圆板受力分析
周边固定支撑的圆平板受到轴向均布载荷时的mises应力公式的推导过程
周边固定支撑的圆平板受到轴向均布载荷时的mises应力公式的推导过程周边固定支撑的圆平板受到轴向均布载荷时的Mises应力公式的推导过程在工程力学中，我们经常需要计算结构物体受力情况下的应力分布。
而当一个圆平板受到轴向均布载荷时，我们可以通过推导出Mises应力公式来计算其应力分布情况。
首先，我们考虑一个半径为R、厚度为t的圆平板，其受到轴向均布载荷P。
我们将载荷P沿着圆平板的周边均匀分布，这意味着载荷P在每个单位长度上的大小为P/2πR。
我们可以通过将圆平板分割为无数个扇形片段来进行分析。
我们先考虑一个扇形片段，其弧长为ds。
在这个扇形片段上，载荷P在垂直于圆平板的方向上产生的力为P/2πR。
假设该扇形片段的角度为dθ，它的面积可以近似为dA=Rds。
因此，载荷在这个扇形片段上产生的应力σ可以通过应力=力/面积的公式推导出来：σ = (P/2πR)/(Rds) = P/(2πR^2ds)接下来，我们考虑整个圆平板。
由于圆平板是一个连续体，我们可以将其视为无数个扇形片段的叠加。
因此，整个圆平板上的应力可以通过将所有扇形片段上的应力叠加起来求得。
考虑一个角度为θ的扇形片段，它的应力σ可以表示为：σ = P/(2πR^2ds)我们可以将ds表示为扇形片段的弧长与半径的乘积，即ds=Rdθ。
将其代入上式得到：σ = P/(2πR^2Rdθ) = P/(2πR^3dθ)现在，我们要将整个圆平板上的应力叠加起来。
整个圆平板的周长为2πR，因此，角度为θ的扇形片段所占的比例为dθ/2π。
将这个比例乘以扇形片段上的应力得到该扇形片段在整个圆平板上的应力分布：dσ = (P/(2πR^3dθ)) * (dθ/2π) = P/(4π^2R^3)dθ最后，我们将所有扇形片段的应力叠加起来，得到整个圆平板上的应力分布：σ = ∫dσ = ∫(P/(4π^2R^3)dθ)对上式进行积分，得到：σ = P/(4π^2R^3) ∫dθ = P/(4π^2R^3) θ + C其中，C为积分常数。
第三章 圆板的应力分析
且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
6 t2
3
q
16
R2 r2
M
(#1)
z t 2
6 t2
3 q
16
R2
1 3 3
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r
dM r dr
Mr
M
Qrr
或
drM
dr
r
M
Qrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
zz2t2t
3t6238t3216q qR2R2
131333r 2r2
M
显然，在板 中心挠度和 应力最大
wmax
wr0
5 qR4 641 D
r
zt r 0
2
zt 2 3 3
r 0
8t 2
qR4
(2-68) (2-73)
21
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均布载荷固支圆板
2πr
z
r
(b)
压力容器应力分析_平板应力分析
2.3.1 概述（1）板与壳板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较其它两个方向的尺寸小的多。
但是，板和壳的不同点在于，其初始形状分别为平板和曲面。
显然，板壳结构是工程上常用到的结构之一。
（2）板的分类①按形状分②按受力形式分③按板的厚度分薄膜板－薄板－厚板－1100 11001515t bt bt b≤<<≥（对于圆平板b = D ）（3）本章节所讨论的对象石油化工设备上的平板结构，多数属于薄板。
其承受载荷后引起的变形，多属于小挠度变形。
在承受的载荷特性方面，绝大多数情形为轴对称载荷。
此外，板的形状多为圆形板。
因此，本章节讨论的问题是：圆形薄板在轴对称载荷下的弹性小挠度问题。
（4）基本假设中性面假设－板的中间面变形后，只弯曲不伸长，即中间面同时也是中性面。
（这样，可以只考虑弯曲的作用，而忽略拉压力的作用。
对于微元体分析，各面上只考虑弯矩的作用，）直法线假设－原垂直于中间面的各直法线，变形后仍保持直法线，且垂直于变形后的中性面。
（这样，可以认为板的变形为轴对称变形。
在考虑微元体受力时，部分面上的剪力可认为是零。
）互不挤压假设－薄板的各层纵向纤维变形前后均互不挤压。
（这样，在分析过程中可忽却薄板内的法向应力ϭz ）上述假设，又称为Kirchoff假设,是下面对圆薄板进行力学分析的基础。
2.3.2圆平板对称弯曲微分方程通过弹性力学的位移法，导出平衡方程、几何方程和物理方程，从而得到以挠度位移为自变量的微分方程。
（1）平衡方程微元体的取出：一对相距dr 的圆柱面；一对相差d θ的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为t ）。
微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和剪力；根据轴对称性，只有剪力Q r 存在；此外，微元表面有外力p z 。
上述内力均为单位长度上的内力：N·M / M ；N / M（2）几何方程在板内z处，取径向微段AB，微段长度为dr。
