2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
武汉市2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
武汉市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）满分：150分时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共12小题60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.曲线321y x x =-+，在1x =处的切线与直线1y ax =+平行，则a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求出导数，得切线的斜率，由直线平行得a ． 【详解】232y x '=-，∴切线的斜率11k y x ='==，切线与直线1y ax =+平行，1a .故选：B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的充要条件，解题关键是利用导数几何意义求出切线斜率．2. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 （ ） A. 23397C CB. 2332397397C C +C C C. 514100397C -C CD.5510097C -C【答案】B 【解析】试题分析：恰好有2件次品时，取法为23397C C ⋅，恰好有3件次品时，取法为32397C C ⋅，所以总数为23397C C ⋅32397C C +⋅．考点：排列组合．3.已知函数()sin 2'(),3f x x xf π=+则'()3f π=（ ）A. 12-B. 0C.12D.3 【答案】A 【解析】()()sin 2','cos 2'33f x x xf f x x fππ⎛⎫⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令3x π=，则11'cos 2'2','3332332f ff f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A.4.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.5.4名男生和4名女生排成一排，女生不排在两端，则不同的排法种数为（ ）A. 2444A A ⋅B. 4444A A ⋅C. 2646A A ⋅D. 88A【答案】C 【解析】 【分析】分步完成这件事，第一步选2个男生排在两端，第二步剩下的6人在中间任意排列，由分步计数原理可得．【详解】先从4名男生中选2名排在两端，有24A 种排法，再将其余6人无限制地排在中间6个不同的位置，有66A 种排法，由分步乘法计数原理知共有6426A A ⋅种不同的排法.故选：C ．【点睛】本题考查排列的应用，解题时采取特殊元素特殊位置优先考虑的原则． 6.在曲线2yx 上切线的倾斜角为4π的点是（ ） A. （0,0） B. （2,4）C. 11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】依题意π12tan 1,42y x x '====，此时21124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选D . 7.设5250125(2)x a a x a xa x -=++，那么024135a a a a a a ++++的值为（ ）A. 244241-B. 122121-C. 6160-D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得02412431222a a a ++==+，15312431212a a a -++==-，代入运算即可得解.【详解】解：由5250125(2)x a a x a x a x -=++，令1x =得：5012534(21)a a a a a a -++=+++，① 令1x =-得：5053412[2(1)]a a a a a a =--+---+，② 联立①②得：02412431222a a a ++==+， 15312431212a a a -++==-，即024135a a a a a a ++=++122121-， 故选：B.【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，重点考查了赋值法，属基础题. 8.某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有（ ）种. A. 21 B. 20 C. 19 D. 16【答案】A 【解析】 【分析】转化为7个位置，选2个放未击中，另5个放击中，由此可得结论．【详解】射击7枪，击中5枪，则击中和未击中的不同顺序情况共有527721C C ==种.故选：A ．【点睛】本题考查组合的应用，解题时注意元素之间有无区别，以确定是排列还是组合． 9.若函数()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 （ ）A.0613v v = B. [)1+∞， C. [)1e ，++∞ D.()1e -+∞，【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．【详解】∵()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，∴f ′（x ）＝e x ﹣a≤0，在[0,1]上恒成立， ∴a ≥e x 在[0,1]上恒成立， ∵y ＝e x在[0,1]上为增函数， ∴y 的最大值为e ， ∴a ≥e ， 故选A ．【点睛】本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．10.如图，一环形花坛分成,,,A B C D 四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A .12B. 24C. 18D. 6【答案】C 【解析】四块地种两种不同的花共有22326C A = 种不同的种植方法，四块地种三种不同的花共有33212A = 种不同的种植方法，所以共有61218+= 种不同的种植方法，故选C.11.关于函数()31443f x x x =-+．下列说法中：①它极大值为283，极小值为43-；②当[]34x ∈，时，它的最大值为283，最小值为43-；③它的单调减区间为[]22-，；④它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，其中正确的有（）个 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 ∵函数()31443f x x x =-+ ∴()()()2'422f x x x x =-=-+由()()()'220f x x x =-+>，解得x >2或x <−2，此时函数单调递增， 由()()()'220x fx x =-+<，解得−2<x <2,此时函数单调递减，∴③正确；当x =−2时,函数f (x )取得极大值f (−2)=283，当x =2时,函数f (x )取得极小值f (2)=4 3-，∴①结论正确；[]34x ∈，时，()f x 单调递增，它的最大值为()3428444433f =-⨯+=，最小值为()334343433f =-⨯+=-，∴②正确；()'04f =-，∴它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，∴④正确，故选D12.已知函数()32f x x ax =-+的极大值为4，若函数()()g x f x mx =+在()3,1a --上的极小值不大于1m -，则实数m 的取值范围是（ ） A. 159,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 159,4⎛⎤--⎥⎝⎦C. 15,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(),9-∞-【答案】B 【解析】∵2'()3f x x a =-，当0a ≤时，'()0f x ≥，()f x 无极值；当0a >时，易得()f x 在x =4f ⎛ ⎝=，即3a =，于是()3()32g x x m x =+-+，2'()3(3)g x x m =+-.当30m -≥时，'()0g x ≥，()g x 在(3,2)-上不存在极小值..当30m -<时，易知()g x在x =依题意有32,1,g m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得1594m -<≤-.故选B.点睛：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知33210n n A A =，那么n =__________．【答案】8 【解析】【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.14.6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有__________种. 【答案】192 【解析】 【分析】由于甲、乙两人中间恰有一人，因此完成可以先从4人中选1人站在甲乙中间，甲乙两人之间也相互排列，接着把甲乙和中间1人捆绑作为一个元素，与其他3人进行全排列．【详解】由题意排法数有124424192A A A ⋅⋅=.故答案为：192．【点睛】本题考查排列的应用，解题关键确定事件完成的方法，是分步完成还是分类完成． 15.若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】1(,)9-+∞ 【解析】【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．16.若关于x 的不等式0x e ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是______． 【答案】(],e -∞ 【解析】 【分析】分离参数可得不等式x e a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，设()xe f x x =，求出函数()f x 在()0,+∞上的最小值后可得结果．【详解】∵关于x 的不等式0x e ax -≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，∴xe a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立．设()(0)x e f x x x =>，则2(1)()xx e f x x-'=， ∴当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． ∴min ()(1)f x f e ==，∴实数a 的取值范围是(,]e -∞． 故答案为(,]e -∞．【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>或()a f x <恒成立min ()a f x ⇔>，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替．三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分，解答每题时写出必要的文字说明或演算步骤.） 17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队， （1）一共有多少种选法？（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？ （3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？【答案】（1）49126C =（2）3735C =（3）120【解析】【详解】（1）从549+=名医生中选出4名医生参加赈灾医疗队共有：种选法；（2）因为内科医生甲必须参加，而外科医生乙因故不能参加，所以只须从剩下的7名医生中选出3名医生即可，即3735C =种选法；（3）间接法，从9名医生中选出4名有49126C =种方法，而选到的医生全部是内科医生的有455C =种，选到的医生全部是外科医生的有441C =种，所以内科医生和外科医生都要有人参加共有种选法.18.已知函数()()()2122f x x x =--． （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =-【分析】(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()()00,x f x ，再根据()20006244f x x x '=-++=求得00103x x ==或，再求b 的值.【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2-或x =1．所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =． （2）因()f x ' 2624x x =-++，直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()00,x f x ，则()20006244f x x x '=-++=，解得00103x x ==或， 当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，当013x =时，()01727f x =-，代入直线方程得5327b =-． 所以2b =-或5327b =- .【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.19.在二项式n 的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项． （2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）52-;（2）1256 .【解析】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为64，264n = 6n ∴=，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令1x =计算n的大小，即可得答案.试题解析：（1）由已知得0164nn n n C C C +++=，264n = 6n ∴=，展开式中二项式系数最大的项是6331130334611520282T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,,r n =由已知：02012111,,222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列，12112124n nC C ⨯=+∴n=8,在n中令x=1，得各项系数和为1256 20.已知函数()3221()1(,)3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[]2,4-上的最大值. 【答案】（1）11a =，83b =. （2）单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2；最大值为8. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由(1)1f '=-，(1)2f =可求得,a b ；（2）由（1）得()f x '，求出()0f x '=的根，然后列表表示出()f x '的正负，()f x 的单调性，得极值．从而可得单调区间，也能得出函数在[2,4]-上的最大值．【详解】（1）()2221f x x ax a '=-+-，()()1,1f 在30x y +-=上，()12f ∴=，()1,2∴在()y f x =上，21213a ab =-+-+∴.又()11f '=-，2210a a ∴-+=，解得1a =，83b =. （2）()321833f x x x =-+，()22f x x x '∴=-，由()0f x '=得0x =和2x =，列表如下：所以()f x 的单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2.