轴对称的性质(一)
1.2 轴对称的性质（一）
一、课标要求：
通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
二、教学目标：
1、知道线段的垂直平分线的概念，知道“成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称
点连线的垂直平分线”等性质。
2、会画已知点关于已知直线的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角
形的对称三角形。
3、经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理地思考和表达能力
三、教学重点与难点
准确理解成轴对称的两个图形的基本性质并会简单应用这个基本性质解决一些实际问
题。
四、设计思路
本节课的设计主要让学生在经历画点、折纸、扎孔等操作活动的过程中,进一步体会轴对称的基本特征,并使学生清晰地观察到点和折痕之间的位置关系,以及对应线段之间的大小关系,从而引导学生得出线段垂直平分线的概念;然后由师生互动、生生互动,来说明图形的对称归根到底是点的对称,用同样的方法可以观察到对称的线段和对称的三角形与折痕的关系;最后让学生能从图形中直观地、自主地探索得到轴对称图形的两条基本性质。
五、教学过程
(一) 创设氛围,激发求知的欲望
情境一:提出问题――――上一节课我们研究了轴对称和轴对称图形的基本特征,并会找出它们的对称轴和成轴对称的两图形上的一些对称点。
试问:成轴对称的两个图形具有哪些
性质呢?它们的大小和位置有什么关系?
【设计说明:让学生温故而知新,从以前看过的图形中找出新的东西,激发学习兴趣;在解决问题中的过程中,创设学生们互相讨论,合作交流的氛围。
】
情境二:(给出一些图形图形)同学们,你们看这些图形美吗?为什么我们看这些图形会感觉特别的美呢?今天我们就来探索一下它们美的奥秘。
【设计说明:从美开始入手,提高孩子鉴赏美的能力,同时激发学生们探索新知的欲望。
】
(二) 展开活动,点燃探究新知的热情
活动一操作“画点、折纸、扎孔”。
【设计说明:这里其实就是课本中第10页的“画点、折纸、扎孔”操作,一定要让学生真正动手操作,同时教师要引导学生通过观察、分析、发现、归纳得出相应的结论,努力让学生用自己的语言说清道理:即折痕为什么垂直平分?课本中从轴对称的特性-----重合出发。
给了有根有据的说明,这有利于加强在活动中对学生进行有条理地说理和表达的训练。
】活动二继续进行“画点、折纸、扎孔”的操作活动,自主探索成轴对称的线段、三角形的
性质。
【设计说明:提高学生的合作学习意识,由“学数学”向“做数学”过渡,重在提高学生“做数学”
的兴趣和能力。
】
问题1 图1-8(2)中,线段与有什么关系? 与呢?线段与有什么关系? 与呢?说说
你的理由。
问题2 图1-8(2)中, 与有什么关系? 与呢? 与有什么关系?为什么?
问题3 轴对称有哪些性质?
【设计说明:连续不断的提问使问题不断的深化,促使学生不断的思考,点燃学生探究的热情,让学生感受教材、解决问题的过程中增加自信,合理的进行思考和讨论是解决这一串问题的关键。
】
(三) 例题示范,加速新知的领悟进程
例题1 用针扎重叠的纸得到下面关于成轴对称的两个图案: (1) 找出它的两对对称点,两条对称线段;
用测量的方法验证你找到的对称点所连线段被对称轴垂直平分。
轴对称的基本性质(第1课时)课件
点A′就是点A关于直线l的对称点；
2.类似地，作出点B关于直线l
的对称点B′； 3.连接A′B′.
B
B′
所以线段A′B′即为所求.
【规律方法】 作已知图形关于某条直线对称的图形的一般步聚:
1.找点 （确定图形中的一些特殊点）. 2.画点 （画出特殊点关于已知直线的对称点）. 3.连线 （连接对称点）.
【跟踪训练】
1．两个图形关于某直线对称，对称点一定在 ( D )
A．直线的两旁
B．直线的同旁
C．直线上
D．直线两旁或这直线上
2．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的
部分（ A ）
A．完全重合
B．不完全重合
C．两者都有
D. 没有关系
3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线 段被__对__称__轴__垂直平分. 4.下图是轴对称图形，相等的线段是_A_B_=_C_D_，__B_E_=_C_E__， 相等的角__∠__B_=_∠__C___.
A
ED
B
C
共同探究
l
已知对称轴 l 和一个点A，如何
画出点A关于 l 的对称点A′?
