锐角三角函数课件.ppt
合集下载
锐角三角函数ppt课件
5x
３x
令ＢＣ＝３x, AB=5x
又AC AB2 BC2 5x2 3x2 4x
cos A AC 4 AB 5
tan B AC 4 BC 3
15
类型四.如果不是直角三角形，要构造成直角三角形
如图，在△ABC中， ∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中 线，求sin ∠ ABD和tan ∠ ABD
∠M的对边是_____P_N__;
想一想：∠P的 对边、邻边与 ∠M的对边、邻 边有什么关系？
（第 1 题） 5
观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、 Rt△AB2C2和Rt△AB3C3， 它们之间有什么关系？
R所t以△ABBA11CCC11 1∽＝R__t△_BA_C2AC_2B_2 _2C__2∽_=R_t_△__ABA_C3B_C图33_3C_13_9._3..2 可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个 确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定 的.
3
我们已经知道，直角三角形ABC可以简 记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称 为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫 ∠A的对边与邻边，用a、b表示.
图 19.3.1
4
如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是___M__N_____,∠P的邻边是 ______P_N________;
cot A= A的邻边
A的对边
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，
统称为锐角∠A的三角函数.
8
注意：
1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.
2. 三角函数的实质是一个比值，没有单位，也不能为负， 而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.
锐角三角函数课件
$sin 30^circ = frac{1}{2}$
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)
BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
中考数学锐角三角函数(共56张PPT)
二、填空题
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离； (2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数)
解：(1) ∵AE=80，∠BAE=30°，∠ABE =90°, ∴BE=AEsin30°=80× =40(m). 答：旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2) ∵∠CED=∠AEB，∠DCE=∠ABE =90°,
∴∠D=∠BAE=30°.
∵CD=34 m,
∴DE=
=
=
(m).
∴DB=BE+DE=
≈40+
≈79(m).
答：海洋球D处到出口B处的距离为79 m.
二、填空题
11. 小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+ sin283°≈0．122+0．992=0．9945; sin222°+ sin268°≈0．372+0932=1．0018; sin229°+ sin261°≈0．482+0．872=0．9873; sin237°+ sin253°≈0．602+0．802=1．0000;
二、填空题
9. (2017北京)计算：4cos30°+
原式=4× +1-
+2
=
+1- +2=3.
-
+
.
10.(2017湘潭)某游乐场部分平面图如图Z2816所示，点C,E,A在同一直线上，点D,E,B在 同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m， C处与D处的距离为34 m，∠C=90°，∠ABE =90°，∠BAE=30°. (2≈1．4，3≈1．7)
图Z28-7
A.
m
B.
m
《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
单击此处添加副标题内容
《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
单击此处添加副标题内容
《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
第16讲锐角三角函数复习课件(共42张PPT)
解：原式＝ 3＋ 2× 22＋ 3－－3－2 3＋1＝ 3＋1＋ 3 ＋3－2 3＋1＝5.
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
4．在△ABC 中，若|cos A－12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的
度数是
(C )
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
5．式子 2cos 30°－tan 45°－ （1－tan 60°）2的值是
∵CE＝EF，∴CAEC＝
m＝ 5m
55，
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
∴tan∠CAE＝ 55. 解法二：∴在 Rt△ABC 中，
tan
B＝ABCC＝
2m ＝ 5m
2， 5
在 Rt△EFB 中，EF＝BF·tan B＝2m，∴CE＝EF＝2m，
5
5
2m
∴在 Rt△ACE 中，tan∠CAE＝CAEC＝2m5＝ 55，
∴tan∠CAE＝ 55.
