锐角三角函数解题方法1
锐角三角函数值的求解攻略
锐角三角函数值的求解攻略浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题模式的把握都有非常重要的指导意义.［关键词］三角函数；锐角；求解［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02一、定义法［例1］如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，垂足为E，求sin∠CAD的值.分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CDAD.因此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，以简便表示相关线段长度.解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=CDAD=14.点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，勾股定理在解题中起了关键作用.二、参数法［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，sin A=25，求sin B的值.分析：根据已知条件中的sin A=25，可以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.解：因为∠C=90°，sin A=25，根据此比值可设CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数中正弦的定义可知，sin B=ACAB=21x5x=点评：熟练掌握锐角三角函数中正弦的定义是解决本题的关键所在，若已知条件中给出具体角的比值，通常的做法是引入一个大于0的参数，根据比值设出相应边的长度，然后根据勾股定理求解.三、构造法1.三角形中的构造［例3］如图3，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得DC=12BD，连接AC，若tan B=53，求tan∠CAD的值.分析：本题要求tan∠CAD，但由于∠CAD不在图中已知的直角三角形中，需要另外构造直角三角形，使得∠CAD置于其中.可以过点D作边AD的垂线，构造出直角三角形ADH来解决.解：过点D作边AD的垂线DH交AC于H，垂足为D，如图4所示，根据△BAD为直角三角形可知，∠BAD=∠ADH=90°，所以AB∥DH，易证得△CDH∽△CBA，进而得到DH AB=CD CB，因为已知条件中有DC=12BD，则DH AB=CD CB=13，又在Rt△BAD中，tan B=53，不妨设AD=5k，AB=3k，这样DH=k，故在Rt△ADH中，有tan∠CAD=DHAD=k5k=15.点评：如果在三角形中求相关角的三角函数值时，所求角并不在已知直角三角形中，这时我们就需要通过作垂线段来构造直角三角形，从而将所求角置于直角三角形中，再结合三角函数值的定义求解.本题还运用了相似三角形的相关性质.此外，本题亦可图1图2图3图4［基金项目］本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题“核心素养视角下的中学数学命题模式研究”（批准号：DHA17035）成果.数学·解题研究过点C 作直线AD 的垂线，通过构造出两个相似的直角三角形，利用相似比计算出相应的边长求解.2.圆中的构造［例4］如图5，在半径为3的圆O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC =2，求tan D 的值.分析：题中已知条件提及直径AB ，又要求角D 的正切值，自然联想到这里应该是要借助“直径AB 所对的圆周角为直角”这一性质来构造直角三角形，然后将角D 置于其中求解.解：连接BC ，如图6所示，因为AB 为直径，则∠ACB =90°，这样在直角三角形ACB 中，有tan A =BCAC，根据圆周角的性质，不难发现∠A =∠D ，故tan D =BCAC，又圆O 的半径为3，AC =2，那么BC =AB 2-AC 2=36-4=42，所以tan D =BCAC=422=22.点评：在圆中求锐角三角函数值时，利用直径来构造直角三角形是最常用的构造方法，一般还会利用“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”这一性质，将目标角进行等量转化.3.网格中的构造［例5］如图7所示，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为.图7图8分析：因为网格中无直角三角形，所以需要借助网格格点构造直角三角形，不妨通过点B 来构造，连接格点B 、D ，如图8所示，易知△ABD 为直角三角形.解：如图8所示，连接格点B 、D ，根据正方形的对角线的特征，易知△ABD 为直角三角形，可设小正方形的边长为1，则AB =10，AD =22，所以cos A =AD AB =2210=255.点评：在网格中求锐角三角函数值，一般都是借助网格中的格点去构造直角三角形，通常构造的方法也不是唯一的，本题也可以通过补网格，利用格点C 来构造直角三角形.四、等量转化法1.网格中的转化［例6］如图9，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P，则tan∠APD 的值为.图9图10分析：本题可将∠APD 转化为∠BPC ，然后通过小正方形的对角线构造直角三角形解决.解析：连接格点B 、Q ，交DC 于点H ，如图10所示，则BH ⊥DC ，所以tan∠APD =tan∠BPH =BHPH ，若设小正方形的边长为1，那么BH=易知△BDP ∽△ACP ，则DP PC =BD AC =13，所以DP =14DC=那么PH =DH -DP 故tan∠APD =BH PH =22=2.点评：在网格中，若对所求角直接构造直角三角形较困难，可以进行适当的等量转化.本题将∠APD 等量转化为∠BPC 是解题的关键.2.折叠中的转化［例7］如图11，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin∠BFD =.