一类闭凸锥上投影算子的计算

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关于凸模糊锥的定义

2005年4月系统工程理论与实践第4期　文章编号:100026788(2005)0420083207关于凸模糊锥的定义袁学海1,2,夏尊铨1(11大连理工大学应用数学系,辽宁大连116024;21辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029)摘要:　给出了凸模糊锥的两种定义方法.首先,应用模糊点与模糊集的邻属关系,给出了( β, α)2凸模糊锥的定义.得到了三种有意义的凸模糊锥,即(∈,∈)2凸模糊锥,(∈,∈∨q)2凸模糊锥和(∈,∈∨q)2凸模糊锥.其次,利用合意空间理论,给出了C2凸模糊锥的定义.证明了(∈,∈)2凸模糊锥是C2凸模糊锥,C2凸模糊锥是基于t2范上的凸模糊锥,并且C2凸模糊锥同构于由经典凸锥生成的C2凸模糊锥.关键词:　凸模糊锥;模糊点;合意空间;C2凸模糊锥中图分类号:　O159 文献标识码:　A On the Definition of the C onvex Fuzzy C oneY UAN Xue2hai1,2,XI A Zun2quan1(11Department of Applied Mathematics,Dalian University of T echnology,Dalian116024,China;21School of Mathematics,Liaoning N ormal University,Dalian116029,China)Abstract:　In this paper,we present tw o approaches to define convex fuzzy cone.First,by the use of the relationsbetween fuzzy points and fuzzy subsets,definitions of( β, α)2convex fuzzy cones are given.We have shown that theacceptable non2trivial concepts obtained in this manner are the(∈,∈)2convex fuzzy cone,(∈,∈∨q)2convexfuzzy cone and(∈,∈,∨ q2convex fuzzy cone.Second,based on the theory of a consensus space presented byHisakichi Suzuki,concept of C2convex fuzzy cone is acquired.It is pointed that(∈,∈)2convex fuzzy cone is C2convex fuzzy cone and C2convex fuzzy cone is convex fuzzy cone defined on a t2norm.Finally,it is proved that C2convex fuzzy cone is is om orphic to C2convex fuzzy cone generated by a cone S.K ey w ords:　convex fuzzy cone;fuzzy points;consensus space;C2convex fuzzy cone1　引言凸模糊集的概念是由Z adeh[1]和Lowen[2]引入的.从此以后,很多学者研究了凸模糊子集的性质[3～8].Eslaid E.Ammar利用模糊线段给出了凸模糊锥的定义,并研究了凸模糊锥的一些性质[3].众所周知,线性空间X的一个子集S被称为一个凸锥,如果Πx,y∈X,λ1≥0,λ2≥0,有x,y∈S]λ1x+λ2y∈S.(1) 如果我们将(1)推广到模糊情况,那么一个自然的定义应该是:称线性空间X的一个模糊子集S为凸模糊锥,如果对任意的模糊点x a,y b和实数λ1≥0,λ2≥0,有x a,y b∈S]λ1x a+λ2y b∈S,(2)这里λ1x a+λ2y b=(λ1x+λ2y)a∧b.在[9]中,Bhakat和Das利用模糊点与模糊集的邻属关系给出了(α,β)2模糊子群的定义.本文将这种方法应用到凸模糊锥的定义之中,并将Bhakat和Das的十二种情况扩充为十六种,给出了( β, α)2凸模糊锥的定义,得到了三种有意义的凸模糊锥,即(∈,∈)2凸模糊锥,(∈,∈∨q)2凸模糊锥和(∈,∈∨ q)2凸模糊锥.收稿日期:2004205220作者简介:袁学海(1960-),男,辽宁喀左人,教授,博士研究生;夏尊铨(1937-),男,辽宁大连人,教授,博士生导师在[10]中,Hisakichi Suzuki给出了合意空间(consensus space)的理论,并研究了合意空间与模糊集的关系.本文利用合意空间理论给出了C2凸模糊锥的定义.证明了(∈,∈)2凸模糊锥是C2凸模糊锥;C2凸模糊锥是基于t2范的凸模糊锥,并且C2凸模糊锥都与由经典凸锥生成的C2凸模糊锥同构.2　预备知识定义211[1,4]　设X为一个集合.称映射A:X→[0,1]为X的一个模糊子集.定义212[9,11]　若X的一个模糊子集A满足A(y)=a(a≠0),y=x 0y≠x,则称A为一个模糊点,且将A记为x a.定义213[9,11]　设x a为一个模糊点,A为X的一个模糊子集,1)如果A(x)≥a,则称x a属于A,记作x a∈A;2)如果A(x)+a>1,则称x a重于A,记作x a q A;3)如果x a∈A且x a q A,则写x a∈∧q A;如果x a∈A或x a q A,则写x a∈∨q A;4)对α∈{∈,q,∈∧q,∈∨q},x a αA表示x aαA不成立;5)x a∈∨ q A表示x a∈A或x a q A;x a∈∧ q A表示x a∈A且x a q A.定义214[10]　设(Ω,A)为可测空间且U为一个集合.设EΑU×Ω.对u∈U,令E(u)={ω|ω∈Ω,(u,ω)∈E},C(U×Ω)={E|EΑU×Ω且E(u)∈A,Πu∈U}(3)称C(U×Ω)为由(Ω,A)导出的一个合意空间(consensus space),称C(U×Ω)中的元素E为一个合意集(consensus set).令(Ω,A,P)为一个概率空间,E为一个合意集.则有U的一个模糊子集μE(u)=P(E(u)),Πu∈U(4) 定义215[4]　称函数T:[0,1]×[0,1]→[0,1]为一个t2范,如果Πa,b,c∈[0,1],有1)T(a,b)=T(b,a);2)T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c);3)b≤c]T(a,b)≤T(a,c);4)T(a,1) =a.则称T为一个t2范.例如T∧(a,b)=min{a,b};T m(a,b)=max{a+b-1,0};T p(a,b)=ab等都是t2范.本文用a∧b表示min{a,b},a∨b表示max{a,b},这里a,b∈[0,1].3　( β, α)2凸模糊锥定义311　设A为线性空间X的一个模糊子集.如果存在λ1≥0,λ2≥0使得λ1x a+λ2y b βA]x a αA或y b αA,(5)则称A为X的一个( β, α)2凸模糊锥,这里α,β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}.定义311′　设A为线性空间X的一个模糊子集.如果对Πx a,y b和λ1≥0,λ2≥0,x aαA且y bαA]λ1x a+λ2y bβA,(5′)则称A为X的一个(α,β)2凸模糊锥.显然,定义311与定义311′是等价的.定理311　设A为X的一个( β, α)2凸模糊锥(α≠∈∧q).则A0={x|x∈X,A(x)>0}是X的一个凸锥.证　如果A0= ,我们约定空集是一个凸锥.现设A0≠ 且x,y∈A0,则A(x)>0,A(y)>0.若存在λ1≥0,λ2≥0使A(λ1x+λ2y)=0,则对任意的β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}有λ1x A(x)+λ2y A(y)=(λ1x+λ2y)A(x)∧A(y) βA,则有x A(x) αA或y A(y) αA.于是有48系统工程理论与实践2005年4月当α=∈或α=∈∨q 时,有x A (x )αA ,y A (y )αA ;而当α=q 时,有λ1x 1+λ2y 1βA 。

