广东省河源市正德中学北师大版八年级上册数学课件：111探索勾股定理(共19张PPT)
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北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北 偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙 船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙 船是沿哪个方向航行的吗？
第一章 勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
广东省河源市正德中学北师大版八年级上册数学课件：131勾股定理应用(共14张PPT)
(2)经过前面和右面;
(或经过左面和后面)
(3)经过左面和上底面.
(或经过下底面和右面)
B
A
3
A
3
1
A 1 3
A
B 2
1 C
B 1 2C
B
2
C
河源市正德中学
内容二：如图,是一个三级台阶，它的每一级的长 宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
（ 取3）
河源市正德中学
内容一：一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为 3cm、2cm、1cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点， 你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短 行程是多少？（自己动手试一试）
B
A
分析：有3种情况,六条路线。
(1)经过前面和上底面;
(或经过后面和下底面)
蚁沿表面从A
A 3 C5D
河源市正德中学
2、某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=13米,BC=5 米,∠C=90°，楼梯的宽度为2米，因某种活动要求铺 设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为 ______.
§1.3.1勾股定理的应用
河源市正德中学
能够利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题
河源市正德中学
1、平面内，两点之间 线段 最短； 2、圆柱侧面的展开图是___长__方__形______
它的一边长是_底__面__圆__的__周__长__ 它的另一边长是___圆__柱__的__高____
河源市正德中学
如图所示，有一个圆柱，它的
高等于12厘米，底面上圆的周长等于
18厘米，在圆柱的下底面A点有一只
(或经过左面和后面)
(3)经过左面和上底面.
(或经过下底面和右面)
B
A
3
A
3
1
A 1 3
A
B 2
1 C
B 1 2C
B
2
C
河源市正德中学
内容二：如图,是一个三级台阶，它的每一级的长 宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
（ 取3）
河源市正德中学
内容一：一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为 3cm、2cm、1cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点， 你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短 行程是多少？（自己动手试一试）
B
A
分析：有3种情况,六条路线。
(1)经过前面和上底面;
(或经过后面和下底面)
蚁沿表面从A
A 3 C5D
河源市正德中学
2、某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=13米,BC=5 米,∠C=90°，楼梯的宽度为2米，因某种活动要求铺 设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为 ______.
§1.3.1勾股定理的应用
河源市正德中学
能够利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题
河源市正德中学
1、平面内，两点之间 线段 最短； 2、圆柱侧面的展开图是___长__方__形______
它的一边长是_底__面__圆__的__周__长__ 它的另一边长是___圆__柱__的__高____
河源市正德中学
如图所示，有一个圆柱，它的
高等于12厘米，底面上圆的周长等于
18厘米，在圆柱的下底面A点有一只
北师大八年级上册1.1探索勾股定理课件(18张PPT)
∴正方形C的边长为： 36 6cm
c b
a
课堂总结
赵爽弦图 邹元治证明法
勾股定理
a2 b2 c2
上下求索
如图以直角三角形三边长为直径作半圆、正三角形、扇
形（圆心角相等），三边上的图形面积分别为SA、SB、SC， 则三个半圆的面积间存在何种关系？
a2 b2 c2
在直角三角形中，两个直角边平方 的和等于斜边的平方
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设 直角三角形的两条直角边分别为a,b， 斜边为c.）
2、你能用这四个直角三角形拼成一 个的正方形吗？
c a
b
赵爽弦图
cb aa
c2
大正方形的面积可以表示为______________； 也可以表示为_______4__a2_b___(_b___a_)2__
c2 4 ab (b a)2 2
2ab b2 2ab a2 a2 b2
a2 b2 c2
邹元治证明法
a bc
c a
b
大正方形的面积可以表示为___(_a____b_)_2_____；
也可以表示为____c_2 __4__a_2b______
(a b)2 c2 4 ab 2
我们通常所说的20英寸或50厘米的电 视机，是指其银屏对角线的长度
例2：如图，四边形A、B、C都是正方形，三角形D是直角三角形 ，其中正方形A的面积为100cm²，正方形B的边长为8cm，正方形C 的边长_________.