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
7．如图5－16－4，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上 一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F， 连结FB，则tan∠CFB的值等于 ( C )
3 A. 3
53 C. 3
23 B. 3 D．5 3
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第五章 解直角三角形
第16讲 锐角三角函数
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
月球有多远？ 如图，如果从地球上A点看， 月球S刚好在地平线上(即AS和地 球半径OA垂直)，而同时从地球上B点看，S刚好在天顶处(即S 在地球半径OB的延长线上)，那么∠S就叫做月球S的地平视 差，根据一个天体的地平视差，可以算出这个天体的距离． ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A，B两点 的经纬度算出． 月球S的地平视差(∠S)，就是从月球S看来，垂直于视线 (SA)的地球半径(OA)所对的角．
《锐角三角函数的计算》PPT课件教学课件
(3)csoinsαα＝tan α
第二十四章 解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点）
导入新课
知识回顾 问题1 一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
A．tan 26°＜cos 27°＜sin 28° B．tan 26°＜sin 28°＜cos 27° C．sin 28°＜tan 26°＜cos 27° D．cos 27°＜sin 28°＜tan 26°
4．(3 分)在△ABC 中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，
则∠C＝_4__5_°____，sin A＋cos B＋tan C≈__1_3_4_6___．
12．(8分)已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sin α＝0.5018，求锐角α；
(1)30°7′9″
(2)已知tan θ＝5，求锐角θ.
(2)78°41′24″
【易错盘点】
【例】计算：sin 248°＋sin 242°－tan 44°·tan 45°·tan 46°＝________．
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
第二十四章 解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点）
导入新课
知识回顾 问题1 一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
A．tan 26°＜cos 27°＜sin 28° B．tan 26°＜sin 28°＜cos 27° C．sin 28°＜tan 26°＜cos 27° D．cos 27°＜sin 28°＜tan 26°
4．(3 分)在△ABC 中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，
则∠C＝_4__5_°____，sin A＋cos B＋tan C≈__1_3_4_6___．
12．(8分)已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sin α＝0.5018，求锐角α；
(1)30°7′9″
(2)已知tan θ＝5，求锐角θ.
(2)78°41′24″
【易错盘点】
【例】计算：sin 248°＋sin 242°－tan 44°·tan 45°·tan 46°＝________．
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：在Rt△ABC中,∠C=90°,
BC=ABsin17° ．
你知道sin17°等于 多少吗?
如图，为了方便行人，市政府在10m高的
天桥．两端修建了40m长的斜道．这条斜道的倾
斜角是多少?
C 40m
A
10m
B
如图，在Rt△ABC中,
sin A BC 10 1 . AC 40 4
∠A是多少度?
tan B AC 6.3 0.6429. BC 9.8
∴∠B≈32°44′13″． 因此，射线的入射角度约为32°44′13″．
课堂小结
1．锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数， 统称为 锐角∠A的三角函数． 2．30°、45°、60°角的三角函数值． 3．锐角α的三角函数值的取值范围 ．
正弦 0＜ sinα＜1 正切 tanα>0
cos
A
A的邻边 斜边
b c
一个角的余弦 表示定值、比 值、正值．
知识要点
正切
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把 锐角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切 （tangent），记作tanA，即
tanA
A的对边 A的邻边
a b
一个角的余切 表示定值、比 值、正值．
tan30°=
3
?3
tan 45°= 1?
``````
余弦、正切
教学目标
【知识与技能】
1．了解三角函数的概念，理解余弦、正切的 概念；
2． 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与 两边之比的对应关系；
3．掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角 的三角函数值．
【过程与方法】
1．通过经历三角函数概念的形成过程, 丰富自己的数学活动经验；
2．渗透数形结合的数学思想方法．
A
41
┓
BC
5
B
（2）
抢答
如图,在Rt△ABC中,锐C角A的邻边和斜边同时扩大100
倍，tanA的值（
）
A．扩大100倍 B．缩小100倍
B
C．不变
D．不能确定
┌
A
C
小练习
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B ，B
∠C的对边分别是a，b，c．
求证:sin2A+cos2A=1．
证明：
sin A a ,cos A b ,
小练习
如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿 瘤．在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并 且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤．已知肿瘤 在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身 体，求射线的入射角度．
解:如图，在Rt△ABC中， AC=6.3cm，BC=9.8cm．
2．sinA、 cosA、tanA 是一个比值（数 值）．
3．sinA、 cosA、 tanA 的大小只与∠A的大 小有关，而与直角三角形的边长无关．
【例2】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 °， BC=24，sinA= 1123，求cosA、tanB的值．
A
┓
C 24
B
A
┓
解：∵ sin A BC C
归纳
在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边边与斜边的比、 ∠A的邻边与斜边的比、 ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．
知识要点
余弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦 （cosine），记作cosA，即
所以
AC1
AC2
AC3
AB1 ＝___A_B__2 ____＝_____A_B__3 __．
B1C1 AC1
B2C2
B3C3
＝___A_C_2_____＝____A_C_3____．
在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的 度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的∠A 的邻边与斜边的比、 ∠A的对边与邻边的比都是一 个固定值．
3
∠A（ D ）
A．小于30° B．大于30°
C．小于60° D．大于60°
1
3. 当∠A为锐角，且cosA= 5 那么（ D ）
A．0°＜∠A≤ 30 ° B ．30°＜∠A≤45° C．45°＜∠A≤ 60 ° D．60°＜∠A≤ 90 °
【情感态度与价值观】
1．感受数学来源于生活又应用于生活， 体验数学的生活化经历；
2．培养主动探索，敢于实践，勇于发现， 合作交流的精神．
教学重难点
重点：
锐角三角函数的概念．
难点：
锐角三角函数概念的形成．
小练习
如图，求sinA和sinB的值． A
A
26
10 ┓
9┓ C 40
B
C (1)
B (2)
sin A 12 ,sin B 5 .