分析：根据折叠的性质，∠A =∠EDF =45°，注意到∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF .这样将∠BFD 等量转化成∠CDE ，再在Rt△CDE 中求解.解析：由题意知，∠A =∠EDF =∠B =45°，在△BFD 中，∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，又因为∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF ，所以∠BFD =∠CDE ，易知CE =1，DE =3，故sin∠BFD =sin∠CDE =CE DE =13.点评：折叠问题中，要紧扣相关角、边之间的等量关系.将∠BFD 等量转化成∠CDE 是成功解决本题的关键一步.锐角三角函数值的求解是中考数学的必考题型，其涉及的题目类型多变，可采用的解题策略也较多，在平时的教学过程中，教师要注意归纳、小结各种解题方法，以便学生在解题时可以信手拈来.（责任编辑黄桂坚）图5图6图11数学·解题研究。
解锐角三角函数的技巧
6. 三角函数的倒数关系：利用三角函数的倒数关系，将一个三角函数转化为另一个三角函 数的倒数形式。例如，tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
解锐角三角函数的技巧
解锐角三角函数的技巧主要包括以下几点：
1. 特殊角的数值：熟记30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值。例如， sin30°=1/2，cos45°=1/√2，tan60°=√3。
2. 三角函数的性质：利用三角函数的周期性、对称性倒数关系等性质，将角度转化为在 特定范围内的等效角度。例如，sin(180°+θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ，tan(θ+π)=-tanθ。
解锐角三角函数的技巧
7. 三角函数的逆函数：利用三角函数的逆函数，将一个三角函数的值转化为对应的角度。 例如，sin^(-1)(x)表示sinθ=x的解，cos^(-1)(x)表示cosθ=x的解。
通过掌握这些技巧，可以在解锐角三角函数的过程中更加灵活和高效地进行计算。同时， 多做练习和应用，加深对三角函数的理解和熟练度，也是提高解题能力的重要方法。
3. 三角函数的和差公式：利用三角函数的和差公式，将复杂的角度拆分为简单的角度的和 或差。例如，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。
解锐角三角函数的技巧
4. 三角函数的倍角公式：利用三角函数的倍角公式，将角度转化为两倍角度的三角函数。 例如，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos^2θ-sin^2θ。
初中锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数 1、锐角三角函数的定义如图，在 Rt △ ABC 中，/ C 为直角， 有(1) 图表记忆法三角\角 函数、304560si na1 c亡222 cosa爲匹J222tana乜31(2) 规律记忆法：30 °、45 °、60°角的正弦值的分母都是 2,分 子依次为1、. 2、3 ；30°、45°、60°角余弦值恰好是 60°、45°、 30°角的正弦值。
/ A 的正弦： sin A A 的对边a 斜边 c / A 的余弦： cos A A 的邻边b 斜边c / A 的正切： tan AA 的对边a A 的邻边b2、特殊角的三角函数值则/ A ABC 中的一锐角，则（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删.”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27,分别是30°，45 °，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3.最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉.如tan60 °二旦 ,3，tan45 =— 1 .这种方法有趣、简单、3 3易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点二、锐角二角函数的实际应用（咼频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角叫坡角,i tan Pl指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏方向角东45 方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016?陕西）已知抛物线y二-x2-2x+3与x轴交于A B两点，将这条抛物线的顶点记为C,连接AG BC则tan / CAB的值为（）A.丄B . ■- C •」D ■ 2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义.CD：【解析】先求出A B、C坐标，作CDL AB于D,根据tan / ACD=-即可计算.o【解答】解：令y=0,则-x —2x+3=0,解得x=—3或1,不妨设A （—3,0）,B (1, 0),2 2• y二—x - 2x+3=—( x+1) +4,「•顶点C (- 1, 4),如图所示，作CDL AB于D.故答案为D.（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现例2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分.A. —个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8 .B. 运用科学计算器计算：3.「sin73 ° 52’〜11.9 .（结果精确到0.1 ）【考点】计算器一三角函数；近似数和有效数字；计算器一数的开方；多边形内角与外角.