9.2 根树及其应用
离散数学
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学中的树和图的应用
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象的性质和关系。
在离散数学中，树和图是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学中具有重要的地位，而且在计算机科学、电子工程、通信工程等领域中也有广泛的应用。
首先，让我们来了解一下树和图的定义。
在离散数学中，树是一种特殊的图。
树是由若干个节点组成的，其中一个节点被称为根节点，其他节点分布在根节点之下的若干层次中，并且每个节点最多有一个父节点。
除此之外，树的每个节点可以有零个或多个子节点。
树的一个重要特点是：任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
在离散数学中，图是由若干个节点和连接节点的边组成的。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，无向图中的边没有方向。
图的节点可以表示实体，边可以表示实体之间的关系。
图的一个重要特点是：图中的节点和边可以有多个连接。
树和图有着广泛的应用。
在计算机科学中，树和图常常被用于数据结构和算法。
比如，树可以用来实现二叉搜索树、堆、二叉树等数据结构；图可以用来实现图算法，如最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算法等。
树和图的应用还涉及到网络优化、模式识别、数据挖掘、人工智能等领域。
在电子工程中，树和图被用来描述和分析电路。
树可以用来表示电路的拓扑结构，图可以用来表示电路元件之间的连接关系。
树和图在电路分析和设计中起到了至关重要的作用。
比如，树可以用来分析电路的戴维南等效电路、回路等；图可以用来优化电路的布局和布线。
在通信工程中，树和图被用来表示通信网络和通信路径。
通信网络可以看作是由节点和连接节点的通信链路组成的图，而通信路径可以看作是图中的一条路径。
树和图在通信网络的规划、管理和优化中扮演重要的角色。
比如，树可以用来构建网络拓扑，图可以用来分析和优化通信路径。
总之，离散数学中的树和图是非常重要的概念和工具，并且在各个领域中有广泛的应用。
无论是计算机科学、电子工程还是通信工程，都离不开树和图的帮助。
因此，我们应该加强对树和图的学习和应用，以更好地解决实际问题。
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
计算机科学与技术 离散数学 第9章 图的应用
欧拉图
欧拉通路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的通路
欧拉回路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的回路
欧拉图：有欧拉回路的图 半欧拉图：有欧拉通路，但无欧拉回路的图
几点说明： ①上述定义对无向图和有向图都适用。 ②规定，平凡图为欧拉图。 ③欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路。 ④环不影响图的欧拉性。
定理 树T 的每一个分支节点都是T 的割点
27
练习①判断下列各图是否是树
v1
v4
v1
v4 v1
v4
v2 v3 v5
v2 v3 v5
v2 v3 v5
连通，有回路， 连通，无回路， 不连通，
n=5,m=5
n=5,m=4
n=5,m=3
不是树
ห้องสมุดไป่ตู้
是树
不是树
②在保持连通性的条件下，从K5中删去( 6 )条边， 得到一棵树
之间的道路，边的权表示对应道路的长度。沿道路 架设通讯线路，将这些城市联系起来，要求架设线路 最短(费用最省)，此问题就是求一棵最小生成树的问题。
31
克鲁斯卡尔 (Kruskal)算法 （P156） ——求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G， (1)按权从小到大排列边(环除外)，
设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em)； (2) 令T，i1，k0； (3) 若ei与T中的边不构成回路，
注：有向树是弱连通的； 反之，无回路的弱连通有向图不一定是有向树 如，
34
在根树中，从根到其余每个结点都有唯一的一条 初级有向通路。 ①从根到某一顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数 ②从根到树叶的最大层数称为有根树的树高 注：树根位于根树的第0层
35
图论及其应用--树与林
定理 设有完全m叉树，其树叶的数目为t,分支 数为i, 则(m-1)×i=t-1。
证明思路： m位选手,单淘汰赛,每局淘汰(m-1)位,
共比赛i局,最后剩1位选手。因此有：
(m-1)×i+1=t
定义 在根树中，一个结点的通路长度，就是从树 根到该结点的通路中的边数。分支点的通路长度称为 内部通路长度，树叶的通路长度称为外部通路长度。
定理2：任一棵树中至少存在两个叶。
证明： 因T连通则u∈T，deg(u)≥1。设T有k个一
度点，其它点均大于等于2，则 2e=∑deg(vi)≥k+2(v-k)=2v-k。 因e=v-1， 故2(v-1)≥2v-k，则k≥2。
2.2支撑树与支撑林
设F是图D的支撑子图，并且ω(F)=ω(D)。 若F是林，则称F为D的支撑林；若F是树， 则称F为D的支撑树。
例如:
a 19
b5
14 12
18
7
c
16 e 8
3
g
d
27
21
f
求最小生成树的克鲁斯卡尔(Kruskal)算法(避圈法)： a)在G中选取最小权的边，记作e1，置i=1。 b)当i=n-1时结束，否则转c)。 c)设已选择边为e1，e2，……ei，此时无回路。在G 中选取不同于这i条边的边ei+1，该边使得{e1，…， ei+1}生成的子图中无回路，并ei+1是满足该条件中权 最小的一条边。
定理2.4 每个连通图都含支撑树。 推论2.4.1每个图都含支撑林或者支撑树。 推论2.4.2每个图均有ε≥ν- ω。 定理2.5设F是G的支撑林。若E(G)\E(F)
非空，则对其中的任何边e，F+e含有且 仅含有一条圈。
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
图论第三章答案
14. 12枚外观相同的硬币，其 中有一枚比其他的或轻 或重.使用决策树描述一个 算法，使得只用一个天 平且最多进行三次比较 就可以确定出坏币并且 判断出它是 轻是重..
解：如下图：
补充：如果连通加权图 G的权值互不相同，则 G有唯一一棵最小生成树 .
证：反证法，设G有T1 , T2 两棵最小生成树，则 T1 , T2的权之和相等, 且存在边e1 , e2 权值不同. 此时e1 T1但e2 T2，e2 T2 但e1 T1 , 令T3 T1 e1 e2，T4 T2 e2 e1，则T3和T4亦是生成树. 由e1，e2的权不同可知：T3或T4中必有一个是权比 T1 ( T2 )小的树，得矛盾 .
11. 根据图回答下列问题 . (a.)对下列每个二进制序列 进行解码. (1)100111101 (2)10001011001(3)10000110110001(4)0001100010110000 (b.)对下列单词进行解码 . (1)den(2)need (3)leaden(4) penned
8. 明下列各题： 1.)若完全二叉树T有m个内点和k个叶子点，则m k 1. 2.)完全二叉树T的边数e，满足e 2(k 1).其中，k为叶子点数.
证： (1.)因为有m个内点的完全二叉树有 2m 1个顶点， 所以由顶点关系得： 2m 1 m k , 则m k 1. (2.)因为树T的边数(e) 顶点数(2m 1) 1, 所以e 2m 2(k 1).
3. 设无向图 G中有n个顶点 m条边，且 m n, 则G中必有圈.
设G有连通分支 T1 , T2 , , Tk (k 1) , 若G中无圈，则 Ti (1 i k ) 也无圈，所以 Ti 是树 .
树的实现及其应用
树的实现及其应用树（Tree）是一种非常重要的数据结构，它在计算机科学中有着广泛的应用。
树是由节点（Node）和边（Edge）组成的一种层次结构，其中一个节点可以有零个或多个子节点。
树结构中最顶层的节点称为根节点（Root），最底层的节点称为叶节点（Leaf），除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。
一、树的基本概念在树的结构中，每个节点可以有多个子节点，这些子节点又可以有自己的子节点，以此类推，形成了树的层次结构。
树的基本概念包括以下几个要点：1. 根节点（Root）：树结构的最顶层节点，没有父节点。
2. 叶节点（Leaf）：树结构的最底层节点，没有子节点。
3. 父节点（Parent）：一个节点的直接上级节点。
4. 子节点（Child）：一个节点的直接下级节点。
5. 兄弟节点（Sibling）：具有相同父节点的节点互为兄弟节点。
6. 子树（Subtree）：树中的任意节点和它的子节点以及这些子节点的子节点构成的子树。
7. 深度（Depth）：从根节点到某个节点的唯一路径的边的数量。
8. 高度（Height）：从某个节点到叶节点的最长路径的边的数量。
二、树的实现树的实现可以通过多种方式来完成，其中最常见的是使用节点和指针的方式来表示树结构。
在实际编程中，可以通过定义节点类（NodeClass）来表示树的节点，然后通过指针来连接各个节点，从而构建出完整的树结构。
下面是一个简单的树节点类的示例代码：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, value):self.value = valueself.children = []```在上面的示例中，TreeNode类表示树的节点，每个节点包含一个值（value）和一个子节点列表（children）。
通过不断地创建节点对象并将它们连接起来，就可以构建出一棵完整的树。
三、树的遍历树的遍历是指按照一定顺序访问树中的所有节点。
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授课时间第十八周第 1 次课
是树根
是树叶
是内点
是分支点
;1层有b,c; 2
前缀码
=α1α2…αn-1αn是长度为n的符号串
的前缀: α1α2…αk , k=1,2,…,n-1
前缀码: {β1, β2, …, βm}, 其中β1, β2, …, βm为非空字符且任何两个互不为前缀
元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码
{0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前缀码
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
前缀码(续)
最佳前缀码
在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
25% 1：20% 2
10% 5：10% 6
元前缀码, 求传输数字最少的2
并求传输10n(n≥2)个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的(长为
编码:
0---01
1---11
2---001
3---100
4---101
b ((f g d) e c) a
最高层次运算放在树
数放
按前序行遍法访问表示
其结果不加括号, 规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算.
* + g h * i j
按后序行遍法访问,
规定每个运算符与前面紧邻两数运算.。