A
O
A′
作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上
截取OA′=OA,垂足为点O，点A′就是 点A关于直线l 的对称点.
【例 题】
例2 如图，已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直
线l对称的图形呢？
【解析】△ABC可以由三
（2）对应线段相等，对应角相等. 2.按要求作出一图形关于某条直线成轴对称的图形.
1.下面说法中，正确的是（ Ｃ ） Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则AB垂直平分MN. Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在一条直线MN，使 △ABC与△DEF关于MN对称. C.如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条， 则它是等边三角形. Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两 侧.
八上 1.2 轴对称的性质(1)
1.2 轴对称的性质--- [ 教案]
班级姓名学号
教学目标：
1、掌握轴对称性质；
2、会利用轴对称的性质，作对称点，对称图形等
教学重点：作已知图形的轴对称图形的一般步骤.
教学难点：怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形.
教学过程：
一、创设情境：
试一试
如下图，方格子内的两图形都是成轴对称的，请画出它们的对称轴．
做一做1
请试着画出下图所示图形的对称轴.
（1）（2）
你可以用折叠的方法来检验自己画的对称轴是否准确，如果准确的话，能总结你的方法吗？你是如何判断对称轴位置的呢？
做一做2
1、实践、操作：
在纸上画出线段AB 及它的中点O ，再过O 点画出与AB 垂直的直线CD ，
沿直线CD 将纸对折，看看线段OA 与OB 是否重合？
从上面的操作我们可以看出，线段是轴对称图形．
直线CD 是线段AB 的对称轴，它垂直于线段AB ，又平分线段AB ，
我们把这样垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2、动手、操作
（1
直平分；
（2）说出图中相等的线段和角.
成轴对称的两个图形全等.
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线
二、例题示范：
例题 用针扎重叠的纸得到下面关于l 成轴对称的两个图案：
（1） 找出它的两对对称点，两条对称线段；
（2） 用测量的方法验证你找到的对称点所连线段被对称轴垂直平分.
F
三、课堂小结：
1、能找到轴对称中的对称点；
2、会画出对称点、对称线段；
3、能找到对称轴
四、课后作业：P13-14 1，2，3
五、教学后记：。
1.2 轴对称的性质(一)
学案初二1.2 轴对称的性质（一）——提前自学班级姓名一、自学目标：1、知道线段的垂直平分线的概念,掌握轴对称图形的性质。
2、会画简单的图形关于对称轴的对称图形。
自学重点：会利用轴对称性质作对称点、对称图形等。
自学难点：准确理解成轴对称的两个图形的基本性质并会简单应用性质解决实际问题。
二、自学过程：1、完成课本第10页的操作,即图1—7，并将你完成的操作带到课堂上来。
2、思考：（1)、针孔A、A’折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。
（2)、线段AA’与折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。
（3)、且一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（4)、成轴对称的两个图形。
（5)、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是的垂直平分线。
3、自学、相信自己：1．下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系。
图 1 图 22、（1）如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半（2）如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?（3）作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这个图形的对称轴．1.2 轴对称的性质（一）——作业（一）回顾与检测：1、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .23、右图是两个关于某条直线成轴对称的图形，请你画出它们的对称轴。
（二） 拓展：1、如上图，在两面成“八”字形放置的镜子中间放着塑料做的数字9， 你在左右两面镜子中看到的像是怎么样的？请你把它们写出来。
2、如图，△ABC 中，∠C=900⑴在BC 上找一点D ，使点D 到AB 的距离等于DC 的长度；⑵连结AD ，画一个三角形与△ABC 关于直线AD 对称.3、（1）实践与运用:将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过 点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．（2）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）、思考题：如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S 的位置，并将光路图补充完整.（三）自我反思与整理我的收获与困惑：A 图① A 图② F E E D C FB A图③ E D C A B F G ' D ' A D E C B F α 图④ 图⑤。
2.2轴对称的性质(1)
(1)2.2轴对称的性质教学目标1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．教学重点理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．教学难点轴对称性质的运用教学过程开场白同学们，你们喜欢照镜子吗你知道“你与镜中的你”有什么关系吗引入【一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）同学们的看法到底对不对通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．需满足几个条件（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．实践探索一1．指导学生完成下边的活动（投影要求）．活动一：如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA，AA与l相交于点O．2．探究：你有什么发现（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么你们是怎样发现的给直线l起个名字．（2）线段的垂直平分线你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义%线段的垂直平分线的特征是什么实践探索二指导学生完成活动二（投影要求）．仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、A B、BB．你有什么新的发现实践探索三（投影要求）如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．你又有什么发现引导学生观察，形成结论．返回情景导入题（投影图片）开始同学们的回答对不对先让学生自评，再由他评．投影例题&例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是，线段AC、AB 的在镜中的对应线段分别是，CD＝，∠CAB＝，∠ACD＝.（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗为什么（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗总结轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家。
1.2轴对称的性质(1)
南京市人民中学 孙宇红
练一练
6.利用三角尺分别画出下列图形的对称轴．其中, 哪几个图形的对称轴可以不用三角尺上的刻度画 出?
