广东省江门一中高中数学必修四课件 正切函数的图像与性质

所以,函数的定义域是
x
x
2k
3
,
k
Z.
由于
y
tan
2
x
3
tan
2
x
3
tan
2
x
2
3
f
(x
2),
因此函数的周期为2.
由 k ＜ x ＜k , k Z,
22 3
2
解得 2k ＜x＜2k , k Z.
3
3
因此,函数的单调递增区间是:
2k
3
，2k
3
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
v
T
xA
O
u
(2)
v
xA
O
u
T
(3)
如图(1)(2),由正切线
v
的变换规律可得，正
Ox
(1)
v x
O
A
u
T
T
A
u
切函数在
2
,
2
内
是增函数，又由正切
函数的周期性可知，
正切函数在开区间
2
k,
2
k
,
(4)
k Z 内都是增函数.
v
值域
A 如图（1）,当x大于 且无限接近 时，
轴上 到 这一
22 段分成8等份）
3.把单位圆右半圆中作出正 切线并平移.
4.找交叉点，用平滑的曲线把 这些点连起来.
3 O 3
X
8 4 8 84 8
利用正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正
切函数y tan x, x R且x k(k Z)的图象，并把它
2
Байду номын сангаас
叫做正切曲线.
2
k
,
2
k
,
k
Z
内都是增函数。
（1）正切函数在整个定义域内是增函 数吗？为什么？
（2）正切函数会不会在某一区间内是 减函数呢？为什么？
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
Ox u
2
2
T 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸；
(1)
v
T
xA
O
u
如图（2）,当x小于 且无限接近 时，
2
2
正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸；
(2)
所以正切函数的值域是实数集R.
利用正切线画出一个周期内的正切函数图象
作法如下：
Y
1.作直角坐标系，并在直角
坐标系y轴左侧作单位圆.
2.找横坐标（把 x
y
3
2
2
0
2
3 2
x
从图中可以看出, 正切曲线是由被相互平行的直线 x k, k Z所隔开的无穷多支曲线组成的.
2
正切函数性质和图象
定义域
图象
x R,x k, k Z
y
2
值域
3
2
全体实数R
o
x
周期性
正切函数是周期函数
奇偶性
正切函数是奇函数，正 切曲线关于原点0对称
单调性
正切函数在开区间
,
k
Z.
正切函数的性质与图象
回顾探究
试根据研究正、余弦函数的图象与性质的 经验，以同样的方法研究正切函数的图象 与性质.
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z