凸组合投影算法中的组合因子对算法效率的影响

2 算法
下面给出利用迭代格式 (7) 构造的凸组合投影算法．
步骤 1 步骤 2 步骤 3 步骤 4
给定初始迭代点 x0 ∈ Rn, ε > 0, t ∈ (0, 1), α0 > 0, k = 0；计算 ∇f (xk)，令下降方向为 dk = −∇f (xk)；若 ∥e(xk, αk)∥ ≤ ε，停止计算；否则进入下一步；用精确线性搜索方法得到最优步长 αk，
度算法中将最速下降法中的步长动态地乘上一个小于 1 的因子，并且通过数值例子表明，
பைடு நூலகம்
梯度算法中用最速下降法中的步长乘上因子 γ ∈ [0.01, 0.999] 都会使计算效率得到明显提
高．受文献 [10] 的启发，我们将投影法得到的点与上一步迭代点进行凸组合，得到新的迭
代格式
[
]
xk+1 = (1 − t)xk + tPΩ xk − αk∇f (xk) ,
(x′ − x)T ∇f (x) ≥ 0, ∀ x′ ∈ Ω,
(2)
其中 ∇f (x) 为目标函数 f (x) 的梯度．变分不等式问题 (2) 的求解一直受到很多学者的关
注[1-6]．用 PΩ(·) 表示点到集合 Ω 上的投影，定义如下
{
}
PΩ(y) = arg min ∥x − y∥ | ∀ x ∈ Ω .
第二类算例使用不同组合因子t时的迭代次数球半径r10初始向量x00t0103040506070809099100randn525279574435292435647055n1019058413124191518252640n1518957413124191514202040n5017051362721161310111237n1001665035262016129101036n50015346322418141187735从第二类算例的数值结果来看我们同样得到当固定的凸组合因子取在0109之间凸组合投影算法比原来的投影梯度法要更稳定一些适当的凸组合因子使得凸组合投影算法要优于原来的投影梯度法