板的中性面仅弯曲变形，而AB被纵向拉伸为A’B‘。
圆板受力分析
不同应力之间的关系如下图所示：
【思考题】 （1） 一次应力和二次应力的基本区别是什么？ （2） 什么是二次应力的自限性？二次应力具有自限性的内在原因和外部条件是什么？
4
3、应力分类
（1）一次应力(primary stress)P 由于外载荷作用而在容器部件内产生的正应力或者剪应力， 或者平衡外部机械载荷所必 须的应力。其特点有两个： 满足静力平衡条件，即载荷增加，应力相应地增加，应变也增加； 非自限性，应力沿壁厚方向均匀分布。 一次应力又包括以下三类： 一次总体薄膜应力（general primary membrane stress） ，其影响范围整个结构的薄膜 应力，如分布载荷引起的薄膜应力； 一次局部薄膜应力（primary local membrane stress） ，应力水平大于一次总体薄膜应 力，但影响范围仅限于结构局部区域的一次薄膜应力。如局部外载荷引起的薄膜 应力。 一次弯曲应力（primary bending stress） ，平衡压力或其他机械载荷所需的沿截面厚 度方向线性分布的弯曲应力。 （2）二次应力（secondary stress）由于容器部件的自身约束或相邻部件的约束而产生的 正应力或剪应力。或者满足变形协调（连续性）要求所必须的应力。 其特点：一是满足变形协调性，而是有自限性，以“安定性”的概念予以限制。 （3）峰值应力（peak stress）由于结构不连续，而加到一次应力和二次应力之上的应力。
1、承受均布载荷圆形平板的变形
承受均布载荷的圆形平板变 承受均布载荷的圆平板变形
2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值
当板的上表面承受均布载荷时， 板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图 2 所示。
周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：
圆板受力分析
第10章压力容器的弯曲应力和二次应力本章重点内容及对学生的要求：（1）掌握圆平板受均布载荷时的弯曲应力的分布规律以及对弯曲应力的限制；（2）了解边界应力的产生原因和性质以及对二次应力的限制。
第一节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、承受均布载荷圆形平板的变形承受均布载荷的圆形平板变形后的宏观示意图如图1所示。
图1 承受均布载荷的圆平板变形2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值当板的上表面承受均布载荷时，板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图2所示。
周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：2max ,0,023(3)()()8M r r M r pR θμσσσδ==+=== （1） 对于化工用钢，0.3μ=，则：2max 21.24pR σδ= （2）对于周边固支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的四周，其值为： 2max 20.75pR σδ=± （3）上述公式中的“—”代表圆板上表面的应力，带“＋”表示的是下表面的应力。
3、弯曲应力与薄膜应力的比较与结论上面两个式（1）与（3）可以统一为：2max 2pD K σδ= （4）其中K 为系数，对于周边简支圆平板：0.31K =；对于周边固支圆平板：0.188K =。
为了与同直径，同厚度的圆柱形壳体所产生的薄膜应力进行比较，将（4）写成：max 222D pD D K K θσσδδδ== （5） 可见圆平板的应力是圆柱体的2D K δ倍，此值非常大。
第二节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、边界应力产生的原因当设备相邻两段性能不同，或所受温度或压力不同，导致两部分变形量不同，但又相互约束，从而产生较大的剪力与弯矩。
以筒体与封头联接为例（图3），圆柱筒身与较厚的平板封头相连接在一起，承受内压时筒身要向外胀大，而平板型封头对其有一个约束作用，平板在内压下发生的是弯曲变形，直径不会增大，所以筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。
圆环平板受力计算
圆环平板受力计算
在圆环平板受力计算中，需要考虑平衡状态下作用在平板上的各个力量。
一个简化的情况是，将平板视为刚体，并假设没有重力和摩擦力的影响。
在圆环平板上，可能存在的力有：
1、垂直于平面的力（垂直于平板表面的力）：如物体的重力、支持平板的支撑力等。
2、平行于平面的力（在平板表面上的力）：如物体施加的压力、摩擦力等。
如果平板处于静止或匀速运动状态，根据力的平衡条件，垂直于平面的力和平行于平面的力之间必须达到平衡。
即：
1、垂直方向力的合力为零：ΣF_vertical = 0。
2、平行方向力的合力为零：ΣF_horizontal = 0。
3、根据具体情况，可以使用力的分解和向量相加减的方法，对平板上的力进行计算。
