换元法
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
换元法
例6. 求
e3
x
x
dx .
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 e d x e d(3 x ) 3 2 3 x e C 3
例7. Байду номын сангаас sec 6 xdx .
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u (x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称 凑微分法)
例1. 求
解:
1 dx 2 x a 1 ( a )2 x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 x d(4 x 2 ) (3) dx 1 2 4 x2 4 x2 x2 (4) dx 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
例4. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
换元法求解函数技巧
换元法求解函数技巧换元法是微积分中常用的一种求解函数的方法。
它通过引入一个新的变量，将原函数在新变量下的微分表达式化简为更容易解析的形式，从而求解原函数。
换元法可以分为两种情况——代换法和三角代换法。
一、代换法代换法主要是根据微分的链式法则，将原函数中的一个复杂部分替换为一个新的变量，从而简化函数的形式。
常见的代换方法有以下几种：1. 一次代换：适用于原函数中含有形如u=g(x)的因式，并且u的微分式du可以从方程u=g(x)中求得。
2. 反函数代换：适用于原函数中含有形如u=g(x)的因式，并且g(x)有一个反函数x=h(u)。
3. 幂指代换：适用于原函数中含有幂函数，例如a^x、x^n。
4. 指数代换：适用于原函数中含有指数函数，例如e^x、lnx。
代换法的关键在于选择合适的代换变量，使得原函数在新变量下的微分尽可能简单。
通过代换后，我们可以将原函数转化为更易求解的形式，然后可以采用基本积分公式或者其他求解方法求解出原函数。
二、三角代换法三角代换法是一种特殊的代换方法，适用于原函数中含有三角函数的情况。
主要是通过引入一个新的角度变量，将三角函数的表达式转化为有理函数的形式，从而方便求解。
三角代换法主要有以下几种常见的情况：1. 代换sinx：当原函数中含有形如sqrt(a^2-x^2)的因式时，可以令x=a*sinθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
2. 代换cosx：当原函数中含有形如sqrt(a^2+x^2)的因式时，可以令x=a*cosθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
3. 代换tanx：当原函数中含有形如sqrt(x^2-a^2)的因式时，可以令x=a*tanθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
三角代换法的核心在于选择适合的三角函数代换，然后利用三角函数的基本关系将原函数转化为有理函数的形式。
接下来，我们可以采用部分分式拆分、有理函数积分等方法求解出原函数。
总结起来，换元法是一种非常实用的函数求解技巧。
换元法
换元法换元法的概念解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量式去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
还原的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移值新对象的只是背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
例题1.计算：(10876312)(876312918)(10876312918)(876312)++⨯++-+++⨯+ 答：设876312,876312918x y =+=++原式(10)(10)()109180x y y x y x =+⨯-+⨯=-⨯=2.计算()1234567892123456789012345678912⨯-解：设1234567891a =， 原式2(1)(1)1a a a =--+= 3.⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++947458358739207378947458358739126621207378947458358739947458358739126621 解：设621739458739458,126358947358947a b ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原式378378378621378()()()9207207207126207a b a b a b =⨯+-+⨯=-⨯=⨯=4.11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 解：设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)= 5.1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：令1122007a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，111232008b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 原式1(1)(1)2008a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-=6.42)113(1132=+-+⋅+-x x x x x x 解方程. .23,23,6,1,23,23,6,16776,7,604213131131-13)(42)(,1-134321432121222都是原方程的根经经验所以或即解的的两根是方程，由韦达定理，知又因为则原方程变形为解：设-=+===-=+===⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧=+===++-+=++++=++=+=+x x x x x x x x y x xy y x xy z z z z y x xy x x x x x y x xy y x xy y x x。
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
换元法积分
换元法积分在微积分中，求解积分是一个重要的问题。
而换元法是求解积分的一个常用方法之一。
换元法又称为代换法，通过引入新的变量，将原函数转化为更容易积分的形式，从而简化计算过程。
换元法的基本思想是将被积函数中的自变量进行替换，通过变量替换，将原来的函数转化为一个新的函数，使得求解积分变得更加容易。
在进行换元法时，需要选择合适的变量替换，使得新的函数形式更加简单。
常用的换元法有三种：第一类换元法、第二类换元法和第三类换元法。
第一类换元法是指，将原函数中的自变量用一个新的变量表示，然后求出新的函数的导数，再将原函数转化为新函数的积分。
这种方法常用于有理函数和初等函数的积分求解。
例如，对于函数∫(x^2+1)dx，我们可以令u=x^2+1，然后求出du/dx=2x，进而将原函数转化为∫(1/2)du，最后求解得到积分的结果。
第二类换元法是指，将原函数中的自变量用一个新的函数表示，然后求出新的函数的导数，再将原函数转化为新函数的积分。
这种方法常用于指数函数和三角函数的积分求解。
例如，对于函数∫sin(x)cos(x)dx，我们可以令u=sin(x)，然后求出du/dx=cos(x)，进而将原函数转化为∫udu，最后求解得到积分的结果。
第三类换元法是指，将原函数中的自变量用一个新的变量表示，并将原函数转化为新函数的积分形式，然后再对新函数进行求解。
这种方法常用于含有根式的积分求解。
例如，对于函数∫x√(1+x^2)dx，我们可以令u=1+x^2，然后将原函数转化为∫(u-1)/(2√u)du，最后求解得到积分的结果。
除了以上三种常用的换元法外，还可以根据具体问题选择其他适合的换元方法。
在进行换元法时，需要注意选择合适的变量替换，使得新的函数形式更加简单，从而简化积分的计算过程。
此外，还需要注意对新函数的导数进行计算，以确保换元法的正确性。
换元法是求解积分的一种常用方法，通过引入新的变量，将原函数转化为更容易积分的形式。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
初中数学—换元法
知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。
【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。
【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。
快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。
求abc 的值。
【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。
有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。
所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。
因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。
第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。
【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。
解得12x +=（负根舍去）。
说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。
关于极限的概念，以后会学到。
【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。
【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。
解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。
显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。
设1y x x=-，则有220y ay b +++=。
248a b ∆=--。
⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。
代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。
⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
换元法
运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
换元的种类有：等参量换元、非等量换元。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。
x ≥0,x ≤
1
4
三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。
均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。
例1. 分解因式
分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。
解：法一：对和换元，用换元法解 设
则原式
法二：用换元法来解
设，则
原式
法三：将原式整理成关于x的二次三项式
原式
在函数中的应用
1、求函数的定义域
例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x²)的定义域。
解：设x²=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x²≦3,所以
-√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3]
2、求函数的解析式
例3、已知f(x+1)=x²-2x,求f(x)的解析式
解：设x+1=t,则x=t-1, 所以
f(t)=(t-1)²-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x²-4x-1。
例4、已知f(x+1/x)=x²+1/x², 求f(x)的解析式
解：设x+1/x =t，则x²+1/x²=(x+1/x)²-2，即x²+1/x²=t²-2
故f(t)=t²-2, 因此f(x)=x²-2
化简求值：
例5. 计算
分析：通过观察发现，
，
显然，在待定计算的式子中，均以的形式出现，故可用换元法来解
解：设
原式
例6 若x，y，z满足方程组，求的值。
分析：本题中有三个未知数，而仅有两个方程，不可能求出x，y，z的值，因此只能把看成一个整体来替换
解：设
则
得
说明：换元法是数学解题中的重要方法，较复杂的因式分解、计算、化简，方程、方程组等题目摆在面前时，应该考虑到换元法。
例7. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （①式），设S＝x2＋y2，求＋
的值。
【注】三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。
其它换元法（和差换元）
例8．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，
求cos的值。
【注】均值换元法。
结合三角形角的关系与三角公式进行运算。
例9. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。
【注】局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况）。
例9. 设对所有实数x，不等式x2log
2＋2x log
2
＋log
2
>0恒
成立，求a的取值范围。
【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。
例10. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
【注】等量换元，减少变量个数。
例11. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【注】三角换元法，化为三角不等式的值域问题；用分离参数法求出参数范围。