【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3. 7和sin73 ° 52 '的近似值，再相乘求得计算结果.【解答】解：（1）v正多边形的外角和为360° 二这个正多边形的边数为：360°宁45° =8(2) 3 i sin73 °52’ 〜12.369 x0.961 〜11.9故答案为：8, 11.9例3、（2015?陕西）如图，有一滑梯 AB,其水平宽度AC 为5.3米，铅直高 度BC 为2.8米，则/ A 的度数约为 27.8（用科学计算器计算，结果精【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可. 【解答】 解：T tan / A 」"1〜0.5283 ,AC 5. 3•••/ A=27.8°, 故答案为：27.8 ° .【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值 等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大.例4、（2014?陕西）用科学计算器计算：一 一；+3tan56 °〜10.02 （结果精确到0.01 ） 计算器一三角函数；计算器一数的开方.先用计算器求出tan56°的值，再计算加减运解：「丨〜5.5678 , tan56 °〜1.4826 , 则-1 +3tan56 °〜5.5678+3 X 1.4826 〜10.02故答案是：10.02 .【点评】 本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到【考点】 【分析】0.01.例5、（2014?陕西）如图，在正方形 ABC ［中, AD=1将厶ABD绕点B 顺时针旋转45 °得到△ A BD ，此时A D 与CD 交于【考点】 旋转的性质【分析】 利用正方形和旋转的性质得出 A D=A E ,进而利用 勾股定理得出BD 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 DE 的长 即可.【解答】 解：由题意可得出：/ BDC=45，/ DA E=90° , •••/ DEA =45°,••• A D=A E ,•••在正方形ABCD 中AD=1 • AB=A B=1, • BD=:':, • A D 二；:-1,•••在 Rt △ DA E 中,DE备=2-五故答案为：2-血.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、2~41锐角三角函数关系等知识，得出 A D 的长是解题关键.(三) 、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、( 12分)(2015?陕西)如图，在每一个四边形 ABC 冲，均有AD// BC ；CDL BC / ABC=60 , AD=8 BC=12(1) 如图①，点M 是四边形ABCDi AD 上的一点，则厶BMC 勺面积为 24「；; (2) 如图②，点N 是四边形ABCD* AD 上的任意一点，请你求出△ BNC 周长 的最小值；(3) 如图③，在四边形ABCD 勺边AD 上，是否存在一点P,使得cos / BPC 的 值最小？若存在，求出此时cos / BPC 勺值；若不存在，请说明理由.【考点】四边形综合题.. 【专题】综合题.【解析】(1)如图①，过A 作AE ! BC 可得出四边形AECF 为矩形，得到EC=ADBE 二B G EC 在直角三角形 ABE 中，求出AE 的长，即为三角形 BMC 勺高，求 出三角形BMC 面积即可；(2) 如图②，作点C 关于直线AD 的对称点C ,连接C N, C D, C B 交AD 于点 N ,连接 CN ，贝卩 BN+NC 二BN+NO BC =BN +CN ，可得出厶 BNC 周长的最小值BN C 的周长=BN +CN +BC 二BC+BC 求出即可；(3) 如图③所示，存在点P,使得cos /BPC 的值最小，作BC 的中垂线PQ 交BC 于点Q 交AD 于点P,连接BP CP 作厶BPC 的外接圆Q 圆O 与直线PQ 交于点N,则PB=PC 圆心0在PN 上，根据AD 与BC 平行，得到圆0与AD 相AD圈②图①ACc图③切，根据PQ=DC判断得到PQ大于BQ可得出圆心0在BC上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P C, P‘ B交圆0于点M连接MC可得/ BPC= / BM OZ BP C,即/ BPC最小，cos/ BPC的值最小，连接0B求出即可.【解答】解：(1)如图①，过A作AE±BC二四边形AEC助矩形，••• EC=AD=8 BE二B G EC=12- 8=4,在Rt△ ABE中, / ABE=60 , BE=4•AB=2BE=8 AE=：・，二=4 二则S A BM千BC? AE=24 -;;故答案为：24. -；；(2)如图②，作点C关于直线AD的对称点C,连接C N, C D, C B交AD于点N,连接CN，贝卩BN+NC二BN+NO BC =BN +CN ,•△ BNC周长的最小值为△ BN C的周长=BN +CN +BC=BC +BCv AD// BC AE! BC / ABC=60 ,•过点A 作AE! BC 则CE=AD=8•BE=4 AE=B? tan60 ° 二酣1,•CC =2CD=2AE=8,v BC=12•BC=血/+防2=4阿,•△ BNC周长的最小值为4 1+12;(3)如图③所示，存在点P,使得cos/ BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q交AD于点P,连接BP, CR作厶BPC的外接精品文档圆Q 圆0与直线PQ交于点N,贝S PB=PC圆心0在PN上，v AD// BC•••圆0与AD相切于点P,v PQ=DC=4>6,•PQ> BQ•/BPG 90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P‘ C, P‘ B交圆0于点M连接MC•••/ BPC y BM OZ BP C,•/ BPC最大，cos / BPC的值最小，连接0B 贝卩/ BON=/BPN/ BPCv 0B=0P=4 - 0Q在Rt△ B0C中，根据勾股定理得：0Q+62二（砸-0Q 2,解得：0Q二:；，2•0B二：,2•cos / BPC二co/ B0Q==l,P厂则此时cos/ BPC的值为一.