直线与椭圆的综合应用
第五节椭圆第二课时直线与椭圆的位置关系讲
第二课时直线与椭圆的位置关系一.课标要求，准确定位1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.会解简单的直线与椭圆相关的综合问题.二．考情汇总，名师解读1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题；2.会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与圆锥曲线的位置关系中的作用．1．点与椭圆的位置关系，椭圆＋＝）在椭圆内⇔＋<1⇔＋＝⇔＋>1.，椭圆＋＝，联立得（|x或＝·|＝，＝＝·|＝·|＝·（程有解的情况下进行的，不要忽略判别式>0这一前提方法二：几何法对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线考向二 求面积或已知面积求参数17．已知椭圆C ：22221x y a b +=223过椭圆上一点只能作一条切线．若椭圆的方程为＋＝）处的切线方程为＋＝=，过点1参考答案：【点睛】本题考查椭圆方程的求解4．A【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式设1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得因为直线l 与椭圆相交，所以0∆>，即22483(k m -）由题意得解得．所以椭圆的方程为．）由得．的坐标分别为，，则，，，．|MN|===．）到直线的距离的面积为．由，解得，经检验，所以．26．8140-+=x y 或2x =【分析】首先判断点P 与椭圆1C 的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程Δ0=【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，答案第21页，共21页所以CA CB ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．。
〖2021年整理〗《椭圆的综合问题及应用》完整版教学课件PPT
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反思感悟处理椭圆的中点弦问题的三种途径
1.根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其
中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与
系数的关系结合中点坐标公式求解.
2.点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦
的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的
方法.
3.中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的
另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.
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-16
2
,x1x2=
4 +1
12
2
,
4 +1
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由题意可知 ⊥ , ·=0 即
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
2
12(1+ )
∴
2
4 +1
解得
−
2
32
2
+4=0,
4 +1
3
k2=4>4,
∴|AB|= 1 + 2 |x1-x2|
专题10 复数及其应用(解析版)(思维导图+知识梳理+方法技巧+易混易错)
专题17 圆锥曲线的综合应用一、知识速览二、考点速览知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x ya b a b+=>>联立2222,1,y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得一个关于x 的一元二次方程222222222()20b k a x a kmx a m a b +++-=①0∆>⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②0∆=⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③0∆<⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：=AB 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程22221x y a b-=与直线方程:l y kx b =+联立消去y 得到关于x 的一元二次方程()22222222220ba k x a mkx a m ab ----=，（1）当2220b a k -=，即bk a=±，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个交点； （2）当2220b a k -≠，即b k a≠±，设该一元二次方程的判别式为∆，若0∆>，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若0∆=，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若∆<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法若直线:l y kx m =+与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12A B x =-或12AB y =-（0k ≠）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况相交（有两个公共点或一个公共点）； 相切（有一个公共点）； 相离（没有公共点）.2、以抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率k 不存在，设直线方程为x a =，若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若0<a ，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率k 存在.设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p =>，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩，的解的个数，即二次方程2222()0k x kb p x b +-+=（或22220k y py bp -+=）解的个数. ①若0k ≠，则当0∆>时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当0∆=时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当0∆<时，直线与抛物线相离，无公共点.②若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长设AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y . ①弦长公式：212122111AB k x y k +-+-（k 为直线AB 的斜率，且0k ≠）. ②0AB p k y =, 推导：由题意，知2222y px =，① 2112y px = ② 由①-②，得121212()(=2()y y y y p x x +--），故1212122y y py y x x -=+-，即0AB p k y =. ③直线AB 的方程为000()py y x x y -=-. （2）焦点弦长如图，AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的一条弦， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点1A ，1B ，1M ， 根据抛物线的定义有1AF AA =，1BF BB =，11AB AF BF AA BB =+=+ 故11AB AF BF AA BB =+=+.又因为1MM 是梯形11AA B B 的中位线，所以1112AB AA BB MM =+=， 从而有下列结论；①以AB 为直径的圆必与准线l 相切.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(焦点弦长与中点关系)③12AB x x p =++.④若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=. ⑤A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即2124p x x =，212y y p =-.⑥11AF BF +为定值2P.一、直线与圆锥曲线位置关系1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆>；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 【答案】A【解析】将直线l ：()()211740+++--=m x m y m 变形为l ：(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，于是直线l 过定点()3,1，而223171181212+=<，于是点()3,1在椭圆C ：2211812x y +=内部， 因此直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=相交．故选：A ．【典例2】（2023·高三课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 【答案】A【解析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∵2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩， 故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =， 故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点， 故命题p 成立不能推出命题q 成立， 故p 是q 的必要不充分条件，故选：B.【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=，若直线与双曲线左支交于两点，求实数k 的取值范围.