局部凸空间上锥映象拓扑度的计算

局部凸空间上锥映象拓扑度的计算空间拓扑是地理空间研究的重要内容，地理学家利用拓扑的概念和
方法来检索地理空间关系。

因此，局部凸空间上锥映象拓扑度的概念
和方法也被用来检索地理空间关系。

局部凸空间上锥映象拓扑度是一种用于研究局部凸空间上映象之间
的拓扑关系的方法。

该方法将局部凸空间的空间拓扑关系表示为“锥”，从而使局部凸空间的拓扑关系更加清晰。

局部凸空间上锥映象拓扑度由三个基本拓扑类型组成，即“彼得罗
式拓扑”、“锥形映象”和“双曲线式拓扑”。

彼得罗式拓扑用于研
究两个不同面之间拓扑关系；锥形映象用于表示面内三角形之间拓扑
关系；双曲线式拓扑用于表示面内三角形之间的拓扑关系和边之间的
拓扑关系。

局部凸空间上锥映象拓扑度的计算主要通过以下三个步骤实现：（1）分析处于局部凸空间内的锥映象之间的拓扑关系；（2）测量拓
扑关系的强度，即锥映象之间的间隔；（3）根据测量结果计算拓扑度。

其中，拓扑度表示拓扑强度的大小：数值越大，说明拓扑关系越强，
反之越弱。

局部凸空间上锥映象拓扑度的研究有助于学术界，更好地理解空间结构和拓扑结构，为政府部门提供有价值的参考信息，为政务民生有效实施提供方向指导。

投影算子的一种简单算法

第３２卷
第４期
中国民航大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＩＶＩＬＡＶＩＡＴＩＯＮＵＮⅣ ＥＲＳＩＴＹＯＦＣＨＩＮＡ
Ｖｏ１．３２Ｎｏ．４
Ａｕｇｕｓｔ２０１４
２０１４年８月
投影算子的一种简单算法
１）Ａ，『＿＋０（几一。。）；
凸子集Ｃ上的投影定义为：对于任意 ∈Ｈ，必有Ｃ
中唯一一点，记作，满足
尸：：ａｒｇｍｉｎｌ一ｌＹｌｌＥＣ
且Ｐｃ有如下特征：对 ∈ Ｈ，有
＜一，Ｙ—Ｐｏｘ＞＜－０Ｙｙ∈Ｃ（１）
∈Ｈ
２） ∑Ａ＝。。；
ｎ＝１
３） ∑ＩＡ～Ａｌ＜＋ ∞ ，ｌｉｍ｝＝１
ｎ＝ｌ一，Ｉ１
投影算子在很多算法中都会涉及到：如不动点的
情形），所以投影算子的计算一般难以实现。假设：ｃ — Ｃ为非扩张映像，其不动点集Ｆ／ｘ（Ｔ）
的水平集投影的计算方法，其中水平集为Ｃ＝ ∈ Ｈｌｃ（ｘ） ≤０｝本文提出投影算子的一种Ｈａｌｐｅｒｎ型松弛算法，具体如下
设日是一实Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，其内积与范数分别表
示为＜・，・＞和ｌｌ・ｌｌ，ＣＣＨ非空闭凸。从日到其非空闭
分别表示为＜・，・＞和Ｉ，ＣＣＨ非空闭凸，：Ｃ — ｃ非扩张并且满足） ≠ ，又设