【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年陕西省)已知抛物线C: y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两点，将这条抛物线的顶点记为M它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到C,抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M N M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？新课标xk b1. c om【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质.菁优网版权所有【分析】(1)直接把A(- 3, 0)和B(0, 3)两点代入抛物线y二-x2+bx+c, 求出b, c 的值即可；(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；(3)根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示.需要分类讨论.【解答】解: (1)V抛物线y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两占J \\、’解得仁2,故此抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3；(2)v由(1)知抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3,•••当x=- 一= - = - 1 时，y=4, xKb 1.C omSa 2X ( -1) ，‘，• M(- 1, 4).（3J由题意，以点MN、M、N为顶点的平行四边形的边MN勺对边只能是M‘ N, •MN/ M N 且MN二M N.•MN NN =16,•NN =4.i ）当M、N M、N为顶点的平行四边形是？ MNN M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C ;ii ）当M N M、N为顶点的平行四边形是？ MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C . •上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C .【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点.第（3）问需要分类讨论，避免漏解.例8、(12分)(2014?陕西)问题探究(1)如图①，在矩形ABCD K AB=3 BC=4如果BC边上存在点巳使厶APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△ APD并求出此时BP 的长；(2)如图②，在△ ABC中，/ ABC=60 , BC=12 AD是BC边上的高，E、F分别为边AB AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q 使/ EQF=90，求此时BQ 的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M安装监控装置，用来监视边AB现只要使/ AMB大约为60°, 就可以让监控装置的效果达到最佳，已知/ A二/ E=Z D=90°, AB=270m AE=400mED=285m CD=340m问在线段CD上是否存在点M 使/ AMB=60 ? 若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由.A D團①图②團③【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值.菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型.【分析】（1）由于△ PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.（2）以EF为直径作。
锐角三角函数的题型及解题技巧
锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1a a -=，且a 是锐角，求22tan cot 2a a +-的值。
（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-。
分析分析 （1）由已知可以求出tan a 的值，化简22tan cot 2a a +-可用1tan cot a a =×；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1a a +=化简。
化简。
解 （1）由tan 2cot 1a a -=得2tan 2tan a a -=，解关于tan a 的方程得tan 2a =或tan 1a =-。
又a 是锐角，∴tan 2a =。
∴22tan cot 2a a +-＝22tan 2tan cot cot a a a a -×+＝2(tan cot )a a -＝tan cot a a -。
由tan 2a =，得1cot 2a =，∴22tan cot 2a a +-＝tan cot a a -＝13222-=。
（2）()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b a a a a +××+＋2222cos 2cos sin sin a ab b a a a a -××+＝()()222222sin cos sin cos a b a a a a +++＝22a b +。
说明说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1a a +=，tan cot 1a a ×=等。
等。
