探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
巧用相切关系求动圆圆心的轨迹方程
求动圆圆心的轨迹方程包头市第一中学---赵胜凡直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。
类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)3()0(22+=-+-y y x ，化简并整理的 y x 122=，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）例2. 求与圆C ：0422=-+x y x 相切且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 即4222=+-y x ）（，设动圆的圆心为）（y x P ,（1）若动圆P 与圆C 相外切，则2222+=+-x y x ）（，所以x x y 442+=，即 时，x y 82= (x>0)或02=y （x<0）.（2）若动圆P 与圆C 内切，则0=y （x>0,且2≠x ） 综上 ，所求轨迹方程为x y 82= （x>0)或y=0 ( 2,0≠≠x x 且)点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P 与定圆C 内切的情况 .类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程例3 . 过已知圆C 内一个定点A 作圆'C 与已知圆C 内切，则圆心的轨迹是（ ）A.线段B.圆C.椭圆D.圆或椭圆解析：若点A 为圆C 的圆心，则点'C 的轨迹为圆，若点A 不是圆C 的圆心，由两圆内切可知A C R CC ''-= 即R A C CC =+''（其中R 为圆C 的半径），因此点'C 的轨迹为椭圆.故选D评析：此题学生容易忽略点A 为圆心时的一种情况，从而错选C. 例4.已知一个动圆M 与定圆C ：100422=++y x ）（，且过点A （4，0），求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：根据已知条件得MA MC -=10,即10=+MA MC ，又8=CA ,由椭圆的定义知，点M 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，其中a=5, c=4,所以92=b 因此所求轨迹为192522=+y x . 例5.已知定点A （3，0）和定圆C ：16322=++y x ）（，动圆P 和圆C 相切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：设动圆的半径为r,且圆心坐标为）（y x ,, 根据已知条件⎩⎨⎧=+=r PA r PC 4，或⎩⎨⎧=-=rPA r PC 4，即 4±=-PA PC ,有双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹为以），（），，（0303A C -为焦点且实轴长2a=4的双曲线，其方程为15422=-y x . 评析：观察例4及例5不难发现其条件基本相同但结论差异很大，一个是椭圆，另一个是双曲线.其原因在于定点与定圆的的位置关系不同，例4中的点A 在定圆内，而例5中的点A 在定圆外.这类题目还可以这样变化，变式：已知点)0,2(A ，定圆C ：16)2(22=++y x ，动圆P 与圆C 相切且过点A ，求点P 的轨迹方程.其结论应该为y=0 ）且（2,2≠->x x ，此时点A 在定圆上，可见在其他条件不变的情况下影响轨迹类型的主要是点A 与定圆的关系.类型3.动圆与已知两圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.例6. 求与圆13:221=++y x C ）（及93:222=+-y x C ）（都外切的动圆圆心C 的轨迹方程. 解析：设动圆C 的半径为r ，根据已知条件知r 11+=CC 及r 32+=CC ，所以212=-CC CC <6,则动点C 的轨迹为双曲线的左支，又a=1,c=3,所以82=b ，因此点C 的轨迹方程为）（01822≤=-x y x . 评析：本例学生以忽略限制条件0≤x 导致出错.若将此题条件圆2C 的方程改为1322=+-y x ）（，其余条件不变，此时动圆圆心的轨迹将变为线段21C C 的垂直平分线.例7.已知一个动圆M 与定圆1004:221=++y x C ）（相内切，与定圆44:222=+-y x C ）（相外切，求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M 的坐标为）（y x ,半径为r,由题意得r 101-=MC ，r 22+=MC 所以1221=+MC MC ,所以点M 的轨迹为以21,C C 为焦点的椭圆，且长轴2a=12,焦距2c=8，即a=6,c=4,所以202=b ，故所求轨迹方程为1203622=+y x . 点评：通过以上两例发现相切关系不一样所得方程类型也不一样.通过以上例题，我们不难发现，这些题目的共同特点都是相切，不管是动圆与直线还是与定圆，条件都相差不多，解题过程也大体相同（结合圆锥曲线的第一定义），但轨迹的类型各不相同，解题时稍不注意就会出错，以上就是本人对这类问题的一点粗浅认识，希望能对大家有所帮助.。
