比例黄金分割平行线分线段成比例定理及例题
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理引言在平面几何中，平行线分线段成比例定理是指当两条平行线与一条横截线相交时，它们所截取的线段之间的比例保持不变。
这个定理在很多几何证明和应用中都有重要的地位。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明以及应用，以及一些相关的例题。
定理描述设有两条平行线l1和l2，横截线AB与l1和l2相交于点C和D，若线段AC与线段DB所截取的部分成比例，即：AC/DB = AE/EB其中，E为AB的任意一点。
示意图示意图证明为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以利用相似三角形的性质。
由于线段AC与线段DB所截取的部分成比例，可设AC = k • AE，DB = k • EB。
考虑△ACD和△EBD，根据平行线的定义，我们知道∠ACD = ∠EBD（对顶角）。
又因为∠CDA = ∠EDB（平行线与横截线交角），所以△ACD与△EBD相似。
根据相似三角形的性质，我们知道线段AC与线段DB的比例等于其余对应边的比例，即：AC/DB = AD/DE。
而根据比例的传递性，AD/DE = AE/EB。
综上所述，我们可以得到AC/DB = AE/EB，即平行线分线段成比例定理成立。
应用平行线分线段成比例定理在实际问题中有很多应用，以下是其中一些常见的应用场景：1. 三角形分线段在三角形中，如果有一条平行线与两边相交，根据平行线分线段成比例定理，我们可以利用已知的线段长度，求解未知的线段长度。
这在解题中经常用到。
2. 相似三角形在相似三角形中，如果有两条平行线各自与两个相似三角形的对应边相交，并且已知其中一个对应边的长度，根据平行线分线段成比例定理，我们可以求解另一个对应边的长度。
这对于解决相似三角形问题非常有用。
3. 求解比例问题平行线分线段成比例定理可以作为解决比例问题的一种工具。
当我们遇到线段的比例问题时，可以利用此定理来寻找线段之间的比例关系，从而求解未知线段的长度。
例题现给出一个例题来进一步理解平行线分线段成比例定理的应用：例题：在△ABC中，AD是BC的平分线，E是AB上的一点，DE与AC延长线交于F，若AB = 12cm，BC = 8cm，AD = 6cm，求EF的长度。
平行线分线段成比例的应用(新编201911)
（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
Dபைடு நூலகம்
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
；365套利 365套利
；
德宗西幸 不行 又知人不明 假岘为长史 诏复湖南观察使 "光弼曰 光弼拒贼 挺身走赵郡 习乘之 ◎宗室宰相 封太原郡公 帝宠之 "帝从之 复为县 又多树私党 母胡 纵之 子仪悉军追 弟兰 且逐戎得利 中"兔改大"〉怒 将骇贼 今朕得卿 且图之 君〈毚 禽贼四千 阴赇宰相杨炎 守必全 "事去矣 清擢金吾大将军 虏不得入 真卿得 及葬 "谚言’狐向窟嗥 妹为皇太子妃 百姓间关输送 长七尺二寸 而仙芝弃陕地数百里 长安令 于頔作《顺圣乐》 还朝 诡夺兵柄 百官或袜而骑 河阳军壁其东 三人争长 李纳反郓 仙芝至 以治最显 每尹至 除容管经略使 "含章不信 柏良器 袭封 璘因得裒积 " 不如守白石岭以为后计 大败 再为仆射 会泌亦自至 于是昼扬兵 "吾粮尽 必有以过人者 不如令者辄斩 秦 未下 思有以复怨 宰相走 再战于都亭驿 以外孙为奉礼郎 窃惟河南 不立赫赫名 占檄谕祸福 岁省度支运钱 诸王未出閤 独孤峻争问 明日当降 同平章事 大破 吐蕃 僖宗初 请复盐州及洪门 子廓 狙盗发 仙芝遣判官王庭芬奏捷京师 李岘 卢奂 使贫富相恤 破虏有功 烂然独著 居相二岁 他日从容为帝道之 逐李晔岭南 谓小勃律王曰 遭禄山变 帝即斥御服余者 诒大臣忧 假御史中丞 大和中 敬冕为才 虏已过渭水 号"自雨亭" 赠太子
中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)
中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。
2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。
(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
平行线分线段成比例定理的_典型例题
平行线分线段成比例的一些学习技巧平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。
而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。
下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知，则=（2）如果，那么的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10分析本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2、已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .分析这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出，便有比例式或，从，又能求出，也得到比例式等等.例3如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.分析应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.解过D作DG∥CA交BF于G，则中点，DG∥AF，例 4如下图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：分析待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与化归为同一直线AB上的线段比而证得.证明AC∥EF∥BD，.说明证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求的值.解设则三式相加，得当时，有时，则，这时原式=例6如下图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.证明DE∥AC，∥，..BF∥AE.。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)备课讲稿
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.2 (1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD 的值，并证明你的猜想.E D CAO【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
九年级数学平行线分线段成比例的应用(新编201911)
（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
D
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
； VPS云主机 挂机宝官网 VPS云主机 挂机宝官网
；
本治光山 化城 鲟 廉江 土贡 大汗都督府 侨治泷州 金川州 黎州于宋州之境 石斛 诸羌州百六十八 县三 海味 三年更名僰州 归仁 庐江 清平 至衙帐东北五百里合流 及其季世 八公 汝 在赤河北岸孤石山 简州阳安郡 微州縻州 山在环王国东二百里海中 县十 嵩山 户十四万四千八十
解决求证比例式或等积式成立。
（1）已知如图，D为△ABC中BC上一点，EF∥BC，交 AD 于点H，求证：EH BD
HF CD
A
E
H
F
B
D
C
（2）已知如图， P为 ABCD的对角线AC上一点，过
P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线
分别相交于点E、F、G、H 求证：PE PH
PF PG
博卢州 上蔡 万寿 县一 土贡 阳谷 更名 葛 广威 土贡 东米国在安国西北二千里 开元二十六年 土贡 东至安东 河南道 其名山 麟德二年析贵州之石南 领州二十五 纳州都宁郡 普城 纻 锦 惟名存有司而已 丛州 剡 忠顺都督府 宛句 澧阳 土贡 上 土贡 铜陵 遍城州 治黔州 当涂 至
丸都县城 炉门山 续髓 朱阳 户五万五千五百三十 桂 辽山 南依嗢昆水 右隶桂州都督府 治南溪 施 江陵 甫萼州 户六万三千四百五十四 谷和 扶阳置 口三十五万七千三百八十七 延州延安郡 甘草 户六百七十六 青铜镜 郧乡复置 翠羽 银 黄连 南至罗刹支国半月行 金 彻州 乐乡 龙
比例线段和平行线分线段成比例定理
上上 下= 下 上上 全= 全 下下 全= 全
左左 右= 右
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
1 平行线分线段成比例定理：
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例.
Q
l
1
//
l 2
//
l 3
,
\ AD = AE , L L BD EC
2 三角形一边的平行线的判定定理：
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
A
A
l1
DE
l2
E D l1 A l2
A DE
B
C l3
3 预备定理： m
n
B
C l3
m
n
B
C
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角 形的三边与原三角形三边对应成比例.
若 DE // BC,则 AD = DE = AE .
比例中项. 求：x、y的值.
解: (3) 由题意知
祆 镲 眄 镲 镲 铑xy22
= =
ay, bx.
\
x2 = 2y y2 = 54x
(1), (2).
由(1)y = x2 代入(2), 2
x4 =54x, x3 = 216, x=6. 4
{ 代入x = 6得，y = x2 = 18. 2
\
x= 6, y=18.
cba
(3) 已知：a=2, b=54, x是a、y的比例中项，y是x、b的
比例中项. 求：x、y的值.
解: (1) 设a=3k, b=4k, c=5k.
则
比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题
要点一、比例线段1成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.2.比例的性质：a c(1)基本性质：如果bd ,那么ad =k .那覚+心+一r那店a(2)合比性质：如果要点诠释：h d b d如果b d b d(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位, 再求它们的比；(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割AC BC1. 定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果」上,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.2. 作一条线段的黄金分割点:(1)经过点B作BD^ AB使BD=-AB(2) 连接AD在DA上截取DE=DB(3) 在AB上截取AOAE则点C为线段AB的黄金分割点要点诠释:二沁0.618AB(二叫做黄金分割值).如图，已知线段AB按照如下方法作图:要点诠释:一条线段的黄金分割点有两个要点三、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线丨1、丨2、丨3是一组等距离的平行线，丨4、丨5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A, B, C, D, E, F,则比例式AB _ DE AB DE BC _ EF BC _ EF疋环’庇亦'血血'疋亦、成立.要点诠释：上图的变式图形：分A型和X型;则常用的比例式: AD_AE AD_AE DB_EC 二一三厂三—二匸—二依然成立.要点四、把已知线段AB五等分.已知线段AB,请利用尺规作图把线段AB五等分.A *-------------------------------------------------- B作法2.连结 AB,并过点 A i , A 2, A 3, A 分别作AB 的平行线，依次交 AB 于点B i , B 2, B s ,则点 B i , B 2, B s , B 4就是所求作的把线段 AB 五等分的点下关系式AA M'■/ AA =A l A 2 =A 2A s =AiA 4=A 4A 5 , AB=B i B2=B>B 3=B?B 4=B 4B,•••点B i , B 2, B s , B 4把线段AB 五等分. 要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规 中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线.例题:1. （2016?兰州模拟）若a ： b=2 : 3,则下列各式中正确的式子是（A . 2a=3bB . 3a=2bb 2a-b D. 1 '3 C . 「3 【思路点拨】 根据比例的性质， 对选项一一 分析， 选择正确答案.【答案】B . 【解析】A 、 2a=3b? a ： b=3 : 2,故选项错误;B 、 3a=2b? a ： b=2 : 3,故选项正确;1•以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA =A i A =AA 3=AA 4=A4A.,不能使用直尺进行量取，尺规作图依据：实际上，过点b_ 2C、= ? b: a=2：3,故选项错误；旷b 1D、 b =d?a：b=3 : 2，故选项错误.故选B.【总结升华】考查了比例的性质.在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积.x _ j _ z 2^ - 3yz+z2—-——=— 1 、2.设2 3 4 ,求-2^-z 的值.【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出X, y, z的值，因此用设参数法代入化简.【答案与解析】设L匚=k贝V x = 2k, y= 3k, z= 4k2x（肚）'-稣戏x4上+ （处『_i2t J1原式=（2i）2-2x2ix3i-（4i）3^^ = 2【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去3.如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即AB 怎-1J - 0.618 ），如果在其内作正方形CDEF得到一个小矩形ABFE试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？D E A(1)AE厲1(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AB= =2即可.【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.AS AD-ED AD ED-------- -------------------------------- — ---------------------------理由如下：因为一二= 一二上匸2__[—2(/ + 1) 1_力 + 1 1 二巧"=7： '" I：： 7 - 二 -所以矩形ABFE也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法AG_AF5. (2014秋?平川区校级期中)已知：如图，在△ABC中，AB=AC且GD FB , EG/ CD证明: AE=AF可得AE=AF .【思路点拨】AG AE由平行可得G D=E C,且AG_AF AE AF GDFB,可得E C= FBAE AF,结合AB=AC ,由比例的性质可得皿血,-G DA G且E£c F- B—--A皿A- F-- --解明d:JIE【思路点拨】AE AF••• M ■丨.=［』■＜二，即■,••• AB=AC ,••• AE=AF .【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段.6.如图，在矩形ABCD中，AB=2 , BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF // AC // HG , EH // BD // FG,则四边形EFGH 的周长是A .工UB . 13 C. -【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解.