()803f =，()423f =，()24f -=-，()48f =，∴在区间[]2,4-上的最大值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间，求函数的最值．根据几何意义，根据导数与单调性的关系直接求解即可，属于中档题．21.已知a R ∈，函数2()()xf x x ax e =-+（R x ∈，e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(（Ⅱ）32a ≥ 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；（Ⅱ）原函数()f x 在()1,1-上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a 的范围.【详解】（Ⅰ）当2a =时，()()22xf x x e '=-+.令()0f x '>，解得x <<所以，函数()f x的单调递增区间为(.（Ⅱ）方法1：若函数()f x 在()1,1-上单调递增，则()0f x '≥在()1,1-上恒成立.即()()()220x f x x a x a e =-+-+≥'，令()()22g x x a x a =-+-+.则()()220g x x a x a =-+-+≥在()1,1-上恒成立.只需()()()()11201120g a a g a a ⎧-=-+-+≥⎪⎨=-+-+≥⎪⎩，得：32a ≥方法2：()()()22x f x x a x a e '=-+-+，令()0f x '>，即()()220x a x a -+-+>，x <<. 所以，()f x的增区间为⎝⎭又因为()f x 在()1,1-上单调递增，所以()1,1-⊆22,22a a ⎛---+⎪⎝⎭即11≤-⎨⎪≥⎪⎩，解得32a ≥.【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.22.已知函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在0,4x x ==处取得极值. （1）求常数k 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值；（3）设()()g x f x c =+，且[1,2]x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，求c 的取值范围. 【答案】（1）；（2）当x ＜0或x ＞4，f （x ）为增函数，0≤x≤4，f （x ）为减函数；极大值为，极小值为（3）【解析】【详解】试题分析：（1）因为函数两个极值点已知，令()()23610f x kx k x =+-='，把0和4代入求出k 即可．（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，()()244f x x x x x '=-=-大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x 值代到f （x ）中，通过表格，判断极大、极小值即可．（3）要使命题成立，只需()min 1f x c ≥+，由（2）得：()1f -和()2f 其中较小的即为g （x ）的最小值，列出不等关系即可求得c 的取值范围． 试题解析：（1）()()2361f x kx k x '=+-，由于在0,4x x ==处取得极值，∴()00,f '= ()40,f '=可求得13k =（2）由（1）可知()3218239f x x x =-+，()()244f x x x x x '=-=-，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：x(),0-∞()0,44()4,+∞()f x '+－0 +()f x极大值89极小值889-∴()f x 在(,0)-∞，(4,)+∞为增函数，()f x 在(0,4)上为减函数； ∴极大值为()80,9f =极小值为()8849f =- (3) 要使命题[]1,2x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，只需使()21f x c c +≥+,即()1f x c ≥+即可.只需()min 1f x c ≥+ 由（2）得()f x 在[]1,0-单增，在[]02，单减. ()()13401299f f -=-=-， ∴()min4019f x c =-≥+，499c ≤-. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .。
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高二下学期期中数学试题一、单选题1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（ ） A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数【答案】C【解析】根据离散型随机变量的定义，即可求解. 【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项C 是离散型随机变量，其可以一一列出， 其中随机变量X 的取值0,1,2,3， 故选C. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的定义及其应用，准确理解离散型随机变量的概念是解答的关键，属于基础题.2．10(1)x -的展开式的第6项的系数是 A ．610C - B ．610CC ．510C -D ．510C【答案】C【解析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解. 【详解】由题得10110(1)(0,1,2,10)r r rr T C x r -+=-=L ， 令r=5,所以5555561010T C xC x ==-（-1)， 所以10(1)x -的展开式的第6项的系数是510C -. 故选：C 【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3．记，ξη为两个离散型随机变量，则下列结论不正确的是（ ）A ．()211=2ξξ++E EB ．()2=ηη-D DC ．()=ξηξη++E E ED ．()D D D ξηξη++=【答案】D【解析】利用数学期望、方差计算公式求解. 【详解】设1122......i i n n E p p p p ξξξξξ=+++++++， 设21Y ξ=+，Y 也是随机变量， 因为()()21i i p Y p ξξξ=+==，所以()()()()1122212121...21i i n n EY p p p p ξξξξ=+++++++...++，()()1122122.........i i n n i n p p p p p p p p ξξξξ=+++++++++++...++，1E ξ+=2，故A 正确.同理C 正确..根据期望的性质，()22E E ηη--=， 而21()nii i D E p ηηη==-∑，所以()2=ηη-D D ，故B 正确，()()()21()ni i i D E p ξηξηξη=++-+∑=，而2211()()nnii i i i i D D E p E p ξηξξηη=='+=-+-∑∑，不一定相等，故D 错误.故选：D 【点睛】本题主要考查数学期望、方差的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题 4．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为$0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．变量x ，y 之间呈负相关关系B ．可以预测，当20x =时，$ 3.7y =-C ． 4.7m =D ．该回归直线必过点()9,4【答案】C【解析】根据线性回归直线的性质判断． 【详解】线性回归方程为$0.710.3y x =-+中x 的系数为0.70-<，∴变量x ，y 之间呈负相关关系，A 正确；20x =代入方程得$0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，B 正确；由已知68101294x +++==，则0.7910.34y =-⨯+=，于是D 正确，63244m +++=⨯，5m =，C 错．故选：C. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键．5．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（ ）A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大一些D ．男生不喜欢理科的比为60% 【答案】C【解析】试题分析：根据等高条形图看出女生喜欢理科的百分比是0．2，而男生则是0．6，故选C ．【考点】等高条形图．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．150种 B ．120种C ．240种D ．540种【答案】A【解析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项． 【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：3，1 ，1三组；②5名插班生分成：2，2，1三组，当5名插班生分成：3，1 ，1三组时，共有3135231602C C A =种方案； 当5名插班生分成：2，2，1三组时，共有22112425322290C C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种方案；所以，共有6090150+=种不同的安排方案. 故选：A. 【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.8．32n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数的绝对值之和为729，则2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二次项的系数是（ ） A ．60- B ．60C ．30-D ．30【答案】B【解析】由32n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的各项系数的绝对值之和就是32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和,所以赋值1x =,得6n =.再根据二项式的展开式求得62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项，可求得二次项的系数得选项. 【详解】因为32n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的各项系数的绝对值之和就是32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和,取1x =,得(21)3n n+=,则有637293n ==,所以6n =.于是62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为6621662(2)rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令622r -=,得2r =.所以二次项的系数为226(2)60-=C .故选：B. 【点睛】本题考查求二项式的展开式中特定项的系数和各项系数和，关键在于赋值法的运用，属于基础题.9．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-Qp 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p Q ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．10．一个盒子装有质地、大小、形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中任取两个球，记事件A ：“取出的两个球颜色不同”，事件B ：“取出一个红球，一个黄球”，则(|)P B A =（ ） A ．1115B ．13C ．611D ．25【答案】C【解析】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P (A )和事件A ，B 同时发生的概率P (AB )，再利用条件概率公式加以计算，即可得到(|)P B A 的值. 【详解】（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有11111112323111C C C C C C ++=种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有11236C C =种，故所求概率为611， （方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为11111111336222C C C C C C 11()C 15P A ++==， 而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率112326C C ()C 62155P AB ===， 所以2()6(|)11(5)1115P AB P B A P A ===， 故选：C. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题.11．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A ．19 B ．7 C ．26 D ．12【答案】C【解析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出． 【详解】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有112251C C +=，故有2+5=7种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有112251C C +=，故有2+5=7种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则1232C A 6=,若没有人使用现金，则有2232C A 6=种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，故选C ． 【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.12．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n -…，由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题13．设随机变量2(1,)X N σ:，且1(2)5P X >=，则(01)P X <<=_____． 【答案】310【解析】由已知确定曲线关于x ＝1对称，可知P （X ＜1）＝12，利用P （X ＞2）得P （X ＜0），可求P （0＜X ＜1）． 【详解】随机变量X ～N （1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X ＝1是图象的对称轴，可知P （X ＜1）＝12，又1(2)5P X >=可知P （X ＜0）＝15， 则P （0＜X ＜1）＝12﹣15＝310．故答案为：310．【点睛】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查．14．若()()431ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）． 