圆板的应力分析
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2.平衡方程
设圆板承受轴对称横向分布载荷 q(r )。通常薄板弯曲的
平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，θ)截取中面上的微
小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭
头表示，方向遵循右手螺旋法则。
M q Qr
d
Mr r
0 z
dr M
Mr dMr Qr dQr
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§3.1 基本概念与假设
变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存
在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯 矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。
挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。
当中面的wmax远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问 题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩； 当wmax与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内 的薄膜力较大，因而不能忽略。
c
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图2-26 圆板的微体受力
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drMLeabharlann drrMQrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
t
(a)受纵向载荷的板
(b)受横向载荷的板
第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷 情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载 同时作用时，可通过叠加求解。
气体的压强
气体的压强审稿：唐挈责编：郭金娟本周内容：1、气体的状态和状态参量：温度、体积、压强。
2、计算气体的压强。
学习重点：1、理解气体压强概念的物理意义。
2、正确计算密闭气体的压强。
学习内容：一、气体的状态参量生活中气体的热现象例如：热气球在空中悬浮，压缩缸中气体突然膨胀，气缸中气体被压缩等等，热运动的情景与物体机械运动不同，因此需要根据气体热运动的特征引入新的物理量来描述它的状态。
此时气体在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间而改变，可以用具有可确定的宏观物理量来对气体进行描述。
这样的物理量为气体的状态参量。
例如气体的几何参量——体积Ｖ；气体力学参量——压强Ｐ；热学参量——温度Ｔ。
1、气体的体积Ｖ：因为气体分子的自由移动，总是充满整个容器，所以容器的容积就是气体分子所占据的空间，也就是气体的体积。
〔1〕气体的体积是指气体分子充满的空间，即容器的容积。
〔2〕这个体积不是气体分子本身体积之和。
〔3〕国际单位制：米３(m３)、分米３(d m３)、厘米３(cm３)、升(l)关系：１l＝10－３m３=1dm３。
2、气体的压强Ｐ：气体分子无规则的运动，使得它们撞击容器壁造成对容器壁的压力，从统计的规律可以理解压力向四面八方各个方向，因此容器壁的各处均有气体作用产生的且大小相等的压强。
〔1〕气体的压强是气体对器壁单位面积上的压力。
①如何理解？从气体分子运动论的观点来看，容器中气体充满容器，气体分子做无规则运动，运动速率很大，并不断碰撞容器壁；大量分子对器壁频繁地碰撞的结果产生压强。
对气体中某一个分子讲对器壁碰撞是断续的、偶然的，但对大量分子碰撞整体表现为一持续的恒定的压力。
这好比雨滴打在雨伞上，使伞面受到的作用力，单个雨滴对伞面的作用力是断续的，但大量密集的雨接连不断打在伞面上就形成一持续均匀的压力一样。
②气体压强大小和哪些因素有关？Ｉ、单位体积内的分子数即气体的分子密度：分子密度越大，在单位时间内器壁的单位面积上受到分子撞击次数越多，产生的压强也就越大。
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第10章压力容器的弯曲应力和二次应力
本章重点内容及对学生的要求：
（1）掌握圆平板受均布载荷时的弯曲应力的分布规律以及对弯曲应力的限制；
（2）了解边界应力的产生原因和性质以及对二次应力的限制。
第一节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力
1、承受均布载荷圆形平板的变形
承受均布载荷的圆形平板变形后的宏观示意图如图1所示。
图1 承受均布载荷的圆平板变形
