第6章集合的基数
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《离散数学》 第六章 集合的基数
6.2.1 可数集
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
（3）card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合， 如果cardX ≼· cardY，cardY ≼· cardX， 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0，1]和（0，1）有相同的基数。
解 根据定理6.3.3，我们只需构造两个单射函数：
f：（0，1） → [0，1]，f（x）=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为：
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1，S2 ， S3，……是可数个可数集，分别表示 S1={a11，a12，a13，…，a1n，…} S2={a21，a22，a23，…，a2n，…} S3={a31，a32，a33，…，a3n，…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合，称 card X 为集合 X 的基数，并作 以下规定： （ 1 ）对于任意的集合 X 和 Y ，规定 card X = card Y ，当且仅当 X≈Y； （2）对于任意有限集合X，规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数，记作 card X = n （3）对于自然数集合N，规定 card N = （读作阿列夫零） （4）对于开区间（0，1），规定 card（0，1）= （读作阿列夫）
⑵ 若X≈Y，则X≼· Y且Y≼· X。
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
（3）card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合， 如果cardX ≼· cardY，cardY ≼· cardX， 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0，1]和（0，1）有相同的基数。
解 根据定理6.3.3，我们只需构造两个单射函数：
f：（0，1） → [0，1]，f（x）=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为：
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1，S2 ， S3，……是可数个可数集，分别表示 S1={a11，a12，a13，…，a1n，…} S2={a21，a22，a23，…，a2n，…} S3={a31，a32，a33，…，a3n，…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合，称 card X 为集合 X 的基数，并作 以下规定： （ 1 ）对于任意的集合 X 和 Y ，规定 card X = card Y ，当且仅当 X≈Y； （2）对于任意有限集合X，规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数，记作 card X = n （3）对于自然数集合N，规定 card N = （读作阿列夫零） （4）对于开区间（0，1），规定 card（0，1）= （读作阿列夫）
⑵ 若X≈Y，则X≼· Y且Y≼· X。
离散数学-基数
➢定义7.5
称集合A的基数为א0，如果有双射
f：N→A，或双射f：A→N，N为自然数集。 记为 A = א0。
.
基数
1.1 有限集、可数无限集和连续统的基数
➢定义7.6
称集合A的基数为C，如果有 双射f：[0，l]→A，或双射f：A→[0，1]。 记为 A = C。具有基数C的集合常称为
α+γ＜β+δ
.
基数
1.3 基数算术
✓定理3
对任何无限集基数α，有 α＋α＝ α
✓定理4
设, 为基数，为无限集基数， ≤ ， 那么
+ =
.
基数
1.3 基数算术
➢定义7.9
设, 分别是集合A，B的基数，
那么与的基数积定义为
· = A B
.
基数
1.3 基数算术
✓定理5
设α,β,γ为任意基数，那么 （1）α·β= β·α （2）(α·β)·γ=α·(β·γ) （3）α·(β+γ)=α·β+ α·γ, (β+γ)·α =
（2）称A的基数小于等于B的基数，记为
A ≤ B ，如果有单射f：A→B或满射 f：B→A。
（3）称A的基数小于B的基数，记为
A < B ，如果 A ≤ B , 且 A B 。
.
基数
1.2 基数比较
➢定理7.12
基数相等关系为一等价关系， 即对任何集合A，满足：
（1） A = A 。 （2）若 A = B ，则 B ＝ A 。 （3）若 A = B ， B ＝ C ，
✓定理7.15
对任意集合A，B，如果 A ≤ B ， B ≤ A ，那么 A = B 。
.
基数
称集合A的基数为א0，如果有双射
f：N→A，或双射f：A→N，N为自然数集。 记为 A = א0。
.
基数
1.1 有限集、可数无限集和连续统的基数
➢定义7.6
称集合A的基数为C，如果有 双射f：[0，l]→A，或双射f：A→[0，1]。 记为 A = C。具有基数C的集合常称为
α+γ＜β+δ
.
基数
1.3 基数算术
✓定理3
对任何无限集基数α，有 α＋α＝ α
✓定理4
设, 为基数，为无限集基数， ≤ ， 那么
+ =
.
基数
1.3 基数算术
➢定义7.9
设, 分别是集合A，B的基数，
那么与的基数积定义为
· = A B
.
基数
1.3 基数算术
✓定理5
设α,β,γ为任意基数，那么 （1）α·β= β·α （2）(α·β)·γ=α·(β·γ) （3）α·(β+γ)=α·β+ α·γ, (β+γ)·α =
（2）称A的基数小于等于B的基数，记为
A ≤ B ，如果有单射f：A→B或满射 f：B→A。
（3）称A的基数小于B的基数，记为
A < B ，如果 A ≤ B , 且 A B 。
.
基数
1.2 基数比较
➢定理7.12
基数相等关系为一等价关系， 即对任何集合A，满足：
（1） A = A 。 （2）若 A = B ，则 B ＝ A 。 （3）若 A = B ， B ＝ C ，
✓定理7.15
对任意集合A，B，如果 A ≤ B ， B ≤ A ，那么 A = B 。
.
基数
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学 实数集合与集合的基数
集合的等势
定义:
设A, B为两个集合, 如果存在A到B的双 射函数, 则称A和B等势, 记A≈B. 否则称A和B 不等势, 记(A≈B)或A≈B. 例: N偶=nnNn为偶数. N奇=nnNn为奇数. N2n=xx=2n nN. 则N≈ N偶, N≈ N奇, N≈N2n
x 0 x 1 x 1 2
n
,
n 1, 2 , 3 ,
x 取其他值
定理. (康托尔定理) (1) (N≈R) (2) 对任意的集合A, (A≈P(A)).
§3 有限集合与无限集合
定义:
集合A是有限集合, 当且仅当存在nN, 使nA. 否则, 称A为无限集. 定理1. 不存在与自己的真子集等势的自然数. 推论1. 不存在与自己的真子集等势的有限集合. 推论2. 任何与自己的真子集等势的集合是无限 集合. 推论3. 任何有限集合只与唯一的自然数等势.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
定理 (1) 可数集合的任何子集是可数集. 证: 设A可数, BA, 则BA,即 card B card A 0. (2) 两个可数集的并集和笛卡尔积是可数集. 证: A={a11, a12, …, a1n, …}, B={a21, a22, …, a2n, …}, A∪B={a11, a12, a21, a13, a22,…} (3) 若K是无限集合, 则P(K)是不可数的.
例:
A={a, b, c}, B={{a}, {b}, {c}}. N偶={n | nN∧n为偶数}, N奇={n | nN∧n为奇数}
可数集合
定义1:
对集合K, 如果card K0, 则称K是可 数集合. 定义2: 如果集合K是有限的或与N等势, 则称 K是可数集合.
第六章集合的基数
第六章 集合的基数本章学习目标集合的基数是指集合的元素个数的多少，对有限集合来说，基数就是集合所包 含元素的个数，两个有限集的“大小”相等是指它们包含的元素个数相同。
对于无限 集合，用等势来表示两个无限集的“大小”相等。
教学目的：通过本章学习，读者应该掌握以下内容：1．基数的基本概念2．有限集的概念及运算3．用等势来表示两个无限集的“大小”相等教学重点：1．基数的基本概念2．用等势来表示两个无限集的“大小”相等教学难点：用等势来表示两个无限集的“大小”相等6.1 基数的概念定义 6.1 设A、B 为两个集合，如果存在从 A 到B 的双射函数，则称 A 与B 是等势的，记作A≈B。
例6.1 验证自然数集N 与非负奇数集合 M 是等势的。
证明 因为N 与M 的元素之间可以作一双射函数，即f （n ）=2n+1所以，N ≈M 。
定理 6.1 设A 、B 和 C 为任意的集合，则（1）A ≈A ；（2）若 A ≈B ，则 B ≈A ；（3）若 A ≈B ，B ≈C ，则 A ≈C 。
定义 6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n }到 A 的双射函数，则称集合 A 是有限的；如果集合 A 不是有限的，则称它是无限的。
定理 6.2 自然数集合N 是无限的。
定义 6.3（1） 对于有限集合 A ，称与 A 等势的那个唯一的自然数为 A 的基数，记作:card A ，即card A=n ÛA ≈n（2）自然数集合的基数记作 א 0 （读作阿列夫零），即 card N = א0 （3）实数集合的基数记作א（读作阿列夫），即card R = א 0 例例6.3 证明区间[0，1]与（0，1）基数相同。
证明 设集合A={0，1，，…，，…}，A Í[0，1]定义 f ：[0，1]®（0，1）使得：则，f 是双射函数ï ï ï îï ï ï í ì - Î = ³ + = = A x x x f n n n f f ] 1 , 0 [ , ) ( 1 , 2 1 ) 1( 2 1 ) 0 ( 对 对6.2 可数集和不可数集定义 6.4 与自然数集合等势的任何集合称为可数的。
《集合的基数》课件
集合论与其他学科的交叉研究
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
第六章集合的基数
2012-12-4
17
6.1 可数集和不可数集
1 设A和B是无限集,C是有限集. 下列集合是否一定 是无限集？
(1) A
B
(2) A B
(3) A C (4) A C
Ev , B Od , A B
解 (1) 不一定. 反例 A
(2) 不一定. 反例 (4) 一定是. 否则 ( A C ) C
2012-12-4
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6.1 可数集和不可数集
例6.1.11 Q 是可数集 证作
f : Q Q ,
f (x) x
显然 f 是双射，于是 Q ~ Q 由 N ~ Q 知 N ~ Q , 故 Q 是可数集 又 Q Q { 0 } Q , 由定理6.1.4知 Q 是可数集
x1 , 当 x 为奇数时 2 f (x) x , 当 x 为偶数时 2
2012-12-4 2
6.1 可数集和不可数集
定义6.1.5若有 n N , 使 N n ~ A , 则称A是有限集, 且 称其基数为n , 记为 | A | n ；若A不是有限集, 则称 A为无限集
其中 0
x ij 9 ( i , j N ).
构造 y 0 . y 0 y1 y 2 如下
若 x ii 1 若 x ii 1
1, yi 2,
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6.1 可数集和不可数集
则 y [ 0 ,1 ], 但 y f ( N ). 这就说明了 f 不是满射，故不是双射 由 f 的任意性知N与[0,1]之间不存在双射，故[0,1]不 是可数无限集。
f 作：2 : [ 0 ,1 ] ( 0 ,1 ), 2 f2是单射，所以 | [ 0 ,1 ] | | ( 0 ,1 ) | f2 ( x ) x 1 4
基数和序数PPT课件
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演讲人
目录
01
1基数和序数简介
02
2基数和序数区别
1基数和序数简介
基数： 在数学上，基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两 个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个 人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。 序数： 集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的 数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又 是偏序集、全序集的特殊情形。
谢谢
2基：基数是1，2，3，4……序数是第一，第二，第三，第四等。 2、基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集 合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。序数是在基数的基础上再增 加一层意思。 3、基数和序数的用处不同：基数可以比较大小，可以进行运算。例如：设|A|=a，|B|=β，定义 a+β=|{(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}|。另，a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积;序数，汉语表 示序数的方法较多。通常是在整数前加“第”，如：第一，第二。也有单用基数的。如：五行：一曰水， 二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。
演讲人
目录
01
1基数和序数简介
02
2基数和序数区别
1基数和序数简介
基数： 在数学上，基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两 个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个 人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。 序数： 集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的 数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又 是偏序集、全序集的特殊情形。
谢谢
2基：基数是1，2，3，4……序数是第一，第二，第三，第四等。 2、基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集 合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。序数是在基数的基础上再增 加一层意思。 3、基数和序数的用处不同：基数可以比较大小，可以进行运算。例如：设|A|=a，|B|=β，定义 a+β=|{(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}|。另，a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积;序数，汉语表 示序数的方法较多。通常是在整数前加“第”，如：第一，第二。也有单用基数的。如：五行：一曰水， 二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。
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定理6.11 全体实数集合R是不可数集。
第6章 集合的基数
❖ 6.ห้องสมุดไป่ตู้ 基数的比较
❖ 定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。 ❖ 定义6.5 设A，B为任意两个集合， ❖ （1）若存在f：AB且f是单射函数，则称B优势于A，或称A劣
势 ❖ 于B，记作A≼·B。 ❖ （2）若A≼·B且A与B之间不存在双射，则称B绝对优势于A，或称 ❖ A绝对劣势于B，记作A≺·B。 ❖ 定理6.12 设A，B为两个集合，则A≼·B当且仅当存在CB，使 ❖ 得A≈C。 ❖ 推论 设A，B为两个集合， ❖ （1）若AB，则A≼·B；
❖ {-1，-3，-7，-9，…，-2n +1，…}
❖ {x为素数}，其中xN
定❖理都6.3为A可为可数数集集。的充分必要条件是可以把A排列成
的形式。
A={a1，a2，…，an，…}
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.4 任意无限集，一定包含可数子集。
❖ 证明 设A为无限集，从A中取出一个元素，记为a1，因A为无限 ❖ 集，A-{a1}也为无限集，所以从A-{a1}中取出一个元素，记为a2 ❖ ，而A-{a1，a2}仍为无限集，所以又可以取出a3，重复这个过程 ❖ ，可得到A的可数子集。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.6 可数集的任意无限子集是可数集。
❖ 证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B为A的无限子集， ❖ 将在A中而不在B中的元素删去，同时注意到B是无限集合，则
❖ 有B={ai1，ai2，…，ain，…}，因此，B是可数的。
定理6.7 可数集与有限集的并是可数集。 证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B={b1，b2，…，bm} 为有限集，则A∪B={b1，b2，…，bm，a1，a2，…，an，…}，不 妨设am+i=ai，（i=1，2，…），a1=b1，a2=b2，…，am=bm，则 A∪B={a1，a2，…，an，…}，所以A∪B为可数集。
n
1 2
n
1
2
,对
n
1
f ( x ) x , 对 x [0,1] A
❖ 则，f是双射函数。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定义6.4 与自然数集合等势的任何集合称为可数的。可数集合 的
❖ 基数也用0（א读作阿列夫零）表示。 ❖ 例如，{2，4，6，8，…，2n，…}
定理6.5 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设无限集为A，根据定理6.3，A中包含可数子集B={a1， a2，…，an，…}，设M=A-B，定义A到A-{a1}的函数f，使得f在 M上是恒等函数，即f（x）=x，xM，在B上，使得f（an）=an+1 （n=1，2，3，…）。显然f是双射函数。因此定理得 证。
第6章 集合的基数
❖ 6.3 基数的比较
❖ 定理6.13 设A，B和C为三个集合， ❖ （1）A≼·A； ❖ （2）若A≼·B，B≼·C，则A≼·C。
定理6.14 设A，B为两个集合，则以下三条中恰有一条成立。 （1）card A≺·card B； （2）card B≺·card A； （3）card A = card B。
❖ f（n）=2n+1 ❖ 所以，N≈M。
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定理6.1 设A、B和C为任意的集合，则 ❖ （1）A≈A； ❖ （2）若A≈B，则B≈A； ❖ （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
定义6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n}到A的双射函数，则称 集合A是有限的；如果集合A不是有限的，则称它是无限的。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
❖ 证明 设可数个可数集为：
❖ A1={a11，a12，a13，…，a1n，…} ❖ A2={a21，a22，a23，…，a2n，…} ❖ A3={a31，a32，a33，…，a3n，…}
❖…
❖ 令A=A1∪A2∪A3∪…，对A中的元素排列如下：
❖ 6.1 ❖ 6.2 ❖ 6.3
第6章 集合的基数
基数的概念 可数集和不可数集 基数的比较
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.1 设A、B为两个集合，如果存在从A到B的双射函数， ❖ 则称A与B是等势的，记作A≈B。
❖ 例6.1 验证自然数集N与非负奇数集合M是等势的。 ❖ 证明 因为N与M的元素之间可以作一双射函数，即
素
❖ 的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个 ❖ 数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为：
❖ a11，a21，a12，a31，a22，a13，… ❖ 所以，A的可数的。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。
定理6.10 有理数的全体组成的集合是可数集。
定理6.2 自然数集合N是无限的。
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.3 ❖ （1）对于有限集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基 ❖ 数，记作card A，即
❖ card A=n An ❖ （2）自然数集合的基数记作0（א读作阿列夫零），即
❖ card N = 0א ❖ （3）实数集合的基数记作（א读作阿列夫），即
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
a11
a12
a13
a14
...
a21
a22
a23
a24
...
a31
a32
a33
a34
...
a41
a42
a43
a44
...
...