教案：直线与圆问题研究
问题（1） 直线与圆位置关系探求 问题（ ）
题组（ ）： ）：试确定下列直线与圆的位置关系 题组（3）：试确定下列直线与圆的位置关系 直线m： 例5 直线 ：x=2，圆C：x2+y2=16， ， ： ， 相交 位置关系＿＿＿＿。 位置关系＿＿＿＿。 直线m： 例6 直线 ：y=3，圆C：x2+y2=25， ， ： ， 相交 位置关系＿＿＿＿。 位置关系＿＿＿＿。
问题（2）动圆圆心轨迹问题 问题（ ）
题组（ ）：试求同时与定直线m和定圆 ）：试求同时与定直线 和定圆C都相切的 题组（7）：试求同时与定直线 和定圆 都相切的 动圆圆心的轨迹方程 直线m： ：（x-2） 例2 直线 ：x=0，圆C：（ ）2+y2=4， ， ：（ ， 动圆圆心轨迹方程为＿＿＿＿＿＿ 动圆圆心轨迹方程为＿＿＿＿＿＿ y2=8x（x≠0）或y=0（x≠0，x≠2） （ ） （ ， ） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
1 D E 圆心C − ,− , 半径r = D 2 + E 2 − 4F 2 2 2
△=D2+E2-4F，当△＞0时，方程表示 ， 时 实圆； 实圆； △＝0时，表示点圆； △＜0时， 时 表示点圆； 时 表示虚圆(无轨迹 无轨迹）。 表示虚圆 无轨迹）。
问题（1） 直线与圆位置关系探求 问题（ ）
题组（ ）： ）：试确定下列直线与圆的位置关系 题组（5）：试确定下列直线与圆的位置关系 直线m： 例9 直线 ：xcosθ+ysinθ=1，θ∈R， ， ∈ ， 相切 圆 C：x2+y2=1，位置关系＿＿＿＿。 ： ，位置关系＿＿＿＿。 拓广： 拓广：若A={（x，y）│ xcosθ+ysinθ=1， （ ， ） ， θ∈R}，则 CuA =＿＿＿＿＿＿＿＿。 1} ∈ ， ＿＿＿＿＿＿＿＿。 {（x，y）│x2+y2＜ （ ， ）
第7课 两圆相切 衍生曲线+解析几何+命题探秘第二版一题一课
椭'J圆详」J，～护故、轨’～迹产～E一’的叫甲方一程 ’一为 ～ 军 4 ＋荟3 一 1. (n）如图 13 ，延长 C1Q 到点尸，使｝QP ｝一｝ QC2} ，贝山口 P{
= 2a = 4,
设 P(x尸 ,yp),Q(XQ,yQ)，则｝ ClQ ｝一 丫(XQ 十 1)2 十关 ＝二
A'V‘/!月/‘r急, W十．'~八 2工'～甘。十
上面这两道习题给出了两定圆的条件，且指定动圆与其中一圆内切，与另一圆外切，
或与两圆都外切，求动圆圆心的轨迹．变换两圆位置关系，或把一定圆换为一个点或一条
直线，或不限定动圆与定圆内切或外切，则可探索出多种变式结果．
下面，我们根据两定圆的位置关系作为分类标准，作若干变式探究． 设两定圆以，q 的半径分别为 r1 ,r2 ，圆 M与两定圆 01,02 都相切．以下如无特殊说
图3
点 M的轨迹是以 01,q 为焦点，实轴长为 2a = r1 十 r2 的双曲
线的一支；
同理可知，若动圆 M与定圆02 外切，与圆 01内切时，点 M的轨
迹是以以，q 为焦点，实轴长为 2a = r1 十 r2 的双曲线的另一支．
若 r1~ r2 ，则上述变式 1和变式 2 中的轨迹为线段 01q 的垂直
(n）对于曲线 C 上任意一点 P(x,y)，由于｝P1\引一｝PN} = 2R -2 镇 2，所以 R 镇 2, 当且仅当圆尸的圆心为（2,0）时，R=2. 所以当圆尸的半径最长时，其方程为（x_2)2 十 y2 = 4,
当 1的倾斜角为 90。时，贝归与 y 轴重合，可得｝AB}=2万．
当 I的倾斜角不为 90。时，由 ri 半 R 知 I不平行 I轴，设 I与 I轴的交点为 Q,
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
轨迹方程的五种求法例题
动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1已知直角坐标平面上点Q 2,0和圆C ：,动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数如图,求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线．解析：设Mx ,y ,直线MN 切圆C 于N ,则有,,即,,．整理得,这就是动点M的轨迹方程．若,方程化为,它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1,方程化为,它表示以为圆心,为半径的圆．二、代入法若动点Mx,y 依赖已知曲线上的动点N 而运动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情况．例2,已知抛物线,定点A 3,1,B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP :PA =1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线． 