曲面积分精解共14页word资料

第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i Λ=∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例1 计算曲面积分,⎰⎰∑zdS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD r a adxdy z dS 22 220202222r a rdr d ar a ardrd ha D xy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2haaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxy D D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u例5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以 .00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算 ,)(222⎰⎰∑++dS z y x ∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y xdS z y x⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y x xy D 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积.解由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a-=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i n ρρρργβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρϖ),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαcos cos cos R Q P n v ++=⋅ϖϖ则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v ϖϖ.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A ϖ在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定. 例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.解把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xyxyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解 .cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11cos cos x xz x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22 dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节高斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα 二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，ορn 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A ρρρρρο称为向量场A ρ通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A ρ的散度，记为A div ϖ，即zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂=ϖ. (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-= 例2（E02）计算 ,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z 其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω 由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z )()(22 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r 例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面，设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D h yx h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy h dxdy z dS z y x πγβα故 .2121)cos cos cos (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu ∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ρ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n ρ是∑在点),,(z y x 处的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(ρρdS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式. 通量与散度例5（E05）求向量场k z j y ix r ρρρρ++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰⎰=Vdv r div ρ⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1) 穿过底面向上的流量1Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2) 穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0= 课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习 ★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdydzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.cos cos cos ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ++=则沿场A ρ中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A ρ沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,, 称为向量场A ρ的旋度，记为A rot ρ，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ρρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ Pz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=ρρρρ.四、向量微分算子：,k zj y i x ρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以 .23=++⎰Γydz xdy zdx例2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n ρ即,31cos cos cos ===λβα原式dS yx x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方. 解由斯托克斯公式，有原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A ρϖϖϖ222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度.解 A div ρzA y A x A zy x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div ρ.4=A rot ρk y A x A j xA z A i z A y A x y zx x z ρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=k y j i ρρρ)02()00()00(--+-+-=.2k y ρ-= 故0M A rot ρ.2k ρ-= 例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A ϖ=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A ϖ的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x ϖϖϖϖωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v ϖ的旋度.解取定轴l 为z 轴，点M 的内径r ρOM =,k z j y i x ρρρ++=则点M 的线速度v ρr ρρ⨯=ωzy x kjiz y x ωωωρρρ=,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ρρρωωωωωω-+-+-=于是v ρrot xy z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=ρρρ)(2k j i z y x ρρρωωω++=.2ωρ=即速度场v ρ的旋等于角速度ωρ的 2 倍. 课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmB dz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线.2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v ρ和加速度w ρ在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。

各种投影转化的算法公式

各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。

1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。

3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。

墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。

墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。

在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。

运筹学-凸集、有限锥和Farkas选择(名校讲义)

§2 有限锥和Farkas选择（6）
三、Farkas选择对任何一个方程必存在下述选择：（i）AX=b 具有解X≥0，否则（ii）YTA≥0，YTb<0，具有解Y 即，对任一方程，上述2种情况必定且只能发生一种：证明： 1.二者不会同时发生，否则会出现下述情况：YTA≥0，X≥0 YTA X≥0 YTb≥0与YTb<0矛盾。 2.若情况（i）失败，则（ii）必成立（发生）。证明如下：若（i）失败，则b处在A产生的锥C之外（锥C是闭集），于是可找到一个平面aTZ+β =0来严格分离C与b，即：
C x1a1 x2 a 2 xn a n：所有x j 0

§2 有限锥和Farkas选择（2）
即 C={AX：X≥0} (4) 当方程AX=b（X≥0）存在可行解，则b必处于锥C之中。 [例1-11] AX=b，X≥0，
2 A 1 0 1 - 1 2
(5)
§2 有限锥和Farkas选择（1）
考虑标准线性规划： AX=b，X≥0 (1) CTX=min (2) 我们定义满足式（1）的所有矢量为可行解矢量，若又使 CTX=min，则称为最优可行解矢量。下面将重点讨论可行解矢量的几何意义。一、可行解的几何解释令A为m×n矩阵，C为A中列矢量的线性组合，系数xj≥0。则 (3) 集C称为有限矢量a1,a2，…，an组合的有限锥。
§2 有限锥和Farkas选择（7）
a Z 0
T
(Z C)
(Z b)
(9)
aT Z 0
(10)
在式(9)中，设置Z=A(X)，其中X是任一大于或等于0的固定矢量，是正数，则A(X)必在锥C内，可得 aT A(X)+β>0 (X≥0, >0) 用除之，且令→∞，得： aTAX≥0 (X≥0)

