第9章集合的基数
离散数学课件-9-集合的基数
第九章 §1
集合的基数
集合的等势与优势
定义 设 A,B 是两个集合，若存在从 A 到 B 的 双射函数，则称 A 与 B 等势，记为 A≈B。 例 ① Z ≈ N，f：Z→N
⎧ 2 x, x ≥ 0 f ( x) = ⎨ ⎩ −2 x − 1, x < 0
5
定义 设 A 是有穷集，与 A 等势的唯一自然数 称为 A 的基数，记为 card A，或 |A|；自然数集的基 数记为ℵ0；实数集的基数记为ℵ 。 规定：① card A=card B ⇔ A≈B ② card A≤card B ⇔ A ⋅ B ③ card A<card B ⇔ card A≤card B∧card A≠card B 此外，cardN=ℵ0，card R=ℵ，ℵ0< ℵ 0,1,2, " ,n, ", ℵ0, ℵ,"（从小到大排列） ℵ0 是最小的无穷基数 定义 设 A 是集合， 若 card A≤ ℵ0， 则称 A 为可 数集（或可列集） 。 性质：① ② ③ ④ ⑤ 可数集的子集是可数集 两个可数集的并是可数集 两个可数集的笛卡尔积是可数集 可数个可数集的并是可数集 无穷集的幂集不是可数集
6
3
⋅{0,1}N 。
g : {0,1}N → [0,1), g ( t x ) = 0. x1 x2 "
这里 x = 0. x1x2"是 x 的十进制表示。 因为 g(t)是单射，所以{0,1}N
⋅[0,1) 。
§2
集合的基数
定义 设 A 是集合，称 A∪{A}为 A 的后继，记 为 A+。 例 ∅+={∅},∅++={∅,∅+},∅+++={∅,∅+,∅++}," 性质：前面的集合都是后边集合的元素 前面的集合都是后边集合的子集 自然数的定义： 1° 0=∅，1=0+={0}，2=1+={0,1}，" n=(n-1)+={0,1,2,",n-1},"
09集合的基数
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等势集合的实例(1)
（1）Z≈N。
2x x0 f:Z N, f(x) 2x1 x0 则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
即P(A) 中≈存在元素B，在A中找不到原像。
所以，g不是满射的。
说明所以，根综据合A这前个面定的P理结(A可果)。以，知可道知NN
≈ ≈
P(N)。 {0,1}N 。
2020/3/17 实际上，P(N)，{0,1}N和R都是比N“更大”的集合。
2
则 f 是(0,1)到R的双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
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等势集合的实例(5)
（5）[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开
区间0和闭1 区2 1间。2 1 2
1
23
1 2n
1 2
1 1 1 1
2 2 23 24 25
…
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f(n1)…=0.a1(n≈)a2(n)…
康托定理
• 假设A≈P(A)，则必有函数 f : A→P(A)是双 射函数。 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧x f (x)} 可知 B∈P(A)。 于是存在唯一一个元素b∈A，使得 f(b)＝B 。 若b∈B，则由B的定义知，b f (b)，即 bB，矛盾。
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等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数 f:N N N , f( m ,n ) ( m n 1 ) ( m n ) m
集合的基数与拓扑及其应用
集合的基数与拓扑及其应用第28卷第2期2oio~4月龙岩学院JOURNALOFLoNGANUNIvERSⅡYV01.28No.2Anril2010集合的基数与拓扑及其应用张越,黄龙光(集美大学理学院福建厦门361021)摘要:利用拓扑空问所具有性质刻画其子空间的基数,给出几种拓扑空间全集的基数与其拓扑结构的关系,并列举点集拓扑在分析学中的若干应用.关键词:拓扑;基数;连通;可数;同胚中图分类号:Ol89.11文献标识码:A文章编号:1673—4629(2010)02—0015—04众所周知,关于描述集合元素"个数"的基数的概念在集合论中占有重要地位,要确定一个无限集的基数并不是一件容易的事情,熟知的是以自然数集』,r和实数集R作为表征的可数集与不可数集为代表的两类型无限量.【I】对任意一集合我们所关心的是能否在此集合与自然数集』,r或实数集R之间建立一种一一对应的关系,以此作为衡量尺度把握该集合元素的"个数".在数学分析中一点是否为某集E的聚点(极限点)与该点的任一邻域内所含E中点的"个数"是紧密相关的.在拓扑空间中全集合元素的"个数"与拓扑空间的拓扑,进而与集合的导集,闭包,边界和内部等集的拓扑性质都有密切关系,故此拓扑空间中全集合的基数对该空间的拓扑结构有着重要影响.【本文利用拓扑空间所具有性质刻画其子空间的基数,给出几种拓扑空间全集的基数与其拓扑结构的关系,并列举点集拓扑学在分析学中的若干应用..1利用拓扑空间所具有性质刻画其子空间的基数在拓扑空间往往可利用空间所具有的拓扑性质确定某类子空间的基数.命题1设是空间,是的开集,D是均含多于一点的连通子集,且VnD≠0,那么Vf"lD是不可数集.由此若是非完全不连通的腔间,则必是不可数集.证任取∈Vf'ID,,,∈D,≠),,则CVU{y)是不包含点}的闭集(其中CV表示的补集).由是空间,存在连续映:一【0,1】()=o,,(cvU{),})={1).D为连通子集,,Y∈D,故D)= [0,1】.由D=(nD)U(cvriD)得【0,1】D)VnD)of(cvnD)VrlD)U厂(cv)_cf~vnD)U{1)从而VND)0,1).据【0,1)的不可数性知VnD是不可数的.若是非完全不连通的.取D为中的任一含多于一点的连通分支,并取V=X.由前所证知Vf'lD=XAD是不可数集,故是不可数集.命题2任何含多于一点的连通Tychonoff空间刚均每一个非空开集都是不可数的.证设V是的任一非空开集,若V=X,任取x#y,,),∈.由于独点集A={),}是闭集,故存在连续映射f:_+【0,1】使厂()=O,,,)=1,由的连通性))=【0,1】,故是不可数的.若V#X,对任意∈V,CV是不包含点{}的闭集,因此有连续映射f:_+【o,1】)=0c)={1J.X是连通的,故)=【O,1】.因为))uf(cv)=f()U{1}=[0,l】从而厂(V)0,1).故是不可数的.2拓扑空间全集的基数与其拓扑的特征通常只含有限个点的拓扑空间除离散拓扑外还可以有其他形式的拓扑.但在度量空间情况下其拓扑就只有离散拓扑.命题3若是有限集,(,p)是度量空间,则(,p)必是离散空间.由此命题和离散空间的可度量化可得下列的命题4仅含有限多个点的拓扑空间是可度量化的充要条件是它为离散空间.有理数集p作为实数空间的子空间是一可数收稿日期:2010-01—05作者简介:张越,女,福建福州人,助理研究员,主要研究方向:教学理论与管理. 基金项目:福建省自然科学基金(S0650021)和集美大学教学改革项目.15多个点的可度量化但非离散空间的例子.命题5若空间有一个基仅含有限个成员,则是只含有限多个点的离散空间.特别当度量空间有一个基仅含有限个成员时,它必是离散空间.证设的基卢={B.,B2,…,B}仅含/1,个有限成员,则仅含有限个点.否则,在中取n+1个不同的点,:,…,,}.由于是空间,中的任意有限子集是闭集,故V,:=,,,…,.),:=,{1,2,…,￡一1,Xi+I,…,叶I}(=2,3,…,n),Vn+l:= fXlx2,…,分别是包含点一,就,…,+.的开集,且≈岳V(g隹k).由于是拓扑空间的基,可取的开邻域)∈卢使∈()c_V(=1,2,…,n+1).由辑甓Vk(gi≠)知施鹾()(gi#k),故(1),(2),…,()是的基卢中的两两不同的成员,此与仅含几个有限成员矛盾,故为有限集.又空间的每个独点集是闭集,从而是离散空间.直接验证可知命题6设≠0,其拓扑为f=C:C为的有限子集)u{},这时(,r)成为拓扑空间.当是有限集时(,r)是离散空间;当是无限集时, (,r)的任意两个非空开集都相交,从而它不可能是Hausdorff空间.下面讨论拓扑空间全集是可数集时拓扑的特性.当拓扑空间全集是可数集时,除是可分空间外还有一些其它的特征.命题7任一只含可数多个点的拓扑空间.必存在连续满映射f:Q—,其中Q是实数空间中由全体有理数所组成的子空间.证设X--{xn:∈册是可数集,取严格增加的无理数列{(当仅含/7,个点时只取/1,个无理数).令A,I:(z,卜1,)nQ,n=l,2,…,其中0=一∞,Iim ,I=+∞,则Q=uA且是两两互不相交的.当∈J=IA,/7,∈N时取f(x)=,则对的任一开集有f-()=U.A.因每个A都是Q的开集,故(I,)是EQ的开集,从而厂是连续的.易知f:Q—是满射的.命题8满足第二可数性公理的拓扑空间的每一个两两不交的开集簇是可数的.16证设r是满足第二可数性公理的拓扑空间的一个两两不交的开集簇,卢是的一个可数基,VVEF存在JB∈卢:BC_}使I,=u.在BE中任取一个成员,因r中的成员两两不交,故{:V∈r】是两两不交的开集簇.映射)=,VV∈厂是r到的单射.由JB的可数性知r是可数的.设A是拓扑空间的子集,如果EX的每个邻域都含有A中的不可数多个点,则称为A的凝点.易知凝点必是聚点,反之未必.关于凝点有下列的性质命题9满足第二可数性公理的拓扑空间的每一个不可数集A中都有A的凝点.证若结论不成立.则任意EA存在的开邻域使ClA仅含可数多个点.卢={:∈A)是的开覆盖.而满足二可数性公理的拓扑空间的子空间亦是满足二可数性公理的.因此是Lindelof 空间,故中有的可数子覆盖(Vn:n∈册.每个都仅含A中至多可数多个点,故A=(U)NAnEⅣ是可数的,与条件矛盾.推论若是满足二可数性公理的拓扑空间的不可数子集.则E中有E的聚点.关于无穷积空间的拓扑有下列的两个性质[41.命题10若是多于一点的离散空间.则当r是不可数集时,积空间r(取积拓扑)不是离散空间.命题11如果是可数且为Tychonoff拓扑空间,则任意feR(R取点式收敛拓扑)都存在连续函数空间c,)中的序列收敛于_,【依点式收敛拓扑收敛).命题l2设E是中的可数集,则gn>I,R^是连通的.证对rt用数学归纳法.n=2时,令D=Ra~E,则D是不可数集(基数为C).gx∈D,记是中过的直线的全体所成的集簇,则与S-的对径点组构成的集合有相同的基数.故殷不可数,而E是可数集,因此展中必有无数京唐.线是含于D中的.任取其不同的两条, 其并集记为A,则A是连通的(因有公共点).从而D=uA是一簇连通集的并集.gx,YED,因A的两条ED直线必有—条与A的两条中的—条互不平行,两者相交,故At3A≠.从而D是连通的.设n=k>l时结论成立.记D=R,A=(仁}×R)\(仁}nE),gxER,c=×(o】)\×(ojhE).由归纳假设,C和-fft~A是连通的且D=uA,A.nC=(NxE^RHx(0】)\({xIxR~x(0}nE).因k>l,RH是不可数的, 减去E后非空,故Anc非空,从而D=CU{uA}E连通.推论1若n>l:乙-+是连续映射,则R中至多有两点的厂原像是非空可数集.证由,的连续性)是中的连通子集.若有Y~<Y2<y3的原像广()(=l,2,3)都是非空的可数子集,由命题12知DuUf4(yz)是连通的,故D)是连通的.由连续函数介值定理D)n(y.,y2)≠D)n(y2,y3)≠.又yz岳D),此与D)为连通集,因此是R中的一个区间的性质相矛盾.推论2若E是5,I(n∈J7,r)可数子集,则S"kE是连通的.证因Isr=n(R),由命题12知R一-是连通集,又是连通的,故St,rE是连通的.命题l3任何可数无限集.都存在其上的非离散的可度量化的拓扑.证作为实数空间R的拓扑子空间Q(有理数集)是一个可数的非离散可度量化的拓扑空间,将与Q作一一对应,用Q的度量给出的相应度量,其拓扑即满足要求.命题14不可数集上的余可数拓扑空间不满足第一可数性公理.证若∈X有可数局部基/3..gy∈},是的开邻域,于是存在E使Vyc_x~ly}.从而YE,因此}U().因是可数YE^J簇,故(:Y exq~}/是晟的可数子簇且每个都是的开邻域.由余拓扑的定义[41知都是可数的.又可数多个可数集的并集仍是可数的,从而uyEn忙}()是可数的.再由前已证的)U(Vy)YEl知X~ix}是可数的,此与是不可数的条件相矛盾. 3点集拓扑在分析学中的应用点集拓扑学是基础数学中的一个重要分支拓扑学的基础和核心部分.它的一些概念,理论和方法在数学的许多领域,如泛函分析和微分方程中有着广泛的应用,有的甚至已成为通用语言,在物理学,经济学以及工程科学等学科中也都有大量的应用.它的许多基本概念和理论是学习和研究现代数学所必不可少的基础知识.点集拓扑学与微积分, 实变函数和泛函分析等分析学课程有着密切关系. 它高度地概括和统一了分析学中的一些重要的性质和概念,给出了一般化从而也是抽象化的形式. 尽管该学科的许多概念是以公理化的形式出现,不需要用到分析学中的具体概念,但却是源于它们并是这些概念的抽象与一般化,而分析学中的许多内容为这些抽象的概念提供了具体的模型和例子.通过对点集拓扑学的学习可使人们对分析学的许多知识起到高屋建瓴,不仅知其然更知其所以然的作用.拓扑学的许多概念都有直观形象的几何背景. 但另一方面它在形式上又是极其抽象,它的概念都是直接或间接地用公理化的方式建立的,计算少而推理论证的多.因此通过对该课程的学习有助于提高和培养抽象思维,逻辑推理和综合概括的能力.3.1连通性和连续映射在分析学中的应用定理1【4】若f:_+是从连通拓扑空间到实数空间R的连续映射,且x,yEX使得f) (),),则对)与,,)之间的任一实数口都有∈使)=口.由于实数空间及区间都是连通的.由此立即得到下列的连续函数介值定理命题1514]若f:,b卜是连续函数,且f(a)6),则对口)与6)之间的任一实数c都有=∈,6】使)::c.命题16[4]若f:S-R是连续函数.则存在ES使f(z)=f(-z),其中S是的单位圆周.特别地,不存在单射的连续函数f:R,R(n>1).命题17[4]若f:,b卜,6]是连续函数,则存在E【0,11使),即是厂的不动点.命题18若h:|sL?.s-是同胚映射且对任意的ES有^()),N/z.对任一连续函数:SL幔存在∈S使得=)()).证只需令g))-f(^)),gxES.若g)=0,则结论成立.若g(x)≠O,则g())?g)一)]2<0.由定理1存在∈S使得g()=0.命题19设E=((,0),(0,Y)∈R:x,y∈[0,11}:是连续映射,那么存在∈E使厂(z).证V,YE【0,11令g(x,0),g(0,y)=--y,则g:[_1,1】是同胚映射,由命题17知复合映射go g-:【一1,1]一[一1,11有不动点,则z=g-)即为17的不动点.命题l2尺.的子空间=f(,0),(0,Y)∈R:,yE[0,l】J上不存在单射的连续函数.证若.厂是E上的单射连续函数,令E=f(,0)∈R:∈R),={(0,Y)∈R:Y∈Rl,贝0E1)与厂()是R的区间.由E.i-1={(O,O))及,的单射性知E)与f(E2)是只含一个交点的区间.不妨设厂(E.)(口,6】E2)6,c】(O,0))=6.因A={(,0):≥0}与={(,0):≤0)是尺的连通子集.厂(A)与,()亦是区间.AriB={(0,O)},AUB=E1.从而存在t<b使f(A)f-lf(B)(￡,b),此与厂是单射的假设矛盾.命题21[0,1)x[0,1)与[0,llx[0,1】不可能同胚.证若结论成立,则存在同胚映射f:[0,1]x[0,l卜[0,1)x[o,1),这时Ptof:[0,llx[0,1卜[0,1)是连续的满映射,其中P.是投影映射.得到连续函数P.of在有界闭区域【O,llx[0,1]_12没有最大值的矛盾.3.2紧致性与连续映射在分析学中的应用有界闭区域上的连续函数的有界性,最值性和介值性这三个基本性质在数学分析中占有重要位置.而正是由于函数是定义在紧集上才有了这些性质.点集拓扑学中抽象出一类具有许多与闭区间(有界闭集)同样特性的紧子集.定理2【4l若是紧致空间厂是上的连续函数,则.厂在上取得最大值和最小值.命题22平面上的单位圆周S到R之间不可能有到上的连续满映射.这是因为.st是紧致空间.紧致空间在连续映射下的像也是紧致的,而R不是紧致空间.更一般地有:对m#n,若A是中的非空有界闭子集,则不可能有连续的满映射.厂:A—啵m.3.3连续函数的扩张问题一个连续函数能否连续地延拓到一个更大的定义域上的连续扩张问题是分析学中一个带有普遍意义的问题.定理3(Tietze扩张引理)【4]拓扑空间是正规空间的充分必要条件是的任一闭子空间上的任一连续函数可连续扩张到上.推论设f:-+[0,l】是连续映射,则对任何实数a<b,都存在连续函数g:j+,6].命题23若是的非空闭子集.则任一连18续映射,:A_+都可连续地扩张到上.证m是正规空间,对每个连续映射p:A_+R(=1,2,…,n)都可以连续地扩张到上(其中P是投影),记此扩张为昏().由于)=(ptof (),P2o-厂(),…,Pof()),故F(x)=(舒(),g2(),…,()是在上连续扩张到尺上的连续映射.命题24若A是的非空闭子集:As是连续映射(s,l表示R空间中的单位球面).那么存在A在R中的邻域及连续映射g:—s使g在A上的限制A证由命题23可连续扩张为h:R札_+尺.日=∈R:专<IIII<2l中是R中包含的开集.U=h(B)g/~A的开集.令g()=揣,戈∈U,则g是u到上的连续映射且eA时g) =赫=即推论1任一同胚映射g:?-.都可扩张为自同胚映射f:—n.证只要令:"1南r征烈f0埘;当x=O时.由):』IIx【I(青烈(0埘;当x=O时.即知.推论2同胚于它的任一开球8(x,r).证取g(y)=,Y∈B(,r)则知B(x,r)同胚于B(o,).取)南,∈R知其逆广.(,,)=南,,,∈(0,1),它是到(0,1)的一个同胚映射.再由同胚关系的传递性知与B(,r)同胚.推论3若A是度量空间的非空闭子集J:A一是连续映射.则存在A在中的邻域及连续映射g:使g在A上的限制注由紧致性是拓扑性质知中的任一开区间不可能与闭区间同胚,n与不可能同胚.命题25若是的任一子集:—是连续映射,那么对任何∈存在的开邻域(下转第34页)表4苏二矿2009—2016年年平均矿井涌水量预测值(单位:m3/h)年份2009201020112012201320142015201620172018序号12345678910露l(.'()97.245898.043498.847399.6573100.4737101.2963102.1253102.9607103.802610 4.651露2(0(Ij})109.075109.8726110.6765111?4865112.3029113.1255113.9545114.7899115? 6318116?4802不同.3.3在一些老空区多的矿井,除按模型预测涌水量外,加强老空区调查和探测,确定积水区范围,预防老空区突水是非常重要的.有关适合本地区矿井地质及矿井水文地质特点的探放水方法及其有效性评价有待于进一步的研究.参考文献:[1】邓聚龙.灰色系统预测与决策【M】.武汉:华中理工大学出版社.1986.【2】鲍一丹,吴燕萍,何勇.基于GM(1,1)模型和线性回归的组合预测新方法[J】.系统工程理论与实践,2004(3):95-98.(责任编辑:邱维敦)PredictionofWaterDischargeBasedonGM(1,1)ModelBAODao—ling,LIUHong-jinAbstract:BasedonthegraysystemtheoryanddataofwaterdischargeofSu—-2Coalminefrom2001-2008andusingGM(1,1)graypredictionmode,thepapercarriesoutdynamicpredictiononthemine waterdischargeoftheeoalmine.Theresultsprovidethebasisofpreventionandtreatmentofminewaterforthe coalmine.Keywords:graysystemtheory;minewaterdischarge;GM(1,1)model;prediction(上接第18页)使/在内没有不动点.证YxE,由f:R—+A知f(x)≠,与厂()分别有不相交的开邻域G与W.由的连续性,广()是的开邻域,从而:=G()亦是的开邻域.据Vnf(V)GAW=O知厂在内没有不动点.参考文献:【1】马祖良.判定集合至多可数的一种方法及几个实例[J】.首都师范大学(自然科学版),2006,27(5):19—21.[2]林金坤.拓扑学基础[M】.北京:科学出版社,2004.[3】宋述刚,舒皇伟,朱晶.～类拓扑空间的连通性田.长江大学:理工卷,2007,4(3):l一2.[4]熊金城.点集拓扑讲义[M】.北京:高等教育出版社,2000.[责任编辑:邱维敦] CardinalNumberofSetandTopologywithApplicationsZHANGYue,HUANGLong-guangAbstract:Thispaperdealswiththerelationshipsbetweencardinalnumberoftotalsetandtopo logicalstlMe-tureinatopologicalspace.Italsoshowssomeapplicationsofgeneraltopologytomathematic alanalysis.Keywords:topology;cardinalnumber;connection;countable;homeonorphism。
离散数学 实数集合与集合的基数
集合的等势
定义:
设A, B为两个集合, 如果存在A到B的双 射函数, 则称A和B等势, 记A≈B. 否则称A和B 不等势, 记(A≈B)或A≈B. 例: N偶=nnNn为偶数. N奇=nnNn为奇数. N2n=xx=2n nN. 则N≈ N偶, N≈ N奇, N≈N2n
x 0 x 1 x 1 2
n
,
n 1, 2 , 3 ,
x 取其他值
定理. (康托尔定理) (1) (N≈R) (2) 对任意的集合A, (A≈P(A)).
§3 有限集合与无限集合
定义:
集合A是有限集合, 当且仅当存在nN, 使nA. 否则, 称A为无限集. 定理1. 不存在与自己的真子集等势的自然数. 推论1. 不存在与自己的真子集等势的有限集合. 推论2. 任何与自己的真子集等势的集合是无限 集合. 推论3. 任何有限集合只与唯一的自然数等势.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
定理 (1) 可数集合的任何子集是可数集. 证: 设A可数, BA, 则BA,即 card B card A 0. (2) 两个可数集的并集和笛卡尔积是可数集. 证: A={a11, a12, …, a1n, …}, B={a21, a22, …, a2n, …}, A∪B={a11, a12, a21, a13, a22,…} (3) 若K是无限集合, 则P(K)是不可数的.
例:
A={a, b, c}, B={{a}, {b}, {c}}. N偶={n | nN∧n为偶数}, N奇={n | nN∧n为奇数}
可数集合
定义1:
对集合K, 如果card K0, 则称K是可 数集合. 定义2: 如果集合K是有限的或与N等势, 则称 K是可数集合.
集合的基数
为S，则|M|<|S|。
证：对任意集合M，当M= 时，显然|M|=0，| S | 2M { }
|S|=1，成立； 当 M 时，对 a M ,有{a} 2M S，因此如下
函数f:M→S明显为一单射，即对每个 a M , f (a) {a} ，所以|M|<|S|；
x0
f (x) 0
x0
2(x) 1 x 0
易知f(x)为一双射，∴Z为可数集。
•定理6：任何无限集必有一个可数子集。
证：类似于定理4，从无限集中依次取出一列元素， 构成一个可数集。
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集合的基数
•定理7：可数集的任何无限子集必为可数集。
证：设S是可数集，S中的元素可以排成：a0 , a1, a2 , ，设B是S的任一无限子集，它的元素也是S的元素 ，并且它可排成：a0k , a1k , a2k ,，∴B是可数集。
实数集本身都是连续统。
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集合的基数
是否所有集合都以自然数n, S ，和c之一作为其基 数呢？为此我们引入基数大小的概念：
• 定义7：设A，B为任意集合
(1)如果有双射f:A→B或双射f:B→A，则称A和B基 数相等，记为|A|=|B|；
(2)如果有单射f:A→B或满射f:B→A，则称A的基数 小于等于B的基数，记为|A|≤|B|；
其中(3)说明了N是满足条件(1)，(2)的最小集合， (3)也称为极小性质。
•定义2：如存在集合{0,1,2， …，n-1}(自然数n)
到A或A到集合{0,1,2， …，n-1}的双射，则集合 A称为有限集，否则称为无限集。
•定理1：自然数集N为无限集。
集合的基数
-3/1
… -3/2 -3/3 -3/4
[18]
-2/1
-2/2 -2/3 -2/4
[5]
-1/1
-1/2 -1/3 -1/4
[4]
0/1
0/2 0/3 0/4
[0]
1/1
1/2 1/3 1/4
[1]
2/1
2/2 2/3 2/4
[10]
3/1 …
3/2 … 3/3 … 3/4 …
[13]
[11]
[17]
2．关于可数集有下面的性质： 可数集的任何子集都是可数集. 两个可数集的并是可数集. 两个可数集的笛卡儿积是可数集. 可数个可数集的笛卡儿积仍是可数集. 无穷集 A 的幂集 P(A)不是可数集.
例 8.11 求下列集合的基数. （1）T={x | x 是单词“BASEBALL”中的字母} （2）B={x | x∈R∧x2=9∧2x=8} （3）C=P(A), A={1, 3, 7, 11} 解 （1）由 T={B, A, S, E, L}知 cardT=5. （2）由 B=, 可知 cardB=0. （3）由|A|=4 可知 cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.
3．等势的性质 定理 9.1 设 A，B，C 是任意集合， （1）A≈A. （2）若 A≈B，则 B≈A. （3）若 A≈B，B≈C，则 A≈C. 证明思路：利用等势的等义. （1）IA 是从 A 到 A 的双射 （2）若 f：AB 是双射，则 f1：BA 是从 B 到 A 的双射. （3）若 f：AB，g：BC 是双射，则 fg：AC 是从 A 到 C 的双射.
第一节 集合的等势与优势
一、集合的等势 1. 等势定义 定义 8.8 设 A, B 是集合, 如果存在着从 A 到 B 的双射函数, 就 称 A 和 B 是等势的, 记作 A≈B. 如果 A 不与 B 等势, 则记作 A≉B. 2. 集合等势的实例. 例 8.9（1）Z≈N.
《集合的基数》课件
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
离散数学(修订版)-耿素云
谓词表示法: 用谓词来概括集合中元素的属性. 例如:B = { x | x R 且 x2 - 1 = 0 } 集合B表示方程x2 - 1 = 0的实数解集.
图示法:用一个圆来表示, 圆中的点表示集合中的元素. 许多集合可用两种方法来表示, 如: B = { -1, 1 }. 有些集合不能用列元素法表示, 如: 实数集合, 不能列举出
6.2 集合的运算
中山大学计算机科学系
18
集合的基本运算有并(Union), 交(Intersection)和相对
补(Relative Complement).
定义6.7 设A和B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对A
的相对补集A-B分别定义如下:
A∪B = { x | x A∨x B }
常用的集合名称:
N: 自然数集合(本课程中认为0也是自然数)
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合
C: 复数集合
6.1 集合的基本概念
中山大学计算机科学系
10
集合有三种表示方法:列元素法、谓词表示法和图示法.
列元素法:列出集合中的所有元素, 各元素之间用逗号隔开, 并 把它们用花括号括起来.
《离散数学》(修订版) 耿素云、屈婉玲, 高等教育出版社, 2004年
教学参考书
《离散数学》
王兵山、王长英、周贤林、何自强编, 国防科技大学出版社, 1985年
《离散数学》
檀凤琴、何自强编著, 科学出版社, 1999年
《离散数学》
孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤和李占山, 高等教育出版社, 2002年
《离散数学》
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2004-11-23
集合与图论
6.17
哈工大计算机学院 李东 教授
定义9.9
n 对于有穷集合A，若 card A≤ אּ0 ，
n 则称A为可数集或可列集.
例如，{a, b, c}，Z, N×N等都是可数集。 实数集R不是可数集。
2004-11-23
集合与图论
6.18
哈工大计算机学院 李东 教授
9.2 集合的基数
又例如，N和R是无穷集，因为没 有自然数与N和R等势。
2004-11-23
集合与图论
6.12
哈工大计算机学院 李东 教授
定义9.7
n 对于有穷集合A，称与A等势的那个 唯一的自然数为A的基数，记作： card A.
n即：card A= n <=> A ≈ n.
自然数集N的基数表示为：אּ0 (阿列夫零)。 实数集R的基数表示为：( אּ阿列夫)。
又因为 card C = card P(A) = |P(A)| 所以，card C = 16.
2004-11-23
集合与图论
6.23
哈工大计算机学院 李东 教授
9.2 集合的基数
例题9.5 设A、B为任意集，card B = n, n是自然数，n≠0,
n 求card A×B ?
证明：由于存在从Z到N的双射函数， 所以， N和Z是等势的， 即： N≈Z
2004-11-23
集合与图论
6.4
哈工大计算机学院 李东 教授
定理9.1
设A、B、C为任意集合，则有： n 1. A≈A
即：等势具有自反性 n 2. 若A≈B，则B≈A
即：等势具有对称性 n 3. 若A≈B，B≈C，则A≈C
重要的命题 n 可数集的任何子集都是可数集。 n 两个可数集的并是可数集。 n 两个可数集的笛卡尔积是可数集。 n 可数个可数集的并仍是可数集。 n 无穷集A的幂集P(A)不是可数集。
2004-11-23
集合与图论
6.19
哈工大计算机学院 李东 教授
9.2 集合的基数
例题9.4 求下列集合的基数 1. T = { x | x 是单词“BASEBALL”中的字母} 2. B = { x | x ∈ RΛx2 = 9Λ2x = 8} 3. C = P(A), A = {1, 3, 7, 11}
即：等势具有传递性
证明留作练习 。
2004-11-23
集合与图论
6.5
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9.1 集合的等势与优势
n 由此可知： nN和Z是等势的，即： N≈Z，
nZ和Q是等势的，即： N≈Q nN和N×N是等势的，即： N≈ N×N
n所以： N≈Z≈Q≈N×N
2004-11-23
集合与图论
0, 1, 2, …, n, …,אּ0 , אּ,… 其中：
0, 1, 2, …, n,…恰好就是全体自然数， 是有穷集合的基数，也称为有穷基数。
2004-11-23
集合与图论
6.16
哈工大计算机学院 李东 教授
9.2 集合的基数
而אּ0 , אּ,… 是无穷集合的基数，也称为无穷基数。 אּ0是最小的无穷基数。
Chapter 9: 集合的基数
n9.1 集合的等势与优势 n9.2 集合的基数
2004-11-23
集合与图论
6.1
哈工大计算机学院 李东 教授
9.1 集合的等势与优势
n 通俗地说，集合的势是度量集合所含元 素多少的一个标准。
H 集合的势越大，表明该集合的所含的
元素越多。
2004-11-23
集合与图论
2004-11-23
集合与图论
6.24
哈工大计算机学院 李东 教授
6.2
哈工大计算机学院 李东 教授
9.1 集合的等势与优势
n 定义9.1 n 设A、B为集合，如果存在从A到B的
双射函数，则称A和B是等势的，记 作 A≈B，
如果A和B不是等势的， 则记作 A ≈ B 。
2004-11-23
集合与图论
6.3
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9.1 集合的等势与优势
n 例9.1 n证明N和Z是等势的，即： N≈Z，
解： 2. 因为B = { x | x ∈ RΛx2 = 9Λ2x = 8}
=Ø
所以，card B = 0.
2004-11-23
集合与图论
6.22
哈工大计算机学院 李东 教授
9.2 集合的基数
解： 3. 因为 C = P(A), A = {1, 3, 7, 11} 所以，|A| = 4, |P(A)| = 24 = 16.
2004-11-23
集合与图论
6.20
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9.2 集合的基数
解： 1. 因为 T = { x | x 是单词“BASEBALL”中的字母}
= {B, A, S, E, L}。 所以，card T = 5。
2004-11-23
集合与图论
6.21
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9.2 集合的基数
集合与图论
6.9
哈工大计算机学院 李东 教授
9.1 集合的等势与优势
n 定理9.3 n 设A、B、C为任意集合，则有： n1. A≤•A n2. 若A ≤• B，且B ≤• A，则A≈B n3. 若A ≤• B，且B ≤• C，则A ≤• C
证明不作要求 。
2004-11-23
集合与图论
6.10
哈工大计算机学院 李东 教授
称B优势于A，记作A≤• B，
如果B不是优势于A，则记作 A ≤• B 。
2004-11-23
集合与图论
6.8
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定义9.2(续)
n2. 设A、B为集合， n如果A≤• B，且A≈B，则称B真优
势于A，记作A<•B.
如果B不是真优势于A，则记作 A<• B 。
2004-11-23
9.2 集合的基数
n 定义9.6
n 一个集合是有穷的，当且仅当它于某 个自然数等势；
n 如果一个集合不是有穷的，则称其为 无穷集。
2004-11-23
集合与图论
6.11
哈工大计算机学院 李东 教授
例如，{a, b, c}是有穷集合，因为 3= {a, b, c} 。且
{a, b, c}≈{1, 2, 3}=3.
2004-11-23
集合与图论
6.13
哈工大计算机学院 李东 教授
定义9.8
设A、B为任意集合，则有： n1. card A= card B <=> A≈ B. n2. card A ≤ card B <=> A ≤• B n3. card A < card B <=>
card A≤ card BΛcard A≠card B
6.6
哈工大计算机学院 李东 教授
9.1 集合的等势与优势
n 定理9.2（康托尔定理） n1. N≈R， n2. 对于任意集合A，都有A≈P(A)
证明留作课后练习 。
2004-11-23
集合与图论
6.7
哈工大计算机学院 李东 教授
9.1 集合的等势与优势
n定义9.2 设A、B为集合， n1. 如果存在从A到B的单射函数，则
2004-11-23
集合与图论
6.14
哈工大计算机学院 李东 教授
9.2 集合的基数
对于任意集合A都有： A ≤• P(A)，
则： card A< card P(A)
这就说明不存在最大的基数
2004-11-23
集合与图论
6.15
哈工大计算机学院 李东 教授
9.2 集合的基数
将已知的基数按由小到大的顺序排列 就可以得到：