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。 ❖ 在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元
❖ card R = 0א
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.3 ❖ 例6.3 证明区间[0，1]与（0，1）基数相同。
❖ 证明 设集合
❖ A={0，1，，…，，…}，A[0，1]
❖
定义f：[0，1] （0，1）使得：
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
f f
(0) (1)
第6章 集合的基数
❖ 6.ห้องสมุดไป่ตู้ 基数的比较
❖ 定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。 ❖ 定义6.5 设A，B为任意两个集合， ❖ （1）若存在f：AB且f是单射函数，则称B优势于A，或称A劣
势 ❖ 于B，记作A≼·B。 ❖ （2）若A≼·B且A与B之间不存在双射，则称B绝对优势于A，或称 ❖ A绝对劣势于B，记作A≺·B。 ❖ 定理6.12 设A，B为两个集合，则A≼·B当且仅当存在CB，使 ❖ 得A≈C。 ❖ 推论 设A，B为两个集合， ❖ （1）若AB，则A≼·B；
❖ {-1，-3，-7，-9，…，-2n +1，…}
❖ {x为素数}，其中xN
定❖理都6.3为A可为可数数集集。的充分必要条件是可以把A排列成
的形式。
A={a1，a2，…，an，…}
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.4 任意无限集，一定包含可数子集。
❖ 证明 设A为无限集，从A中取出一个元素，记为a1，因A为无限 ❖ 集，A-{a1}也为无限集，所以从A-{a1}中取出一个元素，记为a2 ❖ ，而A-{a1，a2}仍为无限集，所以又可以取出a3，重复这个过程 ❖ ，可得到A的可数子集。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.6 可数集的任意无限子集是可数集。
❖ 证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B为A的无限子集， ❖ 将在A中而不在B中的元素删去，同时注意到B是无限集合，则
❖ 有B={ai1，ai2，…，ain，…}，因此，B是可数的。
定理6.7 可数集与有限集的并是可数集。 证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B={b1，b2，…，bm} 为有限集，则A∪B={b1，b2，…，bm，a1，a2，…，an，…}，不 妨设am+i=ai，（i=1，2，…），a1=b1，a2=b2，…，am=bm，则 A∪B={a1，a2，…，an，…}，所以A∪B为可数集。
n
1 2
n
1
2
,对
n
1
f ( x ) x , 对 x [0,1] A
❖ 则，f是双射函数。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定义6.4 与自然数集合等势的任何集合称为可数的。可数集合 的
❖ 基数也用0（א读作阿列夫零）表示。 ❖ 例如，{2，4，6，8，…，2n，…}
定理6.5 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设无限集为A，根据定理6.3，A中包含可数子集B={a1， a2，…，an，…}，设M=A-B，定义A到A-{a1}的函数f，使得f在 M上是恒等函数，即f（x）=x，xM，在B上，使得f（an）=an+1 （n=1，2，3，…）。显然f是双射函数。因此定理得 证。
第6章 集合的基数
❖ 6.3 基数的比较
❖ 定理6.13 设A，B和C为三个集合， ❖ （1）A≼·A； ❖ （2）若A≼·B，B≼·C，则A≼·C。
定理6.14 设A，B为两个集合，则以下三条中恰有一条成立。 （1）card A≺·card B； （2）card B≺·card A； （3）card A = card B。
❖ f（n）=2n+1 ❖ 所以，N≈M。
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定理6.1 设A、B和C为任意的集合，则 ❖ （1）A≈A； ❖ （2）若A≈B，则B≈A； ❖ （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
定义6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n}到A的双射函数，则称 集合A是有限的；如果集合A不是有限的，则称它是无限的。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
❖ 证明 设可数个可数集为：
❖ A1={a11，a12，a13，…，a1n，…} ❖ A2={a21，a22，a23，…，a2n，…} ❖ A3={a31，a32，a33，…，a3n，…}
❖…
❖ 令A=A1∪A2∪A3∪…，对A中的元素排列如下：
❖ 6.1 ❖ 6.2 ❖ 6.3
第6章 集合的基数
基数的概念 可数集和不可数集 基数的比较
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.1 设A、B为两个集合，如果存在从A到B的双射函数， ❖ 则称A与B是等势的，记作A≈B。
❖ 例6.1 验证自然数集N与非负奇数集合M是等势的。 ❖ 证明 因为N与M的元素之间可以作一双射函数，即
素
❖ 的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个 ❖ 数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为：
❖ a11，a21，a12，a31，a22，a13，… ❖ 所以，A的可数的。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。
定理6.10 有理数的全体组成的集合是可数集。
定理6.2 自然数集合N是无限的。
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.3 ❖ （1）对于有限集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基 ❖ 数，记作card A，即
❖ card A=n An ❖ （2）自然数集合的基数记作0（א读作阿列夫零），即
❖ card N = 0א ❖ （3）实数集合的基数记作（א读作阿列夫），即
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
a11
a12
a13
a14
...
a21
a22
a23
a24
...
a31
a32
a33
a34
...
a41
a42
a43
a44
...
...
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。 ❖ 在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元
❖ card R = 0א
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.3 ❖ 例6.3 证明区间[0，1]与（0，1）基数相同。
❖ 证明 设集合
❖ A={0，1，，…，，…}，A[0，1]
❖
定义f：[0，1] （0，1）使得：
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
f f
(0) (1)