解:四个图形的对称轴都可以不用三角尺上的刻度画出 . 南京市人民中学 孙宇红
14
练一练
2.画出图中轴对称图形的对称轴,并把该图形 在对称轴上的点用字母标注出来.
A
B C
10
南京市人民中学 孙宇红
练一练
3.如图，线段AB与A’B’关于直线 l 对称，连接 AA’、BB’，设它们分别与 l 相交于点P、Q. (1)在所画的图形中，相等的线段有: AB=A’B’、AP=A’P、BQ=B’Q . (2)AA’与BB’平行吗?为什么? P 解:AA’与BB’平行. ∵ l⊥AA’，l⊥BB’. ∴AA’∥BB’.
2
理一理
设AA’交l于点O.
A
l 1 2 O A’
如果把纸沿l重新折叠, ∵点A、A’重合, ∴线段OA、OA’重合，即O是AA’的中点, ∵∠1与∠2相等且互补, ∴∠1=∠2=90°, 即l垂直且平分AA’.
3
南京市人民中学 孙宇红
理一理
A
l 1 2 O A’
1.线段的垂直平分线: 垂直并且平分一条线段的直线叫做 这条线段的垂直平分线.
5
南京市人民中学 孙宇红
再做一做
如图,再在纸上画一点C，并仿照上面进行操作， △ABC与△A’B’C’有什么关系? △ABC与△A’B’C’全等.
你能得出什么结论?
6
南京市人民中学 孙宇红
理一理
1.轴对称的性质: (1)成轴对称的两个图形全等. ①对应角相等; ②对应边相等. △ABC≌A’B’C’. ∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’. AB=A’B’，AC=A’C’，BC=B’C’.
轴对称图形的性质及应用
轴对称图形的性质及应用轴对称图形是指通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
本文将介绍轴对称图形的特点、性质以及在日常生活中的应用。
特点：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，也就是说，左右两侧完全相同，而相应的点到对称轴的距离也完全相等。
轴对称图形最简单的例子就是欧拉线。
性质：轴对称图形与一般图形相比，具有许多独特性质。
1.对称坐标：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，因此可以将其坐标进行相应的简化，将对称轴视为原点，将图形分解为x轴和y轴两个部分。
这种简化的坐标系统被称为对称坐标系。
2.取消相似性：一个轴对称图形绕对称轴旋转180度后，两部分分别重叠，正反都是一样的。
这也就说明了轴对称图形并不具有缩放不变性。
与此相反，使用其他变换，如旋转和平移时，图形可能变形，但尺寸和形状不变化。
3.构造对称轴：如果给定一个轴对称图形，很容易通过观察来确定它的对称轴。
但是，如果给定一个线段，如何通过它来构造轴对称图形呢？有一种简单的方法是，将线段的中点作为对称轴，然后用半径相等的圆弧将线段两端连接起来，就可以得到一个轴对称图形。
应用：轴对称图形在各个领域都有着广泛的应用。
1.设计：在建筑设计过程中，轴对称设计可以增强结构的平衡和美感。
对称图案也常常出现在布艺和墙壁装饰品上。
2.生物学：轴对称图形在生物学中也有着广泛的应用。
例如，许多植物和动物的身体结构都具有轴对称性。
轴对称性在遗传学中也发挥着重要作用，它对生物特征的分析和研究有重要的指导作用。
3.艺术：轴对称图形是艺术中常常使用的一种形式。
例如，一些字母、标志和图形都是轴对称的，这在机器制图和商业设计中都很常见。
4.数学：轴对称图形在数学中也发挥着重要作用，特别是在几何学中。
几何转化和对称操作常常用于证明数学定理，而轴对称图形则是证明某些性质的好例子。
总结：轴对称图形是一种可以通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
轴对称图形具有特殊的性质，例如对称坐标，取消相似性以及构造对称轴等。
《轴对称再认识(一)》轴对称和平移
对称变换在经济学中 的应用
在对称经济学中，对称原则被用来建 立经济模型，从而对经济现象进行分 析和研究。此外，在对称金融学中， 对称变换也被广泛应用于金融衍生品 定价和风险管理等领域。
对称变换的未来展望
随着科学技术的发展，对称变换将在 更多领域得到应用和发展。例如，在 人工智能领域，通过对称变换可以研 究深度学习和神经网络等算法的本质 和结构；在数据科学领域，通过对称 变换可以挖掘数据中的模式和规律； 在生物医学领域，通过对称变换可以 研究分子结构和生物大分子的性质等 。
对称变换在现代数学中的应用
01 02
对称变换在几何学中的应用
对称变换被广泛应用于几何学中，例如在平面几何、立体几何和解析 几何中，通过对称变换可以解决许多问题，如证明定理、求解方程等 。
对称变换在代数中的应用
对称变换也被广泛应用于代数中，例如在矩阵变换、群论和李代数中 ，通过对称变换可以研究问题的本质和结构。
平移和轴对称的关系
平移和轴对称都是图形的基本变换，它们之间存在密切 的关系。例如，可以通过平移将两个图形重合，也可以 通过轴对称将两个图形重合。
04
轴对称的实例
生活中的轴对称实例
建筑物
许多建筑物，如中国的故宫、 美国的自由女神像，都利用了 轴对称的设计，使建筑在视觉
上更具美感。
植物
自然界中许多植物也呈现出轴对 称的特点，如向日葵、睡莲等。
轴对称图形的特点
轴对称图形是左右或上下对称的，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等 。
轴对称的判断，通过折叠或比较对应 部分来判断是否为轴对称图形。
常见的轴对称图形
正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、圆形、菱形等 。
轴对称的应用
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是指物体具有在某一平面上的镜像对称性质。
在数学和几何学中，轴对称是一种特殊的对称形式，是对称性的重要表现形式之一。
下面将对轴对称的知识点进行总结。
一、轴对称的概念轴对称是指物体或图形在某一平面上的镜像对称性质。
这个平面被称为轴线或对称轴。
沿着轴线对物体进行镜像变换，使得物体的每一个点与镜像点相关联，二者之间的距离保持不变。
轴对称可以存在于二维图形、立体物体以及其他几何结构中。
二、轴对称的特点1. 图形的每一点都关于轴线对称，对称点在轴线上。
2. 对称图形的延长线与轴线重合，对称图形的每一条直线都是轴线上两个对称点的中垂线或垂直平分线。
3. 对称图形的面积、周长和内角和与其镜像图形相等。
4. 对称图形的对称中心与图形的每一个点距离的平方和最小。
三、轴对称的判定方法1. 观察图形是否有明显的对称形状，例如正方形、圆等。
2. 通过自身对折或平移观察是否可以重合。
3. 镜像变换：通过将图形投影到一个平面上，并观察是否与投影前的图形重合完成。
四、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称的图案可以给人以和谐、美感的感受，常用于服装、陶瓷、织物等设计中。