解：由勾股定理得：
b2+c2=a2 即 SB+SC=SA ∴SC=SA-SB 解得：SC=100-82=36
勾股定理的证明年级：八年源自（上）◇勾股树 ◇毕达哥拉斯树
c b
a
课堂总结
赵爽弦图 邹元治证明法
勾股定理
a2 b2 c2
上下求索
如图以直角三角形三边长为直径作半圆、正三角形、扇
形（圆心角相等），三边上的图形面积分别为SA、SB、SC， 则三个半圆的面积间存在何种关系？
a2 b2 c2
在直角三角形中，两个直角边平方 的和等于斜边的平方
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设 直角三角形的两条直角边分别为a,b， 斜边为c.）
2、你能用这四个直角三角形拼成一 个的正方形吗？
c a
b
赵爽弦图
cb aa
c2
大正方形的面积可以表示为______________； 也可以表示为_______4__a2_b___(_b___a_)2__
c2 4 ab (b a)2 2
2ab b2 2ab a2 a2 b2
a2 b2 c2
邹元治证明法
a bc
c a
b
大正方形的面积可以表示为___(_a____b_)_2_____；
也可以表示为____c_2 __4__a_2b______
(a b)2 c2 4 ab 2
我们通常所说的20英寸或50厘米的电 视机，是指其银屏对角线的长度
例2：如图，四边形A、B、C都是正方形，三角形D是直角三角形 ，其中正方形A的面积为100cm²，正方形B的边长为8cm，正方形C 的边长_________.
解：由勾股定理得：
b2+c2=a2 即 SB+SC=SA ∴SC=SA-SB 解得：SC=100-82=36
勾股定理的证明年级：八年源自（上）◇勾股树 ◇毕达哥拉斯树
北师大版八年级数学上册 第一章 1.1 《探索勾股定理》课件 (共22张PPT)
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？
方法 1
3、你能否就你拼出的图证明a2+b2=c2？ 方法 2
c a
方法 3
b
赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c2 也可以表示为 (b a)2 4 1 ab 2
c a
b
c 2 (b a)2 4 1 ab 2
a2 2ab b2 2ab a2 b2 即a 2 b2 c 2
A
c
a
c
b
B
b
a
E
C
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c
2
1 2
(2ab
c2)
1876年，美国总统伽菲尔德利用 上图验证了勾股定理，人们为
比较两式可知：a2+b2=c2 了纪念他对勾股定理的证明，
就把这一证法称为 “总统证法”
相传两千五百多年 前，一次毕达哥拉斯 去朋友家做客，发现 朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三 边的某种数量关系!
发 现 了 什 么 ？
解：设树高为xm
(x-9)m
9m
┓ ┓
12m
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地 面9米处折断倒下，树梢顶落在离树根12米处.大 树在折断之前高多少？
9m
┓
解：设树高为xm
(x-9)m 由题可知：81+144=（x-9）2
∴225=（x-9）2
12m
∴x-9=15或x-9=-15（舍）
∴x=24
答：树高为24m.
练一练
1.在△ABC中,∠C=90°,若AB=10, BC=6，那么AC2为
几何问题要利用图形来解决问题
B
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
北师大版八年级数学上册第一章第一节
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
数学八年级上北师大版1-1探索勾股定理课件(20张)
（单位面积）
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分割成若干个直角边 为整数的三角形
一、师生互动，探究新知（一）
活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？你是怎样得出上 面结果的呢？（用两种方法解得）
C
图1
可以采用直接数方格的 办法，或者是分割成几 个等腰直角三角形的方 法计算正方形C的面积 。 （如图）
A
探究1：直角三角形的三边关系
做一做
(1)在纸上画若干个直角三角形，分别测量他们的三个边，看看三边 长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。
(2)如图1-2，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所 猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流。对于图1-3中 的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是怎样计算的呢？
小明的妈妈买来一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电
视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长46厘米宽，他认为售货员搞
错了．对不对？ （582=3364 462=2116 74.032≈5480）
4、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断 之前有多高？
5.求下图中字母所代表的正方形的面积。
一、师生互动，探究新知（二） 活动2：（观察方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？你是怎样得出结果的 呢？ （两种方法）
C
图2
探究1：直角三角形的三边关系 如图，小明在路边发现了一个拉有钢索的电线杆子，工人叔叔正在 上面换电线，小明想知道这条钢索的长度，但工人叔叔不知道，也 没有卷尺，只知道电线杆的长度为8m,电线杆的底部离钢索的固定点 A点有6m,这条钢索的长度为多少呢？
间加一条小路,则小路的长为 ( )
北师版八年级数学上册1.1 探索勾股定理 课件(共17张PPT)
2b c
3
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
20C中, ∠C=90°.