解析：设,,由题设,P 分线段AB 的比,,∴,,解得, 又点B 在抛物线上,其坐标适合抛物线方程,∴,,整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3,若动圆与圆外切且与直线x =2相切,则动圆圆心的轨迹方程是A ,,,,,,,,,,,,,,B122=+y x MQ ()0>λλλ=MQMN λ=-MQONMO 22λ=+--+2222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45=x )0,45(2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(22-λλ13122-+λλ12+=x y ),(),,(11y x B y x P 2==PBAPλ.2121,212311++=++=y y x x 2123,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2323()2123(2+-=-x y ),31(32)31(2-=-x y 4)2(22=++y x 012122=+-x y 012122=-+x yC ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D解析：如图,设动圆圆心为M ,由题意,动点M 到定圆圆心－2,0的距离等于它到定直线x =4的距离,故所求轨迹是以－2,0为焦点,直线x =4为准线的抛物线,并且p =6,顶点是1,0,开口向左,所以方程是．选B ．例4,一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为 A 抛物线,,,,,,,,,B 圆,,,,,,,,C 双曲线的一支,,,,,D 椭圆解析：如图,设动圆圆心为M ,半径为r ,则有动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线定义知,其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支,选C ．四、参数法若动点Px ,y 的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程,再化为普通方程．例5设椭圆中心为原点O ,一个焦点为F 0,1,长轴和短轴的长度之比为t ．1求椭圆的方程；2设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ,点P 在该直线上,且,当t 变化时,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形．解析：1设所求椭圆方程为由题意得解得,,,,,所以椭圆方程为． 2设点解方程组得,,,,,由和得其中t ＞1．消去t ,得点P 轨迹方程为和．其082=+x y 082=-x y )1(122--=x y 122=+y x 012822=+-+x y x .1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 12-=t t OQOP ).0(12222＞＞b a b x a y =+⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t ba b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 222222)1()1(t y t x t t =-+-),,(),,(11y x Q y x P ⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 12-=t t OQ OP 1x x OQ OP =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222ty t x t y t x 或)22(222>=x y x )22(222-<-=x y x轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分． 五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．例6,已知两点以及一条直线：y =x ,设长为的线段AB 在直线上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解析：PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设,则PA ：Q QB ：消去t ,得当t =－2,或t =－1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是以上是求动点轨迹方程的主要方法,也是常用方法,如果动点的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．y x 222=22=x y x 222-=22-=x )2,0(),2,2(Q P -ι2λ)1,1(),,(++t t B t t A ),2)(2(222-≠++-=-t x t t y ).1(112-≠+-=-t x t t y .082222=+-+-y x y x .0822222=+--+-y x x y x。
探究务须谨慎_细节决定成败_也谈与两定圆同时相切的动圆圆心轨迹
x2 25
y2 + 16
= 1(x ≠ -5)
.
变 7 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时外切.
易知，动圆圆心 M 的轨迹是以点 D 为端点，与 x 轴反方向
的射线(不包括点 D).