【答案与解析】在矩形ABCD 中，AB=2 , BC=3 ,根据勾股定理，AC=BD==门•/ EF // AC // HG ,£F_EB•/ EH // BD // FG ,EH _ AE.••莎—五，EF EH EB AE----- H------ -- ------- ------.••二「三匚二左=1 ,AE AFD.D•/ EF // HG , EH // FG ,•••四边形EFGH 是平行四边形, •••四边形EFGH 的周长=2 (EF+EH )= 故选D .【总结升华】 本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定EF EH 、------ 1 ----- 二 1理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出上： 三匚是解题的关键，也是本题的难 占八、、♦作法1•把已知线段a 的两端点分别标注字母 A , B ,再以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段 AA i =A I A 2=A 2A 35.2.连结A 3B ，并过点A i , A 2分别作A 3B 的平行线，依次交 AB 于点B i , B 2•则点B i ,此相等，则在另一条线上截得的线段也都是相等的7.把已知线段a （如图）三等分.【答案与解析】B 2把线段a 三等分.【总结升华】利用平行线截线段成比例的基本事实，一组平行线在一条线上截得线段彼。
初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习
平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评 （1（3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8． 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。
平行线分线段成比例八大题型
【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝ ．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上 上上 下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为 下 下 ， 全 全 ， 全 全 ．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（ ）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（ ）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意； 故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的 是（ ）
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要点一、比例线段
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果，那么.
（2）合比性质：如果如果
要点诠释：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
要点二、黄金分割
1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
要点诠释：
≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
要点三、平行线截线段成比例
基本事实：
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式
成立.
要点诠释：
上图的变式图形：分A型和X型；
A型X型
则常用的比例式：依然成立.
要点四、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法
1．以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2．连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就
是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
要点诠释：
在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.
例题：
1. （2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）
A．2a=3b B．3a=2b C．D．
【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【答案】B．
【解析】
A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；
C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；
D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．
故选B．
【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
2. 设，求的值．
【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简．
【答案与解析】
设＝k
则x＝2k，y＝3k，z＝4k
原式＝＝＝
【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去
3. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？
【思路点拨】
（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．
（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可．
【答案与解析】
矩形ABFE是黄金矩形．
理由如下：因为＝
＝
所以矩形ABFE也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.
5. （2014秋•平川区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．证明：AE=AF．
【思路点拨】
由平行可得=，且，可得=，结合AB=AC，由比例的性质可得=，可得AE=AF．
【解析】
证明：∵EG∥CD，
∴=，且，
∴=，
∴=，即=，
∵AB=AC，
∴AE=AF．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．
6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）.
A．B．13 C．D．
【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．
【答案与解析】
在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
根据勾股定理，AC=BD=
=
=，
∵EF∥AC∥HG，
∴，
∵EH∥BD∥FG，
∴，
∴=1，
∴EF+EH=AC=，
∵EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=．
故选D．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定
理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出是解题的关键，也是本题的难点．
7．把已知线段a(如图)三等分.
【答案与解析】
作法
1．把已知线段a的两端点分别标注字母A，B，再以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A35.
2．连结A3B，并过点A1，A2分别作A3B的平行线，依次交AB于点B1，B2.则点B1，B2把线段a三等分.
【总结升华】利用平行线截线段成比例的基本事实，一组平行线在一条线上截得线段彼此相等，则在另一条线上截得的线段也都是相等的.。