比例基本性质,黄金分割共16页
专题10 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略(解析版)
专题10比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一比例的性质之等比性质】 (1)【考点二利用黄金分割求线段的长】 (3)【考点三与黄金分割有关的证明】 (5)【考点四由平行判断成比例的线段】 (9)【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】 (11)【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (14)【过关检测】 (17)【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】【变式训练】【考点二利用黄金分割求线段的长】【变式训练】A ．52-B ．522-C ．352-D ．52-【考点三与黄金分割有关的证明】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．【考点四由平行判断成比例的线段】A ．BD DFAD AC=B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论错误的是（）A．AB DEAF EA=B．AEAD【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出例定理逐项进行判断即可．A．AC BD CE DF=【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CDBE AF【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知【详解】解：∵AD BE∥∥∴2 AB DE==，【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合2BD =即有2AG BC =，再证明EF CG ∥，进一步可得∵2BD AD =，CG 平分线段BD ，∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥，∴2AG AH AD DH +===，【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】【答案】12【分析】过点D作DG==一步可得GF GC【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·一模）如图，点点为F ，:1:DF AF =【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥::DF AF EG AE =，进而可得则::BD CD EG GC ==::1:DF AF EG AE ==∴772EG CE ．【过关检测】一、单选题AB AD AC AE∴=， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，23AD AE ∴=，2AB A ．35B ．1455【答案】D 【分析】过C 作CM AB ⊥延长线于M∵13BG CG =，∴设,3BG x CG x ==，∴4DC BC x ==，A ．3B ．4【答案】B 【分析】过点D 作DH AE 交【详解】过点D 作DH AE 交则1,CH CD HE DA ==BE BF EH FD =32BE EC ∴=，∵10BC =,A．1045-B．【答案】A【分析】作AH BC⊥于H，如图，根据等腰三角形的性质得到∵AB AC=，∴122BH CH BC===，在Rt ABH△中，AH AB=二、填空题【答案】2 5【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到【详解】解：∵BD平分∴ABD DBC∠=∠，∵DE AB∥交BC于点【答案】25 39【分析】可求38FD HF HDBC HB HC===，设【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，【答案】()51-【分析】雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即2AB =，设AC x =，根据比例即可求解．【详解】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，∴设AC x =，则2BC =∴222x x x -=-，【答案】15 2【分析】作HK CG∥交AB于点K 的长，进而可求出AB的长．∴BK BHKG CH=，AG ANKG NH=．H是BC的中点，BH CH∴=，三、解答题【答案】3【分析】过点D 作DM AB ∥交AC AMD ADM ∠=∠，由等边对等角的性质可得 DM AB ∥，∴75BAD ADM ∠=∠= ；又 180ADM AMD DAM ∠+∠+∠= ，(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边AB，AC上，且BD AE=，CD与BE交于点F，求证：(2)点G，H分别在边BC，AC上，GH与CD交于点O，且60HOC∠=︒．①尝试运用：如图2，点D在边AB上，且43OHOG=，求ABBD的值；②类比拓展：如图3，点D在AB的延长线上，且256OHOG=，直接写出ABBD的值．【答案】(1)见解析(2)①3；②2或3由（1）可知60MPC ∠=60HOC ∠=︒ ，GH BM ∴∥，∴OH CO MN CN =，OG CO BN CN =∴OH OG MN BN =，由（1）可知60MNC ∠=︒，GH MN ∴∥，∴OH OG MN BN=，设BD AM a ==，AB x =，则 256OH OG =，∴256MN BN =，AP MN ∥ ，证明：延长BA 至E ，使得AC 结论应用：已知在 ABC 中，30C ∠=︒，连接AB '交BC 于点E ．(1)如图2，当30α=︒，AB '⊥(2)如图3，当45α=︒，AB '与【答案】证明：见解析；结论应用：(1)2；(2)1或2或62【分析】延长BA 至E ，使得AC AE =，连接CE ，证明AD CE ∥，可得AB BD AE CD=（1）由30B α∠==︒，30C ∠=︒，可得B C ∠=∠，依题意AB ：2AE =：1，由结论可得（2）①AB BC '⊥，则45B α∠==︒，②AB AB '⊥，则45B α∠==︒，点BAC AE = ，ACE AEC ∴∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．BAC ACE AEC ∠=∠+∠ BAD AEC ∴∠=∠，∴AD CE ∥，∴AB BD AE CD =，而AC AE =∴AB BD AC CD=（1）30B α∠==︒ ，∠B C ∴∠=∠，又 AB BC '⊥，AB ∴：2AE =：1，AD 平分BAC ∠，由结论(1)可得AB AE ∴21BD DE =．（2）①AB BC '⊥，则45B α∠==︒，AB ∴：2AE =：1，BAD EAD ∠=∠ ，∴AB BD AE DE=，∴221BD DE ==．②AB AB '⊥，则45B α∠==︒，点AB ∴：1AE =：1BAD EAD ∠=∠ ，AB BD AE DE=，∴111BD DE ==．③AB AC '⊥，30C ∠=︒，60AEC ∴∠=︒，设EF a =，则3AF a =，2AE a =，∵45B α∠==︒，∴6AB a =，BAD EAD ∠=∠ ，∴AB BD AE DE=，（2）数学活动二如图⑤，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC =所以由勾股定理可得：。
比例中项黄金分割课件
黄金分割的应用
建筑学
艺术
古希腊建筑帕台农神庙、埃及金字塔等都 运用了黄金分割，使建筑具有强烈的视觉 美感。
艺术家利用黄金分割创作出许多经典画作 、雕塑和摄影作品，如达芬奇的《蒙娜丽 莎》等。
音乐
日常生活
音乐作曲中运用黄金分割，可以创作出和 谐动听的旋律和节奏，如巴赫的《G弦上的 咏叹调》等。
在日常生活中，黄金分割也随处可见，如 服装设计、家居布局等都运用了黄金分割 的原则。
在音例如 巴赫的《G弦上的咏叹调》等。
04
比例中项与黄金分割在生活中 的应用
艺术领域中的应用
绘画
黄金分割被广泛应用于绘画构图 ，通过将画面分为9个等分，将主
体放置在分割线或交点上，以达 到最佳视觉效果。
雕塑
在雕塑艺术中，比例中项和黄金分 割的应用有助于塑造出和谐、平衡 的作品。
比例中项的性质
唯一性
在一个比例中，比例中项是唯一的，即如果 a:b = c:d，则 b 是唯一的比例中项。
传递性
如果 a:b = b:c 和 b:c = c:d，则 a:b = c:d，即比例中项具有 传递性。
比例中项的应用
数学解题
在数学解题中，比例中项可以用于解 决比例问题，例如求两个未知数的比 值。
音乐领域中的应用
音乐创作
作曲家利用比例中项和黄金分割 来创作出和谐、动人的音乐作品
。
乐器制作
乐器制作过程中也涉及到比例中 项和黄金分割的应用，以确保乐
器发声的准确性和美感。
音乐表演
在音乐表演中，表演者通过运用 比例中项和黄金分割来达到最佳
的演奏效果。
摄影领域中的应用
构图
摄影师利用黄金分割来安排画面元素，以创造出具有视觉冲击力的作品。
3.2.2比例的基本性质,黄金分割
活动五：变式训练 发展思维
bc ac ab 1 已知： 、 k , 求k的值. a b c
2 探索： 当a b c 0时，k _______
当a b c 0时，k
-1 _________
活动六：归纳小结 反思提高
这节课学习到了什么知识？ 1、比例的性质
基本性质：
a 如果 b a c 反比性质：若 ，则 b d 合比性质：若 a c ，则 b d 更比性质：若 a c ，则 b d
c ，那么aLeabharlann =bc db d a c
ab cd b d
a b c a
a c m (b d n 0) 等比性质：若 b d n a c m a 则 b d n b
2、运用比例的性质解决有关比例问题
探究
古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯提出一个问题： 能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线 段CB与较长线段AC的比等于AC原线段AB 的比.即,使 得
CB AC AC AB
成立？如果这能做到的话，那么线段AB被点C黄金分割， 点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB 的比叫作黄金分割比.
巴 黎 圣 母 院
京剧演员经常选择舞台宽度的一个 黄金分割点作为出场亮相的位置．
乐器与黄金分割 小提琴是一种 造型优美、声音诱 人的弦乐器，它的 共鸣箱的一个端点 正好是整个琴身的 B 黄金分割点。
A
C
摄影与黄金分割
蜗牛的外壳呈 黄金螺线形。
人体与黄金分割
1 :人体肚脐不但是美化身型的黄金点有时还是医疗效果 黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。 2:人体最感舒适的温度是23℃，也是正常人 体温（37℃）的黄金点（23=37×0.618）。
比例的基本性质,黄金分割(精)18页PPT
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
比例的基本性质,黄金分割（精）
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
(课件)322比例的基本性质、黄金分割
活动三
活动四 活动五
活动六
活动七
问题：如果它如果四条线段a、b、c、d成比例 线段，即： a c （或a：b=c：d）
bd
学生探索：在等式两边同时乘以bd
得： ad=bc 。
即得到比例的基本性质：
如果 a c ，那么ad=bc bd
1段、，已即知a四条c 线则段下a列、各b、式c成、立d是吗成？比例线 bd
2、 如图： 已知 DB EC , AD 15, AB 40, AC 28
AD AE
求AE.
A
D
E
B
C
① bd ac
② ab cd ③ a b
bd
cd
先阅读P67例，然后分三个小组探索讨论， 再由小组派代表来进行表述。
活动二：比例变换感触新知
1由此可得比例的另一些性质：
反比性质：若 a c ，则
合比性质：若
ba b
dc d
，则
更比性质：若 a c ，则
bd
bd ac
ab cd
b
d
ab
ca
例1：若5x-7y=0，求x：y。
活动四：尝试练习 巩固新知
填空：
1.若 4 12 , x ________ . 25 x
2.若2a 3b 0,则 a ________, a b _______, a b ____
b
b
a
3.同一时刻，物体的高与它的影长成比例。某一 时刻，高为12m的电线杆的影长为9m，一座铁 塔的影长为21m，求铁塔的高.
