高中数学 131函数的单调性与导数教案教案 新人教A版选修2 2
1.3.1导数与函数的单调性 教案-2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2
导数与函数的单调性【教学重难点】教学重点：1.会求函数的单调区间2.利用导数及单调性解决含有参数的问题教学难点：1.已知函数的单调性求参数范围2.含参数的函数的单调性【知识点梳理】函数的导数与单调性的关系函数y =f (x )在某个区间内可导,(1)若f '(x )>0,则f (x )在这个区间内① 单调递增 ;(2)若f '(x )<0,则f (x )在这个区间内② 单调递减 ;(3)若f '(x )=0,则f (x )在这个区间内是③ 常数函数 .用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系1o . '()0f x 〉( 或0)('〈x f )是)(x f 在（a ,b ）内单调递增（或递减）的充分不必要条件2o . 0)('≥x f （或 0)('≤x f ）是)(x f 在（a,b ）内单调递增(或递减)的必要不充分条件（0)('=x f 不恒成立）【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定恒有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( )【热身训练】1．f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，0)【设计意图】掌握基本常用函数导数公式，巩固一元二次不等式的解法2.函数y =f (x )的导函数y =f '(x )的图象如图所示,则下面判断正确的是( )A.在区间(-3,1)上f (x )是增函数B.在区间(1,3)上f (x )是减函数C.在区间(4,5)上f (x )是增函数D.在区间(3,5)上f (x )是增函数【设计意图】导数与函数单调性的关系体现在图形上，信息在图形上寻找。
1.3.1 函数的单调性与导数 课件(人教A版选修2-2) (1)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，则a≥－3x2[x∈(1，＋∞)]．∴a≥－3.
答案：B
练习题：1．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞ 0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0) 与(4，＋∞)，求k的值．
x ( 1 ,1) 3
.
3．已知函数f(x)＝ x ＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3)
B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2)
D．f(e)<f(3)<f(2)
解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝
2
1
x＋1x
>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．
1
234Fra bibliotekhh
h
h
o A t o B t o C t o D t
分析 以容器2为例,由于容器
上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高 度增加得越来越快.反映在图象
上,A 符合上述变化情况.同理
可知其他三种容器的情况.
解 1→B, 2→A, 3→D, 4→C.
2 h
o A t
思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
一般地,如果一个函
y
数在 某一范围内导 数 的绝对值较大,那 么函数 在 这个范围
高中数学 131函数的单调性与导数学案 新人教A版选修2-2 学案
1.31函数的单调性与导数【学习目标】1.了解可导函数的单调性与其导数的关系 ；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
【学习重难点】重点：利用导数研究函数的单调性，会求多项式函数的单调区间 难点：利用导数研究函数的单调性，会求多项式函数的单调区间 【学习过程】 一、学前准备：1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；二、合作探究：探究一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内是增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内是减函数.试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--； （3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+.反思：用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '.②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.探究二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？典型例题例1 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>；当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.【学习检测】1.(A) 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ） A ．240b ac -< B ．230b ac -< C ．240b ac -> D ．230b ac ->2. (A)（2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππD ．(2,3)ππ 3. (B)若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ） A ．()0f x > B ．()0f x <C ．()0f x =D ．不能确定4.(B)函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是5.(B)已知x x x f 2)(2+=，则(0)f '等于6. (B)判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+；.7(C) 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.8（C ）如果函数32()5f x ax x x =-+-在R 上递增，求a 的取值范围。
1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件
令(x
1)(x x2
1)
0，解得 1
x
0或0
x
1
y x 1 的单调减区间是(1,0)和(0,1) x
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止 一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而 只能用“逗号”或“和”分开。
四、课堂练习 1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2x 4; (2) f ( x) e x x;
2
3
3
因 此 ， 函 数f ( x)的 递 增 区 间 是(2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递 减 区 间 是(2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f ( x) x ln(1 x) 1 2
解：函数的定义域是(1,)，f ( x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
2
2
归纳： 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单 调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求 单调性问题时，应考虑导数法。
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式⇒f(x)的递增区间 f'(x)<0解不等式⇒f(x)的递减区间
(2) f ( x) x 2 2x 3;
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2x 3 3x 2 24x 1.
解:
(3)因为f ( x) sin x x, x (0, )，所以f ( x) cos x 1 0.
