离散数学课件16.3根树及其应用
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离散数学中的树和图的应用
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象的性质和关系。
在离散数学中，树和图是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学中具有重要的地位，而且在计算机科学、电子工程、通信工程等领域中也有广泛的应用。
首先，让我们来了解一下树和图的定义。
在离散数学中，树是一种特殊的图。
树是由若干个节点组成的，其中一个节点被称为根节点，其他节点分布在根节点之下的若干层次中，并且每个节点最多有一个父节点。
除此之外，树的每个节点可以有零个或多个子节点。
树的一个重要特点是：任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
在离散数学中，图是由若干个节点和连接节点的边组成的。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，无向图中的边没有方向。
图的节点可以表示实体，边可以表示实体之间的关系。
图的一个重要特点是：图中的节点和边可以有多个连接。
树和图有着广泛的应用。
在计算机科学中，树和图常常被用于数据结构和算法。
比如，树可以用来实现二叉搜索树、堆、二叉树等数据结构；图可以用来实现图算法，如最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算法等。
树和图的应用还涉及到网络优化、模式识别、数据挖掘、人工智能等领域。
在电子工程中，树和图被用来描述和分析电路。
树可以用来表示电路的拓扑结构，图可以用来表示电路元件之间的连接关系。
树和图在电路分析和设计中起到了至关重要的作用。
比如，树可以用来分析电路的戴维南等效电路、回路等；图可以用来优化电路的布局和布线。
在通信工程中，树和图被用来表示通信网络和通信路径。
通信网络可以看作是由节点和连接节点的通信链路组成的图，而通信路径可以看作是图中的一条路径。
树和图在通信网络的规划、管理和优化中扮演重要的角色。
比如，树可以用来构建网络拓扑，图可以用来分析和优化通信路径。
总之，离散数学中的树和图是非常重要的概念和工具，并且在各个领域中有广泛的应用。
无论是计算机科学、电子工程还是通信工程，都离不开树和图的帮助。
因此，我们应该加强对树和图的学习和应用，以更好地解决实际问题。
《离散数学》课件-第16章树
解：易见所求为该图的一棵最小生成树，如图所示 总造价为57
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
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16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
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16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散数学PPT课件 6根树及其应用(ppt文档)
树是m叉树.
2.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者
等于0, 则称此树是完全m叉树. 3. 正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相同,
则称之为正则m叉树.
v1
v1
v1
v2
v3 v2
v3 v2
v3
v4 v5 v6 v4 v5
1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其它分支. 被剪掉 的结点如下处理.
2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出.
r
r
a
b
c d e f g h i jk l
a
b
c d e f g
h
i j k l
八.遍历二叉树
在二叉树的一些应用中, 常常要在树中查找具有某些
3.后序遍历
⑴后序遍历左子树
⑵后序遍历右子树
⑶访问根结点.
后序遍历:32x2－×－x3x＋÷＋
练习： P198 — 例9.4
P204 — 9.11
九. 最优树(哈夫曼树 Huffman)
二叉树的一个重要应用就是最优树.
(3－(2×x))+((x-2)÷(3+x)
&#
+
2 x x 2 3 x
存贮时,每个结点含有三个信息: left-----是左指针,指向左子结点. data----数据 right---右指针, 指向右子结点.
left data right
表达式的存贮树:
head
(3－(2×x))+((x-2)÷(3+x)
是假的,它们的外表完全相同,只是重量有点差别.给你一
架天平找出假币.
< a:c <=
离散数学——树ppt课件
11
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
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例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
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(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
离散数学ch04图论根树(课件)
04
根树的性质与算法
根树的性质
根树的定义
根树的性质1
根树的性质2
根树的性质3
根树是一种有向无环图，其中 有一个节点被指定为根节点， 其他节点按层次结构排列，从 根节点出发，每个节点恰好有 一条有向边指向其子节点。
根树的节点数等于其子树的节 点数之和加一。
根树的深度等于其最深叶子节 点的深度加一。
路径与回路
总结词
路径与回路是图论中重要的概念，路径是指一系列连续的边和顶点，回路是指起点和终点相同的路径 。
详细描述
在图论中，路径是指从起始顶点到终止顶点的一系列连续的边和顶点。每个顶点和边在路径中只出现 一次，且顺序必须一致。回路则是指起点和终点相同的路径，即路径中存在一个顶点，通过一系列的 边回到该顶点。回路在图论中具有重要意义，如在欧拉路径。
图论的重要性
图论在计算机科学、电子工程、 交通运输、生物信息学等领域有
广泛应用。
图论为复杂系统提供了统一的数 学框架，使得可以运用数学方法 和计算机技术来分析和优化这些
系统。
图论在解决实际问题中发挥了关 键作用，如路由优化、社交网络 分析、蛋白质相互作用网络等。
算法效率和复杂性的优化
在解决实际问题时，算法的效率和复杂性是关键因素。如 何优化图论和根树的算法，提高其计算效率和降低其计算 复杂性，是一个具有挑战性的问题。
THANKS
感谢观看
低运输成本。
交通控制
03
根树可以用于构建交通信号灯的控制逻辑，提高道路的通行效
率。
06
总结与展望
图论与根树的重要性和发展前景
重要应用领域
图论和根树在计算机科学、电子 工程、交通运输、生物信息学等 领域有广泛的应用，对解决实际 问题具有重要意义。
《离散数学课件资料》PPT课件
（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。 弦：G中不在TG中的边。 生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出 子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的， 但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
14
一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有 后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号， 则称B为二元前缀码。
03.02.2021
24
四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}
离散数学 树共38页
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
离散数学 树
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
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最优2元树
设2元树T有t片树叶,分别带权为 w1,w2,···,wi,···,wt(wi为实数,i＝1,2,···,t,) 称
t
w(T ) wiL(wi ) i 1
图16.7
图中所示是带权1，3，4，5，6 的2元树
Huffman算法
❖ 给定实数w1,w2,···,wt,且w1≤w2≤···≤wt. ❖ (1)连接w1,w2为权的两片树叶,得一
定义
❖ 如果将根树每一层上的顶点都规定次 序，这样的根树称为有序树．
❖ 次序可排在顶点处，也可以排在边 上。次序常常是从左向右，不一定是 连续的.
设T为一棵根树：
❖ （1）若T的每个分支点至多有r个儿子， 则称T为r元树；
❖ （2）若T的每个分支点都恰好有r个儿 子，则称T为r元正则树；
❖ （3）若r元树T是有序的，则称T是r元 有序树 .
家族树
一棵根树可以看成一棵家族树：
❖ （1）若顶点a邻接到顶点b，则称b 为a的儿子，a为b的父亲；
❖ （2）若b，c同为a的儿子，则称b， c为兄弟；
❖ （3）若a≠d，而a可达d，则称a为d 的祖先，d为a的后代。
根子树
❖ 定义设T为一棵根树，a为T中一个顶 点，且a不是树根，称a及其后代导 出的子图T’为T的以a为根的子树，简 称根子树．
分支点,其权为w1＋w2; ❖ (2)在w1＋w2,w3,···,wt中选出两个最
小的权,连接它们对应的顶点(不一定 都是树叶),得分支点及所带的权; ❖ (3)重复(2),直到形成t－1个分支点,t 片树叶为止.
例16.2
❖ (1)求带权为1,3,4,5,6的最优2元树; ❖ (2)求带权为2,3,5,7,8,9的最优2元树.
❖ （4）若r元正则树T是有序的，则称 T是r元有序正则树；
❖ （5)若T是r元正则树，且所有树叶 的层数相同，都等于树高，则称T为r 元完全正则树；
❖ （6）若r元完全正则树T是有序树， 则称T是r元有序完全正则树。
图（1）为2元有序树，（2）为2源自元有序正则树，（3）为2元有序 完全正则树。
最佳前缀码
当要传输按着一定比例出现的符号时, 需要寻找传输它们最省二进制数字的 前缀码,这就是最佳前缀码.
❖ 例16.6 在通信中,0,1,2,···,7出现的 频率如下:
❖
0:30％, 1:20％,
❖
2:15％, 3:10％,
❖
4:10％, 5:5％,
❖
6:5％, 7:5％.
求传输它们的最佳前缀码.
❖ 解 (1)图16.3给出了求带权1,3,4,5,6 的最优2元树的过程.
❖ (2)由Huffman算法求出的带权为 2,3,5,7,8,9的最优树T为图16.4所示.
图16.3
图16.4
前缀
❖ 设=1,2 ···n-1, n为长度是n的符 号串,称其子串1,12,···,12···n-1 分别为的长度为1,2,···,n－1的前 缀.
前缀码
❖ 设B={1,2,···,m}为一个符号串集合, 若对于任意的i, jB,ij,i与j互不为 前缀,则称B为前缀码.
❖ 若i(i＝1,2,···,m)中只出现2个符号 (如0,1),则称 为2元前缀码.
图16.5
❖ 图16.5所示的2元树产生的前 缀码为
{11, 00, 011,0100,0101}.
行遍结果.
（1）所得树T如图所示
前缀符号法
❖ ÷＋*＋a*bcde*fg ④ ❖ 在④中规定,每个运算符与它后面紧
邻的两数进行运算,其计算结果是正 确的. ❖ 在此种算法中,因为运算符在参加运 算的两数的前面,因而称为前缀符号 法或波兰符号法.
后缀符号法
❖ abc*＋d*e＋fg*÷.
⑤
❖ 在⑤中规定,每个运算符与它前面紧 邻的两数进行运算,其计算结果也是 正确的.在这种算法中,因为运算符 在参加运算两数的后面,因而称为后 缀符号法或逆波兰符号法.
有向树
一个有向图D，如果略去有向边的方 向所得的无向图为一颗无向树，则称 D为有向树。
根树
❖ 一颗平凡的有向树，如果有一个顶点 的入度为0,其余顶点的入度均为1， 则称此有向树为根树。入度为0的顶 点称为树根；入度为1、出度为0的 顶点称为树叶；入度为1、出度大于 0的顶点称为内点，内点和树根统称 为分支点。
❖ 所求2元树T
行遍
❖ 对于一棵根树的每个顶点都访问 一次且仅一次称为可行遍或周游 一棵树.
行遍法
对于2元有序正则树主要有以下3种行 遍方法.
❖ (1)中序行遍法 其访问次序为:左子树, 树根,右子树.
❖ (2)前序行遍法 其访问次序为:树根,左 子树,右子树.
❖ (3)后序行遍法 其访问次序为:左子树, 右子树,树根.
V0
V1
V2 V3
V4 V6
V5 V7
V0
V1
V2 V3
V4 V6
V5 V7
左图为一棵根树。v0为树根，v1， v4,v3,v6,v7为树叶，v2,v5为内点， v0,v2,v5均为分支点。由于在根 树中有向边的方向均一致（向
下），故可省掉其方向，用右 图 代替。
在根树中，从树根到任意顶点v的通路 长度称为v的层数，记为l(v）．称层数 相同的顶点在同一层上。层数最大的 顶点的层数称为树高．根树T的树高记 为h(T）．
图16.7
❖ 对于图16.7所示的根树,按中序行遍 法,其行遍结果为 ((dce)bf)a(gih).
❖ 按前序行遍法行遍结果为
a(b(cde)f)(igh). ❖ 按后序行遍法行遍结果为
((dec)fb)(ghi)a.
❖ 例16.4 ❖ (1)用2元有序树表示下面算式:
((a＋(b*c))*d＋e)÷(f*g). ❖ (2)用3种行遍法访问(1)中根树,写出