【答案】64【解析】先根据x 的系数为13求得1a =,再令1x =即可求得展开式中各项系数和 【详解】由题,x 的系数为104431213C aC a +=+=,则1a =,所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4311164+⨯+=, 故答案为：64 【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和15．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【答案】260【解析】先排I ，然后排II,IV ，最后排III ，由此求得不同着色方法数. 【详解】先排I ，有5种方法； 然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种. ②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种. 综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种. 故答案为：260 【点睛】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.16．已知从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球，0m n <<，,m n N Î，共有1m n C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和(1)m -个白球，共有01111m m n n C C C C -+种取法，即有等式11m m mn n n C C C -++=成立，试根据上述思想，化简下列式子：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+=________(1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N【答案】mn k C +【解析】在式子1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里，取出m 个球的所有情况取法总数的和，从装有n k +球中取出m 个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案． 【详解】在1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+中，从第一项到最后一项分别表示： 从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里， 取出m 个球的所有情况取法总数的和，故从装有n k +球中取出m 个球的不同取法数mn k C +.故答案为：mn k C + 【点睛】本题结合考查推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．三、解答题17．设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 【答案】（1）5n =； （2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值. 【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-． 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力. 18．某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O 分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.(1)通过分析可以认为学生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中66μ=，2144σ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为23，多选题的正答率为12，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望. 附：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=.【答案】(1)114人 (2)见解析【解析】（1）根据正态分布可知()()9020.0228P X P X μσ≥=≥+=，利用总人数乘以概率可求得所求人数；（2）首先确定Y 所有可能的取值，计算出每个取值所对应的概率，从而可求得分布列；再利用离散型随机变量的数学期望公式求得数学期望. 【详解】（1）2144σ=Q ，即12σ=，又66μ= 26621290μσ∴+=+⨯=()()()190210.95440.02282P X P X μσ∴≥=≥+=-= ∴估计不低于90分的人数有：0.022********⨯=（人）（2）Y 的所有可能取值为0,2,3,4,5,7()1111023318P Y ∴==⨯⨯=；()12211422332189P Y C ==⨯⨯⨯==；()1111333218P Y ==⨯⨯=；()221424332189P Y ==⨯⨯==()12211425332189P Y C ==⨯⨯⨯==；()221427332189P Y ==⨯⨯==Y ∴的分布列为：()12122225023457189189996E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查正态分布求解概率和估计总体、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题，关键是准确判断离散型随机变量可能的取值和对应的概率，属于常规题型. 19．《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行.作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25,85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的入数如下表：（1）填写下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；（2）若对年龄在[45,55)，[65,75)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式和数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】(1)2×2 列联表没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 ) X 的分布列是45EX =;【解析】(1 ) 利用表格数据，根据联列表利用公式求解即可．( 2 ) 通过 X 的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】 (1)2×2 列联表222()50(311729) 6.27 6.635()()()()10403218n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯,所以没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 )X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，22842210584(0)225C C PX C C ===;111428228422105104(1)22+5C C P X C C C C C ===; 111222248422105(2)+32255C C P X C C C C C ===;1242210522(3)225C C P X C C ===; 所以 X 的分布列是 X 0123P 84225 104225 35225 2225所以 X 的期望值是 1047064022********EX =+++=. 【点睛】本题考查概率统计中的独立性检验和随机变量的分布列和期望的计算，属于中档题. 20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据： 第x 年1 2 3 4 5 6 7 8 9 10旅游人数y（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线e bxy a =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程ˆe bxy a =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数µ22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑；③参考数据： 5.46e 235≈， 1.43e 4.2≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】（1）$0.11235e x y =；（2）回归模型②的拟合效果更好，987 【解析】（1）对e bxy a =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u关于x 的线性回归方程.（2）根据所给数据计算21R ，22R ，即可判断那种模型的拟合效果更优，再代入数据计算可得. 【详解】解：（1）对e bxy a =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程.()()()10110219.000.10883iii i i x x u u bx x==--==≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46cu bx =-≈-⨯=≈$$， $ 5.46e e 235c a =≈≈$，∴模型②的回归方程为$0.11235e x y =. （2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好. 2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235e 235e 235 4.2987y ⨯==≈⨯=（万人）. 【点睛】本题考查非线性回归分析，以及相关程度检验，属于基础题.21．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）910；（2）见解析. 【解析】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.()()111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=.（2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.()()33433400545P X P A B ===⨯=，()()334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327544554100=⨯⨯+⨯⨯=，()()3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯11311554100+⨯⨯=， ()()343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 14111113755445544400=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()34341111112005544400P X P A A B B ===⨯⨯⨯=. 则X 的分布列为：故327114006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 7110001200510.5400400+⨯+⨯=(元). 【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.22．某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来3年中，设ξ表示流量超过120的年数，求ξ的分布列及期望； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）()0.3E ξ=（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机 【解析】试题分析：(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3； (2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机． 试题解析：（1）依题意，(120)0.1P X >=，由二项分布可知，()~3,0.1B ξ.()()303010.10.729P C ξ==-=,()()21310.110.10.243P C ξ==⨯⨯-=, ()()22320.110.10.027P C ξ==⨯⨯-=,()33330.10.001P C ξ==⨯=,所以ξ的分布列为 0 1 2 3 0.7290.2430.0270.001()30.10.3E ξ=⨯=. （2）记水电站的总利润为Y （单位：万元），①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=； ②若安装2台发电机，当4080X <<时，只一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，()42000.2P Y ==，当80X ≥时，2台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，()100000.8P Y ==，()42000.2100000.88840E Y =⨯+⨯=.③若安装3台发电机，第 21 页 共 21 页 当4080X <<时，1台发电机运行，此时500028003400Y =-⨯=，()34000.2P Y ==，当80120X ≤≤时，2台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，()92000.7P Y ==，当120X >时，3台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，()150000.1P Y ==， ()34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.。