【答案】1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为直线与双曲线224x y -=左支交于两点，所以两点横坐标皆小于2-，把1y kx =-代入224x y -=得：()221250k x kx -+-=，所以()()22125f x k x kx =-+-有两个小于2-的零点，因为()050f =-<，所以210k -<，所以()()()()()()22222210Δ4201022212122250k k k k k f k k ⎧-<⎪=+->⎪⎪⎨-<-⎪-⎪⎪-=--+⨯--<⎩，解得1k <<-，则实数k 的范围为1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.二、直线与圆锥曲线的弦长问题设11()M x y ，，22()N x y ，根据两点距离公式||MN =．（1）若M N 、在直线y kx m =+上，代入化简，得12||MN x -；（2）若M N 、所在直线方程为x ty m =+，代入化简，得12||MN y =-（3）构造直角三角形求解弦长，||MN 2121|||||cos ||sin |x x y y αα--==．其中k 为直线MN 斜率，α为直线倾斜角． 【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219x y +=，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A 、B两点，则弦AB 的长为 ． 【答案】2【解析】在椭圆2219x y +=中，3a =，1b =，则c ()F -，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线AB 的方程为3223yx ，即x =-联立2299x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得21210y --=，1664121440∆=⨯+⨯=>，由韦达定理可得12y y +=，12112y y =-，所以，2AB =. 故答案为：2.【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线24y x =交于点A 、B ，以线段AB 为直径的圆经过定点()2,0D ，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】C 【解析】记10m k=>，则直线l 的方程可表示为2x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立224x my y x=-⎧⎨=⎩可得2480y my -+=，216320m ∆=->，可得22m >，由韦达定理可得124y y m +=，128y y =，()()11112,4,DA x y my y =-=-，()()22222,4,DB x y my y =-=-，由已知可得DA DB ⊥，则()()()()212121212441416DA DB my my y y m y y m y y ⋅=--+=+-++()2228116162480m m m =+-+=-=，可得23m =， 所以，()22221212141163213163328AB m y y y y m m ++-+-=+⨯-=.故选：C.【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C 两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l 经过C 的右焦点，且与C 相交于A 、B 两点. （1）求C 的标准方程；（2）若直线l 与该双曲线的渐近线垂直，求AB 的长度.【答案】（1）223y x -=1；（2）3 【解析】（1）因为直线l 经过C 的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上， 因为双曲线C 两条准线之间的距离为1，所以有222112a a a c c c ⎛⎫--=⇒= ⎪⎝⎭， 又因为离心率为2，所以有122c a a c =⇒=代入212a c =中，可得2221,2413a cbc a ==⇒=-=-=，∴C 的标准方程为：2213y x -=；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为3y x =，所以直线l 的斜率为3 由于双曲线和两条直线都关于y 轴对称， 所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值， 所以直线与双曲线交于左右两支， 因此不妨设直线l 3方程为)32y x -与双曲线方程联立为： )222138413032y x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则有1212113,28x x x x +=-=-，()()222121212123232323113144 3.348AB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x ，y 当成常量，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(k 是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点． （1）求直线1l 的斜率k 的取值范围；（2）若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1）⎛⋃ ⎝⎭⎝；（2）证明见解析；定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0直线1l ，2l 分别为2y kx =+，12y x k=-+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224116120k x kx +++=， 由()()2216412410k k ∆=-⨯+>得243k >，则k <或k > 同理2143k ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则k < 所以k的取值范围为⎛⋃ ⎝⎭⎝． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）得()224116120k kx +++=，所以1221641k x x k +=-+，则1228241Mx x k x k +==-+， 所以22282224141M M k y kx k k =+=-+=++，则2282,4141k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理22282,44k k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，则直线MN 的方程为22222222228441884141441k k k k y x k k k k k k -⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++， 化简整理得21255k y x k -=+因此直线MN 经过一个定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:m x =（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．【答案】（1）22195x y -=；（2）证明见解析 【解析】（1）设曲线E 上任意一点(,)Q x y=化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；（2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--， 即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又k >0t >， 所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=， 将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭， 将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959kt t M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==||OM ==． 由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为k >0t >，所以9t k =， 因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．【典例3】（2022上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<（1）若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设()2,2P t t ，则21111PQ PC ≥-=≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切，r =，即()222416160r k k r --+-=，①设直线AB 为：()()441m x n y -+-=， 则与抛物线C 的交点方程可化为：()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，所以直线AB 为：()()1114412n x n y +-+-=，即6(11252)0x n x y -++-=， 由60112520x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得67x y =⎧⎨=-⎩，直线AB 恒过()6,7-．四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【典例1】（2023上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点()830,1,(,)55C D ---．（1）求椭圆的方程． （2）设P 是椭圆上一点（异于,C D ），直线,PC PD 与x 轴分别交于,M N 两点．证明在x 轴上存在两点,A B ，使得MB NA ⋅是定值，并求此定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定值为12-.