第一类曲面积分的计算

第一类曲面积分的计算
第一类曲面积分是对一个曲面上的函数进行积分的数学操作。

该
操作可以用于计算曲面上某个物理量的总和。

计算第一类曲面积分的步骤如下：
1. 首先，确定被积函数和曲面方程。

被积函数可以表示为f(x, y, z)，而曲面可以表示为g(x, y, z) = 0。

2. 然后，计算曲面的法向量。

曲面的法向量可以通过对曲面方
程进行求偏导得到。

例如，如果曲面方程是z = x^2 + y^2，则法向量可以表示为N = (2x, 2y, -1)。

3. 接下来，计算曲面上的面积元素dS。

面积元素可以表示为dS = |N| dA，其中|N|是法向量的模长，dA是曲面上的面积元素。

4. 然后，计算被积函数在曲面上的值f(x, y, z)。

将曲面方程
代入被积函数，可以得到f(x, y, z)在曲面上的值。

5. 最后，将被积函数和面积元素相乘，并对整个曲面进行积分。

这可以表示为∫∫f(x, y, z) dS，其中∫∫表示对整个曲面进行积分。

通过以上步骤，我们可以计算出第一类曲面积分的结果。

这个结
果可以表示曲面上某个物理量的总和。

圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影（借鉴）

圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影（借鉴）⼀、圆锥投影（⼀）圆锥投影构成的⼀般公式圆锥投影是假定以圆锥⾯作为投影⾯，使圆锥⾯与地球相切或相割，将球⾯上的经纬线投影到圆锥⾯上，然后把圆锥⾯沿⼀条母线剪开展为平⾯⽽成。

当圆锥⾯与地球相切时，称为切圆锥投影；当圆锥⾯与地球相割时，称为割圆锥投影。

按圆锥与地球相对位置的不同，也有正轴、横轴和斜轴圆锥投影。

但横轴和斜轴圆锥投影实际上很少应⽤，所以凡在地图上注明是圆锥投影的，⼀般都是正轴圆锥投影。

图2-39是正轴切圆锥投影⽰意图，视点在地球中⼼，纬线投影在圆锥⾯上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都互相平⾏，经线投影为相交于圆锥顶点的⼀束直线。

如果将圆锥沿⼀条母线剪开展为平⾯，则成扇形，其顶⾓⼩于360°，在平⾯上纬线不再是圆，⽽是以圆锥顶点为圆⼼的同⼼圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹⾓与相应的经度差成正⽐。

设球⾯上两条经线间的夹⾓为λ（图2-40），其投影在平⾯上为δ，δ与λ成正⽐，即δ=Cλ（C为常数）。

纬线投影为同⼼圆弧，设其半径为ρ，它随纬度的变化⽽变化，即ρ是纬度j 的函数，ρ=f（j ）。

所以圆锥投影的平⾯极坐标⼀般公式为：如以圆锥顶点S’为原点，中央经线为X轴，通过S’点垂直于X轴的直线为Y轴，则圆锥投影的直⾓坐标公式为： x=-r cosd y=r sind 通常在绘制圆锥投影时，以制图区域最南边的纬j S与中央经线的交点为坐标原点，则其直⾓坐标公式为： x=r S-r cosd y=r sind 式中r S为投影区域最南边纬线j S的投影半径。