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，，且，则A. 9B.C. 1D.2.若，，和的夹角为，则在方向上的投影为A. 2B.C.D. 43.在中，，，，则A. B. C. D. 14.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则A. 33B. 72C. 84D. 1895.在中，，，，则k的值是A. 5B.C.D.6.的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角B的大小为A. B. C. D.7.下列命题正确的是A. 若，则B. ，则C. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量D. 若与是单位向量，则8.如图，在中，P为线段AB上的一点，，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知中，，，，则的面积为A. B. C. D.10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈匹尺，一丈尺，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A. 尺B. 尺C. 尺D.尺11.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船的速度是每小时A. 5海里B. 海里C. 10海里D. 海里12.已知函数，则A. 2018B. 2019C. 4036D. 4038二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在中，若，且，则为______三角形．14.若向量、满足，，且与的夹角为，则______．15.数列的前n项的和，则此数列的通项公式______．16.已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足且，那么实数m的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．18.设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有．求角A的大小；若，，D为BC的中点，求AD的长．19.已知等差数列满足：，且，，成等比数列．求数列的通项公式；记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．20.已知数列满足，．求证数列为等差数列；设，求数列的前n项和．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求C；若，，求的面积．22.已知各项均为正数的数列满足，且是，的等差中项．求数列的通项公式；若，，求成立的正整数n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：向量，，解得．故选：A．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，属于基础题．2.答案：C解析：解：由题意，可知向量在方向上的投影为．故选：C．本题根据向量在方向上的投影公式为，然后代入进行向量的计算可得正确选项．本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，定义法，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．3.答案：B解析：【分析】由正弦定理列出关系式，此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．将a，b及sin A的值代入即可求出sin B的值．【解答】解：，，，由正弦定理得：．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能熟练灵活的应用．根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，得，整体代入即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21故，，故选：C．根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得，和代入，即可得到答案．5.答案：A解析：解：中，，，，，求得，故选：A．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：在中，由正弦定理，可得：，，，，可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，，．故选：B．利用正弦定理化简已知可得，由余弦定理可得，结合范围，即可解得B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：B解析：解：当时，成立，而的大小和方向都是不确定的，故A不正确．由可得，，故B正确．当时，与是共线向量，与是共线向量，但与的大小和方向都是不确定的，故C不正确．若与是单位向量，则，故D不正确．故选B．当时，可得A、C不正确，把平方可得，得到B正确，根据，可得D不正确．本题考查两个向量共线的定义和性质，两个向量的数量积的定义，注意零向量的情况，这是解题的易错点．8.答案：D解析：解：，，化为，又，，．故选：D．由，利用向量三角形法则可得，化为，又，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：由余弦定理，，解得，或舍去，，故选：D．根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出．本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列，尺，尺，设公差为尺，则，解得．故选：C．11.答案：C解析：解：如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，于是这艘船的速度是海里小时．故选C．如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，由此能求出这艘船的速度．本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．12.答案：A解析：解：根据题意，函数，则，则，．故选：A．根据题意，求出的解析式，进而可得，又由，分析可得答案．本题考查函数值的计算，注意分析的值，属于基础题．13.答案：锐角解析：解：，，为锐角．，为最大角．为锐角三角形．故答案为：锐角．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．14.答案：解析：解：，，且与的夹角为，，．故答案为：．根据条件可求出，然后进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：当时，，当时，，故数列的通项公式为，故答案为．首先根据求出的值，然后根据求出当时数列的递推关系式，最后计算是否满足该关系式．本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用求出数列的通项公式，此题难度一般．16.答案：3解析：解：由题意，根据向量的减法有：，，，；，，，．故答案为3利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．17.答案：解：设，则分或分，分解析：设，则可得，解方程可求本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式18.答案：解：；，，为BC的中点，．解析：根据，可得，从而可得，由此可求求角A的大小；利用，，，可求a的值，进而可求，利用D为BC的中点，可求AD的长．本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．19.答案：解：设等差数列的公差为d，，且、、成等比数列．，即，解得或4．，或．当时，，不存在正整数n，使得．当时，，假设存在正整数n，使得，即，化为，解得，或，的最小值为41．解析：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；利用等差数列的前n项和公式可得，再利用一元二次不等式的解法即可得出．20.答案：解：数列满足，整理得，故常数，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．所以，故所以，则：．解析：首先利用数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列．利用的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.答案：解：中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：．由于，整理得，化简得：，所以，由于，所以．故或，解得或，当时，由于，所以，且，则利用勾股定理设，，故：，解得，所以．当时，，所以．同理解得．所以．综上所述：．解析：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出C的值．利用三角函数关系式的恒等变换和分类讨论思想的应用求出三角形的角和边，进一步求出三角形的面积．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．22.答案：解：Ⅰ，，数列的各项均为正数，，，即，所以数列是以2为公比的等比数列．是，的等差中项，，，，数列的通项公式．Ⅱ由Ⅰ及得，，，----得，，要使成立，只需成立，即，使成立的正整数n的最小值为5．解析：Ⅰ根据数列是一个各项均为正数的数列满足，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，，注意数列是一个正项数列，得到，得到数列是一个等比数列，写出通项．Ⅱ本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察成立的正整数n 的最小值．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．。
湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高二下学期期中数学试题
湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（ ） A ．至少取到1个白球B ．至多取到1个白球C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数 2．10(1)x -的展开式的第6项的系数是A ．610C -B ．610C C ．510C -D ．510C 3．记，ξη为两个离散型随机变量，则下列结论不正确的是（ ）A ．()211=2ξξ++E EB ．()2=ηη-D DC ．()=ξηξη++E E ED ．()D D D ξηξη++=4．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为$0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．变量x ，y 之间呈负相关关系B ．可以预测，当20x =时，$ 3.7y =-C ． 4.7m =D ．该回归直线必过点()9,4 5．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（ ）A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大一些D ．男生不喜欢理科的比为60%6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．150种B ．120种C ．240种D ．540种 8．32n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数的绝对值之和为729，则2n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二次项的系数是（ ）A ．60-B ．60C ．30-D ．309．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.310．一个盒子装有质地、大小、形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中任取两个球，记事件A ：“取出的两个球颜色不同”，事件B ：“取出一个红球，一个黄球”，则(|)P B A =（ ）A ．1115B ．13C ．611D ．2511．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种A ．19B ．7C ．26D ．1212．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．613．设随机变量2(1,)X N σ:，且1(2)5P X >=，则(01)P X <<=_____． 14．若()()431ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．15．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法16．已知从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球，0m n <<，,m n N Î，共有1m n C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和(1)m -个白球，共有01111m m n n C C C C -+种取法，即有等式11m m m n n n C C C -++=成立，试根据上述思想，化简下列式子：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+=________(1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N17．设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.18．某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O 分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.(1)通过分析可以认为学生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中66μ=，2144σ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为23，多选题的正答率为12，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望. 附：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=.19．《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行.作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25,85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的入数如下表：（1）填写下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；（2）若对年龄在[45,55)，[65,75)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X ，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线e bxy a =的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程ˆe bx y a =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()ni ii n ii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数µ22121()1()n i i i nii y y R y y ==-=--∑∑；③参考数据： 5.46e 235≈， 1.43e 4.2≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 21．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望.22．某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来3年中，设ξ表示流量超过120的年数，求ξ的分布列及期望；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？参考答案1．C【解析】【分析】根据离散型随机变量的定义，即可求解.【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项C 是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X 的取值0,1,2,3，故选C.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的定义及其应用，准确理解离散型随机变量的概念是解答的关键，属于基础题.2．C【解析】【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.【详解】由题得10110(1)(0,1,2,10)r r r r T C x r -+=-=L ，令r=5,所以5555561010T C xC x ==-（-1)， 所以10(1)x -的展开式的第6项的系数是510C -.