【解析】（1）设椭圆方程为221px qy +=，则164912525q p q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()()()00,,,0,,0P x y A m B n ，(,0),(,0)M N M x N x ，则00(,1),(,1)M CM x CP x y ==+，由//CM CP ，得00(1)M x y x +=，而010y +≠，于是001M x x y =+，008383(,),(,)5555N DN x DP x y =+=++，同理008338()()()5555N x y x ++=+，而0305y +≠，于是000385535N x y x y -=+， 则000003855(,0),(,0)315x y x NA m MB n y y -=-=-++，00000000000038(583355()()31(1)(53))()5x y x ny n x my y m x MB NA n m y y y y -+-++-⋅=--=++++， 令00058333my y m ny n ++=--，而00(,)P x y 是椭圆上的动点，则583,33m n m n +=-=-，得4,4n m ==-，于是()()()2222200000020000003443(44)(4412(583)12]1533[1)(5)58)3(y x y y y y MB NA y y y y y y ⎡⎤-+--+---++⎣⎦⋅====-++++++， 所以存在()4,0A -和()4,0B ，使得MB NA ⋅是定值，且定值为12-.【典例2】（2023上·广东深圳·高三统考期末）点M 是平面直角坐标系xOy 上一动点，两直线1:l y x =，2:l y x =-，已知1MA l ⊥于点A ，A 位于第一象限；2MB l ⊥于点B ，B 位于第四象限.若四边形OAMB 的面积为2.（1）若动点M 的轨迹为C ，求C 的方程.（2）设(),M s t ，过点M 分别作直线MP ，MQ 交C 于点P ，Q .若MP 与MQ 的倾斜角互补，证明直线PQ 的斜率为一定值，并求出这个定值.【答案】（1）()2240x y x -=>；（2）证明见解析，定值为s t-.【解析】（1）设(),M x y ，依题意得0x >且x y x >>-，即0x y ->且0x y +>，设(),A n n ，则(),MA x n y n =--， 因为直线1l 的方向向量为()1,1， 所以()1,10MA x n y n ⋅=-+-=，2x y n +=，即,22x y x y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以)2x y x OA +⎛==， ),2x y x MA -⎛== 所以四边形OAMB 的面积为2222x y OA MA -⋅==，即动点M 的轨迹方程为()2240x y x -=>.（2）设直线():MP y t k x s -=-（1k <-或1k >），则():MQ y t k x s -=--，联立()224,,x y y t k x s ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩得()224x kx ks t ⎡⎤---=⎣⎦， 整理得()()()2221240k x k ks t x ks t -+----=，所以()221P k ks t s x k -+=-，即222222211P k s kt k s kt sx s k k --+=-=--，所以()22221P P k t ksy k x s t t k -+=-+=+-，同理得22221Q k s kt x s k +=--，22221Q k t ksy t k --=+-，所以直线PQ 的斜率44Q P Q P y y ks sk x x kt t--===--，得证.【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过点(0,1)N -的直线l 与C 相交于,A B 两点，直线,MA MB 分别与y 轴相交于点,D E . （1）当弦AB 的中点横坐标为3时，求l 的一般方程;（2）设O 为原点，若,DN mON EN nON ==，求证:mnm n+为定值. 【答案】（1）10x y --=或2330x y ++=；（2）证明见解析【解析】（1）由点(1,2)M -在抛物线2:2C y px =上，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.设直线l 的方程为()()11221(0),,,,y kx k A x y B x y =-≠.由241y xy kx ⎧=⎨=-⎩，得22(24)10k x k x -++=. 依题意22(24)410k k ∆=+-⨯⨯>，解得1k >-且0k ≠. 且121222241,k x x x x k k ++==. 因为弦AB 的中点横坐标为3，所以126x x +=，即2246k k +=，解得1k =或23k =-， 所以l 的一般方程为10x y --=或2330x y ++=.（2）直线MA 的方程为1122(1)1y y x x ++=--， 又111y kx =-，令0x =，得点D 的纵坐标为111(2)1D k x y x -+=-.所以111(2)0,1k x D x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，同理得点E 的坐标为221(2)0,1k x E x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭.由,DN mON EN nON ==，得11(1)11D k x m y x +=+=--，22(1)11E k x n y x +=+=--. 所以12121111(1)(1)x x m n k x k x --+=+++1212112(242)211x x k k x x k ⎛⎫+=-=+-= ⎪++⎝⎭. 所以11112mn m n m n==++，即mn m n +为定值12.五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【典例1】（2022上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知12,F F 为椭圆C 的左､右焦点，点3P ⎛ ⎝⎭为其上一点，且124PF PF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m ，使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为点3P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且124MF MF +=， 所以22241314a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ， 由34OA OBOM 得，12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>，22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x x k k -⋅=-==++222216410k mkm，2221416m km ，代入22410k m -+>得22211014m m m -+->-， 2114m <<，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求双曲线的方程；（2）若直线1(01)y kx k k=+<<与曲线C 有两个不同的交点,A B O 、是坐标原点，求OAB的面积最小值.【答案】（1）221x y -=；（2）【解析】（1）设点(),0P a ，点()0,Q b ，则直线PQ 的方程为1x y a b+=，与渐近线b y x a =联立，得1x ya b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解之得22a x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线PQ 与双曲线的一条渐近线交点为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，又直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以122122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1a b ==，因此双曲线方程为221x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，把1y kx k =+代入221x y -=，得()22211210k x x k----=，则()()422122224112Δ44110,1k k k x x k k k -+⎛⎫=+-+=>+= ⎪-⎝⎭ ，2122111k x x k--=-，12AB x =-==点O 到直线1y kx k=+的距离211k d k =+所以OAB 的面积为()()242422222242111111212222111k k k k kS AB d k k k k k k +-+-==⨯+=⨯+--()242241k k k k +-=-令24t k k =-，所以22111t S t t t+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 令1s t=，则2S s s =+因为01k <<，所以201k <<， 由221124t k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，得104t <≤，由1s t=，得4s ≥，由221124S s s s ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭16425S ≥+=即当21124,,,42s t k k ====时，等号成立，此时满足Δ0>，所以OAB 面积的最小值为5【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线C于A 、B 两点，且112AF BF+=． （1）求抛物线C 的方程；（2）若O 为坐标原点，过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 的中点为G ，求GB DG的取值范围．【答案】（1）22y x =；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2220y pmy p --=，222440p m p ∆=+>，由韦达定理可得122y y pm +=，212y y p =-，()()()12121212211111122m y y p p p AF BF my p my p my p my p x x +++=+=+=++++++()()()()22122222222221212212222221p m m y y p pm pm y y mp y y p m p m p p pp m ++++=====+++-+++，解得1p =， 所以，抛物线C 的方程为22y x =. （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10x >，由（1）可得122y y m +=，121y y =-，又因为直线AO 的方程为11211122y y y x x x y x y ===， 将2y y =代入直线AO 的方程可得212y x y =， 可得12122y y x ==-，即点21,2D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，221122DF y k y ==---， 因为AE DF ⊥，则211AE DF k k y =-=， 所以，直线AE 的方程为()1121y y x x y -=-， 联立()112212y y x x y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩可得2212220y y y x ---=，则122E y y y +=，故212E y y y =-，则()22122111212121212142E E x y y x y y y x x y y y x x =++=-++=+-+=++，由AE 的中点为G ，可得()12221,G x x y ++， 故G 、B 、D 三点共线，则1221212122111321222GB x x x x x GDx x x x ++-++==+++++．又由121y y =-，知221212144y y x x ==，故()()2111111221111111111141221411131346221222222x x x GB x x x GD x x x x x x x x ++++++===-=-++++++++1111,1222x ⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭. 故GB GD的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．六、圆锥曲线中的证明问题1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过3(1,)2和两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P 和Q （不同于B ，A ）.证明：点B 在以PQ 为直径的圆内.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意，将点3(1,)2和的坐标代入椭圆22221x y a b +=，得222219142312a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）知()()2,0,2,0A B -，显然点M 不在x 轴上，设()4,,0M t t ≠，()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，直线,AM BM 斜率分别为,62AM BM t tk k ==，直线AM 的方程为()26ty x =+，BM 的方程为()22t y x =-，由()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()222227441080t x t x t +++-=，显然0∆>， 于是224108227P t x t --=+，解得2254227P t x t -=+，则()2182627P P t ty x t =+=+，由()2222143t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2222344120t x t x t +-+-=，显然0'∆>，于是2241223Q t x t -=+，解得22263Q t x t -=+，则()26223Q Q t ty x t =-=-+，因此22222254218418(2,)(,)27272727t t t t BP t t t t --=-=++++，22222266126(2,)(,)3333t t tBQ t t t t--=--=-++++， 则()()2222222241218660()()027*******t t t t BP BQ t t t t t t --⋅=⨯-+⨯-=++++++<， 则有PBQ ∠为钝角， 所以点B 在以PQ 为直径的圆内.【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）点F 是抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，AB 4=，抛物线Γ的准线与x 轴交于点K ．（1）求抛物线Γ的方程；（2）设C 、D 是抛物线Γ上异于A 、B 两点的两个不同的点，直线AC 、BD 相交于点E ，直线AD 、BC 相交于点G ，证明：E 、G 、K 三点共线． 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点坐标为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭过点F 作垂因为直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且AB 4=， 不妨设,2,,222p p A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222p p =⋅，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线Γ的方程为24y x =； （2）如图所示：由（1）知()()1,2,1,2A B -，设()22121212,,,2,244y y C y D y y y ⎛⎫⎛⎫≠≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线AC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y --=--=-+-，直线BD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y ++=-+=---，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪-⎩，解得()1212121212424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12121212122,44y y y y y y E y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212121212121212121212122224441144EKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+， 则直线BC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y ++=-+=---，直线AD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y --=--=-+-，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧+=-⎪-⎪⎨⎪-=-⎪+⎩，解得()1221211221424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12122121212,44y y y y y y G y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212122121122112211221212224441144GKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+，则EK GK k k =， 所以E ，K ，G 三点共线.七、圆锥曲线中的探索性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点⎛- ⎝⎭和2⎛ ⎝⎭． （1）求C 的方程；（2）不过原点O 的直线l 与C 交于不同的,P Q 两点，且直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列．在C 上是否存在一点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在；)12y x =+或)12y x =-或)12y x =-+或)12y x =-.【解析】（1）由题意可得2222112113241a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设直线的l 方程为0),(0y kx m k m ≠+≠=，设())(1122,,,P x y Q x y ，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， 需满足228(21)0k m ∆=-+>，则()2121222214,2121-+=-=++m km x x x x k k ， 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，故()2212212221y y m k x x m -=-；由于直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列，即2()PQ OP OQ k k k =，即21212y y k x x =， 故()2222221m k k m -=-，解得212k =， 存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形，理由如下：四边形OPMQ 为平行四边形，则())(1122,,OM OP OQ x y x y =+=+, 故()1212,M x x y y ++，又点M 在椭圆C 上，故()()22121212x x y y +++=，因为()()2222122216221k m x x m k+==+，()()()()22222212121212244y y k x x m k x x km x x m m +=++=++++=⎡⎤⎣⎦所以221m m +=，即212m =， 当2211,22==k m ，满足228(21)0k m ∆=-+>，所以直线l 的方程为)21y x =+或)21y x =-或)21y x =+或)21y x =-.【典例2】（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线2:2C y px =经过点(2,6-，直线1:(0)l y kx m km =+≠与C 交于A ，B 两点（异于坐标原点O ）．（1）若0OA OB ⋅=，证明：直线1l 过定点．（2）已知2k =，直线2l 在直线1l 的右侧，12//l l ，1l 与2l 之间的距离5d =2l 交C 于M ，N 两点，试问是否存在m ，使得||||10MN AB -=？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．24【解析】（1）证明：将点(2,26-代入22y px =，得244p =，即6p ．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k =⋅==．因为0OA OB ⋅=，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-， 故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <， ()222121212||12124596AB x x x x x m =+-=++--设2:2l y x n =+，同理可得||596MN n =- 因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m <， 则55d ==5n m =-． 所以||||596(5)9610MN AB m m ⎡-=---=⎣， 3962596m m --3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【典例3】（2023上·重庆·南开中学高三校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，渐近线方程为12y x =±，焦点到渐近线距离为1，直线:l y kx m =+与C 左右两支分别交于P ，Q ，且点2323m k ⎝⎭在双曲线C 上.记APQ △和BPQ 面积分别为1S ，2S ，AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k（1）求双曲线C 的方程；（2）若12432S S =，试问是否存在实数λ，使得1k -，k λ，2k .成等比数列，若存在，求出λ的值，不存在说明理由.4【解析】（1）由题可得222121b a c a b ⎧=⎪⎪==+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线C 的方程为2214x y -=； （2）由点⎝⎭在22:14x C y -=上可得：2243m k -=. 联立y kx m =+和22:14x C y -=整理得：()()222148410k x kmx m ---+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有：122814km x x k +=-，21224(1)14m x x k -+⋅=-， ()22Δ1641640m k =-+=>，又由直线交左右两支各一点可得：21224(1)014m x x k -+⋅=<-，所以2140k ->，即214k <，所以12PQ x =-==， 又()2,0A -到直线:l y kx m =+的距离1d =()2,0B 到直线:l y kx m =+的距离2d =所以2212224311m k d d k k -==++，所以()12122211484322214S S PQ d PQ d k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以23(14)1k -=（2140k ->），解得216k =， 又121212121221222()4y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--， 其中2222121212122243()()()1414m k y y kx m kx m k x x km x x m k k -=++=+++==--， 212212224(1)842()424141414m x x x x k k k -+-+--=+-=---， 所以1212122132()44y y k k x x x x ==-+--，假设存在实数λ，使得1k -，k λ，2k 成等比数列， 则有2212k k k λ=-，所以21364λ=，解得λ=λ=.易错点2 忽视直线与双曲线相交的特殊性点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小，时，点在圆上；时，点在圆内；时，点在圆外.由已知，，椭圆离心率为，从而，点在圆内，故选A.【考点】1.点与圆的位置关系；2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。
故A正确。
【考点】抛物线的定义。
3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质；(2)直线与圆锥曲线相交问题，可以设而不求，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设点，由(1)知∴直线的方程为，∴.5分∴，，8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交问题；3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px,将p代入可得y2=-4x．选A.【考点】抛物线的性质点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力．在涉及到求抛物线的标准方程问题时，一定要先判断出焦点所在位置，避免出错．7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A．①⑤B．③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=，整理得，点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2（x≠±a）；①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）.故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题．点评：本题考查圆锥曲线的轨迹问题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．8.已知F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则该椭圆的离心率等于【答案】－1【解析】根据题意，由于F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3：2倍，那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于－1 ，故答案为－1 。
椭圆的简单几何性质(3)
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
一.直线复习
1.倾斜角、斜率、截距 (1) 直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这 条直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围是［0，π) (2)若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα，叫做这条直 线的斜率.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)
16 则弦长|AB|= _______ , 52 2
由点差法，易得椭圆不同两点所在直线为 y
2 2 m ( 13, 13) 13 13
3x.
又 y 4 x m, 得 M (m, 3m), 点M 在椭圆内有
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|=
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
直线与椭圆的位置关系综合应用 例1已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
x
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于A, B 两点 (A, B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右 顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
3．两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合，则 l1∥l2k1=k2 两条直线都有斜率，l1⊥l2k1· k2=-1
若直线 l1 ： A1x+B1y+C1=0 ， l2 ： A2x+B2y+C2=0 ， 则 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 (无论直线的斜率是否存在， 此式均成立，所以此公式用起来更方便.) 4.点到直线的距离公式为：d
第十三单元§13.2直线与椭圆的综合应用
§13.2直线与椭圆的综合应用一椭圆的焦点弦1.a+c与a-c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值.2.椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值.二直线与椭圆的位置关系的研究方法1.弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算.2.中点弦问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用“点差法”,设而不求,简化运算.3.定值问题,常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关.也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明.4.定点问题,常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点.也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.5.范围(最值)问题:(1)利用判别式构造不等关系,确定参数的取值范围(最值);(2)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围(最值);(3)利用基本不等式,求出参数的取值范围(最值);(4)利用函数的值域,确定目标变量的取值范围(最值);(5)利用几何图形中的边角大小关系,确定参数的取值范围(最值).E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若+=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是().A. B.C. D.