高等代数3.4 矩阵的秩
高等代数§3.5矩阵的秩与初等变换
4 3 9 12
1 1 7 8
41
1121
1 6 4 1 4 r33r2 0 4 3 1 1
r44r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
r4r0
4 3 0 0
1 1 4 0
0841.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知: R(A)=3.
以下求A的一个最高阶非零子式. 由于R(A)=3.
1 0
0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
01 01
=B1
1 1 1 2
例6:设
A
3 5
3
1
62,已知R(A)=2, 求与的值.
解:
A
r2-3r1 r3–5r1
1 0 0
1
3
8
1 4
5
244
1 1 1 2
r3-r2
0 0
3 5
4
1
04,
由R(A)=2,
得
5 1
00,
即
B
1 2 2 3
2 4
4 6
2 8 2 0
1 0 3
6
21 43
r2–2r1 r3+2r1
r4–3r1
1 0
0 0
2 0 0 0
2 4 2 6
1 2 1
3
01 51
r22 1 2 2 1 1
r3–r2 r4+3r2
0
0 0
02 00 00
1 0 r35
0 0
51
r4–r3
所以, R(A)=2, R(B)=3.
即 A B, 则 R(A) = R(B).
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
浅谈_高等代数_中的矩阵的秩
1
A
?1 1 2 3?
A ? ??2 3 5
7
? ?
??-1 0 -1 - 2−?
分析：由定义一，需要计算阶数从高到低的子式，从而求得 不为零的子式的最大阶数，即秩。
其次，从列向量组的极大无关组的秩考虑，可用行的初等 变换求得列向量组的极大无关组的秩 ，或用向量的线性相关 性的概念求得。两个定义的本质是行列式的计算与线性相关性 的证明。
ÁÂÃÁÁÂÃÄÁÃÂÅÂÃÁ 比如方程x+y=5可以由下面两个方程相减得出
3x+4y=7 2x+3y=2 因此由这三个方程组成的方程组与由下面两个方程组成 的方程组是同解的，x+y=5是多余的，可去掉。这样对于m个n元 一次方程组成的方程组就可想办法去掉那些可用其他的方程 表示的方程，剩下相互独立的方程。例如用高斯消元法来去掉， 而剩下的那些独立的方程的个数就是这个方程组的秩，矩阵的 秩是从方程组的秩中来的，理解了这个就理解了秩的概念，这 也是秩的几何意义。如果从向量的线性相关性的角度考虑，可 以这样认为：是矩阵的行（列）向量组的极大线性无关组的个 数，即这个向量组的行（列）秩。 秩的定义常见下列两种叙述，分别是：矩阵中不为零的子 式的最大阶数；矩阵中行（列）向量组的极大无关组的个数。这 里不妨把它们分别叫做定义一、定义二，这两个定义是等价的。 它的等价性可由向量的线性相关性来证，课本中已有证明。下 面举例以加深理解和比较这两个定义：
AB ? A − B - n
A= r
B =r
AB=r
PAQ
?
?E ??O
O? − ?
?B ?
Q B ? ??B−
? ? −?
PQ
P Q r= AB=
（4） PA （5） 若 A
矩阵的秩
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高 等 代 数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为 矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高 等 代 数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高 等 代 数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为 所以
高 等 代 数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例 求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高 等 代 数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式 推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成 为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念 二、矩阵的秩求法
高等代数课件：第十三课矩阵的行秩、列秩、秩
②
设 A
aij
，则 R( A)
sn
min( s,n).
若 R( A) s , 则称A为行满秩的；
若 R( A) n , 则称A为列满秩的.
5
二、矩阵秩的有关结论定Biblioteka 5a11 a12对方阵
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
有
x1
ar
2
x2
arn xn 0
2
引理 如果齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a21 x1 a22 x2
as1
x1
as2
x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 asn xn 0
a11 a12
的系数矩阵
A
a21
a22
as1 as2
a1n
a2n
asn
那么该齐次方程组有非零解。
A
1 2
3 1
0 7
1 2
1
的秩是3
5
4 2 14 0 6
1 0 3 1 2
R(A)=3，第1,2,4行线性无关，A1
1
3
0
1
1
4 2 14 0 6
R( A1 ) 3 A1 的列秩是3，设前3列线性无关，则有
1 0 3
103
A2
1
3
0
R( A2 ) 3 | A2 | 1 3
0 0
a21
a22
as1 as2
则A的列向量组 1 ,2 ,
得 A的列向量组 1 ,2 ,
a1n
a2n
的列秩
矩阵秩的研究与应用毕业论文
百度文库-让每个人平等地提升自我3 矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。
矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。
而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。
它反映矩阵固有特性的一个重要概念。
矩阵一旦确定秩也就确定了。
它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。
本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。
后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。
这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。
[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我4 矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。
更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。
矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。
如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。
理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。
以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
3-4矩阵的秩
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1
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由引理，这个方程的系数矩阵
a11 a21 ar1
a12
a1n
a22 a2n
ar 2 arn
,
的行秩 r . 因此在它的行向量中可以找到 r 个是
线性无关的，不妨设为
(a11, a21,, arபைடு நூலகம்) , (a12 , a22 ,, ar2 ) ,
x11 + x22 + … xrr = 0
只有零解，这也就是说，齐次线性方程组
a11x1 a21x2 ar1xr 0 ,
a12
x1
a22 x2 ar2 xr
0
,
a1n x1 a2n x2 arn xr 0 ,
只有零解.
ain
)
i
ai1 a11
1
,
i 2,, n .
由 | A | = 0 可知 n - 1 级矩阵
a22 a2n
an 2 ann
的行列式为零. 根据归纳法假定，这个矩阵的行向
量组线性相关. 因而向量组
2
a21 a11
1
,
3
a31 a11
1
, ,n
an1 a11
1
线性相关，这就是说，有不全为零的数 k2 , … , kn
使
k2
( 2
a21 a11
1)
kn
( n
an1 a11
1)
0
.
改写一下，有
a21 a11
k2
an1 a11
kn
1
k 2 2
knn
0.
A
0 0 0
2 0 0
1 0 0
4
5 0
中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素
所成的 2 级行列式
31 15
05
就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4
列，相应的 3 级子式就是
111 0 2 4 10 . 005
设 A 的秩为 t . 由必要性，t 不能小于 r ，否
则 A 的 r 级子式就全为零了. 同样，t 也不能大于
r ，否则 A 就要有一个 t ( t r + 1 ) 级子式不为零,
而按照假定这是不可能的. 因而 t = r，这就是要证
明的结论.
证毕
定理 6 的证明过程分析
例 2 利用下列模型求矩阵的秩. 求秩模型
的行列式等于零
证明
.
2. 矩阵的秩与行列式的关系
为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系，引入
定义 18 在一个 s n 矩阵 A 中任意选定 k
行和 k 列，位于这些选定的行和列的交点上的 k2 个 元素按原来的次序所组成的 k 级行列式，称为 A 的
一个 k 级子式.
例如，在矩阵
1 1 3 1
再证必要性. 对 n 作数学归纳法. 当 n = 1 时，由 | A | = 0 可知 A 的仅有的一个 元素就是零，因而 A 的秩为零. 假设结论对 n - 1 级矩阵已证，现在来看 n 级矩
阵的情形. 设矩阵 A 的行向量组为 1 , 2 , …, n .
检查 A 的第一列的元素 a11 , a21 , … , an1 , 如果这 n 个元素全为零，那么 A 的列向量组中含有零向量， 当然秩小于 n . 如果这 n 个元素中有一个不为零，
都线性相关，矩阵 A 的任意 r + 1 级子式的行向量
也线性相关. 由 定理 5 这种子式全为零. 现在
来证矩阵 A 中至少有一个 r 级子式不为零. 因为
a11 a12 a1n
A
a21 as1
a22 as2
a2n
asn
的秩为 r，所以在 A 中有 r 个行向量线性无关，不
证明 设矩阵 A 的行向量组为 1 , 2 , …, s
因为它的秩为 r ，所以极大线性无关组由 r 个向量
组成. 不妨设 1 , 2 , …, r 是一个极大线性无关组 因为1 , 2 , … , r , …, s 与 1 , 2 , … , r 等价，
所以方程组 ( 1 ) 与方程组
定理 5 n n 矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n
ann
的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n .
证明 先证充分性. 因为 A 的秩小于 n，所
以 A 的 n 个行向量组线性相关. 当 n = 1 时，A 只 有一个数，即只有一个一维向量，它又是线性相关 的向量组，就是零向量，从而 | A | = | 0 | = 0 . 当 n > 1 时，矩阵 A 中有一行是其余各行的线性组合. 从这行依次减去其余各行的相应倍数，这一行就全 变成零，由行列式的性质可知 | A | = 0 .
它们的线性无关性可知矩阵 A 的列秩 r1 至少是 r ,
也就是说 r1 r .
用同样的方法可证 r r1 . 这样就证明了行秩
与列秩相等.
证毕
3. 矩阵的秩 定义17 把矩阵的行秩和列秩统称为矩阵 的秩.
二、矩阵的秩与行列式的关系
1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件 现在我们再来把矩阵的秩与行列式的概念联 系起来. 先看 n n 矩阵的情形.
三、矩阵秩的求法
1. 矩阵秩的计算方法
计算矩阵秩的一个较有效的方法是：用初等 行变换把它变成阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵中非 零行的个数就是原来矩阵的秩.
证明
2. 向量组秩的计算方法
向量组秩的计算方法是：把向量组中的每一 个向量作为矩阵的一行 (或列) 构成矩阵，则这个矩 阵的秩即为所给的向量组的秩.
3 = (0, 0, 0, 5), 4 = (0, 0, 0, 0).
下面来求向量组1 , 2 , 3 , 4 的极大线性无关 组. 显然， 1 , 2 线性无关，再来讨论1 , 2 , 3
的线性相关性. 设有数 k1, k2 , k3 , 使
k11 + k22 + k33 = 0 ，
a11 a1r
0.
ar1 arr
它就是矩阵 A 中一个 r 级子式. 这就证明了必要性.
再证充分性. 设在矩阵 A 中有一 r 级子式不为 零，而所有 r + 1 级子式全为零. 我们证明 A 的秩 为r.
首先我们指出，由行列式按一行展开的公式可 知，如果 A 的 r + 1 级子式全为零，那么 A 的 r + 2 级子式也一定为零，从而 A 的所有级数大于 r 的子 式全为零.
1. 矩阵行秩和列秩的定义 定义 16 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向 量组的秩； 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例 1 设有矩阵
1 1 3 1
A
0 0 0
2 0 0
1 0 0
4 05
,
求矩阵 A 的行秩和列秩.
解 矩阵 A 的行向量组是
1 = (1, 1, 3, 1), 2 = (0, 2, -1, 4),
3.1 消元法 3.2 n维向量空间 3.3 线性相关性 3.4 矩阵的秩 3.5 线性方程组有解判别定理 3.6 线性方程组解的结构
主要内容
一、矩阵的秩的定义 二、矩阵的秩与行列式的关系 三、矩阵的秩的求法
一、矩阵秩的定义
在上一节我们定义了向量组的秩. 如果我们把 矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为 是由这些行向量组成的. 同样，如果把每列看成一 个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
a21 a11
k2
an1 a11
kn
, k2 ,, kn
这组数当然也不
全为零，从而向量组1 , 2 , …, n 线性相关，它
的秩小于 n . 根据归纳法原理，必要性得证.
证毕
根据这个定理，可以得到有关齐次线性方程组的
重要结论.
推论 齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
妨设就是前 r 个行向量. 把这 r 行取出来，作一新
的矩阵
a11 a12 a1n
A1
.
ar1 ar 2 arn
显然，矩阵 A1 的行秩为 r ，因而它的列秩也是 r， 这就是说，在 A1 中有 r 列线性无关. 不妨设前 r 列线性无关，因之，行列式
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1
a22 x2 a2n xn
0
,
(2)
ar1x1 ar2 x2 arn xn 0
同解. 对于方程组 (2) 应用 定理 1 即得. 证毕
由此就可以证明：
定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.
譬如说 a11 0，那么从第二行直到第 n 行减去第一
行的适当的倍数，把 a21 , … , an1 消成零，即得
a11 0 | A | 0
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
a22
an 2
a2 n
ann
其中
(0,
ai2 ,,
, (a1r , a2r ,, arr )