黄金分割课件
人体的某些部分之间的比例接近黄金分割率，如人的身高与肚脐到脚底的距离之间的比例 约为0.618。
• 疾病诊断
在某些疾病诊断中，医生会使用黄金分割理论来评估患者的生理指标是否处于正常范围内 。例如，糖尿病患者的血糖水平是否处于30%:70%的比例关系。
06
黄金分割的未来展望与发 展趋势
黄金分割的深入研究与应用拓展
04
黄金分割在自然界中的应 用
植物生长中的黄金分割
01
02
总结词：自然界中，许 多植物的生长比例都符 合黄金分割的规律，这 种比例能使得植物生长 得更加健康和美丽。
详细描述
03
04
05
1. 植物的分支和干径比 ：许多植物的分支和干 径之间的比例符合黄金 分割，这样的比例使得 植物能够更好地传递养 分和水分，促进植物的 生长。
黄金分割作为数学的一个重要分支，与物理学、化学、生物学等学科的交叉研究将有助于深入理解其 原理和应用。
艺术与科学的交融
黄金分割在艺术领域的应用也将进一步探索其与科学技术的结合点，推动艺术与科学的深度融合。
黄金分割在人工智能与大数据时代的创新应用
人工智能
人工智能在处理大数据和模式识别等问 题上具有优势，结合黄金分割将有助于 提高解决问题的效率和精度。
图像处理与设计
在计算机图形学和设计中， 黄金分割被广泛应用于图像
处理和设计元素的布局。
• 网格系统
使用黄金分割网格系统可以 创建具有视觉吸引力和平衡
感的图像和界面设计。
• 艺术与插图
黄金分割在艺术和插图中也很受欢迎，因 为它可以帮助设计师在画面中实现自然、 和谐的布局和比例。
数据结构与算法
在计算机科学中，黄金分割也出现在一些 数据结构和算法的设计中。
九年级数学比例的基本性质,黄金分割课件
应用展示
摄像中的黄金分割
风景极佳，但拍出来以后，却发现没有抓住主题，效果很不理想……为了 避免出现这种情况，只需记住一个简单易用的法则，这就是被称为“三等分法” 或“黄金分割法”的画面结构法，这就是我国古人所说的九宫格。九宫格的4条 线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，在国外的摄影理论里把这4个点称 为“趣味中心”。如下图所示，将画面分成三等分，假设在这些位置上有水平线 和竖线，然后将作为主题的对象置于横竖线的交叉点。特意将摄影对象从画面的 正中移开一些，就能够得到平衡的构图。
x1
由比例的基本性质得： 1 x x2；
即：
x2 x 1 0 ； A
C
B
解这个方程求得：AC= 5 1 ； 2
所以求出黄金分割比： AC 5 1 0.618 。 AB 2
黄金分割比引起了人们极大的注意，被广泛应用在科学实验、美术、 音乐、摄影、艺术和日常生活中，你知道分别有哪些方面的应用吗？请 例举你所知道应用例子。
解： (1)由 y 4 得：x 5
x5 y4
∴x y x 1 5 1 9 yy 4 4
(2)由m 2n 5 得：m 2 5
n 3n
3
∴ m n 11 3 14
n
33
(3)令 x y z t 235
即：m 11 n3
则x 2t，y 3t， 5t
（问题一）：报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？
答：根据黄金分割，应站在舞台宽度的0.618处，这样音响效果比 较好，且显得自然大方。
（问题二）：人的正常体温是37℃，对大多数人来说，体 感最舒适的温度是22 ℃~23 ℃。你能解释吗？
答：因为气温与体温的比约为0.6与0.622,接近黄金分割比0.618，所 以感到较舒适。
3.2.2 比例的基本性质,黄金分割第一课时
1.主要内容：成比例线段的意义，比例的3个主要性
质及其应用.
2.能力要求：通过本课的学习，形成比例变形的能 力，要做一定量的习题，达到熟练.
海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无
数次地扑向礁石． ——佚名
AE AF AB AC AB AC AE AF
B AB AC AB BE AC CF BE CF BE CF
.
a c m (b+d+…+n≠0), 如果 b d n
a c m a . 那么 b d n b
a c m b d n
？ 分母之和不为零
a c m a b d n b
a c m 证明：设 k， b d n 则a=bk, c=dk, …，m=nk,
a c m bk dk nk b d n b d n (b d n)k a k . b d n b
所以AE′=DE，E′F′=EF，问题得证.
1．（北京·中考）如图，在△ABC中，
A
点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若
D E C
AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于( D ) A．3 B．4 C．6 D． 8
B
2．（河南·中考）如图，在△ABC中， 点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结 论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；
理由：
AC DF BC EF
A
D E
B
C
F
AC BC DF EF BC EF
AB DE BC EF
BC EF . AB DE