二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B æö-+-=ç÷ç÷èø(),A B ÐÐ均为锐角，求C Ð的度数。
三角函数的计算
三角函数的计算一、锐角三角函数的概念与计算方法1.正弦（sine）函数：正弦函数是指在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值。
其计算公式为：sinθ = 对边 / 斜边。
2.余弦（cosine）函数：余弦函数是指在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值。
其计算公式为：cosθ = 邻边 / 斜边。
3.正切（tangent）函数：正切函数是指在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值。
其计算公式为：tanθ = 对边 / 邻边。
二、钝角三角函数的概念与计算方法1.余切（cotangent）函数：余切函数是指在直角三角形中，钝角的对边与邻边的比值的倒数。
其计算公式为：cotθ = 邻边 / 对边。
2.余弦（secant）函数：余弦函数是指在直角三角形中，钝角的邻边与斜边的比值的倒数。
其计算公式为：secθ = 斜边 / 邻边。
3.正割（cosecant）函数：正割函数是指在直角三角形中，钝角的对边与斜边的比值的倒数。
其计算公式为：cscθ = 斜边 / 对边。
三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值：sin30°= 1/2，cos30° = √3/2，tan30°= 1/√3，cot30° = √3，sec30° = 2/√3，csc30° = 2。
2.45°角的三角函数值：sin45° = cos45° = tan45° = 1，cot45° = 1，sec45° = √2，csc45° = √2。
3.60°角的三角函数值：sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = 1/√3，sec60° = 2，csc60° = 2/√3。
四、三角函数的周期性1.正弦函数的周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ + 2π) = sinθ。
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。
锐角三角函数的简单运用
锐角三角函数的计算方法包括直接计算、利用三角恒等式化简、利用同角关系式化简等。 掌握这些计算方法是解决三角函数问题的基本技能。
对未来学习锐角三角函数的建议
01
深入理解概念
在学习锐角三角函数的过程中，要深入理解其概念，掌握其性质和定理，
这样才能更好地运用它们解决实际问题。
02 03
利用三角函数求长度
在直角三角形中，已知角度和一边长度，可以利用正弦、余弦、正切等三角函数 求出另一边的长度。
利用三角函Байду номын сангаас求距离
在平面几何问题中，可以利用三角函数求两点之间的距离，或者点到直线的距离 。
判断三角形形状问题
利用三角函数判断三角形形状
通过比较三角形的三个内角的三角函数值，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角 形。
正弦函数的性质
01
02
03
定义域
正弦函数在第一象限和第 二象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
值域
正弦函数的值域为[-1,1]， 表示角度的正弦值永远不 会超过1或小于-1。
单调性
正弦函数在第一象限和第 二象限内是单调递增的， 随着角度的增加，正弦值 也会增加。
余弦函数的性质
定义域
余弦函数在第一象限和第 四象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
锐角三角函数的 简单运用
目录
• 引言 • 锐角三角函数的性质 • 锐角三角函数的计算方法 • 锐角三角函数在几何问题中的应
用 • 锐角三角函数在实际问题中的应
用 • 总结与展望
01
引言
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数中的一种， 主要研究锐角的角度与其边长之间的 关系。常见的锐角三角函数有正弦、 余弦和正切。
求锐角三角函数值的几种方法
ｃ 。 ｓ ／ － Ｃ Ａ Ｄ
， Ａ Ｂ的长可 以根 据 勾股定理 求
例７ 已知 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ｃ ＝ ９ ０ 。 ，
ｓ ｌ ｎ Ａ
＝
＋
得， 即可求得 ｓ ｉ ｎ ／ＡＣ Ｄ ．
解： 在 Ｒｃ △Ａ Ｂ Ｃ中， 。 ． ‘ Ａ ｃ ＝ ～ ， Ｂ Ｃ ＝ ２ ，
评 注 ：注 意锐 角三 角 函数 的 定 义 只适 用 于 直角三 角形 ，在斜 三角形 中不能直接 用锐 角三 计算起来稍麻烦 ． 若根据 直 角三 角形 两锐 角之 角 函数 的 定 义 求 三 角 函 数值 ，需要 将 斜 三 角 形 间的关 系， 可得 ｓ ｉ ｎ ＺＡＣ Ｄ ＝ ｃ ｏ ｓ Ｃ Ａ Ｄ， 只要 求得 转化成 直角三 角形再求值． 七 、 方程法 Ｃ Ｏ Ｓ ０ｔ Ｄ 的 值 即 可 ．而 在 Ｒｔ △Ａ Ｂ Ｃ中 ，
Ｃ
， ｔ ａ ｎ Ａ＝
Ｏ
六、 构造法
． ．
一
＋ ＿ ＿ ＿ ： ＋ ： 丛 ： ５
ｔ ａ ｎ Ａ ａ ０ ａ
Ｓ ｌ ｎ Ａ
例 ６ 如图 ２ ， 已知 Ａ Ｄ为 等腰三角形 Ａ Ｂ Ｃ 底边上 的高 ，
且 ｔ ａ ｎ厶 Ｂ ＝ ４
，
即 ｂ ＋ ｃ ＝ Ｓ ａ ， 联 立 方 程 ｛ ≥ ，
利用公式 ， 得：
ｔ ａ
嘉 １ ５．
— 一
Ａ ． 音 Ｂ ．
解： ‘ ． ’ ｔ ａ ｎ Ａ ＝ 羔，
・ ． ．
ｃ ．
Ｄ ．
分析 ：由 已知锐 角三 角函数 式 ，设 比值 ｈ 二、 定 义 法 （ ｋ ＞０ ） ， 用含 的式子表 示两边 ， 再利用 勾股定 然后用锐角三角函数 的定义求解 ． 例 ２ 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ，已知 Ｃ ＝ ９ ０ 。 ， ｓ ｉ ｎ Ａ＝ 理求 出第三边，