轨迹方程为 y = 0(x < -5) .
变 8 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时内切. 易知，动圆圆心 M 的轨迹是以点 D 为端点，与 x 轴同方向
变 5 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时内切. 在该情形下，内切也分两种
（i）当圆 C1 和圆 C2 同时内切于动圆 M 时，
由题意，| MC1| - | MC2 | = r2 - r1 = 4 < |C1C2 | ,因此动圆圆心 M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点，| r2 - r1| = 4 为实轴长的双曲
x2 36
+
y2 27
=1
.
变 9 动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 同时内切.
由题意，| MC1| + | MC2 | =(r - r1) +(r2 - r) = r2 - r1 = 8 > |C1C2 | ,
因此动圆圆心 M 的轨迹是以 C1 ，C2 为两焦点, r2 - r1 =8
n
Hale Waihona Puke 项和Sn．
解：设等比数列 {an} 的公比为 q ，依题意，有
ìíïa3 îïa3
= =
2a4 +
2 2a22.
4a5 ,
即
ìíîaa33
= =
a4 + 2a5, 2a22.
所以
ìíîaa11qq22
= =
a1q3 + 2a1q4, 2a12 q2.
轨迹问题再探究（圆轨问题）主从联动模型
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轨迹问题再探索---圆轨模型导读在前⾯的学习中，我们已经认识了轨迹，知道在初中阶段，我们会遇到两种轨迹问题，⼀它们分别对应不同的知识点。
圆弧上的点到定点的距离等于定个是圆弧，⼀个是线段。
它们分别对应不同的知识点。
圆弧上的点到定点的距离等于定个是圆弧，⼀个是线段。
长，线段上的点到直线的距离也等于定长。
但是在实际的考查过程中，我们往往不是事先知道动点所形成的轨迹。
⽽需要我们结合题⽬中的条件，来分析出问题是不是轨迹问题，是哪种轨迹问题，它们常见的处理⽅法⼜是什么呢？在随后的讲解中，将逐步为⼤家揭开谜底。
敬请您的期待。
⾸先我们先给轨迹下个定义，简单的说就是：动点在空间或者平⾯内移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。
我们在理解这个定义时，可从下列⼏个⽅⾯考虑：(1)符合⼀定条件的动点所形成的图形，或者说，符合⼀定条件的点的全体所组成的集合，叫做满⾜该条件的点的轨迹。
(2)凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。
(3)另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
我们要记住两点：平⾯轨迹⼀般是曲线，空间轨迹⼀般是曲⾯。
常见的平⾯内点的轨迹1.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆⼼，定长为半径的圆。
2.到已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
3.到已知⾓的两边距离相等的点的轨迹，是这个⾓的⾓平分线。
4.到直线L的距离等于定长D的点的轨迹，是平⾏于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的的两条直线。
5.到两条平⾏线距离相等的点的轨迹，是和这两条平⾏线平⾏且距离相等的⼀条直线。
6.到两定点距离和等于常数(⼤于两定点的距离)的点的轨迹是以两定点为焦点的椭圆。
7.到两定点的距离的差的绝对值等于常数(⼩于两定点的距离)的点的轨迹，是以两定点为焦点的双曲线。
专题：解析几何中的动点轨迹问题
专题：解析几何中的动点轨迹问题学大苏分教研中心 周坤轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。
解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。
本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。
OK ，不废话了，开始进入正题吧...Part 1 几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。
()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，，()()011101a a xx y b b y λλλλλλλ+⋅⎧⎧=+=⎪⎪⎪+⎨⎨++⋅=⎪⎪=⎩⎪+⎩， 2225a b +=代入()()222221125y x λλλ+++=()()222221252511x y λλλ+=++222514P x y λ=+=当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;②01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③；例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程.()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有()()()()1133131313x x y y ⎧+-=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩11332312x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩化简即：22114x y +=代入223331422x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得 所以点P 的轨迹为()22116139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭二、两条动直线的交点问题例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x =，设长为2的线段AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，， ()()131113QM x y QB