故选：C【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3．D【解析】【分析】利用数学期望、方差计算公式求解.【详解】设1122......i i n n E p p p p ξξξξξ=+++++++，设21Y ξ=+，Y 也是随机变量，因为()()21i i p Y p ξξξ=+==，所以()()()()1122212121...21i i n n EY p p p p ξξξξ=+++++++...++， ()()1122122.........i i n n i n p p p p p p p p ξξξξ=+++++++++++...++， 1E ξ+=2，故A 正确.同理C 正确..根据期望的性质，()22E E ηη--=，而21()n i i i D E p ηηη==-∑，所以()2=ηη-D D ，故B 正确，()()()21()n i i i D E p ξηξηξη=++-+∑=，而2211()()n ni i i i i i D D E p E p ξηξξηη=='+=-+-∑∑，不一定相等，故D 错误 .故选：D【点睛】 本题主要考查数学期望、方差的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题 4．C【解析】【分析】根据线性回归直线的性质判断．【详解】线性回归方程为$0.710.3y x =-+中x 的系数为0.70-<，∴变量x ，y 之间呈负相关关系，A 正确；20x =代入方程得$0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，B 正确； 由已知68101294x +++==，则0.7910.34y =-⨯+=，于是D 正确， 63244m +++=⨯，5m =，C 错．故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键．5．C【解析】试题分析：根据等高条形图看出女生喜欢理科的百分比是0．2，而男生则是0．6，故选C．考点：等高条形图．6．A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C=516，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7．A【解析】【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：3，1 ，1三组；②5名插班生分成：2，2，1三组，当5名插班生分成：3，1 ，1三组时，共有3135231602C C A =种方案； 当5名插班生分成：2，2，1三组时，共有22112425322290C C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种方案； 所以，共有6090150+=种不同的安排方案. 故选：A. 【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】由32n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的各项系数的绝对值之和就是32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和,所以赋值1x =,得6n =.再根据二项式的展开式求得62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项，可求得二次项的系数得选项. 【详解】因为32n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的各项系数的绝对值之和就是32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和,取1x =,得(21)3n n +=,则有637293n ==,所以6n =.于是62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为6621662(2)rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令622r -=,得2r =.所以二次项的系数为226(2)60-=C .故选：B. 【点睛】本题考查求二项式的展开式中特定项的系数和各项系数和，关键在于赋值法的运用，属于基础题. 9．B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-Qp 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p Q ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题． 10．C 【解析】 【分析】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P (A )和事件A ，B 同时发生的概率P (AB )，再利用条件概率公式加以计算，即可得到(|)P B A 的值. 【详解】（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有11111112323111C C C C C C ++=种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有11236C C =种，故所求概率为611， （方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为11111111336222C C C C C C 11()C 15P A ++==， 而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率112326C C ()C 62155P AB ===， 所以2()6(|)11(5)1115P AB P B A P A ===，故选：C. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出． 【详解】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有112251C C +=，故有2+5=7种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有112251C C +=，故有2+5=7种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则1232C A 6=,若没有人使用现金，则有2232C A 6=种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，故选C ． 【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题. 12．B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算 公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 13．310【解析】 【分析】由已知确定曲线关于x ＝1对称，可知P （X ＜1）＝12，利用P （X ＞2）得P （X ＜0），可求P （0＜X ＜1）． 【详解】随机变量X ～N （1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X ＝1是图象的对称轴，可知P （X ＜1）＝12，又1(2)5P X >=可知P （X ＜0）＝15， 则P （0＜X ＜1）＝12﹣15＝310．故答案为：310．【点睛】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查．14．64 【解析】 【分析】先根据x 的系数为13求得1a =,再令1x =即可求得展开式中各项系数和 【详解】由题,x 的系数为104431213C aC a +=+=,则1a =,所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4311164+⨯+=, 故答案为：64 【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和 15．260 【解析】 【分析】先排I ，然后排II,IV ，最后排III ，由此求得不同着色方法数. 【详解】先排I ，有5种方法； 然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种. ②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种. 综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种. 故答案为：260 【点睛】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题. 16．m n k C + 【解析】 【分析】在式子1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k 个黑球的袋子里，取出m 个球的所有情况取法总数的和，从装有n k +球中取出m 个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【详解】在1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+中，从第一项到最后一项分别表示： 从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里， 取出m 个球的所有情况取法总数的和，故从装有n k +球中取出m 个球的不同取法数mn k C +.故答案为：mn k C + 【点睛】本题结合考查推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案． 17．（1）5n =； （2）-32. 【解析】 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值； (2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值. 【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-． 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力. 18．(1)114人 (2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据正态分布可知()()9020.0228P X P X μσ≥=≥+=，利用总人数乘以概率可求得所求人数；（2）首先确定Y 所有可能的取值，计算出每个取值所对应的概率，从而可求得分布列；再利用离散型随机变量的数学期望公式求得数学期望. 【详解】（1）2144σ=Q ，即12σ=，又66μ= 26621290μσ∴+=+⨯=()()()190210.95440.02282P X P X μσ∴≥=≥+=-= ∴估计不低于90分的人数有：0.022********⨯=（人）（2）Y 的所有可能取值为0,2,3,4,5,7()1111023318P Y ∴==⨯⨯=；()12211422332189P Y C ==⨯⨯⨯==；()1111333218P Y ==⨯⨯=；()221424332189P Y ==⨯⨯==()12211425332189P Y C ==⨯⨯⨯==；()221427332189P Y ==⨯⨯==Y ∴的分布列为：()12122225023457189189996E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查正态分布求解概率和估计总体、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题，关键是准确判断离散型随机变量可能的取值和对应的概率，属于常规题型. 19．(1)2×2 列联表没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 ) X 的分布列是45EX =;【解析】【分析】(1 ) 利用表格数据，根据联列表利用公式求解即可．( 2 ) 通过 X 的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】 (1)2×2 列联表222()50(311729) 6.27 6.635()()()()10403218n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯,所以没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 )X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，22842210584(0)225C C P X C C ===;111428228422105104(1)22+5C C P X C C C C C ===; 111222248422105(2)+32255C C P XC C C C C ===;1242210522(3)225C C P X C C ===; 所以 X 的分布列是所以 X 的期望值是 1047064022********EX =+++=. 【点睛】本题考查概率统计中的独立性检验和随机变量的分布列和期望的计算，属于中档题.20．（1）$0.11235e x y =；（2）回归模型②的拟合效果更好，987 【解析】 【分析】（1）对e bxy a =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程.（2）根据所给数据计算21R ，22R ，即可判断那种模型的拟合效果更优，再代入数据计算可得. 【详解】解：（1）对e bxy a =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程.()()()10110219.000.10883iii ii x x u u bx x ==--==≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈$$，$ 5.46e e 235c a =≈≈$，∴模型②的回归方程为$0.11235e x y =. （2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好. 2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235e 235e 235 4.2987y ⨯==≈⨯=（万人）. 【点睛】本题考查非线性回归分析，以及相关程度检验，属于基础题. 21．（1）910；（2）见解析. 【解析】 【分析】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.()()111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.()()33433400545P X P A B ===⨯=，()()334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327544554100=⨯⨯+⨯⨯=，()()3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯11311554100+⨯⨯=， ()()343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 14111113755445544400=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()34341111112005544400P X P A A B B ===⨯⨯⨯=. 则X 的分布列为：故327114006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 7110001200510.5400400+⨯+⨯=(元).【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.22．（1）()0.3E ξ=（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机 【解析】 试题分析：(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3； (2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机． 试题解析：（1）依题意，(120)0.1P X >=，由二项分布可知，()~3,0.1B ξ.()()303010.10.729P C ξ==-=,()()21310.110.10.243P C ξ==⨯⨯-=, ()()22320.110.10.027P C ξ==⨯⨯-=,()33330.10.001P C ξ==⨯=,所以ξ的分布列为()30.10.3E ξ=⨯=. （2）记水电站的总利润为Y （单位：万元），①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=； ②若安装2台发电机，当4080X <<时，只一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，()42000.2P Y ==，当80X ≥时，2台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，()100000.8P Y ==，()42000.2100000.88840E Y =⨯+⨯=.③若安装3台发电机，当4080X <<时，1台发电机运行，此时500028003400Y =-⨯=，()34000.2P Y ==，当80120X ≤≤时，2台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，()92000.7P Y ==，当120X >时，3台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，()150000.1P Y ==，()34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.。
