同的画报和7本不同的书,从中最多拿两本（不能不拿）,有多少种不同的拿法?3.如下图中,沿线段从点Ａ走最短的路线到B，各有多少种走法？4.在1~1００0的自然数中,一共有多少个数字0？5.在1～５０0的自然数中,不含数字０和１的数有多少个?6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来?。
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1队：1队－2队，1队－3队，1队－4 队，1队和5队 共4场 那2队有几场呢？注意不重复哦。
4+3+2+1＝10（场）
运用2：用0、2、3、6三个数字，可以组成几个不同 的三位数，其中最小的一个是几？
想：这道题是用分类还是分步骤？
第一步
第一步
第三步
百位
十位
个位
3种2、 3种：余 3、6 下3个
m(1)+m(2)+…+m(n)=总共的方法数
这也叫做加法原理
例1:小红到学校有三条路，学校到小明家有四 条路，问小红想经过学校到小明家，有几条 路可以到达？
学校 小红家
小明家
小红家到学校有 3 条 学校到小明家有 4 条 小红家到小明家有（ ）条
3 ×4＝12（条）
从刚才的例子可以看出，做一件 工作必须分二步，每一步有几种 方法，我们就将每一步的方法数 乘起来就是全部的方法数，这也 叫做乘法原理。
如何区分加法和乘法原理呢
加法原理 乘法原理
分类完成， 每一类均 可以完成 任务
分步骤完 成，缺一 步不能完 成任务
练习1：
1、小明想在超市买一包方便面，超市1.50元的有4 种，3.00元的有5种，5.00元的有2种，他有多少种 不同的买法？
2、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字 母写成三种不同颜色。现有5种不同颜色的笔,按上 述要求能画出种不同颜色搭配“IMO”？
借一本故事书，有几 种借法？
5 × 3＝15（种）
想：一共有多少种不 同的借法？
运用1：四年1、2、3、4、5班排球队要进行比赛， 每个队都要和其他队比赛一场，一共有多少场比赛？
想：完成什么任务呢？
两个队进行一场比赛， 那1队和2队比赛完成 任务了吗？
完成了，1队和3队比 赛一场也完成了吗？
也完成了，那么，可 以分类完成，用什么 原理呢？
3、用1角、2角和5角的人民币组成一元（张数无限 制），有多少种不同的组成方法？
作业： 1、四位同学进行乒乓比赛，每两位同学可组成一组， 最多可以组成不重复的几组？ 2、某人要从甲地经过乙地到丙地去，已知从甲到乙有 3条路，从乙到丙有4条路，他从甲到丙有几条选择道 路的方式？ 3、小红要参加同学的生日庆祝，她把花、红、黄三条 裙子和黑、白两双鞋子找出来搭配着穿。她一共有多 少种搭配的方式？ 4、三年级星期二上午要上语文、数学、科学和美术课， 每门课上一节，问：课表有多少种排法？ 5、有3个信箱，邮递员叔叔肥把3封信投入信箱，信箱 内信件的数量有多少不同的情况？ 6、妈妈有10张一元纸币，5张二元纸币，2张5元纸币。 要拿出10元钱给小秋买一本故事书，问：可以有几种 拿法？
2种：余下 2个
3 ×3 ×2＝18
ห้องสมุดไป่ตู้
百 十个 位 位位 最 最最 小 小小
2 03
注意：整数首位不 能为“0”哟
练习2：
1、用0、7、3、6、4这几个数字可以组成几个不同 的在三位数？最大的是多少？
2、平平到食堂吃饭，荤菜有4种，素菜有3种，汤 有2种。如果他只吃一种菜有几种吃法？如果他要 吃一菜一汤又有几种呢？
小学奥数基础教程
乘法原理 加法原理
例2：平平要从上海到北京，可以选择坐 飞机，当天有4个班次。也可以选择坐火 车，当天有3个班 次，平平有几各不同 的方法到北京？
3种
坐火车
第一类：3种
上海
坐飞机
北京
第二类：4种
4种
3+4＝7（种）
从上面的例题可以看不出： 如果完成一件工作有N类方法， 在第一类中有m(1)种不同的方法， 在第二类中有m(2)种不同的方法， 依此类推，在第n类中有m(n)种不同的方法 总共有的方法有：
例3：王老师有5本不同的科学书，3本不同的故事书。 小明要向王老师借一本书，有多少种不同的借法？ 如果借两本，有几种不同的借法呢？
想：借一本科学书完 成任务了吗？有几种 不同的借法？
想：借一本故事书完 成任务了吗？有几种 不同的借法？
想：一共有多少种不 同的借法？
5+3＝8（种）
想：借一本科学书或 故事书完成任务了吗？ 没有，因为要借两本 书，那么我们可以分 步进行，先借一本科 学书，有几种借法？