t t =--=+-+-，，，， ////PM PAQM QB ∴，，()()()()()()()1313123x t t y x t t y ⎧+-=+-⎪∴⎨--=-⎪⎩34222x y t x y x t x y +⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩32242x y x x y x y +-=-+-+()()()()32422x y x y x y x +-+=-+-228y x -=例4 已知12A A 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，线段MN 为垂直于实轴的弦，求直线1MA 与2NA 的交点P 的轨迹()()()()()11111200P x y M x y N x y A a A a --解：设，，，，，，，，，，1122A P A MA P A N k k k k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 1111y yx a x ay y x a x a⎧=⎪++⎪⎨-⎪=⎪-+⎩ 1111y y y yx a x a x a x a-⋅=⋅+-+- 22122221y y x a x a =--- 2211221x y a b -= 22221112221y x x a b a a-∴=-= 2212221y b x a a=- 22222y b x a a ∴=-- 222222a y b x a b =-+()2222010x y a b x x a b >>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；2220a b x y a =>+=当时，是圆；()2222010x y b a y x a b>>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；三、动圆圆心轨迹问题例5 已知动圆M 与定圆2216x y +=相切，并且与x 轴也相切，求动圆圆心M 的轨迹()()0M x y y ≠解：设，，224M x y y +=-当圆与定圆内切时，，224M x y y +=+当圆与定圆内切时， 224x y y ∴+=±222168x y y y +=±+2816y x ±=-M 的轨迹是两条抛物线(挖去它们的交点) ()()2211202088y x y y x y =-≠=-+≠或例6 已知圆221:(3)4C x y ++=，222:(3)100C x y -+=，圆M 与圆1C 和圆2C 都相切，求动圆圆心M 的轨迹()()11113,0,3,0,6,C C C C -=解：,M r 设动圆的半径为12(1),,M C C 若圆与外切与内切则122,10MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩121112,MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2126263a a c c ====，，，，22227b a c =-=，2213627x y +=椭圆的方程为12,M C C (2)若圆与、都内切则12210MC r MC r⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 12118MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆2222842637a a c c b a c =====-=，，，，， 221167x y +=椭圆的方程为四、动圆锥曲线中相关点的轨迹例7 已知双曲线过(3,0)A -和(3,0)B ，它的一个焦点是1(0,4)F -，求它的另一个焦点2F 的轨迹()2F x y 解：设，，2121AF AF BF BF -=-由双曲线定义， ()()()()2222113004530045AF BF =--+-==-+-=，，2255AF BF -=-若，222255AF BF AF BF ∴-=-=，，204F x y =≠±的轨迹是直线（）2255AF BF -=-+若，22106AF BF AB +=>=，2F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，210,5,26,3,4,a a c c b ===== 22142516x y y +=≠±椭圆方程为（）22204142516x y F x y y =≠±+=≠±的轨迹是直线（）或椭圆（）例8 已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -和(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F 的轨迹方程()F x y l M 解：设焦点，，准线与圆相切于，1111AA l A BB l B ⊥⊥作于，于，1124AF BF AA BB OM +=+==，F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2422213a c AB a c b ======，，，，，()221043x y F y +=≠轨迹的方程是Part 2 求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
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探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
两圆的位关系有五种:相离、外切、相交、内切和内含. 笔者就两定圆的五种不同位置关系进
行研究.为计算方便，取两定圆的半径r1、r2（r1≠r2），两定圆圆心连线的中点为坐标原点，建立直角坐标系.
1.两定圆相离
设两定圆圆心为C1（-c，0）、C2（c，0），半径分别为r1、r2，r1≠r2，动圆圆心为C（x，y），则⊙C1：（x＋c）2＋y2＝r12，⊙C2：（x-c）2+y2＝r22.
（1）当圆C 与圆C1、C2 都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|
当r1＞r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线
的右支；
当r1＜r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线
的左支；
所以点C 的轨迹为双曲线的一支.