【解析】设左焦点为F1,连接AF1,BF1.则四边形BF1AF是平行四边形,故=,所以+=4=2a,所以a=2.设M(0,b),则≥,故b≥1,从而a2-c2≥1,所以0<c2≤3,所以0<c≤,所以椭圆E的离心率的取值范围是,故选A.【答案】AF1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M,N两点,则△MNF2的周长为().A.16B.8C.25D.32【解析】由椭圆的定义,得△MNF2的周长L=|MN|+|MF2|+|NF2|=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=2a+2a=4a=4×4=16.【答案】AF1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为().A.B.C.D.【解析】设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°.在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60°==-=,解得=,故E的离心率e=.【答案】CC:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且k P A2=-1,那么k P A1=().A.B.C.1 D.2【解析】依题意知a=2,∴A1(-2,0),A2(2,0).设P(x,y),则k P A1k P A2=·-=-.∵y2=3-,∴k P A1×(-1)=---,解得k P A1=.【答案】B题型一椭圆中的定值问题【例1】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,设椭圆E的上,下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T,证明:线段OT的长为定值.【解析】(1)由e==-=,得a=2b,①又2a+2b=6,即a+b=3,②联立①②,得a=2,b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.(2)由(1)可知,A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0),显然,直线PA1,PA2的斜率均存在,则直线PA1的方程为y-1=-x,令y=0,得x N=--.直线PA2的方程为y+1=x,令y=0,得x M=.由切割线定理可得|OT|2=|OM||ON|=-=4,∴|OT|=2,即线段OT的长为定值2.【追踪训练1】已知椭圆C:+=1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点Q(-1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-4于点E,=λ,=μ.判断λ+μ是否为定值,若是,计算出该定值;若不是,请说明理由.【解析】(1)由条件得解得∴椭圆的方程为+y2=1.(2)由题易知直线l斜率存在,令l:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(-4,y0), 由得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-.由=λ得(-1-x1,-y1)=λ(x2+1,y2),即--解得λ=-.由=μ得(-4-x1,y0-y1)=μ(x2+4,y2-y0),即---解得μ=-.∴λ+μ=-=-.将x1+x2=-,x1x2=-代入, ∴λ+μ=---=---=0.题型二椭圆中的定点问题【例2】已知A,B是椭圆+y2=1上的两点,且=λ,其中F为椭圆的右焦点.(1)求实数λ的取值范围.(2)在x轴上是否存在一个定点M,使得·为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知条件知直线AB过椭圆右焦点F(1,0).当直线AB与x轴重合时,λ=3±2.当直线AB不与x轴重合时,可设AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-.所以=-∈(-4,0].又由=λ,得-y1=λy2,所以==-λ-+2∈(-4,0],解得3-2<λ<3+2.综上,实数λ的取值范围是[3-2,3+2].(2)设M(a,0),则·=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(my1+1-a)(my2+1-a)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(1-a)(y1+y2)+(1-a)2=---+(1-a)2=--为定值,所以2a2-4a+1=2(a2-2),解得a=.故存在定点M,使得·为定值-.(经检验,当AB与x轴重合时也成立)【追踪训练2】设M是焦距为2的椭圆E:+=1(a>b>0)上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.(1)求椭圆E的方程.(2)已知椭圆E:+=1(a>b>0)上点N(x0,y0)处的切线方程为+=1.若点P是直线x=2上任意一点,从点P向椭圆E作切线,切点分别为C,D,求证:直线CD恒过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),则+=1,即n2=b2·-.=-,由k1k2=-,即·-=-,则a2=2b2.得-又c2=a2-b2=1,解得a2=2,b2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)设点P(2,t),切点C(x1,y1),D(x2,y2),则两条切线PC,PD的方程分别为+y1y=1,+y2y=1.因为点P在切线PC,PD上,所以x1+y1t=1,x2+y2t=1,故C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程x+ty=1,即x+ty=1为直线CD的方程.令y=0,得x=1,故直线CD过定点(1,0).题型三椭圆中的范围与最值问题【例3】已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程.(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F(c,0)(c>0),由坐标原点O到直线x-y-c=0的距离为,得=,解得c=1.又e==,∴a=,b=1.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)假设存在点M(m,0)(0<m<1)满足条件,∵直线l与x轴不垂直,∴设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2).得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由-∵Δ>0恒成立,∴x1+x2=,x1x2=-.设线段PQ的中点为N(x0,y0),则x0==,y0=k(x0-1)=-.∵|MP|=|MQ|,∴MN⊥PQ,∴k M N·k P Q=-1,-·k=-1,∴m==.即-∵k2>0,∴0<m<.【追踪训练3】平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减,得-+-=0.因为--=-1,设P(x0,y0),又P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2),解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2.又因为c=,所以a2=6.所以M的方程为+=1.(2)因为CD⊥AB,直线AB的方程为x+y-=0,设直线CD的方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1,得2x2-4x=0,解得x=0或x=.不妨令A(0,),B-,可得|AB|=.将y=x+m代入+=1,得3x2+4mx+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|=·-=-.又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|=.方法椭圆中的弦长计算1.有关弦的三个问题涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为一元二次方程之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系.(2)点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ是否为正数.【突破训练】如图,已知P为椭圆E:+=1(a>b>0)上的点,且a2+b2=5,过点P的动直线与圆F:x2+y2=a2+1相交于A,B两点,过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q.(1)求椭圆E的离心率;(2)若AB=2,求|PQ|.【解析】(1)由题意知,+=1,a2+b2=5,a>b>0,解得a2=3,b2=2,所以椭圆E的离心率e=-=.(2)由题意知,圆F的圆心为原点,半径r=2,|AB|=2,所以原点到直线AB的距离d=-·-=1.因为点P的坐标为,所以直线AB的斜率存在,设为k.所以直线AB的方程为y-1=k-,即kx-y-k+1=0,所以d=-=1,解得k=0或k=2.当k=0时,直线PQ的方程为x=,所以|PQ|的值为点P纵坐标的两倍,即|PQ|=2×1=2.当k=2时,直线PQ的方程为y-1=--,代入椭圆E的方程+=1,消去y并整理,得34x2-10x-21=0.设点Q的坐标为(x1,y1),所以+x1=,解得x1=-,所以|PQ|=-=.1.(2018太原模拟)已知点F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则该双曲线的离心率为().A. B. C.2 D.【解析】如图所示,点P与点F2关于直线y=x对称,∴OP=OF2=OF1=c,∴PF1⊥PF2.又∵tan∠PF1F2=,F1F2=2c,∴PF2=2b,PF1=2a.∵点P在双曲线上,∴|PF2|-|PF1|=2a⇒2b-2a=2a⇒b=2a⇒e==.【答案】D2.(2018山西省太原市五中月考)已知P为椭圆+=1上的一个点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.【解析】设圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4的圆心分别为F1(-3,0),F2(3,0),同时两圆心为椭圆的焦点,所以由椭圆定义得+=10.