tan 60°= ?3
B
锐角A的正切值可以等
┌ 于1吗？为什么？
A
C
可以大于1吗？
知识要点
锐角三角函数
锐角A的正弦、余弦、正切、都叫做 ∠A的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）
归纳
1．sinA、cosA、tanA 是在直角三角形中定 义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角 形)．
13
13
sin A 4个确定的值，其邻 边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确 定的吗？
观察右图中的 Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和 Rt△AB3C3，∠A的邻边与斜 边、 ∠A的对边与邻边之间 有什么关系？
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
c
c
A
c
a
┏
b
C
sin2
A
cos2
A
(a c
)2
( b )2 c
a2 b2 c2
三角形ABC是直角三角形，
∴a2 + b2 = c2
sin2
A cos2
A
a2 +b2 c2
c2 c2
1
如图,当登山缆车的吊箱经过 点A到达点B时，它走过了 200m．已知缆车行驶的路线与水 平面的夹角为∠α=17°，那么缆车 垂直上升的距离是多少?
余弦 0＜ cosα＜1 余切 cotα>0 4．三角函数的增减性： sinα、tanα随着自变量α的增大而增大
cosα、cotα随着自变量α的增大而减小
随堂练习
1．当∠A为锐角，且tanA的值大于 3
时，∠A（ ）D A．小于30° B．大于30° C．小于60° D．大于60°
2．当∠A为锐角，且cotA的值小于 3 时，
24
B
AB
∴ AB BC 24 13 26
又
sin A
12
AC AB2 BC2 262 242 10
∴
cos A AC 10 5 ,
AB 26 13
tan B AC 10 5 . BC 24 12
小练习
分别求出下列直角三角形中的锐角的余弦 值和正切值．
A 25
7 ┓
C
（1）
BC=ABsin17° ．
你知道sin17°等于 多少吗?
如图，为了方便行人，市政府在10m高的
天桥．两端修建了40m长的斜道．这条斜道的倾
斜角是多少?
C 40m
A
10m
B
如图，在Rt△ABC中,
sin A BC 10 1 . AC 40 4
∠A是多少度?
tan B AC 6.3 0.6429. BC 9.8
∴∠B≈32°44′13″． 因此，射线的入射角度约为32°44′13″．
课堂小结
1．锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数， 统称为 锐角∠A的三角函数． 2．30°、45°、60°角的三角函数值． 3．锐角α的三角函数值的取值范围 ．
正弦 0＜ sinα＜1 正切 tanα>0
cos
A
A的邻边 斜边
b c
一个角的余弦 表示定值、比 值、正值．
知识要点
正切
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把 锐角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切 （tangent），记作tanA，即
tanA
A的对边 A的邻边
a b
一个角的余切 表示定值、比 值、正值．
tan30°=
3
?3
tan 45°= 1?