a=5cm
A
b=12cm
bc
c= 13cm
CaB
a 2+b 2= 169cm2
c 2= 169cm2
a2+b2=c2
2020/6/18
9
勾股定理:(gou-gu theorem)
2
图2-1
3 1
2
图2-2
（3）你能发现两图 中三个正方形1，2， 3的面积之间有什么 关系吗？
（图202中0/6/18每个小方格代表一个单位面积）
5
探索正方形3的面积
3 2
1
图3-1
3 2
1
图3-2
2020/6/18
6
3 2
1
图2-3
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2020/6/18
7
推广:一般的直角三角形,上述 结论成立吗？ 1 a
46
c
58
2020/6/18
14
4.求斜边长为17cm、一条直角边长为15cm的直角三角形的面积.
2020/6/18
15
归纳小结
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方．如果用a,b,c分别表示直角三角形的两 直角边和斜边，那么a2+b2=c2
2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.
1 求下图中字母表示的正方形的面积.
A625 225
400
②
81 B 144
225
2020/6/18
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人们还发现，在直角三角形中，
河源市正德中学
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
S正方形c
4 1 431 2
25 （面积单位）
分割成若干个直角 边为整数的三角形.
河源市正德中学
C A
B
C
图3
A
B
图4
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个 直角三角形 和一个小正 方形.
补成大正方形， 将几个小块拼成一个 用大正方形的面 正方形，图中两块红 积减去四个直角 色（或绿色）可拼成 三角形的面积. 一个小正方形.
§1.1.1 探索勾股定理
河源市正德中学
1、经历合作探索，猜想勾股定理。掌握勾股定理的定义。 2、了解勾股定理的简单应用。
河源市正德中学
相传两干多年前，古希腊著名的数 学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席 上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕 达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆 来。原来，朋友家的地是用一块块直角 三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非 常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样 子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕 达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了.原来，他发现了地 砖上的三个正方形存在某种数学关系.
河源市正德中学
1．三角形按角的大小分类可分为
，
，
。
2. 一个直角三角形两直角边长分别为a、b，则它的面积是
。
3．如图，RT△ABC中，BD⊥AC，AC=5cm，BD=3cm，求
△ABC的面积
。
河源市正德中学
图1-2中
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
，
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 ；
发现:
河源市正德中学
注意：
（1）勾股定理只适用于直角三角形 （2）公式变形：b²=c²-a²；a²=c²-b²
b
Hale Waihona Puke c（3）公式中c指的是斜边，a、b指的是直角边
a
河源市正德中学
1. 已知在Rt△ABC中,∠B=90°，若a=8，b=10，则 c=_______ 2. 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
河源市正德中学
4、（拓展练习）一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过？
河源市正德中学
请同学们谈一谈本节课你都收获了哪些知识。
河源市正德中学
1. 在Rt△ABC中,斜边AB=7,则AB²+BC²+AC²=
.
2．蚂蚁沿图中的折线从 A点爬到D点，一共爬了多 少厘米？（小方格的边 长为1厘米）
河源市正德中学
3．已知,如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm, ∠A =∠BDC =90∘。 （1）求DC的长度。 （2）求四边形ABCD的面积。
100
225
?
x
17
15
勾股定理知识链接
河源市正德中学
中国古代把直角三角形中较短的直角
边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫
做弦. 据《周髀算经》记载，西周战国时期 4 股
弦5
（约公元前1千多年）有个叫商高的人对
∟
周公说，把一根直尺折成直角，两端连接
勾
得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，
3
那么弦等于5.
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是
；
你发现了什么？
观察课本P2图1-3解决下列问题: （1）填表：
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
左图
右图
（2）你是怎样得到正方形C的面积的？ （3）分析填表的数据，你发现了什么？
河源市正德中学
（2）你是怎样得到正 方形C的面积的？
河源市正德中学
如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,
分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,
则S1+S2的值等于
.
12.5π
解析:根据半圆面积公式结合
勾股定理,知S1+S2等于以斜边
为直径的半圆的面积.所以
S1+S2=
1 8
πAB2=12.5π.故填12.5π.
小结
河源市正德中学
（3）分析填表的数据，你发现了什么？
归纳
以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形面积。
河源市正德中学
结合课本 做一做中图1一2、图1一3，并回答下列问题。 1、图1一2、图1一3中若直角三角形的直角边分别是a、b，斜边为 c，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？ 2、从图1一2、图1一3中你能发现直角三角形三边长度之间的关系 吗？