2. 建筑设计：许多建筑物在设计中运用了轴对称的原则，例如古代的宫殿、寺庙等，可以使建筑更加庄重、稳定。
3. 生物学：许多生物体的结构具有轴对称性，例如动物的身体结构，植物的花朵等都存在轴对称现象，这也是生命体的一种基本特征。
4. 数学研究：轴对称是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何、代数和图论等领域的研究中。
特别是在图论中，轴对称是许多图形算法的基础。
五、轴对称的相关定理1. 轴对称的性质可以应用于线段、角、多边形、三角形等几何概念的研究中，例如轴对称定理、轴对称三角形定理等。
2. 轴对称可以通过镜像变换来实现，这也与线性变换和矩阵运算有关。
研究轴对称问题可以进一步理解和应用线性代数等数学知识。
六、轴对称与其他对称性质的关系1. 轴对称是平移对称的一种特殊形式。
专题2.2轴对称的性质(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题2.2 轴对称的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 游戏中的轴对称】 (1)【题型2 利用轴对称的性质求角度】 (3)【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】 (4)【题型4 在格点中作轴对称图形】 (6)【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】 (8)【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】 (11)【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】 (13)【题型8 轴对称图案的设计】 (18)【题型1 游戏中的轴对称】【例1】（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点6cm、与直线l的距离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l对称轴跳至P5点；…．（1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是；（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是．【变式11】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【变式12】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．A．黑（3，7）；白（5，3）B．黑（4，7）；白（6，2）C．黑（2，7）；白（5，3）D．黑（3，7）；白（2，6）【变式13】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【题型2 利用轴对称的性质求角度】【例2】（2022秋•河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于．【变式21】（2022春•寿阳县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（）A．140°B．135°C．120°D．100°【变式22】（2022秋•台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是度．【变式23】（2022秋•房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R 是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．【变式31】（2022春•洛宁县期末）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【变式32】（2022春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM ＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为．【变式33】（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．（1）求AE的长；（2）求△ADE的周长．【题型4 在格点中作轴对称图形】【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，（1）写出顶点C的坐标；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．【变式41】（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）．（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；（不写作法）（2）写出点A1和C1的坐标；（3）求四边形A1B1C1D1的面积．【变式42】（2022秋•嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（﹣6，7），（﹣4，3）．（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系．（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1【变式43】（2022春•铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：（1）若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1，B1，C1的坐标；（2）若△A2B2C2是△ABC关于x轴对称的图形，请画出△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标．【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【变式51】（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．（1）求线段CN长．（2）连接FN，并求FN的长．【变式52】（2022秋•成都期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于．【变式53】（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是；？试说明理由；（2）问△MNK的面积能否小于12（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，∴AC+CB＝AC+＝．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N 当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．【变式61】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，点D，E在AB边上，AD＝CD，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【变式62】（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，点E为边BC上的一个动点．E1，E2分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接E1E2，则线段E1E2长度的最小值是．【变式63】（2022春•青羊区期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】【例7】（2022春•二道区期末）解答下列各题：（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，∠BAC＝70°，点D在BC的延长线上，三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线BP，CP相交于点P，求∠P的度数﹒（写出完整的解答过程）（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNCB中，设∠M＝a，∠N＝β，四边形MNCB的内角∠MBC 与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠P的度数为﹒（用含有α和β的代数式表示）（3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他条件不变，将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M，则∠BMC的度数为.（用含有γ的代数式表示）【变式71】（2022秋•洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作图痕迹，不写作法）．问题探究：（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．深入思考：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．【变式72】（2022春•临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A′处，EF为折痕，如图①所示．（1）若∠AEF＝30°，①求∠A′EB的度数；②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA′上的B′处，折痕为EG，如图②所示，求∠FEG的度数；（2）若改变∠AEF的大小，则EA′的位置也随之改变，则∠FEG的大小是否改变？请说明理由．【变式73】（2022秋•鼓楼区月考）问题情境如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的正角．以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB1折叠，则∠AA1B1＝70°．沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分线A1B2第二次折叠，则点B1与点C重合．此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？（填“是”或“不是”）．（2）小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角．【题型8 轴对称图案的设计】【例8】（2022秋•沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样的瓷砖拼出一个正方形，使所拼的图案为轴对称图形．在图4中画出你的四个设计方案．（图2、图3视为同一图案）【变式81】（2022•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．【变式82】（2022春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）【变式83】（2022秋•盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多．某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案．（至少设计四种图案）。
轴对称的基本性质
方法（ 方法（ 21 ） ）
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A
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l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别 是 E、G、F、H，线段AC、AB的对应线段 分别是 EF、EG ∠CAB= ∠FEG ，CD= FH . ， ，∠ACD= ∠EFH
●
A
●
l D H
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E
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C
● ●
●
F
B
G
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（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？
● ●
●
l D H
●
E
●
C
●
●
F
B
G
●
（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、 EG，你有什么发现吗？ 成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线的交点在对
称轴上或对称线段所在直线互相平行．
●
A
●
l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
(二)如果直线l外有一点A,那么怎样画出点A关 于直线l的对称点A′?
A B C
l C′
你能得出什么结论？
A′
●
B′
说一说
A
轴对称的性质
A
轴对称的性质： 1．成轴对称的两个图形全等． 2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对 称轴垂直平分;对应线段相等，对应角相等。
例1
小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸
放在镜子前．
(1)图中两个“4”有什么关系？ （1）你能画出镜子所在直线l的位置吗？