巧用相切关系求动圆圆心的轨迹方程
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹两圆的位关系有五种:相离、外切、相交、内切和内含. 笔者就两定圆的五种不同位置关系进行研究.为计算方便，取两定圆的半径r1、r2（r1≠r2），两定圆圆心连线的中点为坐标原点，建立直角坐标系.1.两定圆相离设两定圆圆心为C1（-c，0）、C2（c，0），半径分别为r1、r2，r1≠r2，动圆圆心为C（x，y），则⊙C1：（x＋c）2＋y2＝r12，⊙C2：（x-c）2+y2＝r22.（1）当圆C 与圆C1、C2 都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；当r1＜r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支.（当r1=r2时，|C C1|=|C C2|，点C的轨迹为线段C1 C2的垂直平分线，即y轴）.（2）当圆C 与圆C1、C2 都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；当r1＜r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支,且其轨迹方程为（3）当动圆C 与两个定圆一个内切一个外切时，若圆C 与圆C1外切、与C2内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，且|C C1|＞|C C2|，即x＞0.点C 的轨迹是双曲线的右支.若当圆C 与圆C1内切、与C2外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，点C 的轨迹为双曲线的左支.所以动圆圆心C 的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的双曲线，其轨迹方程为综合（1）、（2）、（3）可知：若两定圆⊙C1 与⊙C2 相离，当动圆C与定圆C1、C2都外切或都内切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线一支；当动圆C 与定圆C1、C2 其中一个内切，而与另一个外切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线的两支.2.两定圆外切当两定圆⊙C1与⊙C2外切时，在（1）中，∵|CA|=|CC1|＋r1，|CB|=|CC2|＋r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|＋r1=|C C2|＋r2∴|C C1|－|C C2|=r2－r1在（2）中，CA|=|CC1|－r1，|CB|=|CC2|－r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|－r1=|C C2|－r2∴|C C1|－|C C2|=r1－r2由（1）和（2）可知，都有||C C1|－|C C2||=|r1－r2|，且|r1－r2| 为定值，所以动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线.3.两定圆相交两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：（1）与两相交定圆同时外切；（2）同时内切于两相交定圆；（3）与两相交定圆同时内切.动圆圆心C 的轨迹方程可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线（动圆圆心C 的轨迹也可以就其中一个图形对两定圆的半径进行讨论而求得）.所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线（或其中一个部分）.4.两定圆内切或两定圆内含如本文开始所述，当两定圆内切（两定圆内切时，特殊情况为直线的一部分）或两定圆内含时，动圆C 的圆心的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的椭圆.由以上各种情况的分析，若已知两定圆⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2（r1≠r2），可得到以下结论：①当两定圆相离、相交或外切时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线.②当两定圆内切或内含时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆（特殊情况除外）.③当两定圆为同心圆时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是一个圆.④当两定圆内切时，与这两定圆都相切与切点的动圆圆心的轨迹是一条直线（不包含切点）.特殊情况:当r1=r2时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹一般为直线.总之，与两定圆相切的动圆圆心的轨迹一般是二次曲线（特殊情况轨迹是圆或直线或直线的一部分）理学角度分析，孩子分心的程度与年龄成反比。
方法技巧专题08 轨迹方程的求法(解析版)
方法技巧专题8 轨迹方程问题 解析版一、 轨迹方程问题知识框架二、求轨迹方程的常用方法【一】定义法1.例题【例1】已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为12'22'2=+b y a x ，则34,5'''=⇒==bc a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
【例2】一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
【解析】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
将圆方程分别配方得：22(3)4x y ++=，22(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ① 当M 与2O 相切时，有2||10O M R =- ②将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，即2222(3)(3)12x y x y +++-+= ③ 移项再两边分别平方得：222(3)12x y x ++=+ ④两边再平方得：22341080x y +-=，整理得2213627x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=，轨迹是椭圆。
【例3】已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O′于D 、E 两点， 两切线交于点P. 由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|， 故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆， 以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为：2218172x y +=2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆()25422=++y x 的圆心为M 1，圆()1422=+-y x 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程