``````
余弦、正切
教学目标
【知识与技能】
1．了解三角函数的概念，理解余弦、正切的 概念；
2． 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与 两边之比的对应关系；
3．掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角 的三角函数值．
【过程与方法】
1．通过经历三角函数概念的形成过程, 丰富自己的数学活动经验；
2．渗透数形结合的数学思想方法．
A
41
┓
BC
5
B
（2）
抢答
如图,在Rt△ABC中,锐C角A的邻边和斜边同时扩大100
倍，tanA的值（
）
A．扩大100倍 B．缩小100倍
B
C．不变
D．不能确定
┌
A
C
小练习
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B ，B
∠C的对边分别是a，b，c．
求证:sin2A+cos2A=1．
证明：
sin A a ,cos A b ,
小练习
如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿 瘤．在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并 且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤．已知肿瘤 在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身 体，求射线的入射角度．
解:如图，在Rt△ABC中， AC=6.3cm，BC=9.8cm．
2．sinA、 cosA、tanA 是一个比值（数 值）．
3．sinA、 cosA、 tanA 的大小只与∠A的大 小有关，而与直角三角形的边长无关．
【例2】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 °， BC=24，sinA= 1123，求cosA、tanB的值．
A
┓
C 24
B
A
┓
解：∵ sin A BC C
归纳
在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边边与斜边的比、 ∠A的邻边与斜边的比、 ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．
知识要点
余弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦 （cosine），记作cosA，即
所以
AC1
AC2
AC3
AB1 ＝___A_B__2 ____＝_____A_B__3 __．
B1C1 AC1
B2C2
B3C3
＝___A_C_2_____＝____A_C_3____．
在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的 度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的∠A 的邻边与斜边的比、 ∠A的对边与邻边的比都是一 个固定值．
3
∠A（ D ）
A．小于30° B．大于30°
C．小于60° D．大于60°
1
3. 当∠A为锐角，且cosA= 5 那么（ D ）
A．0°＜∠A≤ 30 ° B ．30°＜∠A≤45° C．45°＜∠A≤ 60 ° D．60°＜∠A≤ 90 °
【情感态度与价值观】
1．感受数学来源于生活又应用于生活， 体验数学的生活化经历；
2．培养主动探索，敢于实践，勇于发现， 合作交流的精神．
教学重难点
重点：
锐角三角函数的概念．
难点：
锐角三角函数概念的形成．
小练习
如图，求sinA和sinB的值． A
A
26
10 ┓
9┓ C 40
B
C (1)
B (2)
sin A 12 ,sin B 5 .
tan 60°= ?3
B
锐角A的正切值可以等
┌ 于1吗？为什么？
A
C
可以大于1吗？
知识要点
锐角三角函数
锐角A的正弦、余弦、正切、都叫做 ∠A的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）
归纳
1．sinA、cosA、tanA 是在直角三角形中定 义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角 形)．
13
13
sin A 4个确定的值，其邻 边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确 定的吗？
观察右图中的 Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和 Rt△AB3C3，∠A的邻边与斜 边、 ∠A的对边与邻边之间 有什么关系？
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
c
c
A
c
a
┏
b
C
sin2
A
cos2
A
(a c
)2
( b )2 c
a2 b2 c2
三角形ABC是直角三角形，
∴a2 + b2 = c2
sin2
A cos2
A
a2 +b2 c2
c2 c2
1
如图,当登山缆车的吊箱经过 点A到达点B时，它走过了 200m．已知缆车行驶的路线与水 平面的夹角为∠α=17°，那么缆车 垂直上升的距离是多少?
余弦 0＜ cosα＜1 余切 cotα>0 4．三角函数的增减性： sinα、tanα随着自变量α的增大而增大
cosα、cotα随着自变量α的增大而减小
随堂练习
1．当∠A为锐角，且tanA的值大于 3
时，∠A（ ）D A．小于30° B．大于30° C．小于60° D．大于60°
2．当∠A为锐角，且cotA的值小于 3 时，
24
B
AB
∴ AB BC 24 13 26
又
sin A
12
AC AB2 BC2 262 242 10
∴
cos A AC 10 5 ,
AB 26 13
tan B AC 10 5 . BC 24 12
小练习
分别求出下列直角三角形中的锐角的余弦 值和正切值．
A 25
7 ┓
C
（1）