因此，函数f ( x) sin x x在x (0, )上单调递减
1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.1《函数的单调性与导数》教案(2课时)
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.3.1函数的单调性与导数（2课时）》教案 新人教A 版选修2-2 "教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x=--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)f x x x xπ=-∈，所以，'()cos10f x x=-<因此，函数()sinf x x x=-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x∈-即21x-<<时，'0y<，所以函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x在(),a b内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x；（2）判断()'f x在(),a b内的符号；（3）做出结论：()'0f x>为增函数，()'0f x<为减函数．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．教后反思：。
人教版高中选修2-2《导数与函数的单调性》教学设计
人教版高中选修2-2《导数与函数的单调性》教学设计《人教版高中选修2-2《导数与函数的单调性》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！“函数的单调性与导数”是《普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-2)》(人教版)第1.3.1的内容，是学生在学习了平均变化率、瞬时变化率、导数定义之后学习的，是《必修1》函数的单调性的再认识，为后续学习函数的极值、最值等知识作铺垫，也是初等数学向高等数学的一次跨越。
我们已经学习了直接利用函数的单调性的定义，研究函数的单调性，以及函数的最值。
导数作为研究函数重要的工具，而且利用导数研究函数的单调性具有一般性，与《数学1》和《数学4》中的方法比较，导数在研究函数中具有优越性。
本节内容是整个章节的核心，涉及到的知识和方法，是高中的重点。
知识与技能目标在观察、探索的基础上，归纳出函数的单调性与导数的关系，并会用其判函数的单调性，会求函数的单调区间。
过程与方法目标利用图象为结论提供支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。
3.情感、态度与价值观通过本节学习，增强对数学的好奇心和求知欲;在教学过程中，培养学生勇于探索、观察发现意识。
三、重点、难点分析本课时要求学生理解函数的单调性与导数之间的关系，能求不超过三次多项式的单调区间，二这种关系的基本思想是数形结合。
由于学生刚刚接触导数的应用，他们在利用导数求函数的单调区间的水平和自觉性上都还有一定的差距。
学生的已有的基础是解不等式和一元二次函数的图象分析，所以要充分利用学生已有的基础，分析原函数的单调性于导函数的正负之间的关系，本教学设计的思路是由“形”导“数”，由“数”到“形”，数形结合的思想。
综上，本节课的教学难点是：函数的单调性与其导数关系;教学重点是利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次多项式函数的单调区间。
四、教学支持条件分析本课时充分借助信息技术手段，如几何画板，PPT等，借助几何画板工具，形象直观地展示原函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，帮助学生直观上认识，在某个区间内导数大于零，则原函数在这个区间递增;在某个区间内导数小于零，则原函数在这个区间递减。
高中数学《导数在研究函数中应用函数单调性与导数》教案2新人教A版选修22
函数的单调性与导数〔二〕一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程⑴〔一〕复习1．确定以下函数的单调区间：y＝x3－9x2＋24x；⑵y＝x－x3．〔4〕f(x)＝2x3－9x2＋12x－32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a,b)内单调递增的A．充分而不必要条件 B ．必要但不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件( A)〔二〕举例例1．求以下函数的单调区间(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；(2)(log(3x2)x(3)3(2x1)(1x)2〔4〕f(x)ln(3xb)〔b>0〕〔5〕判断f(x)lg(xx2)的单调性。
分三种方法：〔定义法〕〔复合函数〕〔导数〕例2．〔1〕求函数y1x31(aa2)x2a3xa2的单调减区间.2〔2〕讨论函数f(x)bx(11,b0)的单调性.x2〔3〕)a–+1x+1)，≥–)的单调设函数=x()ln(其中1，求区间.a〔1〕解：y′=2–(a+a2)x+a3=(x–a)(x–a2)，令y′＜0得(x–a)(x–a2)＜0.〔1〕当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a 2)；〔2〕当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2,a)；3〕当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a2)；4〕a=0，a=1时，y′≥0此时，无减区间.综上所述：当a＜0或a＞1时的函数y1x3aa2)x2a3xa2的单调减区间为(a,a2)；3当0＜a＜1时的函数y 112322a)；x(aa)xax的单调减区间为(a,32当a=0，a=1时，无减区间.〔2〕解：∵f(x)bxbx f(x)，∴f(x)在定义域上是奇函数.(x)21x21在这里，只需讨论f(x)在(0,1)上的单调性即可.当0＜x＜1时，f′(x)=b(xbx21x(x21)bx22x21=bx22(x21)2(x21)2(x21)2假设b＞0，那么有f ′(x)＜0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递减的；假设b＜0，那么有f ′(x)＞0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：当b＞0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递减的；当b＜0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递增的.〔3〕解：由得函数f(x)的定义域为(–1,+∞)，且f(x)ax1(a≥–1).x1〔1〕当–1≤a≤0时，f′(x)＜0，函f(x)在(–1,+∞)上单调递减.1〔2〕当a＞0时，由f′(x)=0，解得x.a′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(1,1)1(1, )a a af′(x)–0+f(x)↘极小值↗从上表可知，当x∈(1,1a)时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(1,1)上单调递减a.当x ∈( 1, a )时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,a)上单调递增.综上所述，当–1≤a≤0时，函数f(x)在(–1,+∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，函数a f(x)在(1,a)上单调递增.作业：?习案?作业八。