动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程稿子一：嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一个超有趣的数学问题——动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程。
你想想看，这就好像是一场圆心的奇妙旅行。
动圆就像个调皮的小孩子，在两个定圆之间蹦蹦跳跳，寻找着自己的路线。
比如说，当动圆和两个定圆都外切的时候，那动圆的圆心就像是被两个大哥哥带着跑，它的轨迹可能是一条漂亮的曲线，就像彩虹一样弯弯的。
要是动圆和一个定圆内切，和另一个定圆外切，那情况又不一样啦。
这时候动圆的圆心可能会一会儿靠近这个圆，一会儿又跑向那个圆，轨迹变得更加复杂有趣。
有时候，为了找到这个轨迹方程，我们得用上好多数学知识，像是距离公式、勾股定理啥的。
不过别担心，只要我们一步步来，就像解谜一样，总能找到答案。
研究动圆与两定圆相切的圆心轨迹方程，就像是在数学的大花园里探险，每一步都充满了惊喜和挑战，是不是很有意思呀？稿子二：嘿，朋友们！今天咱们来唠唠动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程这事儿。
想象一下哈，这两个定圆就像两个安稳的家，而动圆呢，就是个爱闯荡的小家伙。
它一会儿跑到这个家跟前蹭蹭，一会儿又跑去那个家抱抱。
当动圆与两个定圆都外切时，那感觉就像动圆的圆心被两个温暖的怀抱吸引着，它的轨迹可能会像一条优美的弧线，仿佛在跳着欢快的舞蹈。
要是动圆跟其中一个内切，跟另一个外切，那可就有点纠结啦。
这圆心就像在做选择，一会儿靠近这边，一会儿又舍不得那边，那轨迹就变得有点曲折，就像人生的道路一样，充满了选择和变化。
在求解这个轨迹方程的过程中，咱们可得头脑清醒，不能被那些复杂的式子给绕晕了。
要像个聪明的探险家，一点点去分析，去推理。
而且哦，当我们最终找到那个轨迹方程的时候，那种成就感，简直爆棚！就好像我们解开了一个神秘的密码，打开了一个充满奇妙的宝箱。
怎么样，是不是觉得动圆与两定圆相切的问题很有趣呀？。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
与圆有关的轨迹方程的求法[精选.]
![与圆有关的轨迹方程的求法[精选.]](https://img.taocdn.com/s3/m/a578b40176eeaeaad0f33052.png)
与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ②代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即又因202y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x . 例3、已知圆,422=+yx过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(22=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(22=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x .3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(yx ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 97：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ， 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++． 由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ， 由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ① βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar br a r b r ββαα ③联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+． 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆； 当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
求点的轨迹方程的六种常见方法讲解
变式：外切改为相切呢？
相关点法
• 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q （u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、 v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程， 间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
• 以下举一个例子说明：
6.几何法
【例8】已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0，求过点A(3, 5)的直线 交圆的弦的中点的轨迹.
解：圆的方程为(x 3)2 ( y 3)2 4，则圆心C的坐标为(3,3).
设过点A的直线交圆于P、Q两点，M (x, y)是PQ的中点，连CM，则CM PQ，故有：
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G
A
O
Bx
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
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求动圆圆心的轨迹方程
包头市第一中学---赵胜凡
直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。
类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程
例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.
解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)
3()0(22+=-+-y y x ，化简并整理的 y x 122=，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）
例2. 求与圆C ：042
2=-+x y x 相切且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 即422
2=+-y x ）（，设动圆的圆心为）（y x P ,
（1）若动圆P 与圆C 相外切，则2222+=+-x y x ）（，所以x x y 442+=，即 时，x y 82= (x>0)或02=y （x<0）.
