Maple-ch-常微分方程

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第四章 微分方程

§4.1 常微分方程

4.1.1 常微分方程的解析解

1. 函数dsolve 在微分方程中的应用

在Maple 中，这是一个用途最广的函数——称为通用函数吧，几乎可以求解所有的微 分方程和方程组，既能求解解析解，也能求解数值解，本节只介绍其求微分方程的解析解中的作用：

dsolve (ODE);

dsolve (ODE,y(x),extra_args);

其中，ODE(Ordinary Differential Equation)是一个常微分方程； y(x)为未函数，求解时这个参数可以省略；第三个参数extra_args 是一个可选的参数，主要用来设置最后解析解的形式或求解过程中一些积分的设置，它的选值很广，这里仅举几个参数。

(1) explicit: 求出显式解； (2) implicit: 解可以是隐式；

(3) useInt: 运算中用“Int ”函数代替“int ”函数，可加快运算速度； (4) parametric: 将最后的解析解表达成另外一个自变量的形式。

这些参数的位置很灵活，可以放在除第一个参数位置外的任何位置，并且它们的组合 也很灵活，可以单独作用，也可几何参数合用，只要在中间用逗号隔开，而且参数并不一定需要写在一起，也可以分开。

> eq:='eq': eq:=diff(y(x),x)*(1+y(x)^2)+cos(x)=0; 可以两端都不是零

:= eq = + ?? ??

???()y x () + 1()y x 2()cos x 0 > sol1:=dsolve(eq,explicit); 给出显式解

sol1()y x =

:= 12

- ()- - + 12()sin x 12_C12 - + + 3418()cos 2x 72()sin x _C136_C12()

/234

()

- - + 12()sin x 12_C12 - + + 3418()cos 2x 72()sin x _C136_C12()/13,

其中“_C 1”表示第一个任意常数。方程的解是很恐怖的解，这里仅给出了一个解，另

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外还有两个更长的解，读者可以在Maple 下执行上面求解过程观察到另外两个解的全貌。这是由于将解转换成显函数造成的，假如我们将参数进行改善：

> sol2:=dsolve(eq,implicit,y(x)); 给出隐式解，式中的y(x)可省略

:= sol2 = + + + ()sin x ()y x 1

()y x 3_C10

再加上一个参数“useInt ”,可以明显感到运算速度非常快，因此，它在求解过程中积分比较复杂时很有用，同时还能使解过程、解结果给出较多的信息： > sol3:=dsolve(eq,implicit,y(x),useInt);

:= sol3 = - + d ???()cos x x d ??

??

()

y x - - 1_a 2_a _C10

其中“_a ”为积分变量.即解为.0)1(cos 2=+---

?

?C dt t xdx y

a

最后加入参数“parametric ”,可以知道经过一段时段运算后的结果： > sol4:=dsolve(eq,implicit,y(x),useInt,parametric);

:= sol4

我们惊讶地发现函数没有给出任何结果，这是因为解太复杂了，函数找不到用参数表示的方法。

下面我们用一个比较简单的例子来说明设置参数以后的结果，大家容易从结果中看出表示的方法：

>dsolve(diff(y(x),x)=-x/y(x), parametric); 圆曲线上切线的斜率

, = ()y x - + x 2_C1 = ()y x -- + x 2_C1

此为圆的上半圆与下半圆曲线表示式.

> dsolve(diff(y(x),x)=-x/y(x),implicit, parametric); 参数式

??????

??, = ()x _T -_T _C1 + 1_T 2 = ()y _T _C1 + 1_T 2

此为圆曲线的参数式，但并不是常用的t a y t a x sin ,cos ==参数式格式. 2. 用函数odetest 检验常微分方程的解

odetest(sol,ODE); ——y(x)可省略 odetest(sol,ODE,y(x));——y(x)最好加上 odetest(solsys,sysODE);——用于方程组

以返回值为“0”给出解为真。 > with(DEtools):

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> odetest(sol1[1],eq,y(x)); sol1[1]是方程的解

> odetest(sol1[2],eq,y(x)); sol1[2]是方程的解

> odetest(sol1[3],eq,y(x)); sol1[3]是方程的解

> odetest(sol2,eq,y(x)); sol2是方程的解

> odetest(sol3,eq,y(x)); sol3是方程的解

> odetest(sol4,eq,y(x)); sol4不能代入检验

Error, (in odetest) expecting the second argument to be an ODE or a set or list of ODEs. Received: y(x)

下面验证一个函数是否前面所给方程的解：

> y(x)=x^2; 验证y(x)=x^2是否方程的解,这里的y(x)不能赋给

= ()y x x 2

> odetest(%,eq); 所给函数y(x)=x^2使方程左端不为0，故不是方程的解

+ + 2x 2x 5()cos x

但它是下列方程的解：

> eq:='eq': eq:=diff(y(x),x)=2*x;

:= eq = ?

()y x 2x

> y(x)=x^2;

= ()y x x 2

> odetest(%,eq);

3．用Deplot 函数来显示微分方程的解的图像

DEplot(deqns,vars,trange,eqns); Deplot(deqns,vars,trange,inits, eqns);

其中 deqns ：是待求的微分方程或微分方程组，本节中就是指微分方程；

vars ：是一个非独立的变量或变量的集合，如y(x);

trange ：设定变量的取值范围；eqns 是一个等式形式的条件，如：

linecolor=blue(设定图像中线的颜色为蓝的)；

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stepsize=0.05(变量的取值步长)；

inits ：是微分方程的初值条件，如果有多个初值条件，用集合表示，并且每个初

值条件都必须用方括号起来，如果不给初始值，函数将等间隔的取最后解中的常数为某值。请看下面的例子：

> with(DEtools):

> eq:='eq': eq:=diff(y(x),x)*(1+y(x)^2)+cos(x)=0;

:= eq = + ?? ??

????x ()y x () + 1()y x 2()cos x 0 > DEplot(eq,y(x),x=-10..10,y=0..3,linecolor=blue,stepsize=0.05);

这个例子中没有为微分方程设定初始值，所以函数用一些箭头来表示解的趋势，假如

我们设方程的初始值是y(0)=2。图像将变为：

> DEplot(eq,y(x),x=-10..10,[[y(0)=2]],y=0..3,linecolor=blue,stepsize =0.05); [[y(0)=2]]这个初始条件也可放在“y=0..3”的后面

图形中的粗线就是满足初始条件的解的图形，假如我们对这个图形是不是刚才求得的解的图形有疑问的话，我们可以用另外一个作图函数contourplot 来验证一下，这个函数在plots 程序包里： > with(plots):

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> f:=sin(x)+1/3*y^3+y:

> contourplot(f,x=-10..10,y=-3..3,coloring=[red,blue]);

显然，过y(0)=2这点的图形跟上面图形中篮粗线对应的图形是一样的，说明我们的求解没有错。如果将这个图的范围适当调整，尽量得到过y(0)=2的那条曲线，显示效果会更好些。实际上，只要将作图中y 的范围改为-2.55～2.55即可达到目的.

4．用各种特定函数求解各种微分方程——P176

odeadvisor(ODE); 在Detools 程序包中

这是一个判断微分方程类型的函数，可用来判分离变量、一阶线性、全微分方程还是普通方程。

最常见的返回参数和中文含义如下：

separable 可分离变量方程,用separablesol (lode,v)求解,其中v 为未知函数 linear 线性方程, 用linearsol (lode,v)

homogeneous 齐次型方程，用homogeneous (lode,v) bernoulli 贝努里 exact 全微分方程 Abel 阿贝尔方程

Quadrature 积分形式的微分方程（如dy=xdx ）,是可离变量方程中最简单的

(1)可分离变量的方程

.)1( Ex.1y y x y x xy '+='-解可分离变量方程

解：(Maple-lx4-解法参考) > eq:='eq':

> eq:=x*y(x)*(1-x*diff(y(x),x))=x+y(x)*diff(y(x),x);

:= eq = x ()y x ?? ???? - 1x ?? ??????x ()y x + x ()y x ?? ??

????x ()y x > with(DEtools): 调用程序包

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> odeadvisor(eq); 判断方程类型

[]_separable 方程为可分离变量的方程

> separablesol(eq,y(x)); 用程序包中的分离变量法求解

{} = ()y x + ()LambertW + x 21_C1e

()

-11

法2： 仍用dsolve 求解：

> dsolve(eq,explicit); 用通用函数求解.接上方程，结果与上法相同

= ()y x + ()LambertW + x 21_C1e

()

-11

法3： 将方程改为

C dx x f dy y g y g x f dx dy +==??)()(,)

()(再利用求隐式解： > diffy:='diffy': 初始化变量，这步一要定做 > diffy=solve(eq,diff(y(x),x)); 解出y 的导数

=

diffy x ()

- ()y x 1()y x ()

+ x 2

1 > f:='f': g:='g':

> f:=x->x/(x^2+1);g:=y->y/(y-1); 构造函数f(x),g(y)

:= f →

x x

+ x 2

1

:= g →

y y

这里的y 视为单变量，不要写成y(x)

> RHS:=int(g(y),y);LHS:=int(f(x),x); 赋表达式分别得左、右两端

:= RHS + y ()ln - y 1

:= LHS 1

2

()ln + x 21

> LHS=RHS+C; 给出隐式解

= 1

2

()ln + x 21 + + y ()ln - y 1C > solve(%,y); 求出显式解

+ ()LambertW e

()

- - /12()ln + x 2

11C 1

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(2)齐次型的方程

.tan Ex.2的通解求齐次型方程x

y

x y y +=

' 解 (Maple-lx4-1)

法1： （按齐次方程专用求解函数求解） > eq:='eq';

:= eq eq

> eq:=diff(y(x),x)=y(x)/x+tan(y(x)/x);

:= eq = ??x ()y x + ()y x x ?? ??

??tan ()y x x > with(DEtools): 调程序包 > odeadvisor(eq); 判断类型

[],,[],_homogeneous class A [],_1st_order _with_linear_symmetries _dAlembert

齐次型方程的A 种，是一阶、线性对称方程

> genhomosol(eq); 用齐次方程的求解函数求解，得以下两个通解

{}, = ()y x ??

?????arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2x = ()y x -?? ??

???arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2x 法2： 用通用函数求解：

> dsolve(eq,explicit);

, = ()y x ?? ?????arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2x = ()y x -?? ?

?

???arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2x

法3： 按解齐次型方程的求解方法求解：

> y:='y':x:='x':u:='u': 如果不是新打开的Maple 工作窗口，最好要这一步 > y:=u*x:

> one:=expand(eq); 试将方程中“y/x”直接换成u 后给出新方程

:= one = + ?? ??????x ()u x ()x x ()u x ?? ??????x ()x x + ()u x ()x x x ?? ??

??tan ()u x ()x x x > two:=subs(diff(x(x),x)=1,x(x)=x,one); 简化方程

:= two = + ?? ??

????x ()u x x ()u x + ()u x ()tan ()u x

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> diffu:=solve(two,diff(u(x),x)); 化为可分离变量的方程

:=

diffu ()

tan ()u x x

> left:=int(1/tan(u),u);right:=int(1/x,x); 按可分离变量方法求

解，这里的u 不能写成u(x),因为要把它当单变量进行积分

:= left - ()ln ()tan u 1

2

()ln + 1()tan u 2

:= right ()ln x

> y:='y': 初始化变量y,此前它是”ux” > subs(u=y/x,left)=right+_C1;

= - ?? ????ln ?? ????tan y x 12?? ??

???

ln + 1?? ????tan y x 2

+ ()ln x _C1 > solve(%,y);

,??

??????arctan -()- + 1e

()

2_C1x 2e

()

2_C1x - + 1e

()

2_C1x 2

x -??

??

?

???arctan -()- + 1e

()

2_C1x 2e

()

2_C1x - + 1e

()

2_C1x 2

x 这一结果与前的解仅在于任意常数的写法上不同而已.

法4： 本人的解法——化为分离变量方程的求解函数进行求解：

> y(x):='y(x)':x:='x':u(x):='u(x)':

> y(x):=u(x)*x: 注意函数关系，如果用y=ux 或(x)=u*x,得不到下面的形式

> eq1:=subs(y(x)/x=u(x),eq); 替换完毕，再对方程化简

:= eq1 = + ?? ??????x ()u x x ()u x + ()u x ()tan ()u x

上式两端可不再化简，解过程用时相近

> separablesol(eq1,u(x)); 用分离变量法函数求解方程,得两个同样的通解

{}, = ()u x ?? ?????arctan () - 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2 = ()u x -?? ??

???arctan () - 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2 > a:=subs(u(x)=y/x,%); 换回原变量,如果不将两个通解赋值给集合a,就不能用“solve ”对集合中的两个非方程组的函数关于同一变量求解

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:= a {}, = y ?? ?????arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2 = y -?? ??

???arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2 > y1:=solve(op(1,a),y);y2:=solve(op(2,a),y); 给出两个显式解

:= y1?? ?

????arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2x := y2-??

??

???arctan -()- + 1_C1x 2_C1x - + 1_C1x 2x 上面用了提出集合元素的函数“op ”,参第一章“1.1.3 集合”. 也可用分离方程中变量的函数isolate,执行“isolate(op(1,a),y);”得到第一个通解中的y 的表达式.请试之.

Ex.2’ 解齐次型（C ）的微分方程.3

1-++-=

'y x y x y 答案： = - + - - y 24y 2x y 2x x 2

C

解 (Maple-lx4-2) .,)(2

22111解读者可比照固定方法求有固定的解法对准齐次型方程

c y b x a c y b x a f dx dy

++++=也可以用通用求解函数dsolve()求解.这里选用求齐次型方程的求解函数进行求解: > eq:='eq':

> eq:=diff(y(x),x)=(x-y(x)+1)/(x+y(x)-2);

:= eq = ??x ()y x - + x ()y x 1 + - x ()y x 2

> with(DEtools):

> a:=genhomosol(eq); 用齐次型方程的求解函数求解,解用集合表示，其解需

要

按元素取出使用，为此，将解赋给集合“a ”

:= a {} = ()y x - 31 + () - 2x 1_C1 + 2() - 2x 12_C121

由于x 与y 的隐式关系很简单，而这里的显示结果即较为复杂，为此，如以下化简：

> subs(_C1=C,a[1]):subs(y(x)=z,a[1]):subs(_C1=C,%); 替换

= z - 3212 + () - 2x 1C + 2() - 2x 12C 21C

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> map(simplify,%); 对上式两端化简。因为上式根号中的内容计算机不认

识，现在认识的是它的如下根式中的化简结果，所以，要想解出根式下面的表达式，要先化简

= z -12- + + 4C 2C x - + + 8x 2C 28x C 22C 21C

> isolate(%,8*C^2*x^2-8*C^2*x+2*C^2+1); 解出根式下面的表达式

= - + + 8x 2C 28x C 22C 21()- + - 2z C 4C 2C x 2

> simplify((lhs(%)-rhs(%)))=0; 取出上式的左右两端作差的方程，

目的是消去相同项

= - + - + + - + 4C 2z 216C 2z 8x C 2z 8x C 24x 2C 214C 210

> sort(%,z); 对变量z 按降幂排此代数方程的两端

= - + - + + - + 4C 2z 216C 2z 8x C 2z 8x C 24x 2C 214C 210

> simplify((lhs(%)+14*C^2-1))=-4*C^2*_C1; 用solve 解出后两项行吗？

= - + - + + 4C 2z 216C 2z 8x C 2z 8x C 24x 2C 2-4C 2_C1

> factor(%)/(-4*C^2); 先分解因式，再除以分母才可以得到下面的结果

= - + - - z 24z 2x z 2x x 2_C1

> subs(z=y,%):subs(_C1=C,%);

= - + - - y 24y 2x y 2x x 2C

注： 这个结果用通用求解函数也不能简单给出，而是给出

> dsolve(eq,implicit);

= - - - 12?? ?

?

???ln - - + () - 2x 122()- + 2()y x 3() - 2x 1()- + 2()y x 32() - 2x 12()ln - 2x 1_C10 问题： 试将此结果化为如上多项式形式的“标准”答案。

(3)一阶线性方程

Ex. 3 解一阶线性微分方程.sin x

x x y y =+

' 答案： 解 （Maple-lx4-3）

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> eq:='eq':

> eq:=diff(y(x),x)+y(x)/x=sin(x)/x;

:= eq = + ?? ??

????x ()y x ()y x x ()sin x x 法1： （用通用函数求解，解出后的检验略）

> dsolve(eq);

=

()y x - + ()cos x _C1

x

法2： （用特定求解方程的函数求解，解出后的检验略） > with(DEtools): > linearsol(eq);

{} =

()y x - + ()cos x _C1

x

法3： （用)()(x Q y x P y =+'的通解公式??????+??=?--C dx e x Q e y dx

x P dx x P )()()(求解） > P(x):=1/x;Q(x):=sin(x)/x;

:= ()P x 1

x

:= ()Q x ()

sin x

> y(x)=exp(-int(P(x),x))*(int(Q(x)*exp(int(P(x),x)),x)+C);

= ()y x - + ()cos x C x

(4) 贝努里方程

Ex. 4 解贝努里微分方程.62xy x

y y -='

解（Maple-lx4-4） > restart; > eq:='eq':

> eq:=diff(y(x),x)=6*y(x)/x-x*y(x)^2;

:= eq = ??x ()y x - 6()y x x

x ()y x 2

法1：（用通用函数求解）

> dsolve(eq); 用通用函数求解

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= ()y x 8x 6

+ x 88_C1

法2： （按贝努里方程专用求解函数求解） > with(DEtools):

> bernoullisol(eq);

{} = ()y x 8x 6

+ x 88_C1

法3： （按解贝努里方程的推导方法求解） > eq1:=subs(y(x)=1/z(x),eq);

:= eq1 = ??x 1()z x -

61()z x x x

()z x 2

> with(DEtools):

> odeadvisor(eq1,z(x));

[]_linear

> simplify(%); 如用通用函数或专用求解函数求解，这步不需要

= -??

x ()z x ()z x 2 - 6()z x x 2

()z x 2

x

> factor(%)*(-z(x)^2); 如用通用函数或专用求解函数求解，这步不需要

= ??x ()z x - + 6()z x x 2x

> linearsol(%); 上面已经判断为线性方程，就可用线性方程专用求解函数

??

?????????????? = ()z x + 18x 8_C1x 6 > subs(z(x)=1/y(x),%);

??????????

?????? = 1()y x + 18x 8_C1x 6

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> solve(%,y(x)); 也可用simplify(%)

{} = ()y x 8x 6

+ x 88_C1

(5) 全微分方程

.22Ex.5的通解求xy

xy

xe y ye y -+='

解 （Maple-lx4-4） > restart; > eq:='eq':

> eq:=diff(y(x),x)=(2+y(x)*exp(x*y(x)))/(2*y(x)

-x*exp(x*y(x)));

:= eq = ??x ()y x + 2()y x e ()

x ()y x - 2()y x x e

()x ()y x 法1：(用通用求解函数求解) > eq1:='eq1':

> eq1:=(2*y(x)-x*exp(x*y(x)))*diff(y(x),x)=2+y(x)*exp(x

*y(x));

:= eq1 = () - 2()y x x e

()

x ()y x ?? ??

???()y x + 2()y x e ()x ()y x > with(DEtools):

> sol1:=dsolve(eq); 系统用隐式给出了通解

:= sol1 = - - + + 2x e ()

x ()y x ()y x 2_C10

> odetest(sol1,eq); 验隐式解是正确的 0

> sol2:=dsolve(eq,explicit); 要求给出显式解

:= sol2 = ()y x ()RootOf - - + + 2x e ()

x _Z _Z 2_C1

> odetest(sol2,eq); 验显式解是正确的

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法2： （用专用求解函数求解）

> odeadvisor(eq,y(x)); 判断方程类型（给出结果不知是何类型

但从原方程观察应为全微分方程

(exact))

[]y=_G(x,y')

> odeadvisor(eq1,y(x)); 转换成“eq1”判断为全微分方程（是否都需这样转化）

[]_exact

> exactsol(eq1); 用全微分方程的专用求解函数求解

{} = - - + + 2x e

()

x ()y x ()y x 2_C10

法3：（按全微分方程的求解步骤进行求解） > M:='M':N:='N':

> M:=(x,y)->2+y*exp(x*y);N:=(x,y)->-(2*y-x*exp(x*y));

:= M → (),x y + 2y e

()

y x := N → (),x y - + 2y x e

()

y x

> eq2:='eq2':

> eq2:=M(x,y(x))+N(x,y(x))*diff(y(x),x)=0;

化为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0格

式

:= eq2 = + + 2()y x e

()

x ()y x ()- + 2()y x x e

()

x ()y x ?? ??

????x ()y x 0 > testeq(diff(N(x,y),x),diff(M(x,y),y));

方程为全微分方程的充要条件是

y

M

x N ??=?? true

> exactsol(eq2); 方程的隐式解为

{} = + - + 2x e

()

x ()y x ()y x 2_C10

Ex.5’ .0)1

()1(cos 2

=-

++dy y x

y

dx y

x 解 （Maple-lx4-6）

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.0)1()1(cos 2=-++

dy y

x

y dx y x 要求: 用3～４种方法给出通解，并将答案化成下式。

答案：.||ln sin ln sin C y x

y x C y x y x =++=++或

(6) 高阶常系数线性（非）齐次微分方程——M aple: P188~193

(7) 级数解(默认为5阶展式)——M aple: P193~195——dsolve(ODE,y(x),

4.1.1 常微分方程的解析解 4.1.2 常微分方程组的解析解

求解函数与求解常微分方程所用的函数一样，它的参数形式如下：

dsolve({sysODE,Ics},{func},extra_args);

其中各参数的意义如下：

sysODE 方程组的集合 Ics 初始条件的集合 Func 待求的函数集合 Exgra_args 设置解的形式 .1-4.1.2 Ex.的解析解求??????

?=++=y dt

dy e y x dt

dx

t

解

> sysOde:='sysOde':

> sysOde:={D(x)(t)=x(t)+y(t)+exp(-t),D(y)(t)=y(t)};

:= sysOde {}, = ()()D x t + + ()x t ()y t e

()

-t = ()()D y t ()y t

> dsolve(sysOde,{x(t),y(t)});

{}, = ()y t _C2e t = ()x t - + e t _C2t 1e ()

-t e t _C1

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.2-4.1.2 Ex.的解析解求????

?????==-=y dt dz z dt dy

z y dt dx

解

> sysOde:='sysOde':

> sysOde:={D(x)(t)=y(t)-z(t),D(y)(t)=z(t),D(z)(t)=y(t)};

:= sysOde {},, = ()()D x t - ()y t ()z t = ()()D z t ()y t = ()()D y t ()z t

> dsolve(sysOde,{x(t),y(t),z(t)},implicit);

{},, = ()z t - _C2e t _C3e ()

-t = ()x t - + 2_C3e

()

-t _C1 = ()y t + _C2e t _C3e

()

-t

> odetest(%,sysOde); 验法1 {}0

> a:=dsolve(sysOde,{x(t),y(t),z(t)}); 验法2

:= a {},, = ()z t - _C2e t _C3e

()

-t = ()x t - + 2_C3e

()

-t _C1 = ()y t + _C2e t _C3e

()

-t

> odetest(a,sysOde);

{}0

4.1.3 常微分方程定解问题的求解

很多时候求定解问题是先求出通解，再求定解。但用Maple 在大多数情形下可直接求解。所用求解函数仍是dsolve:

dsolve({ODE,ICs},y(x),extra_args);

dsolve({sysODE,sysICs},{func},extra_args);

注意： 在使用上面第二个命令求方程组定解问题时，“sysODE,sysICs ”的内容都要以元

素给出，而不能用子集合分别给出“sysODE ”、“sysICs ”。

1． 一个方程的定解问题 .4)0(,1

411-4.1.3 Ex.2

==-+

'y x y x x

y y 求定解问题

解： （一阶方程的定解问题）

17 / 20

> restart; > eq:='eq':

> eq:=D(y)(x)+4*x*y(x)/(x^2-1)=x*sqrt(y(x)); 简化方程再求解

:= eq = +

()()D y x 4x ()

y x - x 2

1

x ()y x > sol1:=dsolve({eq,y(0)=4},y(x)); 给出含RootOf （查帮助）的解

:= sol1 = ()y x ()RootOf

- - + + 8_Z x 28_Z x 42x 216 > sol1:=allvalues(sol1); 将RootOf 表达的解化为常见式

:= sol1 = ()y x 164

()

- + - 16x 42x 2

2

()

- x 212 法2： （隐式解可以避开RootOf 函数，但解过程稍复杂）

> sol2:=dsolve(eq,y(x),implicit); 求隐式解

:= sol2 = - ()y x - + 18x 414

x 2

_C1 - x 2

1

0 > isolate(subs(x=0,y(0)=4,sol2),_C1); 确定任意常数_C1

= _C1-4

> simplify(%);

= _C1-2

> isolate(subs(_C1=-2,sol2),y(x)); 将任意常数_C1代入解sol2中

= ()y x ?? ???? - - 18x 414x 222

()

- x 212

.2)0(,2)0(,222-4.1.3 Ex.22='==+-x x te x dt dx

dt

x d t 求定解问题

解： （高阶方程的定解问题） > restart;

> eq:='eq':

> eq:=diff(x(t),t,t)-2*diff(x(t),t)+x(t)=4*t*exp(t);

18 / 20

:= eq = - + ?? ??

?????2t 2()x t 2?? ??????t ()x t ()x t 4t e t > dsolve({eq,x(0)=2,D(x)(0)=2},x(t));

= ()x t + 2

3

t 3e t 2e t

2．方程组的定解问题

.1)0(1)0(,3-4.1.3 Ex.的解析解求???==???????=++=y x y dt

dy e y x dt

dx

t

解： （方程组的定解问题）

> sysOde:='sysOde':

> sysOde:={D(x)(t)=x(t)+y(t)+exp(-t),D(y)(t)=y(t)};

:= sysOde {}, = ()()D x t + + ()x t ()y t e

()

-t = ()()D y t ()y t

> dsolve({sysOde[1],sysOde[2],x(0)=0,y(0)=0},{x(t),y(t)});

{}, = ()y t 0 = ()x t - + 1e ()-t 1e t

4.1.4 常微分方程的数值解

除了上面介绍的几种特殊的常微方程以外，大部分常微方程都很难求解析解，如下面

这个简单的一阶方程：

.cos xy dt

dx

= > eq:='eq':

> eq:={D(y)(x)=cos(x*y(x))};

:= eq {} = ()()D y x ()cos x ()y x

> dsolve(eq,y(x));

> 经过一段时间的计算后，给出空解

这个时候我们就得用数值方法得到微分方程的数值解，所求函数可以是 dsolve(deqns,vars,numeric)

dsolve(deqns,vars,numeric,options) dsolve(deqns,vars,type=numeric)

dsolve(deqns,vars,type=numeric,options) 其中：

19 / 20

deqns 是待求微分方程或方程组和初始值的集合 vars 是待求的微分方程中的待求函数

numeric 或type=numeric 设置函数求出方程的数值解而不是解析解

options 设置函数求解的各种设置，是一个可选参数，看帮助，这节经常用到的是output=listprocedure, value=[a 1, a 2, …,a n ],a i 表示待求的数值点的自变量的值，前者表示让dsolve 函数以列表加过程的方式输出，而后者则让函数输出给定的几个点的函数值，对这两者的理解参下例：

.5,4,3,2,12)0(,cos 1-4.1.4 Ex.的值处在点求

y x y xy dt

dx

=== 解

法1 （希望将解以过程表示时，然后随机求值，则用：） > eq:='eq':

> eq:=D(y)(x)=cos(x*y(x));

:= eq = ()()D y x ()cos x ()y x

> g:='g':

> g:=dsolve({eq,y(0)=2},y(x),type=numeric,output=

listprocedure);

:= g [], = x ()proc () ... end proc x = ()y x ()proc () ... end proc x

> s:=[1,2,3,4,5]; 接下来再随机求值

:= s [],,,,12345

> map(g,s); “map ”的用法

[], = ()x 11 = ()()y x 1 2.29315655054552536,

[[], = ()x 22 = ()()y x 2 1.39327424171786984,[], = ()x 33 = ()()y x 3.671501612834831008,[], = ()x 44 = ()()y x 4.426707150540812874,[], = ()x 55 = ()()y x 5.328723945693345898

]

先解出过程的好处在于还可以观察解的基本形状，

> plot('rhs(g(x)[2])',x=-10..10); 对每个x 的值，用上面的过程解g

的表达式算出相应的g(x)值

20 / 20

在上面的命令中，g(x)是一个列表，里面每个元素都是自变量x 的取值表达式和其对应的应变量y 的取值表达式构成的，而画图时只需第二个表达式的右端的值，故用“rhs(g(x)[2])”来取列表的每个元素的第二个表达式的值.

法2 （如果只想知道后面的结果：） > restart; > eq:='eq':

> eq:=D(y)(x)=cos(x*y(x));

:= eq = ()()D y x ()cos x ()y x

>

dsolve({eq,y(0)=2},y(x),type=numeric,value=array([1,2,3,4,5]));

?????????????????

???

??????????[],x ()y x ??

??????????????????????1 2.2931565502 1.3932742403.67150161314.42670715055.3287239457