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课时）1.3.1函数的单调性与导数（2教学目标：．了解可导函数的单调性与
其导数的关系；1 ．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：
教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授
，它表示跳水运动1）．问题：图3.3-1（ 1
th数函变化的中高度随时间20?.51?4.t9?6th(t)?3.3-1的图像，图t v随时间2）表示高台跳水运动员的速度（'6.5?t()??9.8tv(t)?h图变化的函数的像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：t)th(h是增函（1）随时间运动员从起点到最高点，离水面的高度的增加而增加，即'0)?hv(t)?(t数．相应地，．t)h(t h是减函从最高点到入水，运动员离水面的高度（2）的增加而减少，即随时间'0?h(vt)?(t)数．相应地，．．函数的单调性与导数的关系2观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．- 1 -
专心爱心用心．
')xf(，导数3.3-3图如0),yx()xf(处的切线的斜率．表示函数在点00
'xxx?0x)?f()(xf附近单调递处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在在000增；'xxx?0f()?x)(xf 附近单调递处，在，切线是“左上右下”式的，这时，函数在101减．结论：函数的单调性与导数的关系'0f(x)?)f?(ba(,)xy在这个区间内单调递增；如果在某个区间内，如果，那么函数- 2 -专心爱心用心．
'0)?(xf)x(y?f，那么函数在这个区间内单调递减．'0x)?f()f(xy?）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．说明：（1)x?f(y单调区间的步骤：3．求解函数)x?f(y 1）确定函数的定义域；（'')fxy(?；（2）求导数'0?x)f(）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（3'0?xf)(，解集在定义域内的部分为减区间．（4）解不等式三．典例分析
')fx(：例1．已知导函数的下列信息'0?(x)f4x?1?时，；当'0?(x)f1x?x?4当时，，或；
'0(x)f?1?x?4x，或当时，)?f(xy图像的大致形状．试画出函数'0x)f?()f(xy?41?x?解：当时，，可知在此区间内单调递增；'0)f?(x)(xy?f1x?x?4可知在此区间内单调递减；，或当时，；
'0)f?(x1x?4x?时，．当，或，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”)xy?f(综上，函数所示．图像的大致形状如图3.3-4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间．例
2．233?2xx3f(x)?x(fx)?x??（1）；（2）23?1x??24xf(x)?2x?3)x?(0,xxf()?sin?x4）；（3（）3x?x3(fx)?，所以，1）因为（解：2'203(?x??1)f)(x?3x?3
3x?3)f(x?x R 1因此，在上单调递增，如图3.3-5（）所示．- 3 -
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??'21?2x?2?2xf?(x)3??2x(fx)?x，所以，2）因为（'23?(x)?x?2xff(x)?01x?，即时，函数当
单调递增；2'3?x?2x)f(x)?0f(x?1x?时，函数，即当单调递减；23?2xxf(x)??函数）所示．（2的图像如图3.3-5'?0xf()?cos x?1?)(0,x(fx)?sin x?x?，所以，3）因为（?x sin?x?f(x))(0,）所示．在3.3-5（因此，函数3单调递减，如图231x?24x??f(x)?2x3．）因为（4，所以
2'3fxf()?0(x)?x?2x?；当，即时，函数
2'3?)?x2x?xf?f(x)0(时，函数当；，即
231xxf()?2?3x?24x?）所示．4的图像如图函数3.3-5（ 4）生练（）（注：3、
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相th的函数关系图像．与时间同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度
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分以析：器容）（2为例，于由器容细上下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图 A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．像
上，（????????????????C,3,?1??AB?,D24解：结不仅可以看出函数的增减，还
可以看出其变化的快慢．思考：例3表明，通过函数图像，合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，
这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．????0ba,0,)xy?f(所示，函数如图3.3-7，在或内的图像“陡峭”????a????,b,在．或内的图像“平缓”??232,1?1?12xx?3x?y?24．求证：函数内是减函数．在区间例
??????2'22?1?6x?6x?12?6x?x?2?xx?y6证明：因为
????23'2,1??x?2,11?y?2x?3x?12x0?y12??x?内时，即所以函数在区间当，是减函数．????b,fax在说明：证明可导函数内的单调性步骤：??'xf）求导函数；（1????'bxfa,
内的符号；（2）判断在????''0f?xx?0f为增函数，（3）做出结论：为减函
??321,1?)?Rx()f(x?4x?ax?x a的在区间上是增函数，求实数5例．已知函数3取值数．2
范围．????2''1,1xf?0)?f(xax?f(x)4?2?2x对解：上是增函数，所以在区间，因为????21,1?1,1?xx??02x?ax??1?a?1?对恒成立，即恒成立，解之得：??1,1?a的取值范围为．所以实数- 5 -
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已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调说明：
''0(x)?ff(x)?0”来求解，注；若函数单调递减，则性关系：即“若函数单调递增，则意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．1xy. =，试讨论出此函数的单调区间+例6．已知函数x1xy
=()+解：′′
x
2)x?11(x?1)(x??2－x==1－1·22xx
(x?1)(x?1)＞令0.
2x
xx1. 1或解得＜－＞1xy). ∞，+(－∞，－∴1)=和+(1的单调增区间是x)1x?x?1)((xx1. ＜0或00令＜，解得－1＜＜＜2x1xy，1)0)和+(0的单调减区间是(－1∴，=x
四．课堂练习．求下列函数的单调区间11?23]2[?0,y=xlnxfxfx fxxxx x 1.(()=2 －6)=sin+7 2.4.()=, +2x 3. x练习2．课本五．回顾总结）函数的单调性与导数的关系
????baf,x 3（）证明可导函数在内的单调性
（1)xf(y? 2）求解函数单调区间（
六．布置作业- 6 -
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