（2）若动圆P 与圆C 内切，则0=y （x>0,且2≠x ） 综上 ，所求轨迹方程为x y 82= （x>0)或y=0 ( 2,0≠≠x x 且)
点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P 与定圆C 内切的情况 .
类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程
例3 . 过已知圆C 内一个定点A 作圆'
C 与已知圆C 内切，则圆心的轨迹是（ ）
A.线段
B.圆
C.椭圆
D.圆或椭圆
解析：若点A 为圆C 的圆心，则点'C 的轨迹为圆，若点A 不是圆C 的圆心，由两圆内切可知A C R CC ''-= 即R A C CC =+''（其中R 为圆C 的半径），因此点'C 的轨迹为椭圆.故选D
评析：此题学生容易忽略点A 为圆心时的一种情况，从而错选C. 例4.已知一个动圆M 与定圆C ：10042
2=++y x ）（，且过点A （4，0），求这个动圆
圆心M 的轨迹方程. 解：根据已知条件得MA MC -=10,即10=+MA MC ，又8=CA ,由椭圆的定义知，点M 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，其中a=5, c=4,所以92=b 因此所求轨迹为
19
252
2=+y x . 例5.已知定点A （3，0）和定圆C ：
1632
2=++y x ）（，动圆P 和圆C 相切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：设动圆的半径为r,且圆心坐标为）
（y x ,, 根据已知条件⎩⎨⎧=+=r PA r PC 4，或⎩
⎨⎧=-=r
PA r PC 4，即 4±=-PA PC ,有双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹为以），（），，
（0303A C -为焦点且实轴长2a=4的双曲线，其方程为15
42
2=-y x . 评析：观察例4及例5不难发现其条件基本相同但结论差异很大，一个是椭圆，另一个是双曲线.其原因在于定点与定圆的的位置关系不同，例4中的点A 在定圆内，而例5中的
点A 在定圆外.这类题目还可以这样变化，变式：已知点)0,2(A ，定圆C ：
16)2(2
2=++y x ，动圆P 与圆C 相切且过点A ，求点P 的轨迹方程.其结论应该为y=0 ）且（2,2≠->x x ，此时点A 在定圆上，可见在其他条件不变的情况下影响轨迹类型的主要是点A 与定圆的关系.
类型3.动圆与已知两圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.
例6. 求与圆13:221=++y x C ）（
及93:222=+-y x C ）（都外切的动圆圆心C 的轨迹方程. 解析：设动圆C 的半径为r ，根据已知条件知r 11+=CC 及r 32+=CC ，所以212=-CC CC <6,则动点C 的轨迹为双曲线的左支，又a=1,c=3,所以82=b ，因此点C 的轨迹方程为）（0182
2
≤=-x y x . 评析：本例学生以忽略限制条件0≤x 导致出错.若将此题条件圆2C 的方程改为
1322=+-y x ）（，其余条件不变，此时动圆圆心的轨迹将变为线段21C C 的垂直平分线.
例7.已知一个动圆M 与定圆1004:221=++y x C ）（
相内切，与定圆44:2
22=+-y x C ）（相外切，求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M 的坐标为）（y x ,半径为r,由题意得r 101-=MC ，r 22+=MC 所以
1221=+MC MC ,所以点M 的轨迹为以21,C C 为焦点的椭圆，且长轴2a=12,焦距2c=8，
即a=6,c=4,所以202
=b ，故所求轨迹方程为120362
2=+y x . 点评：通过以上两例发现相切关系不一样所得方程类型也不一样.
通过以上例题，我们不难发现，这些题目的共同特点都是相切，不管是动圆与直线还是与定圆，条件都相差不多，解题过程也大体相同（结合圆锥曲线的第一定义），但轨迹的类型各不相同，解题时稍不注意就会出错，以上就是本人对这类问题的一点粗浅认识，希望能对大家有所帮助.。