（当r1=r2时，|C C1|=|C C2|，点C的轨迹为线段C1 C2的垂直平分线，即y轴）.
（2）当圆C 与圆C1、C2 都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|
当r1＞r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；
当r1＜r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；所以点C 的轨迹为双
曲线的一支,且其轨迹方程为
（3）当动圆C 与两个定圆一个内切一个外切时，
若圆C 与圆C1外切、与C2内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，且|C C1|＞|C C2|，即x＞0.
点C 的轨迹是双曲线的右支.
若当圆C 与圆C1内切、与C2外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，
点C 的轨迹为双曲线的左支.
所以动圆圆心C 的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的双曲线，其轨迹方程为
综合（1）、（2）、（3）可知：若两定圆⊙C1 与⊙C2 相离，当动圆C与定圆C1、C2都外
切或都内切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线一支；当动圆C 与定圆C1、C2 其中一个内切，
而与另一个外切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线的两支.
2.两定圆外切
当两定圆⊙C1与⊙C2外切时，在（1）中，
∵|CA|=|CC1|＋r1，|CB|=|CC2|＋r2，|CA|＝|CB|，
∴|C C1|＋r1=|C C2|＋r2
∴|C C1|－|C C2|=r2－r1
在（2）中，CA|=|CC1|－r1，|CB|=|CC2|－r2，|CA|＝|CB|，
∴|C C1|－r1=|C C2|－r2
∴|C C1|－|C C2|=r1－r2
由（1）和（2）可知，都有||C C1|－|C C2||=|r1－r2|，且|r1－r2| 为定值，所以动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线.
3.两定圆相交
两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：（1）与两相交定圆同时外切；（2）同时内切于两相交定圆；（3）与两相交定圆同时内切.
动圆圆心C 的轨迹方程可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线（动圆圆心C 的轨迹也可以就其中一个图形对两定圆的半径进行讨论而求得）.所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线（或其中一个部分）.4.两定圆内切或两定圆内含
如本文开始所述，当两定圆内切（两定圆内切时，特殊情况为直线的一部分）或两定圆内含时，动圆C 的圆心的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的椭圆.
由以上各种情况的分析，若已知两定圆⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2（r1≠r2），可得到以下结论：
①当两定圆相离、相交或外切时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线.
②当两定圆内切或内含时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆（特殊情况除外）.
③当两定圆为同心圆时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是一个圆.
④当两定圆内切时，与这两定圆都相切与切点的动圆圆心的轨迹是一条直线（不包含切点）.
特殊情况:当r1=r2时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹一般为直线.
总之，与两定圆相切的动圆圆心的轨迹一般是二次曲线（特殊情况轨迹是圆或直线或直线的一部分）理学角度分析，孩子分心的程度与年龄成反比。
5—7 岁的孩子能够集中注意力15 分钟左右，7—10 岁20 分钟左右。
可见，让刘洋这样的小学生全神贯注地坐上40分钟认真听讲，完全是不现实的。
另外，过度的学习压力易造成心理疲劳。
象刘洋这样的同学，由于长期受到老师的批评，学习压力过大，多半会造成分神、贪玩，屡做屡错的后果。
笔者在调查过程中，询问了很多像
刘洋一样的同学，他们在学习上的相同点概括起来大致有：因为没有对数学产生较好的兴趣，注意力很难集中，并且容易受外界的干扰，所以学习上虽然花费的时间很多，但是成绩很难
提高；没有求知欲，当然对玩感兴趣，致使课堂上搞小动作，也会把自己喜欢的东西藏在抽
屉里，趁老师不注意偷偷地看；没有学习兴趣，做题时，听老师讲解似乎很明白，但因为没
把老师的讲解内容放在心上，所以，下次遇到这样的问题，还会犯同样的错误。
●处方：上述案例，孩子上课之所以做小动作，不管是从生理角度，还是从心理角度来分析，都是正常的。
反过来说，老师用批评之类的教育方法强迫孩子就范，达到注意力集中的短暂
目的倒是不正常的。
如何根据孩子的生理、心理特点，科学合理地培养孩子的注意力，笔者在教学实践中大胆改
进传统的“40 分钟”教学时间，巧设“课堂精彩五分钟”。
这时教学时间的基本分配方法是：20
分钟（学习）—5 分钟（玩）—15 分钟（学习）。
也就是：当学生在教师有组织地学习了20
分钟时，注意力开始涣散，这时结合教学内容设计5 分钟玩的时间，让大脑得以适当的休息，再进行15 分钟的学习。
这“5 分钟”该怎样“玩”最有效呢？
1“. 静下来”———5 分钟注意力专注游戏
专注是培养注意力的基础。
关注学生的注意力问题，就是要训练学生把注意力持续地集中在
某个事物上达一段时间，而这个过程不会被外界环境所干扰。
如学过长方体后，笔者组织5 分钟搭积木：每个小组的同学都全神贯注，要在摞起来的12
层高的长方体积木上再搭上4 层。
因为太专心，负责动手操作的同学，手有些发抖。
他知道
只有在不碰翻的情况下，把下一块积木搭上去才能成功。
这时，负责干扰的同学对着他的耳
朵喊了一声，并有意弄出点噪音来，还时不时地与他说话，试图分散他的注意力。
但他完全
不为所动，深呼吸，放松肌肉，眼睛紧盯着目标，暗暗告诉自己：“只看眼前的目标”。
果然，他成功地把4 块积木全搭上去了，小组里一片沸腾……
类似的游戏内容还有“五分钟听故事”、“五分钟拼图竞赛”等等。
这些内容看似简单，但需要
参与者集中注意力，具备较好的动作协调能力和较强的抗干扰能力，目的是教会学生注意专
注的技能。
2“. 追上去”———5 分钟注意广度游戏
笔者在教学一年级“认识几何形体”时，穿插了5 分钟“追上去”的游戏：找一些长方体、正方体、球体等放在盒子里，同桌的一个同学迅速打开盒子，让另一个同学看两秒，然后又迅速
合上盒子，让看的人说出盒内长方体、正方体、球体的个数。
这种游戏其实是为了训练学生
的注意广度。
令人意外的是，笔者在引导学生总结游戏收获时，有个调皮的小男孩竟然神气
十足地说：“通过这个游戏，我发明了一种‘追上去’的听讲方法。
课堂上，如果老师要讲课了，我的练习还没写完怎么办？我也要先‘追上去’听老师的讲课内容，别落下！没完成的练习课
后补上。
”多么新颖有趣的听课方法啊！
3“. 两不误”———5 分钟注意分配游戏
我们大多强调“一心一意”，这主要强调的是注意的集中性和稳定性。
实际上，学生上课的时候，尤其需要一边听课一边记录老师所讲的内容。
为此，从低年级起就要注意引导训练。
“边听故事边笔算”、“两只手算不同的题”、“两只手做不同的动作”等等的“两不误”的五分钟
游戏，充分调动了学生的学习兴趣。
4“. 转回来”———5 分钟注意转移游戏
笔者发明了“转回来”记数游戏卡，具体做法是：随便写两个数字，一个在上面，一个在下面，例如：
35 4 0 4 8
72 9 7 4 5
第一种记数方法：把他们相加，两数之和写在下面数字的旁边，并把原来上面的那个数写在上面那个数的旁边；
第二种记数方法：把他们相减，两数之差写在上面数字的旁边，并把原来上面的那个数写在下面那个数的旁边。
同桌一个人先发出指令：“用第一种写法！”1 分钟后，再用第二种写法，这样轮换进行，按照要求记对得多者为胜。
课堂上的“转回来”游戏设计，较好的训练了学生的注意转移能力。
“再玩5 分种”的教学理念与做法不仅提高了学生学习兴趣，有利于低年级学生学习习惯的培养；而且培养了学生的注意力，为学生的可持续发展奠定了坚实的心理基础，具有较强的操作性与实践性，对低年级课堂组织教学具有重要的指导意义。