2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值
当板的上表面承受均布载荷时，板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图2所示。
周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：
2max ,0,02
3(3)()()8M r r M r pR θμσσσδ==+=== （1） 对于化工用钢，0.3μ=，则：
2
max 21.24pR σδ= （2）
对于周边固支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的四周，其值为： 2
max 20.75pR σδ=± （3）
上述公式中的“—”代表圆板上表面的应力，带“＋”表示的是下表面的应力。
3、弯曲应力与薄膜应力的比较与结论
上面两个式（1）与（3）可以统一为：
2
max 2pD K σδ= （4）
其中K 为系数，对于周边简支圆平板：0.31K =；
对于周边固支圆平板：0.188K =。
为了与同直径，同厚度的圆柱形壳体所产生的薄膜应力进行比较，将（4）写成：
max 222D pD D K K θσσδδδ
== （5） 可见圆平板的应力是圆柱体的2D K δ
倍，此值非常大。
第二节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力
1、边界应力产生的原因
当设备相邻两段性能不同，或所受温度或压力不同，导致两部分变形量不同，但又相互约束，从而产生较大的剪力与弯矩。
以筒体与封头联接为例（图3），圆柱筒身与较厚的平板封头相连接在一起，承受内压时筒身要向外胀大，而平板型封头对其有一个约束作用，平
板在内压下发生的是弯曲变形，直径不会增大，所以筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。
边缘应力数值很大，有时导致容器失效，应重视。
2、边界应力的性质
边缘应力具有局限性和自限性两个基本特性：
（1）局限性—大多数都有明显的衰减波特性，随离开边缘的距离增大，边缘应力迅速衰减。
（2）自限性—弹性变形相互制约，一旦材料产生塑性变形，弹性变形约束就会缓解，边缘应力自动受到限制，即边缘应力的自限性。
❖塑性好的材料可减少容器发生破坏。
❖局部性与自限性，设计中一般不按局部应力来确定厚度，而是在结构上作局部处理。
❖只要是塑性材料，即使局部某点的应力超过材料极限，邻近尚未屈服的弹性区能够抑制塑性变形的发生。
但是对于某些情况，需要考虑边缘应力的影响，如果不考虑则在边缘高应力区有可能导致脆性破坏或疲劳。
❖塑性较差的高强度钢制的重要压力容器；
❖低温下铁素体钢制的重要压力容器；
❖受疲劳载荷作用下的压力容器；
❖受核辐射作用的压力容器。
3、应力分类
（1）一次应力(primary stress)P
由于外载荷作用而在容器部件内产生的正应力或者剪应力，或者平衡外部机械载荷所必须的应力。
其特点有两个：
◆满足静力平衡条件，即载荷增加，应力相应地增加，应变也增加；
◆非自限性，应力沿壁厚方向均匀分布。
一次应力又包括以下三类：
◆一次总体薄膜应力（general primary membrane stress），其影响范围整个结构的薄膜
应力，如分布载荷引起的薄膜应力；
◆一次局部薄膜应力（primary local membrane stress），应力水平大于一次总体薄膜应
力，但影响范围仅限于结构局部区域的一次薄膜应力。
如局部外载荷引起的薄膜
应力。
◆一次弯曲应力（primary bending stress），平衡压力或其他机械载荷所需的沿截面厚
度方向线性分布的弯曲应力。
（2）二次应力（secondary stress）由于容器部件的自身约束或相邻部件的约束而产生的正应力或剪应力。
或者满足变形协调（连续性）要求所必须的应力。
其特点：一是满足变形协调性，而是有自限性，以“安定性”的概念予以限制。
（3）峰值应力（peak stress）由于结构不连续，而加到一次应力和二次应力之上的应力。
4、对应力的限制
（1）极限应力
根据塑性失效准则，一点处的最高应力到达屈服极限时，并不认为整个部件失效，而当随着载荷的进一步加大，是部件的内部也相应地屈服，知道整个部件全部进入塑性状态时，才认为部件的承载能力才算达到了极限，同时宣告部件的失效。
这时部件所承受的载荷称为极限载荷。
与极限载荷相对应的应力称为极限应力。
（2）极限设计法则在受弯零件中，极限应力远大于材料的屈服极限，对于受弯曲的梁或者板来讲，一点处的应力到达屈服极限时，并不认为其失效，只有整个截面上各点的应
力均达到屈服极限时，结构才算失效。
按照这样的原则进行设计称为极限设计法。
（3）对二次应力的限制
二次应力具有自限性和局部性，所以对于用良好塑性材料制成的构件，没有必要使用不允许达到屈服极限来限制。
也就是说，存在二次应力的局部地区，只允许出现塑性变形，但是不允许出现多次反复的塑性变形。
称这一原则为安定准则。
（4）不同应力的限制
不同应力之间的关系如下图所示：
【思考题】
（1）一次应力和二次应力的基本区别是什么？
（2）什么是二次应力的自限性？二次应力具有自限性的内在原因和外部条件是什么？。