2020年湖北省三校联考高二(下)期中数学试卷(文科)
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A. B. C. 2 D. 42.已知集合A={a，1}，B={a2，0}，那么“a=-1”是“A∩B≠∅”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=a ln x+x在x=a处的切线过原点，则a=（）A. 1B. eC.D. 04.下列四个结论：①若x＞0，则x＞sin x恒成立；②命题“若x-sin x=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x-ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0-ln x0＜0”．其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若a＞0，b＞0，c∈R，函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋c在x＝1处有极值，则ab的最大值为（）A. 2B. 3C. 6D. 96.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为-=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A. x±y=0B. x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=07.函数f（x）=的图象可能是（）A. （1）（3）B. （1）（2）（4）C. （2）（3）（4）D. （1）（2）（3）（4）8.已知命题p：∀x∈R，e x≥1+x；命题q：∃x0∈R，ln x0≥x0-1．下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∧qD. （￢p）∧（￢q）9.已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别是A，B，则的取值范围为（）A. B.C. D.10.已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知点F1是抛物线x2=4y的焦点，点F2是抛物线的准线与y轴的交点，过点F2作抛物线的切线，切点是A，若点A在以F1、F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A. 1B. 0C. 2D. 0或2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是______．14.（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线ρ=4sinθ表示圆，则点到圆心的距离为______．15.已知函数f（x）=（bx-1）e x+a（a，b∈R）．若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，则a，b的值分别为______．16.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.曲线C：，极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，直线l：，求直线l被曲线C截得的线段长．18.已知p：函数y=x3+mx2+1在（-1，0）上是单调递减函数，q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．19.已知函数，曲线y=f（x）上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，求实数a的取值范围．20.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（Ⅰ）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（Ⅱ）设OP=x（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（Ⅲ）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．22.设函数，其中a为常数．（1）当a=-1时，求函数极值；（2）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选：A．根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．2.【答案】C【解析】解：当a=-1时，A={-1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，即充分性成立，若A∩B≠∅，则a2=1或a2=a，即a=1或a=-1或a=0，当a=1时，A={1，1}不成立，当a=-1时，A={-1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，当a=0时，B={0，0}不成立，综上a=-1，即“a=-1”是“A∩B≠∅”的充要条件，故选：C．根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合交集的定义进行运算是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）=a ln x+x，∴，∴，∵f（a）=a lna+a，∴曲线f（x）在x=a处的切线方程为y-a lna-a=2（x-a），∵曲线f（x）=a ln x+x在x=a处的切线过原点，∴-a lna-a=-2a，解得a=e．故选：B．求出，，f（a）=a lna+a，由此导数的几何意义求出曲线f（x）在x=a处的切线方程为y-a lna-a=2（x-a），再由曲线f（x）=a ln x+x在x=a处的切线过原点，能求出a．本题考查实数值的求法，具体涉及到导数、切线方程、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．4.【答案】C【解析】解：①由y=x-sin x的导数为y′=1-cos x≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x ＞sin x恒成立，故①正确；②命题“若x-sin x=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sin x≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q 为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；④命题“∀x∈R，x-ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0-ln x0≤0”，故④不正确．综上可得，正确的个数为3．故选：C．由函数y=x-sin x的单调性，即可判断①；由若p则q的逆否命题为若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③；由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．本题考查命题的真假判断，注意运用导数判断单调性，以及四种命题的性质和充分必要条件的判断，以及命题的否定形式，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：f′（x）=12x2-2ax-2b，因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，即12-2a-2b=0，所以a+b=6，又a＞0，b＞0，所以ab=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值为9，故选：D．【分析】由f（x）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，可得a+b=6，然后利用基本不等式可求得ab的最大值．本题考查利用导数研究函数的极值、基本不等式求函数的最值，注意利用基本不等式求函数的最值条件：一正、二定、三相等．6.【答案】A【解析】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为-=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．7.【答案】C【解析】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（-∞，-），（-，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（-，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（-∞，-），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：设f（x）=e x-1-x，则f′（x）=e x-1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数取得极小值f（0）═1-1=0，即∀x∈R，f（x）≥f（0）=0，即e x≥1+x成立，即命题p是真命题当x0=1时，ln x0=x0-1成立，即命题q：∃x0∈R，ln x0≥x0-1为真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题，故选：A．根据函数性质分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：椭圆的a=2，b=，c=1，圆（x+1）2+y2=1的圆心为（-1，0），半径为1，由题意设PA与PB的夹角为2θ，则|PA|=PB|=，∴•=||•||cos2θ=•cos2θ=•cos2θ．设cos2θ=t，则y=•==（1-t）+-3≥2-3，∵P在椭圆的右顶点时，sinθ=，∴cos2θ=1-2×=，此时•的最大值为×=，∴•的取值范围是：[2-3，]．故选：C．由题意设PA与PB的夹角为2θ，通过解直角三角形求出PA，PB的长，利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简，换元后再利用基本不等式求出最值得答案．本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：f′（x）=-2x+a-=．令g（x）=-2x2+（a-）x+3，由函数在区间（1，3）上有最大值，则必需，解得．∴实数a的取值范围是．故选：B．f′（x）=-2x+a-=．令g（x）=-2x2+（a-）x+3，由函数在区间（1，3）上有最大值，则必需，解出即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11.【答案】B【解析】解：抛物线x2=4y的焦点F1（0，1），抛物线的准线与y轴的交点F2（0，-1）．设A（x0，），对抛物线x2=4y求导可得：y′=x，∴切线AF2的斜率为x0．∴=x0，解得x0=±2，A（±2，1）．设双曲线标准方程为：-=1（a，b＞0），∴-=1．又a2+b2=1．联立解得：b2=2-2，a2=3-2．∴e===+1．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，可得两个焦点坐标，设A（x0，），运用导数的几何意义和准线的斜率公式，解得A的坐标，代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查抛物线与双曲线的标准方程及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，f（x）+＞0，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（-∞，0）上无零点．综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：B．由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg （x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（-∞，0）上也无零点，从而得出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题．13.【答案】[1，2]【解析】解：若命题p：“”是假命题，则命题“∀x∈R，2x-2＞a2-3a”是真命题，即a2-3a+2≤0恒成立，∴1≤a≤2，故实数a的取值范围是[1，2]，故答案为[1，2]．由条件可通过命题的否定为真命题，从而转化为二次不等式恒成立问题，即可求出实数a的取值范围．本题考查特称命题与全称命题的关系，通过转化使问题简化，是解题的关键，应掌握．14.【答案】【解析】解：由曲线ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，化为x2+（y-2）2=4，可得圆心C（0，2）．由点，可得=2，y A==2，∴A．∴|AC|==．故答案为：．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得圆心的直角坐标，再把点A的坐标化为直角坐标，利用两点间的距离公式即可得出．本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、两点间的距离公式，属于基础题．15.【答案】1，2【解析】解：f（x）=（bx-1）e x+a得f′（x）=e x（bx+b-1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x．f′（0）=1，f（0）=0，即b-1=1，-1+a=0，解得a=1，b=2，故答案为：1，2．求导函数，利用曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，建立方程，可求a、b的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】3【解析】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=-1，M是AB的中点，设A（x1，y2），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1），将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2-（2k2+4）+k2=0，由根与系数的关系：x1+x2=2+，x1•x2=1，又设P（x0，y0），y0=（y1+y2）=[k（x1-1）+k（x2-1）]=，∴x0=，∴P（，），|PF|=x0+1=+1=2，∴k2=1，∴M点的横坐标为3，故答案为：3．根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1•x2，并求出P 点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．本题考查抛物线的性质和应用及根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法，属于中档题．17.【答案】解：由得（x-2）2+y2=4，其极坐标方程为ρ=4cosθ，将θ=代入得ρ=4×=2，直线l被曲线C截得的线段长2．【解析】先求出曲线C的直角坐标方程，再化成极坐标方程，再将直线l：，代入可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18.【答案】解：对于p：y′=3x2+2mx，由于函数y=x3+mx2+1在（-1，0）上是单调递减函数，所以y′≤在（-1，0）上成立故，解得m≥对于命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，可得△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m ＜3因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p，q一真一假当p真q假时，可得m≥3当p假q真时，可得1＜m＜综上：m的取值范围是：．…（12分）【解析】由题意，可先解出两个条件所满足的参数范围，再由复合命题的真假判断出p，q两个命题一真一假，然后分类解出参数的范围，即可得到所求本题考查复合命题的真假判断以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想及计算能力，知识运用能力，综合性较强19.【答案】解：∵曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f′（x）=a+（x-1）e-x=0有两个不同的解，即得a=（1-x）e-x有两个不同的解，设y=（1-x）e-x，则y′=（x-2）e-x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0，∴x=2时，函数取得极小值-e-2，∴a的取值范围是-e-2＜a＜0．【解析】由曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，故f′（x）=a+（x-1）e-x=0有两个不同的解，即得a=（1-x）e-x有两个不同的解，即可解出a的取值范围．本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．20.【答案】解：（Ⅰ）①取AB中点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则，故，又OP=10-10tanθ，所以，所求函数关系式为②若OP=x（km），则OQ=10-x，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，y′=令y′=0得sin，因为，所以θ=，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．【解析】（1）（i）取AB中点Q，根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．本小题主要考查函数最值的应用．①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意：c=1，a=2，b2=a2-c2=3，所求椭圆方程为．（3分）（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：y=x-1．由得7x2-8x-8=0，，所以．（7分）（Ⅲ）当MN⊥x轴时，显然y0=0．当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则．所以，线段MN的垂直平分线方程为在上述方程中令x=0，得．当k＜0时，；当k＞0时，．所以，或．综上，y0的取值范围是．（10分）【解析】（Ⅰ）利用椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l的方程为：y=x-1，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段MN的长；（Ⅲ）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得，利用基本不等式，即可求y的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键．22.【答案】解：（1）a=-1时，f（x）=x-．x∈（0，+∞）．f′（x）=1-=．g（x）=x2+ln x-1在x∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0．∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．即在x=1处取得极小值，而无极大值．f（1）=1．（2）f（x）=x+a．x∈（0，+∞）．a∈（0，m]．f′（x）=1+=．对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，∴f′（x）=≥0．即h（x）=x2+a（1-ln x）≥0，x∈（0，+∞）．h′（x）=2x-==．可得函数h（x）在x=处取得极小值，则h（）=a+a（1-ln a）≥0，化为：ln a≤4．∴a≤e4．∴m的最大值为：e4．【解析】（1）a=-1时，f（x）=x-．x∈（0，+∞）．f′（x）=1-=．g（x）=x2+ln x-1在x∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0．j即可得出f（x）的极值点．（2）f（x）=x+a．x∈（0，+∞）．a∈（0，m]．f′（x）=1+=．对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，可得f′（x）=≥0．即h（x）=x2+a（1-ln x）≥0，x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性，令其h（x）min≥0即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
湖北省武汉市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
湖北省武汉市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）命题p：∃x∈N，x2≥x，则该命题的否定是________．2. （1分） (2018高一下·珠海月考) 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为________3. （1分） (2016高一下·中山期中) 超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为________辆．4. （1分）(2017·西城模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为________．5. （1分） (2015高二下·射阳期中) 已知复数（i为虚数单位，a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a=________．6. （1分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为________7. （1分）用计算机随机产生的有序二元数组（x，y），满足条件﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1，记事件E为x2+y2≤1，则E发生的概率是________8. （1分） (2017高二下·广州期中) 由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是________．9. （1分）某单位在国庆节7天假期里安排甲、乙、丙三人值班，每天1人，每人至少值2天，则不同的安排方法共有________种．10. （1分）(2017·盐城模拟) 若实数x，y满足2x﹣3≤ln（x+y+1）+ln（x﹣y﹣2），则xy=________．11. （1分） (2017高三上·泰州开学考) p：x≠2或y≠4是q：x+y≠6的________条件．（四个选一个填空：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）12. （1分） (2016高二下·高密期末) 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．13. （1分） (2016高二上·郑州期中) 的最小值是________．14. （1分） (2016高二下·芒市期中) 斜率为1的直线l与椭圆 +y2=1相交于A，B两点，则|AB|得最大值为________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （20分）对于二次函数y=﹣4x2+8x﹣3，（1）指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）画出它的图象，并说明其图象由y=﹣4x2的图象经过怎样平移得来；（3）求函数的最大值或最小值；（4）分析函数的单调性．16. （5分）用数学归纳法证明：17. （10分）(2013·重庆理) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．18. （10分）(2017·泰州模拟) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．19. （5分）已知两直线l1：x+ysinθ﹣1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2 ．20. （10分）(2013·福建理) 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1 ， A2 ，…，A9和B1 ， B2 ，…，B9 ，连接OBi ，过Ai作x轴的垂线与OBi ，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、15-3、15-4、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（ ）A.－iB.－3iC.iD.3i2．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒D.674米/秒3．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x4. 校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案共有的种数为（ ）。
A 、36B 、72C 、18D 、815. 过曲线y ＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在点P 处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －2π3＋32＝0 B.3x ＋2y －3π3－1＝0 C ．2x ＋3y －2π3＋32＝0 D.3x ＋2y －3π3＋1＝0 6. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )7. 给出下列结论：①(sin x)′＝cos x；②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；③(e x)′＝e x；④(log4x)′＝1x ln 4.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8. 若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)10. 已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤011. （X+2）6的展开式中x3的系数是（）。
湖北省武汉市2019-2020学年高二下学期期中联考数学试卷
2019-2020学年度第二学期新高考五校联合体期中考试高二数学试题日期：2020年4月21日满分：150分时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共12小题60分，每小题只有一个选项符合题意）1. 曲线,在处的切线与直线平行,则的值为( )A. 0B. 1C.D. 22. 在件产品中,有件是次品,现从中任意抽取件,其中至少有件次品的取法种数为( )A. B.C. D.3. 已知函数，则（）A. B. C. D.4. 如果函数的图象如下左图,那么导函数的图象可能是( )A. B. C. D.5. 名男生和名女生排成一排,女生不排在两端,则不同的排法种数为( )A. B. C. D.6. 在曲线2y x =上切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．（0,0） B ．（2,4） C ．11,416⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 设,那么的值为( ) A.B.C.D.8. 某人射击枪,击中枪,问击中和未击中的不同顺序情况有（ ）种.A.B.C.D.9. 若函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.10. 如图，一环形花坛分成四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A. 12B. 24C. 18D. 6 11. 关于函数.下列说法中:①它的极大值为,极小值为; ②当时,它的最大值为,最小值为;③它的单调减区间为; ④它在点处的切线方程为,其中正确的有( )个·A. B. C. D. 12. 已知函数的极大值为,若函数在上的极小值不大于,则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知,那么__________.14. 6个人排成一排,甲、乙两人中间恰有一人的排法有__________种.15. 若函数在上存在单调递增区间,则的取值范围是__________.16. 若关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是__________.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分，解答每题时写出必要的文字说明或演算步骤。
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2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是A. 至少取到1个白球B. 取到白球的个数C. 至多取到1个白球D. 取到的球的个数2.的展开式中第6项系的系数是A. B. C. D.3.记，为两个离散型随机变量，则下列结论不正确的是A. B.C. D.4.已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是x681012y6m32变量，之间呈现正相关关系B. 可以预测，当时，C. 可求得表中D. 由表格数据知，该回归直线必过点5.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.7.某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有A. 150种B. 120种C. 240种D. 540种8.的二项展开式的各项系数的绝对值之和为729，则展开式中的二次项的系数是A. B. 60 C. D. 309.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A. B. C. D.10.一个盒子装有质地、大小、形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个．现从中任取两个球，记事件A：“取出的两个球颜色不同”，事件B：“取出一个红球，一个黄球”，则A. B. C. D.11.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有种A. 19B. 26C. 7D. 1212.“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是，现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究M，设这个n人团队解决项目M的概率为，若，则n的最小值是A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设随机变量，且，则______．14.若展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为______用数字作答．15.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有______种不同着色方法16.从装有个球其中n个白球，1个黑球的口袋中取出m个球m，，共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：______ k，m，．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设，，已知．求n的值；设，其中a，，求的值．18.某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O 分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为y，求y的分布列及数学期望．附：，，．19.中华人民共和国民法总则以下简称民法总则自2017年10月1日起施行．作为民法典的开篇之作，民法总则与每个人的一生息息相关．某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间上，年龄的频率分布及了解民法总则的人数如表：年龄频数551015510了解民法总则1281245Ⅰ填写下面列联表，并判断是否有的把握认为以45岁为分界点对了解民法总则政策有差异；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计了解______ ____________不了解______ ____________合计______ ______ ______Ⅱ若对年龄在，的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解民法总则的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式和数据：k20.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数万人与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数万人300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．根据表中数据，求模型的回归方程精确到个位，b精确到．根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数单位：万人，精确到个位．回归方程3040714607参考公式、参考数据及说明：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．刻画回归效果的相关指数．449834195表中．21.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费，某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．22.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．Ⅰ求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；Ⅱ水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据离散型随机变量的定义可得选项B，是随机变量，其可以一一列出，故选：B．由随机变量的定义可得出其结果．本题考查的是离散型随机变量，是道基础题．2.答案：A解析：解：，令，可得的展开式中第6项系的系数为：．故选：A．用二项展开式的通项公式得第项，令得展开式的第6项的系数．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．3.答案：D解析：解：在A中，，故A正确；在B中，由方差的性质得，故B正确；在C中，由数学期望的性质得，故C正确；在D中，，所以，故D错误．故选：D．利用概率、数学期望、方差的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由x与y的线性回归方程可知，，变量x，y之间呈现负相关关系，即A错误；当时，，即B错误；由表中数据可知，，，根据样本中心点必在线性回归方程上，有，解得，即C错误；，，样本中心点为，即D正确．故选：D．由x与y的线性回归方程中x系数的正负可判断选项A；把代入回归直线方程算出的值可判断选项B；先根据表格中的数据求出样本中心点，再将其代入线性回归方程，解之即可得m的值，从而判断选项C；由选项C中的结论可判断选项D．本题考查线性回归方程的性质与应用，考查学生的运算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：由图可知，女生喜欢理科的占，男生喜欢理科的占，显然性别与喜欢理科有关，故选：C．本题为对等高条形图，题目较简单，注意阴影部分位于上半部分即可．本题考查频率分布直方图的相关知识，属于简单题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．7.答案：A解析：解：根据题意先对5名插班生分成以下两类：型：有种方法；型：有种方法．再编入3个班级共有种方法．故选：A．根据题意先对5名插班生分成型与型两类，再编入班级，计算出结果即可．本题主要考查排列组合的基础知识，属于基础题．8.答案：B解析：解：二项展开式的各项系数的绝对值之和为729，，解得；展开式中；令，解得；常数项是．故选：B．根据二项展开式的各项系数的绝对值和求出n的值，再求后面的通项公式，即可求得结论．本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应熟记二项式展开式与通项公式是什么，属于基础题目．9.答案：B解析：【分析】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望与方差公式的应用，属于中档题．由条件可知，可直接由求出p，再代入检验即可得p的值．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，由题意，知该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，即，因为，可得，解得或由得，化简得即．所以．故选B．10.答案：C解析：解：由题意得，．故．故选：C．先利用间接法求出任取两个不同颜色球的取法数，然后再求出取出一红一黄球的取法数，再利用公式计算即可．本题考查条件概率的计算以及计数原理的应用，注意对条件概率中事件的理解．属于中档题．11.答案：B解析：解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有，故有种，当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有，故有种，当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则种，若没有人使用现金，则有种，故有种，根据分步计数原理可得共有种，故选：B．由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出．本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题12.答案：B解析：解：李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是，现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究M，设这个n人团队解决项目M的概率为，则，，，解得．的最小值是4．故选：B．设这个n人团队解决项目M的概率为，则，由，得，由此能求出n的最小值．本题考查实数的最小值的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：解析：【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．【解答】解：由随机变量，可得，又，．故答案为：．14.答案：64解析：解：展开式中x的系数为：，，令，得：展开式中各项系数和为：，故答案为：64．依题意，可得，求得，再赋值，即可求得展开式中各项系数和．本题考查二项式定理，依题意，求得是关键，考查赋值法的灵活应用，属于中档题．15.答案：84解析：解：根据题意，由分4类进行分析：当Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ全都不同色时，共有种；当Ⅰ，Ⅲ同色，Ⅱ，Ⅳ不同色时，共有种；当Ⅱ，Ⅳ同色，Ⅰ，Ⅲ不同色时，共有24种；当Ⅰ，Ⅲ同色且Ⅱ，Ⅳ也同色时，共有种；故答案为84．本剧题意，分4类进行分析，分情况讨论着色方案，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计算原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件在计算时做到不重不漏．16.答案：解析：解：在中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有球中取出m个球的不同取法数故选C从装有个球其中n个白球，1个黑球的口袋中取出m个球m，，共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，个白球，则根据上述思想，在式子：中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有球中取出m 个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．17.答案：解：由，，可得，，，，可得，解得；方法一、，由于a，，可得，，可得；方法二、，，由于a，，可得，可得．解析：运用二项式定理，分别求得，，，结合组合数公式，解方程可得n的值；方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，，求得，再由平方差公式，计算可得所求值．本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．18.答案：解：学生初试成绩X服从正态分布，其中，，，，估计不低于90分的人数为人．的所有可能取值为0，2，3，4，5，7，则，，，，，，的分布列为：Y 0 2 3 4 5 7P．解析：推导出，由此能估计不低于90分的人数．的所有可能取值为0，2，3，4，5，7，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：3；29；32；7；11；18；10；40；50年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计了解 32不了解 18合计 10 40 50，所以没有的把握认为以45岁为分界点对了解民法总则政策有差异．Ⅱ所有可能取值有0，1，2，3，，，，，所以X的分布列是X0123P所以X的期望值是．Ⅰ利用表格数据，根据联列表利用公式求解即可．Ⅱ通过X的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查古典概型概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验思想的应用，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：对取对数，得，设，，先建立u关于x的线性回归方程．，，，模型的回归方程为；由表格中的数据，有，即，即，，模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好，2021年时，，预测旅游人数为万人．解析：本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．对取对数，得，设，，先建立u关于x的线性回归方程．求得的值，再求出，即可得到模型的回归方程；由表格中的数据，有，即，得到，说明模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好在中的回归方程中，取，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．21.答案：解：根据题意，设表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，表示女学员在第i次参加科目2考试中通过，则，，，，根据题意，设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，则；根据题意，X可取的值为400、600、800、1000、1200，，，；则X的分布列为X 400 600 8001000 1200P故E元解析：根据题意，设表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，表示女学员在第i次参加科目2考试中通过，设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，分析可得，由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；根据题意，X可取的值为400、600、800、1000、1200，依次求出对应的概率，即可得X的分布列，由期望公式计算可得答案．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：Ⅰ依题意，，由二项分布可知，，，，，，的分布列为：0123P数学期望为；Ⅱ记水电站的总利润为单位：万元，假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，；若安装2台发电机，当时，只一台发电机运行，此时，，当时，2台发电机运行，此时，，；若安装3台发电机，当时，1台发电机运行，此时，，当时，2台发电机运行，此时，，当时，3台发电机运行，此时，，；综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．Ⅰ依题意，由二项分布，计算对应的概率值，写出的分布列，计算数学期望值；Ⅱ记水电站的总利润为Y，计算安装1台发点机时的年利润Y与值，安装2台发电机时的年利润值，安装3台发电机时的年利润值，比较即可得出结论．。