又根据圆外点到圆上点的最小距离等于圆外点与圆心连线长减半径,所以|PM|+|PN|≥-1+-2=+-3=10-3=7.【答案】73.(2018长沙月考)已知椭圆C:+=1(0<m<9)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为10,则m的值为.【解析】由0<m<9可知,焦点在x轴上,∵过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12,∴|BF2|+|AF2|=12-|AB|.当AB垂直x轴时,|AB|最小,|BF2|+|AF2|的值最大,此时|AB|=,∴10=12-,解得m=3.【答案】34.(2018四川绵阳模考)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点,若=6,则k的值为.【解析】依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<0,x2>0.且x1、x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=,由=6,知x0-x1=6(x2-x0),可得x0=(6x2+x1)=x2=.由点D在线段AB上知,x0+2kx0=2,得x0=,所以=,化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.【答案】或5.(2018湖南六校联考)设椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是4+2.(1)求椭圆C1的方程.(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A、B,过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E,若点C满足AB⊥BC,AD∥OC,连接AC交DE于点P,求证:PD=PE.【解析】(1)由e=知,=,所以c= a.因为△PF1F2的周长是4+2,所以2a+2c=4+2,所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设D(x0,y0),所以E(x0,0).因为AB⊥BC,设C(2,y1),所以=(x0+2,y0),=(2,y1).由AD∥OC,得(x0+2)y1=2y0,即y1=,所以直线AC的方程为=,整理得y=(x+2).又点P在直线DE上,将x=x0代入直线AC的方程,可得y=,即点P的坐标为,所以P为DE的中点,所以PD=PE.6.(2018汉中市质检)已知直线l:y=kx+与y轴的交点是椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为直线l:y=kx+与y轴的交点坐标为F(0,),所以椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点坐标为F(0,),所以椭圆的焦半距c=,所以m=c2+1=3+1=4,故椭圆C的方程为+x2=1.(2)将直线l的方程y=kx+代入+x2=1并整理,得(k2+4)x2+2kx-1=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.假设以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,则·=0,即x1x2+y1y2=0.又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,所以--+3=0,解得k=±.经检验知,此时Δ>0,符合题意.故存在k=±,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.7.(2018河北衡水中学高三上学期五调)已知椭圆C:+=1(a>b>0),圆Q:(x-2)2+(y-)2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB面积的取值范围.【解析】(1)∵椭圆C的右焦点F(c,0),=,∴c=2.∵点(2,)在椭圆C上,∴+=1.由a2-b2=4得a2=8,b2=4,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可得l1的斜率不为零,当l1垂直x轴时,△MAB的面积为×4×2=4,当l1不垂直x轴时,设直线l1的方程为y=kx+,则直线l2的方程为y=-x+,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-,则=-=.由圆心Q(2,)到l2的距离d1=<得k2>1,又MP⊥AB,QM⊥CD,∴GM∥AB,∴点M到AB的距离等于点Q到AB的距离,设为d2,即d2=-=,∴△MAB面积S=d2==4.令t=2k2+1∈(3,+∞),则∈,S=4-=4--∈,综上,△MAB面积的取值范围为.8.(2018四川巴蜀联盟)如图,点M在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B(A,B不重合)两点,求·的取值范围.【解析】(1)由已知得,2a=4,∴a=2.又点M在椭圆+=1(a>b>0)上,∴+=1,解得b2=2,∴所求椭圆的方程为+=1.(2)∵k O M=,∴k A B=-.设直线AB的方程为y=-x+m,联立方程消去y得13x2-4mx+2m2-4=0.-∵Δ=(4m)2-4×13(2m2-4)=8(12m2-13m2+26)>0,∴m2<26.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.·=x1x2+y1y2=7x1x2-m(x1+x2)+m2=-.结合0≤m2<26,可得·的取值范围是-.9.(2018福州模拟)已知点A(-4,0),直线l:x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明:A,S,T三点共线.【解析】(1)设点M(x,y),依题意,==2,化简得x2+y2=4,即轨迹C的方程为x2+y2=4.(2)由(1)知曲线C的方程为x2+y2=4,令y=0,得x=±2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为y=y0(x+2).由得(+1)x2+4x+4-4=0,所以-2x1=-,即x1=-,y1=.直线PF的方程为y=-(x-2).由--得(+9)x2-4x+4-36=0,所以2x2=-,即x2=-,y2=.所以k A S==-=,k A T==-=,所以k A S=k A T,所以A,S,T三点共线.10.(2018佛山质检)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的焦距为4,左、右焦点分别为F1、F2,且C1与抛物线C2:y2=x的交点所在的直线经过F2.(1)求椭圆C1的方程.(2)分别过点F1、F2作平行直线m、n,若直线m与C1交于A,B两点,与抛物线C2无公共点,直线n与C1交于C,D两点,其中点A,D在x轴上方,求四边形AF1F2D的面积的取值范围.【解析】(1)依题意得2c=4,则左、右焦点分别为F(-2,0)、F2(2,0).所以椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(2,),于是2a=|PF1|+|PF2|=4,从而a=2.又a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C1的方程为+=1.(2)依题意,直线m的斜率不为0,设直线m:x=ty-2,由-消去x并整理,得y2-ty+2=0,由Δ=(-t)2-8<0,得t2<8.由-消去x并整理,得(t2+2)y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|=|y1-y2|=-=.因为直线m与n之间的距离d=(即点F2到m的距离),由椭圆的对称性知,四边形ABCD为平行四边形,故S四边形AF1F2D=S四边形ABCD=··=.令=s∈[1,3),则S四边形AF1F2D===∈,所以四边形AF1F2D的面积的取值范围为.11.(2018广东省佛山市高三教学质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)设A(0,-1),直线l与椭圆C交于P,Q两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O为坐标原点)的面积S最大时,求直线l的方程.【解析】(1)依题意得+=1,e==,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)显然,直线l的斜率k存在.①当k=0时,可设直线l的方程为y=y0,P(-x0,y0),Q(x0,y0),则+=1.所以S=|2x0|·|y0|=|x0|·|y0|=2-≤2·-=2.当且仅当=2-,即=1时取等号,此时直线l的方程为y=±1.②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立消去y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-2)=0.由Δ=(8km)2-4(1+4k2)·4(m2-2)>0,得8k2+2>m2,(*)则有x1+x2=-,x1x2=-,于是可得PQ的中点坐标为-.因为|AP|=|AQ|,所以--=-,化简得1+4k2=3m,结合(*)可得0<m<6.又点O到直线l的距离d=,·-=-,所以S=|PQ|·d=··-.即S=-=--,所以当m=3时,S取得最大值,此时k=±,直线l的方程为y=±x+3.综上所述,直线l的方程为y=±1或y=±x+3.。
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.2第二课时 直线与椭圆的位置关系及应用》课件
又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e
直线与椭圆综合应用(含答案)
1、（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y=x+2上， 且AB ∥l ．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x.设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x -=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以12.2ABCh SAB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m. 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上， 所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++所以当m=-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞）此时AB 所在直线的方程为y=x-1.2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求点B 的坐标和实数m 的值． 解：（Ⅰ）由2a ＝4，得a ＝2离心率为a c ，c ＝3………………………2分222c a b -=＝13、且过点(2,1)A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:10l x y --=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