根据（2-22）式可知，圆锥投影需要决定ρ的函数形式，由于P的函数形式不同，圆锥投影有很多种。

c称为圆锥系数（圆锥常数），它与圆锥的切、割位置等条件有关，对于不同的圆锥投影，它是不同的。

但对于某⼀个具体的圆锥投影，C值是固定的。

总的来说，C值⼩于1，⼤于0，即0＜c＜1。

第七章补充例题

解：添加辅助平面：
( x 2)2 ( y 1)2 S1 : z 0 ( 1且x 2 y 2 1)朝下。 16 9
S2 : x 2 y 2 z 2 1( z 1 x 2 y 2 ) 朝下
P 2 x 2 y 2 z 2 5 x ( x2 y2 z2 ) 2
解：P sin 2 x y ( x ) tan x，Q＝ ( x ) Q P , 要使方程为全微分方程，则 x y 从而可得： ( x ) ( x ) tan x 0
由分离变异法公式： ( x ) C cos x
( x ) C cos x
L[sin 2 x y ( x ) tan x]dx ( x )dy
Q x 2 2 y 2 z 2 S2 5 y ( x2 y2 z2 ) 2
5
R x 2 y 2 2z 2 5 z ( x2 y2 z2 ) 2
S1
由高斯公式：从而

xdydz ydzdx zdxdy ( x2 y2 z2 )
原式
S
2
2
2
dydz x y2 z2
dzdx y z2 x2
dxdy z x2 y2
D

S
y z dydz x y dxdy z dzdx x y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 y2 z2 z2 x2
2
2
( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
S
S
(1 x )dydz (1 y )dzdx ( x y )dxdy

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论与算法的研究过程中起着极其重要的作用，如Ｓｕｎ … 运用半正定矩阵投影算子的强半光滑性研
上投影算子显示解的计算方法，闭凸锥ｃ定义
如下：给定集合｛１，２， …，｝的两个互不相交的子
ＨＡＮＮｉｎｇ，ＬＩＵＹｏｎｇ－ｊｉｎ，ＬＩＵＭｅｉ￣ｉａｏ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈｅｎｙａｎｇＡｅｒｏｓｐａｃｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１０１３６）
Ｔｈｅｒｅｐｏｒｔｅｄｎｕｍｅｉｃｒａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｏｕｒａｌｇｏｉｔｒｈｍｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｃａｎｓｅｒｖｅａｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｄｅｉｖｒａｔｉｖｅａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｆｔｈｅ
文章编号：２０９５— １２４８（２０１３）０５—００８８—０４
一
类闭凸锥上投影算子的计算
韩宁，刘勇进，刘梅娇
（沈阳航空航天大学理学院，沈阳１１０１３６）
摘要：在凸优化问题的求解过程中，通常会转换为求解优化问题的ＫＫＴ条件，而在求解其ＫＫＴ条件时往往会涉及到某个闭凸锥上投影算子的计算。提出并详细阐述了某类凸锥上投影算子显示表达式的计算方法，数值结果表明了算法的有效性。研究结果为加权ｆ１范数、加权ｆ范数上图锥投影算子方向导数、广义微分的研究提供了一定的理论基础。关键词：投影算子；凸优化；上图锥；ＫＫＴ条件
中图分类号：Ｏ２２１．２文献标志码：Ａ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９５—１２４８．２０１３．０５．０１８
Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｔｒｉｃｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｖｅｒａｃｌａｓｓｏｆｃｌｏｓｅｄｃｏｎｖｅｘｃｏｎｅｓ
集，，，２，对于给定的正实数Ｗ＞０，ｉ ∈，，ｕ，２，定
ｗｈｉｃｈｈｅｔｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆｈｅｔｍｅｔｉｒｃｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓｏｖｅｒｓｏｍｅｃｏｎｖｅｘｃｏｎｅｓｉｓｏｆｔｅｎｃｒｕｃｉａ１．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓ
第３０卷第５期
２０１３年１０月
沈阳航空航天大学学报
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＳｈｅｎｙａｎｇＡｅｒｏｓｐａｃｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ＶＯ１．３０Ｎｏ．５Ｏｃｔ．２０１３
ｍｅｔｒｉｃｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓｏｖｅｒｈｅｔｅｐｉｇｒａｐｈｏｆｔｈｅｗｅｉｇｈｔｅｄＺｌａｎｄｌｎｏｒｍｓ．
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒ；ｃｏｎｖｅｘｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｔｈｅｃｏｎｅｏｆｅｐｉｇｒａｐｈ；ＫＫＴｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＳｏｌｕｔｉｏｎｔｏｃｏｎｖｅｘｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓｉｓｕｓｕａｌｌｙｃｏｎｖｅｒｔｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅＫＫＴｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｏ