函数恒成立问题——参变分离法

，则只需要
④ ，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
答案：
例2：已知函数 ，若 在 上恒成立，则 的取值范围是_________
思路：恒成立的不等式为 ，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法
解： ，其中
只需要 ，令
（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将 变为 ，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定 的符号，不妨先验边界值）
， ，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
二、典型例题：
例1：已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是_______
思路：首先转化不等式， ，即 恒成立，观察不等式 与 便于分离，考虑利用参变分离法，使 分居不等式两侧， ，若不等式恒成立，只需 ，令 （解析式可看做关于 的二次函数，故配方求最值） ，所以
在 单调递减，在 单调递增
， 恒成立
即只需
当 时，令
则 ，与 矛盾
当 时， 解得
在 单调递增，在 单调递减
综上所述：
注意：（1）在例6，例7中对于多变量恒成立不等式，都是以其中一个函数作为突破口求得最值，进而消元变成而二元不等式，再用处理恒成立的解决方法解决。
（2）在本题处理 恒成立的过程中，对令 这个反例，是通过以下两点确定的：① 时估计 函数值的变化，可发现当 时， （平方比一次函数增长的快）②在选取特殊值时，因为发现 时， 已然为正数，所以只需前面两项相消即可，所以解方程 ，刚好符合反例的要求。
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设 为自变量，其范围设为 ， 为函数； 为参数， 为其表达式）
所以 解得：
答案：
例7：已知函数 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围
思路： 含有参数 ，而 为常系数函数，且能求出最值，所以以 为入手点：若 恒成立，则只需 。可求出 ，进而问题转化为 ， 恒成立，此不等式不便于利用参变分离求解，考虑利用最值法分类讨论解决
解： 恒成立 只需
由 得： ，令 解得：
在 单调递减， 在 单调递减
答案：
注意：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。
例3：若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的范围是．
思路：在本题中关于 的项仅有 一项，便于进行参变分离，但由于 ,则分离参数时要对 的符号进行讨论，并且利用 的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到 的范围， ，当 时， ，而 ；当 时，不等式恒成立；当 时， ，而
（1）若 的值域为
① ，则只需要
，则只需要ห้องสมุดไป่ตู้
② ，则只需要
，则只需要
③ ，则只需要
，则只需要
④ ，则只需要
，则只需要
（2）若 的值域为
① ，则只需要
，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
③ ，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
例4：设函数 ，对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是________________
思路：先将不等式进行化简可得： ，即 ，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以 ，可得：
， ，
最小值 ， 即 解得：
答案：
注意：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于 的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择
例5：若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是．
思路： ，令 ，对绝对值内部进行符号讨论，即 ，而 在 单调递增， 在 单调递减， 可求出
答案：
例6：设正数 ，对任意 ，不等式 恒成立，则正数 的取值范围是（）
思路：先将 放置不等号一侧，可得 ，所以 ，先求出 的最大值， ，可得 在 单调递增，在 单调递减。故 ，所以若原不等式恒成立，只需 ，不等式中只含 ，可以考虑再进行一次参变分离， ，则只需 ， ，
学科
数学
课题名称
函数恒成立问题——参变分离法
周次
教学目标
教学重难点
函数恒成立问题——参变分离法
一、基础知识：
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
综上所述：
答案：
注意：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对 进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。
（2）在求 解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。
（3）注意最后确定 的范围时是三部分取交集，因为是对 的取值范围进行的讨论，而无论 取何值， 的值都要保证不等式恒成立，即 要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如： ， 等