离散数学无穷集合及基数
12/29
集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
正是由于这一发现，使得他甚至猜想R也是可数 集，并且着手去证明它。他没有得到预期的结果， 却又作出了更伟大的发现。 Cantor利用它著名的对角线法，证明了[0,1]是不 可数集，在这个基础上证明了R也是不可数的，甚至 于Rn也是不可数的。 注：(1)如果集合X不是可数集且X不是有限集，则 称X为不可数集。 (2)可数集与不可数集是对无穷集合而言的，有 限集既不称作不可数集合也不称作可数集。
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集合与图论
伽利略“悖论”
但另一方面，对于N+中的每个元素都可以在N(2) 中找到一个元素与之对应，这样看来，N(2)中的元素 不比N+中的元素要少。
那么到底N+与N(2)中所含元素的个数是否一样呢 ？如果是，那么就有 然而按照传统，部分怎么能等于全体呢？这就 是伽利略“悖论”，它不仅困惑了伽利略，还使许多 数学家亦束手无策。
集合与图论
伽利略“悖论”
1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面 的问题： N+={1,2,3,…,n,…}与N(2)={1,4,9,…,n2,…} 这两个集合，哪一个的元素更多一些？ 一方面，凡是N(2)的元素都是N+的元素，也就 是说N(2)⊆N+，而且由于2，3，5等元素都不在N(2) 中，所以N(2)⊂N+。这样看来，N+中的元素要比 N(2)中的元素要多。
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部分=整体？
集合与图论
一一对利略”悖论”。 在1874年到1897年间完全解决了这个问题。 Cantor详细地分析了断定有限集合的元素多少 的方法，即采用数数的方法。他认为“数数的过程” 就是作“一一对应的过程”。 Cantor认为这种“一一对应”的方法不仅适用 于有限集，也适用于无限集。 他牢牢地抓住这个原则，抛弃了部分必定小于 全体的教条，经历了大约23年之后，他才冲破了传 统观念的束缚，革命性的解决了伽利略“悖论”。 Cantor认为在N+与N(2)之间存在着一一对应(即 双射)，因此N+与N(2)的元素个数是相等的。
6/29
集合与图论
一一对应与可数集
显然，N也是可数的。 Cantor以此为出发点，对无限集合进行考察，他 发现下面的集合都是可数集： (1) ODD = {x| xN，x是奇数}≈N F：NODD F(n)=2n+1 （F： N+ODD F(n)=2n-1） (2) EVEN = {x| xN，x是偶数}≈N F：NEVEN F(n)=2n （F： N+EVEN F(n)=2(n-1)） (3) N(n)={x|x=mn，m，nN }≈N F：NN(n) F(m)= mn
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集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
每个ai写成十进制无限小数形式排成下表 a1=0.a11a12a13a14...a1n... a2=0.a21a22a23a24...a2n... a3=0.a31a32a33a34...a3n... 其中aij{0,1,2,...,9} ....................... an=0.an1an2an3an4...ann... .......................
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集合与图论
一一对应与可数集
定义4.1 设A，B是集合，若存在着从A到B的 双射，就称A和B等势(或对等)，记作A≈B。
Cantor把自然数集N+称为可数集(或可列集)， 这是因为它的元素可以一个一个的数出来。 凡是与自然数集N+等势的集合，它们的元素通 过一一对应关系，也都可以一个一个的数出来，因 此： 定义4.2 凡是与自然数集N+等势的集合，称为 可数集(或可列集)。
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集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
定理4.1 区间[0,1]中的所有实数构成的集合是不 可数集。
证 区间[0,1]中每个实数，都可以写成十进制无限 位小数形式0.a1a2a3a4...，其中每位ai{0,1,2,...,9}。
约定每个有限位小数后均补以无限多0。 假定定理不成立，于是[0,1]中全体实数可排成一 个无穷序列:a1,a2,a3,...,an,...。
集合与图论
第4节 无穷集合及其基数
主要内容：
• • • • • 可数集 不可数集 基数及其比较 康托-伯恩斯坦定理 悖论与公理化集合论
1/29
集合与图论
什么是集合的基数？
集合的基数亦称作集合的势。 粗略的说，就是一个集合的“规模”，它的“大 小”，或者更确切地说，它有多少个元素。 通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的 量。集合的势越大，所含的元素越多。 很明显，如果集合中只有有限个元素，我们只要 数一数它有多少个可以了，这时集合的基数就是其中 所含元素的个数。 值得注意的是无限集，它所含的元素有无穷多 个， 这时怎样去数？ 为了解决这个问题，我们首先从伽利略“悖论” 2/29 说起。
在这种想法之下，Cantor得到了一个令人惊异 的发现：Q≈N。
与 N的一一对应。
并且利用他独创的“折线法”，巧妙的建立了Q
为建立N到Q的双射函数，先把所有形式为p/q (p，q为整数且q>0)的数排成一张表。显然所有的有 理数都在这张表内。 10/29
集合与图论
一一对应与可数集
11/29
集合与图论
7/29
集合与图论 (4) N×N≈N
一一对应与可数集
8/29
集合与图论 (5) Z≈N
一一对应与可数集
F: ZN F(n)=2n (n≥0)F(n)=2|n|-1 (n<0)
(6) Z×Z≈N
9/29
集合与图论
一一对应与可数集
Cantor在解决了Z×Z≈N后，用类似的思想解 决了Zn≈N。
一一对应与可数集
注意：以0/1作为第一个数，按照箭头规定 的顺序可以“数遍”表中所有的数。但是这个计数 过程并没有建立N到Q的双射，因为同一个有理数 可能被多次数到。例如1/1，2/2，3/3，…都是有理 数1。 为此我们规定，在计数过程中必须跳过第二 次以及以后各次所遇到的同一个有理数。如1/1被 计数，那么2/2，3/3，…都要被跳过。表中数p/q上 方的方括号内标明了这个有理数所对应的计数。 这样就可以定义双射函数f：N→Q，其中f(n) 是[n]下方的有理数。从而证明了N≈Q。
集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
正是由于这一发现，使得他甚至猜想R也是可数 集，并且着手去证明它。他没有得到预期的结果， 却又作出了更伟大的发现。 Cantor利用它著名的对角线法，证明了[0,1]是不 可数集，在这个基础上证明了R也是不可数的，甚至 于Rn也是不可数的。 注：(1)如果集合X不是可数集且X不是有限集，则 称X为不可数集。 (2)可数集与不可数集是对无穷集合而言的，有 限集既不称作不可数集合也不称作可数集。
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集合与图论
伽利略“悖论”
但另一方面，对于N+中的每个元素都可以在N(2) 中找到一个元素与之对应，这样看来，N(2)中的元素 不比N+中的元素要少。
那么到底N+与N(2)中所含元素的个数是否一样呢 ？如果是，那么就有 然而按照传统，部分怎么能等于全体呢？这就 是伽利略“悖论”，它不仅困惑了伽利略，还使许多 数学家亦束手无策。
集合与图论
伽利略“悖论”
1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面 的问题： N+={1,2,3,…,n,…}与N(2)={1,4,9,…,n2,…} 这两个集合，哪一个的元素更多一些？ 一方面，凡是N(2)的元素都是N+的元素，也就 是说N(2)⊆N+，而且由于2，3，5等元素都不在N(2) 中，所以N(2)⊂N+。这样看来，N+中的元素要比 N(2)中的元素要多。
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部分=整体？
集合与图论
一一对利略”悖论”。 在1874年到1897年间完全解决了这个问题。 Cantor详细地分析了断定有限集合的元素多少 的方法，即采用数数的方法。他认为“数数的过程” 就是作“一一对应的过程”。 Cantor认为这种“一一对应”的方法不仅适用 于有限集，也适用于无限集。 他牢牢地抓住这个原则，抛弃了部分必定小于 全体的教条，经历了大约23年之后，他才冲破了传 统观念的束缚，革命性的解决了伽利略“悖论”。 Cantor认为在N+与N(2)之间存在着一一对应(即 双射)，因此N+与N(2)的元素个数是相等的。
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集合与图论
一一对应与可数集
显然，N也是可数的。 Cantor以此为出发点，对无限集合进行考察，他 发现下面的集合都是可数集： (1) ODD = {x| xN，x是奇数}≈N F：NODD F(n)=2n+1 （F： N+ODD F(n)=2n-1） (2) EVEN = {x| xN，x是偶数}≈N F：NEVEN F(n)=2n （F： N+EVEN F(n)=2(n-1)） (3) N(n)={x|x=mn，m，nN }≈N F：NN(n) F(m)= mn
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集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
每个ai写成十进制无限小数形式排成下表 a1=0.a11a12a13a14...a1n... a2=0.a21a22a23a24...a2n... a3=0.a31a32a33a34...a3n... 其中aij{0,1,2,...,9} ....................... an=0.an1an2an3an4...ann... .......................
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集合与图论
一一对应与可数集
定义4.1 设A，B是集合，若存在着从A到B的 双射，就称A和B等势(或对等)，记作A≈B。
Cantor把自然数集N+称为可数集(或可列集)， 这是因为它的元素可以一个一个的数出来。 凡是与自然数集N+等势的集合，它们的元素通 过一一对应关系，也都可以一个一个的数出来，因 此： 定义4.2 凡是与自然数集N+等势的集合，称为 可数集(或可列集)。
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集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
定理4.1 区间[0,1]中的所有实数构成的集合是不 可数集。
证 区间[0,1]中每个实数，都可以写成十进制无限 位小数形式0.a1a2a3a4...，其中每位ai{0,1,2,...,9}。
约定每个有限位小数后均补以无限多0。 假定定理不成立，于是[0,1]中全体实数可排成一 个无穷序列:a1,a2,a3,...,an,...。
集合与图论
第4节 无穷集合及其基数
主要内容：
• • • • • 可数集 不可数集 基数及其比较 康托-伯恩斯坦定理 悖论与公理化集合论
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集合与图论
什么是集合的基数？
集合的基数亦称作集合的势。 粗略的说，就是一个集合的“规模”，它的“大 小”，或者更确切地说，它有多少个元素。 通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的 量。集合的势越大，所含的元素越多。 很明显，如果集合中只有有限个元素，我们只要 数一数它有多少个可以了，这时集合的基数就是其中 所含元素的个数。 值得注意的是无限集，它所含的元素有无穷多 个， 这时怎样去数？ 为了解决这个问题，我们首先从伽利略“悖论” 2/29 说起。
在这种想法之下，Cantor得到了一个令人惊异 的发现：Q≈N。
与 N的一一对应。
并且利用他独创的“折线法”，巧妙的建立了Q
为建立N到Q的双射函数，先把所有形式为p/q (p，q为整数且q>0)的数排成一张表。显然所有的有 理数都在这张表内。 10/29
集合与图论
一一对应与可数集
11/29
集合与图论
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集合与图论 (4) N×N≈N
一一对应与可数集
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集合与图论 (5) Z≈N
一一对应与可数集
F: ZN F(n)=2n (n≥0)F(n)=2|n|-1 (n<0)
(6) Z×Z≈N
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集合与图论
一一对应与可数集
Cantor在解决了Z×Z≈N后，用类似的思想解 决了Zn≈N。
一一对应与可数集
注意：以0/1作为第一个数，按照箭头规定 的顺序可以“数遍”表中所有的数。但是这个计数 过程并没有建立N到Q的双射，因为同一个有理数 可能被多次数到。例如1/1，2/2，3/3，…都是有理 数1。 为此我们规定，在计数过程中必须跳过第二 次以及以后各次所遇到的同一个有理数。如1/1被 计数，那么2/2，3/3，…都要被跳过。表中数p/q上 方的方括号内标明了这个有理数所对应的计数。 这样就可以定义双射函数f：N→Q，其中f(n) 是[n]下方的有理数。从而证明了N≈Q。
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离散数学：第10讲 基数
计数(counting)问题
设|A|=n, |B|=m, 问AB中有多少单射,满射, 双射?
n<m时, AB中无满射和双射, 单射个数为
m(m-1)…(m-n+1)
n=m时, AB中双射个数为 n!
n>m时, AB中无单射和双射, 满射个数为
m
!
n m
2020/12/29
基数
1
有穷集计数定理
设X、Y是有穷集，则：
若存在单射f:X→Y，则|X|≤|Y| ； 若存在满射f:X→Y，则|X|≥|Y| ； 若存在双射f:X→Y，则|X|=|Y| 。
无穷集是否具有同样的性质?
2020/12/29
基数
2
有穷集, 无穷集
有穷集(finite set): 不能与自身真子集建 立双射的集合
无穷集(infinite set) : 可以与自身真子集 建立双射的集合
2020/12/29
基数
7
自然数集合N是无穷集
定理：自然数集合N是无穷集.
证：nN，任取f是从{0,1,...,n-1}到N 的函数。设k=1+max{f(0),f(1),...,f(n-1)}， 那么k∈N，但对每一个x∈{0,1,...,n-1}， 有f(x)≠k。因此f不能是满射函数，即f也 不是双射函数。因为n和f都是任意的，故 N是无穷集。
2020/12/29
基数
8
无穷集间的映射
函数f: N→N，f(n)=2n
单射但非满射
函数f: N→N，f(2n)=n， f(2n+1)=n
满射但非单射
有穷与无穷的区别！
2020/12/29
基数
9
无穷之迷
设|A|=n, |B|=m, 问AB中有多少单射,满射, 双射?
n<m时, AB中无满射和双射, 单射个数为
m(m-1)…(m-n+1)
n=m时, AB中双射个数为 n!
n>m时, AB中无单射和双射, 满射个数为
m
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n m
2020/12/29
基数
1
有穷集计数定理
设X、Y是有穷集，则：
若存在单射f:X→Y，则|X|≤|Y| ； 若存在满射f:X→Y，则|X|≥|Y| ； 若存在双射f:X→Y，则|X|=|Y| 。
无穷集是否具有同样的性质?
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基数
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有穷集, 无穷集
有穷集(finite set): 不能与自身真子集建 立双射的集合
无穷集(infinite set) : 可以与自身真子集 建立双射的集合
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基数
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自然数集合N是无穷集
定理：自然数集合N是无穷集.
证：nN，任取f是从{0,1,...,n-1}到N 的函数。设k=1+max{f(0),f(1),...,f(n-1)}， 那么k∈N，但对每一个x∈{0,1,...,n-1}， 有f(x)≠k。因此f不能是满射函数，即f也 不是双射函数。因为n和f都是任意的，故 N是无穷集。
2020/12/29
基数
8
无穷集间的映射
函数f: N→N，f(n)=2n
单射但非满射
函数f: N→N，f(2n)=n， f(2n+1)=n
满射但非单射
有穷与无穷的区别！
2020/12/29
基数
9
无穷之迷
离散数学 实数集合与集合的基数
...
... ...
-3/1
-3/2 -3/3
-2/1
-2/2 -2/3
-1/1
-1/2 -1/3
0/1
0/2 0/3
1/1
1/2 1/3
2/1
2/2 2/3
3/1
3/2 3/3
...
... ...
...
-3/4
-2/4
-1/4
0/4
1/4
2/4
3/4
...
可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
...
...
...
...
...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
.
1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
... ...
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可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
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1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
集合论 第4章 无穷集合及其基数
第四章 无穷集合及其基数在第一章中介绍了有限集合及其基数的概念，在这一章中，我们将利用映射，特别是利用一一对应作为工具，建立可数集和连续统集的概念，并研究它们的一些性质，从而得出无穷集合的特征性质（无穷的本质）；然后把有穷集合元素个数的概念推广到无穷集合上去，建立起无穷集合基数的概念；接着建立基数的比较以及基数的算术运算，从而使无穷集合也有了“大小”与“多少”之分；最后，介绍一下集合的一些悖论。
§1 可 数 集N ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩当作标准集有限（穷）－最简单的集合自然数集合－最简单的－无限（穷）无穷不可数集1.1 对等定义1 设X,Y 是两个集合，若X 与Y 之间有一个一一对应，则称 X 与Y 对等，记为X ～Y 。
“～”这是一个关系， 而且是一个等价关系，于是就可以把集合分成几类。
1.2可数集定义定义2 凡与自然数集合N ＝｛1，2，3，…，n ，……｝对等的集合都称为无穷可数集合，简称可数（或可列集、可列）。
说明：(1) 以后无特殊说明，N 总是代表自然数集。
2.“无穷”与“无限”称为同义词，不加区分。
类似的，“有穷”与“有限”也是一样。
定义3 （等价定义）若从自然数集N 到集合X 存在一个一一对应f ：N→X，则称集合X 是无穷可数集合，或可数。
定义4 若X 有限或无穷，则称X 至多可数。
若X 不是可数集且也不是有限集，则称X 为不可数的无穷集，或不可数集。
（但是，在科学上很少有用否定词下定义的）说明：（1）有限集合既不是可数集也不是不可数集 （2）可数与不可数只是对无穷集合而言的。
例题例1．所有整数形成的集合是一个可数集。
12345670112233↓↓↓↓↓↓↓↓-+-+-+01122331234567---↓↓↓↓↓↓↓↓22:,()22n f N I f n n n ⎧⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭→=⎨⎪-⎪⎩不能整除；能整除。
210:,()2 0m m f I N f m m m +≥⎧⎪→=⎨⎪⎩当时当＜时显然，f 是一一对应。
离散数学结构 第9章 集合基数复习
第九章集合基数主要内容1. 集合的等势与优势2. 集合的基数学习要求1. 掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的性质（自反性，对称性，传递性）2. 掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内容及证明方法3. 掌握：自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质4. 掌握：集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质9.1 集合的等势与优势一．集合的等势通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。
集合的势越大，所含的元素越多。
定义9.1设A，B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，就称A和B是等势的，记作A≈B。
如果A不与B等势，则记作A B。
下面给出一些集合等势的例子。
例9.1 (1) Z≈N。
回顾上一章例8.6(3)，令f：Z→N，则f是Z到N的双射函数。
从而证明了Z≈N。
(2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数，只需把中所有的元素排成一个有序图形，如图9.1所示。
N×N中的元素恰好是坐标平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有整数坐标的点。
如果能够找到“数遍”这些点的方法，这个计数过程就是建立N×N到N的双射函数的过程。
按照图中箭头所标明的顺序，从<0，0>开始数起，依次得到下面的序列：<0，0>，<0，1>，<1，0>，<0，2>，<1，1>，<2，0>，…↓↓↓↓↓↓0123 4 5设<m，n>是图上的一个点，并且它所对应的自然数是k。
考察m，n，k之间的关系。
首先计数<m，n>点所在斜线下方的平面上所有的点数，是1+2+…+(m+n)=然后计数<m，n>所在的斜线上按照箭头标明的顺序位于<m，n>点之前的点数，是m.因此<m，n>点是第+m+1个点。
这就得到k=+m根据上面的分析，不难给出N×N到N的双射函数f，即f：N×N→Nf(<m，n>)=+m(3) N≈Q。
离散数学 第五章 无限集合
那么Fk包括所有这样的函数, 其象是包含在B的枚举的前k个元素
组成的集合中; |Fk|=kn。 因为A是有限的, 对每一函数f:A→B存在某
m∈N, 如果取k＞m, 那么f∈Fk; 所以
。 但每一集合Fk
是有限的因而BA是可数的。证毕。
5.1.3 基数c
不是所有无限集都是可数无限的, 下一定理说明需要新的无 限集基数。
。
(b) 设Σ={a,b}, S是Σ上以a带头的有限串集合, 考虑S的基数。 因为
f: Σ*→S, f(x)=ax
是一个双射函数。所以, |S|=|Σ*|=
。
第一个定理叫做三歧性定律。
定理5.2-2(Zermelo) 成立:
A和B是集合,那么下述情况恰有一个
N所
属等价类的名称。
(ii) 要证明一个集合S有基数α, 只需选基数为α的任意集合S′, 证明从S到S′或从S′到S存在一双射函数。选取集合S′的原则是使 证明尽可能容易。
例1 (a) 设E是正偶数集合, 考虑E的基数。因为
f: I+→E, f(x)=2x
是从I+到E的双射函数, 所以, |E|=|I+|=
(b) ｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。这两个集合的不同仅在于区间 的两端点; 为了构造从［0,1］到(0,1)的一个双射函数, 我们必须 在(0,1)中找出0和1的象而保持映射是满射的。定义集合A是
, 定义映射f如下:
图 5.1-4
(c) ｜R｜=c。 我们定义一个从(0,1)到R的双射函数如下:
是Ai的枚举; 如果Ai是有限的我们用无限重复枚举。如果Ai= ,
我们置第i行等于第i-1行。这样, 数组包含所有A的元素而无其它
元素。A元素的一个枚举由图5.1-3中的有向路径指定。 从定理
《离散数学》 第六章 集合的基数
6.2.1 可数集
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
称 X 绝对劣势于 Y ，记作 X≺· Y ，同样，我们也称 X 的基数小于 Y 的
基数，记作cardX≺· cardY。
6.3 基数的比较
定理 6.3.1 X≈Z。 设 X 、 Y 为两个集合，则 X≼· Y 当且仅当存在 ZY ，使得
证明 先证必要性。因为X≼· Y，所以必存在函数f：X→Y。现令fˊ： X→ranf ，则显然 fˊ是双射函数，所以 X≈ranf 。因此可取 Z = ranf Y。 再证充分性。设ZY，且X≈Z，则必存在双射函数g：X→Z。现构造 一函数gˊ：X→Y，其中对于X中任意元素x，都有gˊ（x）=g （x），则显然gˊ是单射函数，所以X≼· Y。 推论 设X、Y为两个集合， ⑴ 若XY，则X≼· Y；
均为可数集。
定理6.2.1
集合X为可数集的充分必要条件是可以排列成
X={x1，x2，…，xn，…}
的形式。
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.2 任一无限集必含有可数子集。
证明 设X为无限集合，现从X中任意取出一个元素，记为x1，因为 X是无限的，显然X－{x1}还是无限集合，然后从X－{x1}中再取出 一元素，记为x2，而X－{x1，x2}还是无限的，所以又可再取一元 素x3，如此重复这一过程，就可得到X的可数子集。 定理6.2.3 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设X为无限集合，根据定理6.4，X必含有可数子集A＝{a1， a2， …， an， …}，设B=X－A，定义函数f：X→X－{a1}，使得f （an）=an+1 （n=1， 2，…），而对于任意元素b∈B，有f（b） =b，显然f是双射函数，定理得证
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
称 X 绝对劣势于 Y ，记作 X≺· Y ，同样，我们也称 X 的基数小于 Y 的
基数，记作cardX≺· cardY。
6.3 基数的比较
定理 6.3.1 X≈Z。 设 X 、 Y 为两个集合，则 X≼· Y 当且仅当存在 ZY ，使得
证明 先证必要性。因为X≼· Y，所以必存在函数f：X→Y。现令fˊ： X→ranf ，则显然 fˊ是双射函数，所以 X≈ranf 。因此可取 Z = ranf Y。 再证充分性。设ZY，且X≈Z，则必存在双射函数g：X→Z。现构造 一函数gˊ：X→Y，其中对于X中任意元素x，都有gˊ（x）=g （x），则显然gˊ是单射函数，所以X≼· Y。 推论 设X、Y为两个集合， ⑴ 若XY，则X≼· Y；
均为可数集。
定理6.2.1
集合X为可数集的充分必要条件是可以排列成
X={x1，x2，…，xn，…}
的形式。
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.2 任一无限集必含有可数子集。
证明 设X为无限集合，现从X中任意取出一个元素，记为x1，因为 X是无限的，显然X－{x1}还是无限集合，然后从X－{x1}中再取出 一元素，记为x2，而X－{x1，x2}还是无限的，所以又可再取一元 素x3，如此重复这一过程，就可得到X的可数子集。 定理6.2.3 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设X为无限集合，根据定理6.4，X必含有可数子集A＝{a1， a2， …， an， …}，设B=X－A，定义函数f：X→X－{a1}，使得f （an）=an+1 （n=1， 2，…），而对于任意元素b∈B，有f（b） =b，显然f是双射函数，定理得证
离散数学
性质：设º 是A上的一个n元运算，S1、S2 A，º 对 S1、S2均封闭，an S1∩S2, ∵ a1,a2…an S1 且运算º在S1上封闭 ∴ º a1,a2…an ） S1，又∵ a1,a2…an S2 且 （ 运算º在S2上封闭 ∴ º a1,a2…an ） S2 （ º a1,a2…an) S1∩S2， ( ∴ º对S1∩S2是封闭的 三、二元运算的若干性质 (设º 和*是A上的两个二元运算) 1 可交换性：a1º a2=a2º (N上的加、乘运算) a1 2 可结合性: (a1º a3=a1º a3) a2)º (a2º (N上的加、乘运算)
14
3 可数集的基数≤任何无限集的基数 ∵任何一个无限集均包含一个可数集
∴无限集的基数中的最小者是可数集 4 可数集的基数<不可数集的基数
即< 0א
1א
对任何集合A，有|A|<|2A| ∴不存在最大基的集合，即无论一个集合的基 数多么大，一定有一个更大基数的集合存在。
15
第四章 代数系统
13
1 定义：设A ’ B(不等势)，但A与B的一个 真子集等势，则称A的基数小于B的基数，记为 #A<#B Ne={2,4,6,…} , N={1,2,3,…} NeN #Ne<#N (×) 2 性质：若A1A，B1B，AB1，BA1， 则AB 证明： ∵ AB1，而B1B ∴|A|≤|B| 又∵ BA1 ，且A1A ∴|B| ≤|A| ∴|A|=|B| ∴ AB
4 集合A、B均可数， A∩B= ，则A∪B可数 (正整数∪负整数)
6
证明：设A={a1, a2, a3, …}, B={b1, b2, b3, …} ∵ A∩B= ∴ A∪B= {a1,b1,a2, b2, a3, b3,…} ∵ A∪B 可排成一个序列 ∴ A∪B可数
【精品】离散数学(集合、关系、函数、集合的基数)PPT课件
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算
定理1.3
设A，B，C是三个集合，则下列分配律成立： A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）
定理1.4 设A，B为两个集合，则下列关系式成立： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A
这个定理称为吸收律，读者可以用文氏图验证。
A＝B，C＝D
第1章 集合
1.2 集合之间的关系
定理1.1 集合A和集合B相等的充分必要条件是A⊆B且B⊇A。 定义1.3 如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就 是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作
A⊂B 或 B⊃A 例如：集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，2，3｝，那么A是B的真子集
A∩B＝｛1，3，5｝
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 集合的交运算的文氏图表示，见图3.2，其中阴影部分就是A∩B。
U
A
B
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 由集合交运算的定义可知，交运算有以下性质： （1）幂等律：A∩A＝A （2）同一律：A∩U＝A （3）零律：A∩＝ （4）结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （5）交换律：A∩的运算
1.3.2 集合的交运算 定义1.7 任意两个集合A、B的交记作A∩B，它也是一个集合， 由所有既属于A又属于B的元素构成，即
A∩B ＝｛x | x属于A且x属于B｝ 例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛b，c，d，e｝，则
A∩B＝｛b，c｝ 又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则
定义1.4 若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨论 问题的完全集，简称全集。
离散数学课件第5章 无限集合
(a ) | I + |= S \
S 0
函数f: N→I+, f(x)=x+1是一双射函数。
S (b) | I |= S \ 0
x 2 函数f: N→I , f ( x ) = − x + 1 2
是一双射函数。
当x是偶数时 当x是奇数时
第五章 无 限 集 合 定义5.1-4 定义 如果存在从N的初始段到集合A的双射函数, 则称
3( n + 1), 如果n是偶数. f (n) = 3( n − 1), 如果n是奇数.
第五章 无 限 集 合 定理5.1-3 一个集合A是可数的当且仅当存在A的枚举。 定理 证 必要性。 如果A是可数的, 那么根据定义, 存在一从N的初 始段到A的双射函数, 这证明了存在A的枚举。 充分性。我们考虑两种情况: 情况1 如果A是有限的, 那么根据有限集合的定义和可数集合的 情况 定义, A是可数的。 情况2 情况 假设A不是有限的而f是A的枚举。枚举f必须以N的全集 作为它的前域。如果f是双射函数, 那么根据可数无限集合的定义, A 的基数是 S 而A是可数的。 如果f不是双射函数。利用下述办 | A |= S \ 0 法, 根据枚举f构造一个从N到A的双射函数g, 以证明A是可数的。
第五章 无 限 集 合 定理5.1-6 如果A是有限集合, B是可数集合, 那么BA是可数的。 定理 证 若A是空集, 则|BA|=1, 是可数的; 若A非空, 而B有限(包括是? 空集), 则|BA|=|B||A|有限, 因而是可数的。剩下只需证明｜A｜=n＞0, 且B是可数无限的情况。设B的无重复枚举函数是g: N→B, 对每一 正整数k∈N定义集合Fk如下:
第五章 无 限 Βιβλιοθήκη 合5.1 可数和不可数集合
离散数学第四章
26
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
27
说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
28
由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
27
说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
28
由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。