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椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系例1 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143.(1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.（2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22194x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。
由于该直线与椭圆无公共点，所以，()()22724108940k k ∆=-⨯⨯+<，解之得，k <<所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0.因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k4＋9k 2＝－2，解得k ＝89，此时，0∆>。
所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。
解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 214＝1① x 229＋y 224＝1② ①－②得()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=.③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89，即k ＝89。
由于圆心M (－2,1)在椭圆内，所以k ＝89符合题意。
所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.总结反思：①处理直线与椭圆位置关系方法通常采用代数法，利用直线方程与椭圆方程联立得到的一元二次方程的判别式确定位置关系；②处理直线与椭圆相交弦的中点问题通常有两种方法：韦达定理及点差法。
其中点差法通常解决与中点弦（弦中点）有关的问题。
③在利用韦达定理处理与直线、椭圆相交的有关问题时，需保证判别式为正数；在利用点差法解决与中点弦（弦中点）有关的问题时可以通过弦中点是否在椭圆内部判定所求结果是否满足题意。
变式1(2011·陕西高考)设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)方法一：过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．方法二：设过点(3,0)且斜率为45的直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且线段AB 的中点为()00,M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩。
由点A 、B 在椭圆上可得，221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，()()()()1212121202516x x x x y y y y +-+-+=，所以，()()0120122202516x x x y y y --+=，从而0121201625x y y x x y -=--。
另一方面，121245y y x x -=-，所以，00164255x y -=，即0045y x =-，① 又因为点()00,M x y 在过点()3,0，斜率为45的直线：()435y x =-上， 故()00435y x =-，② 联立①②，可解得，003265x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即36,25M ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
所以，过点()3,0，斜率为45的直线被椭圆C 截得线段的中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭。
考点二 如何求解与椭圆相关的最值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，直线l ：2a x c =与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上一点。
（1）求证：A 、C 、T 三点共线；（2）如果3BF FC =，四边形APCB的面积最大值为23，求此椭圆的方程和点P 的坐标。
解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，① 则()0,A b ，()0,B b -，2,0a T c ⎛⎫⎪⎝⎭。
直线AT 的方程为：21x y a b c+=-，② 直线BF 的方程为：1x y c b+=-，③ 联立②③，可得点C 的坐标为2322222,a c b a c a c ⎛⎫⎪++⎝⎭，代入①得，()()222322222222222222241a c b a c a c a c a c a b a c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭+==+， 满足①式，则点C 在椭圆上，A 、C 、T 三点共线。
（2）据题意可得，(),0F c ，(),BF c b =，2332222,a c c b FC a c a c ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭。
因为3BF FC =，所以232232233a c c c a c b b a c ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，化简得，222a c =，22b c =。
则()0,A c ，()0,B c -，4,33c c C ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆方程为222212x y c c +=，即22222x y c +=。
故3AC c =，21442233ABC c c S c ∆=⋅⋅=。
设点()00,P x y ，则2220022x y c +=。
直线AC 的方程为：220x y c +-=，所以，点P 到直线AC的距离d =，结合点P 在直线AC的上方，可知d =，从而0022112233APC x y c S d AC c ∆+-=⋅==⋅。
下面只需求出002x y +的最大值。
思考：如何求二元函数的最值？方法一：（三角代换）设0cos x θ=⋅，0sin y c θ=⋅。
所以002cos 2sin x y c θθθθ⎫+=⋅+⋅=⋅+⎪⎪⎝⎭，令sin 3ϕ=，cos 3ϕ=，ϕ为锐角。
故()()002sin cos cos sin sin x y ϕθϕθϕθ+⋅+=⋅+。
当2πϕθ+=，cos cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=-==⎪⎝⎭sin sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭时，002x y +。
即当003x y c ==时，002x y +。
显然，此时点P 的坐标为,33c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆弧AC 上，符合题意。
则()2max 2233APC c S c c ∆-=⋅=。
所以，四边形APCB 22243c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为2212x y +=，点P 的坐标为⎝⎭。
方法二：（基本不等式）因为()2220000002422x y x y x y +=++⋅，结合不等式：2200002x y x y ≤+，可知()()()2222222222000000000000242242326x y x y x y x y x y x y c +=++⋅≤+++=+=，故002x y +≤，当且仅当002220022x y x y c=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即00x y ==时，002x y +。
则()2max APC S c ∆==。
所以，四边形APCB的面积最大值为22224223333c c c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为2212x y +=，点P的坐标为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。
方法三：（线性目标函数） 令002x y t +=，即001122y x t =-+，代入椭圆2220022x y c +=， 可得 ()222002220t y y c -+-=，即222006420y ty t c -+-=。
据题意可得，()()22242420t t c∆=---≥，解之得t ≤。
当t =时，代入原方程解得，003x y ==。
则()2max 2233APC c S c c ∆-=⋅=。
所以，四边形APCB的面积最大值为22224223333c c c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为2212x y +=，点P的坐标为⎝⎭。
反思总结：解决二元函数(),z f x y =最值的常用方法： ① 将二元函数化归为一元函数()(),z f x y g t ==； ② 利用基本不等式；③ 利用(),z f x y =的几何意义，如距离，斜率，线性目标函数等。
变式2 如图，设A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值．解：（1）由题意可知， (),0A a ，()0,B b ，则点M 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭。