结构抗力中结构功能函数和极限方程
结构设计原理第2章 结构极限状态计算
规定时间——对结构进行可靠度分析时，结合 结构使用期，考虑各种基本变量与时间关系所 取用的基准时间参数，即设计基准期。我国公 路桥梁结构的设计基准期为100年。 设计基准期≠使用寿命，当结构的使用年限超 过设计基准期时，表明它的失效概率可能增大， 不能保证其目标可靠度，但不等于结构丧失功 能甚至报废。通常使用寿命长，则设计基准期 就长，设计基准期小于寿命期。
R－抗力方面的基本变量组成的综合抗力；
S－作用效应方面的基本变量组成的综合效应。
2.
结构功能函数与可靠、失效、极限状态的对 应关系
Z=R–S>0：结构可靠 Z=R–S<0：结构失效
Z=R–S＝0：结构处于极限状态
结构可靠度设计的目的用功能函数表示，应满足
Z＝g（X1，X2，…，Xn）≥0或Z＝R－S ≥0
f
( )
。
－无量纲系数，称为结构可靠指标。 与
失效概率 Pf 有一一对应关系， 越大， Pf 越 小 ，结构越可靠。(表2-1)
2.1.5 目标可靠指标
定义：用作公路桥梁结构设计依据的可靠 指标。 确定方法：采用“校准法”并结合工程经 验和经济优化原则加以确定。 校准法——根据各基本变量的统计参数和 概率分布类型，运用可靠度的计算方法， 揭示以往规范隐含的可靠度，以此作为确 定目标可靠指标的依据。
采用近似概率极限状态设计法，设 计计算应满足承载能力和正常使用两类 极限状态的各项要求。
2.2.1 三种设计状况
持久状况
桥涵建成后承受自重、车辆荷载等 作用持续时间很长的状况。对应于桥梁 的使用阶段，必须进行承载能力极限状 态和正常使用极限状态的设计。
短暂状况
桥涵施工过程中承受临时性作用 （或荷载）的状况。对应于桥梁的施工 阶段，一般只进行承载能力极限状态计 算（以计算构件截面应力表达），必维护条件下，在规定 时间内，具有足够的耐久性，如不出现 过大的裂缝宽度，钢筋不锈蚀。（耐久 性）
结构功能函数.
P s P Z 0≥()0
∞Z f Z Z ()⎛⎜⎠d :=结构功能函数
（R 为抗力，S 为荷载效应）
Z=R —S
Z>0,结构可靠;
Z<0,结构失效；
Z ＝0，结构处于极限状态。
结构失效概率
结构失效概率就是结构处于失效状态的概率，以pf 表示。
P f P Z 0<()∞-0Z
f Z Z ()⎛⎜⎠d :=
f Z Z ()--------结构功能函数Z 的概率分布函数
结构可靠度
结构可靠度是结构可靠性的概率量度。
具体的就是：
结构在规定时间内，在规定条件下，完成预定功能的概率。
以ps 表示。
f Z Z ()--------结构功能函数Z 的概率分布函数
结构可靠度ps 与结构失效概率pf 的关系
由于上述两事件是对立的，因此结构可靠度ps 与结构失效概率pf 有下列关系：
P s ＋P f ＝1
结构可靠指标
β为结构可靠指标
设R 和S 为两个相互独立的正态随机变量，他们的均值和方差分别为 μZ =μR -μS
σZ 2
σR
2
σS
2
+
βμz σz
当β增大时，失效概率P s
减小。
当结构功能函数的基本变量不为正态分布或对数正态分布时，
βφ1
-
-p f
()
式子中φ1
-
---表示标准正态分布函数的反函数。
这个式子也表明了可靠指标和失效概率的关系。
混凝土简答题.上
第一章简答题1．试述混凝土棱柱体试件在单向受压短期加载时应力一应变曲线的特点。
在结构计算中，峰值应变和极限压应变各在什么时候采用?2．什么是混凝土的徐变?影响混凝土徐变的主要因素有哪些?徐变会对结构造成哪些影响? 3．画出软钢和硬钢的受拉应力一应变曲线?并说明两种钢材应力一应变发展阶段和各自特点。
4．混凝土结构对钢筋的性能有哪些要求?1．图1-1是一次短期加载下混凝土的应力-应变曲线。
oa段，ζc-εc关系接近直线，主要是骨料和结晶体受里产生的弹性变形。
ab段，ζc大约在（0.3～0.8）cf之间，混凝土呈现明显的塑性，应变的增长快与应力的增长。
bc段，应变增长更快，直到峰值应变0，应力此时达到最大值----棱柱体抗压强度fc。
cd段，混凝土压应力逐渐下降，当应变达εcu时，应力下降趋缓，逐渐稳定。
峰值应变ε0，是均匀受压钩件承载力计算的应变依据，一般为0.002左右。
极限压应变，是混凝土非均匀受压时承载力计算的应变依据，一般取0.0033左右。
2．在不变的应力长期持续作用下，混凝土的变形岁时间的增长而徐徐增长的现象称为徐变。
徐变主要与应力大小、内部组成和环境几个因素有关。
所施加的应力越大，徐变越大；水泥用量越多，水灰比越大，则徐变越大；骨料越坚硬，徐变越小；振捣条件好，养护及工作环境湿度大，养护时间长，则徐变小。
徐变会使构件变形增加，是构件的应力发生重分布。
在预应力混凝土结构中徐变会造成预应力损失。
在混凝土超静定结构中，徐变会引起内力重分布3．图1-2是软钢（有明显流幅的钢筋）的应力-应变曲线。
在A点（比例极限）之前，应力与应变成比例变化；过A点后，应变较应力增长快，到达B’点（屈服上限）钢筋开始塑流；B点（屈服下限）之后，钢筋进入流幅，应力基本不增加，而应变剧增，应力-应变成水平线；过C点后，应力又继续上升，到达D点（极限强度）；过D点后钢筋出现颈缩，应变迅速增加，应力随之下降，在E点钢筋被拉断。
9-结构可靠度分析与计算
第9章
结构可靠度分析与计算
·159·
解：(1) 取用抗力作为功能函数。 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 极限状态方程为 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 = 0 由式(9-9)得： μ Z = μ f μW − M = 234 × 9.0 × 105 − 130.0 × 106 = 8.06 × 107 N ⋅ m 由式(9-9)得：
R=Rc+Rs=fcAc+fyAs 混凝土抗力 Rc 的统计参数为：
μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kN σRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN
钢筋抗力 Rs 的统计参数：
μRs=Asμfy=1964×380=746.3kN σRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN
查表 9-1 可得，相应的失效概率 Pf 为 2.06×10-4。
·157·
·158·
荷载与结构设计方法
9.2
9.2.1 均值一次二阶矩法
结构可靠度计算
均值一次二阶矩法(中心点法)是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思路 为：利用随机变量的平均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩)的数学模型，分析结构的可 靠度，并将极限状态功能函数在平均值(即中心点处)作 Taylor 级数展开，使之线性化，然 后求解可靠指标。 设 X1，X2， …，Xn 是结构中 n 个相互独立的随机变量，其平均值和标准差分别为 μ X 和
β=
μZ σZ
μ
=
g ( μ X ，μ X ，…，μ X )
1 2 n
(9-10)
μ
g 2 2 (∂ ) σX ∑ i =1 ∂ X i μ
结构功能函数.
三、荷载与材料强度取值
最大荷载概率分布的某一分位值确定。
设计值与标准值的关系
永久荷载设计值= 永久荷载标准值×永久荷载分项系数 γg 可变荷载设计值= 可变荷载标准值×可变荷载分项系数 γq 混凝土强度设计值= 混凝土强度标准值÷砼材料分项系数γc 钢 筋强度设计值= 钢 筋 强度标准值÷钢筋材料分项系数γs
大家辛苦了！
按承载能力极限状态设计的实用表达式
0 —结构构件重要性系数
0S R
一级=1.1、二级=1.0、三级=0.9
1）由可变荷载效应控制的组合
按永久荷载标准值 计算的荷载效应值 可变荷载效应 中的最大值 n
可变荷载的 组合值系数
S G S Gk Байду номын сангаас
Q1
S Q1k Q i ci S Q ik
概念
（ 一 ） 荷 载 标 准 值
概念
等级划分
Sk = μs＋αs бs =μs（1＋αs δs） 永久荷载标准值（Gk或gk） 可变荷载标准值（Qk或qk）
（一）荷载标准值
荷载标准值是指结构或构件设计时，采用的各种荷载的基 本代表值。按设计使用年限内荷载最大值的概率分布的某一分 位值确定。
（1）永久荷载标准值（Gk或gk）：可按结构构件的设计 尺寸与材料重度标准值计算。 （2）可变荷载标准值（Qk或qk）：根据设计使用年限内
结构的可靠度和极限状态方程
能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该
功能的极限状态。极限状态实质上是区分结构可靠与
失效的界限。
极限状态分为两类：
承载能力极限状态
—— 安全性
正常使用极限状态 —— 适用性、耐久性
通常对结构构件先按承载能力极限状态进行承载能力计算，然后根据 使用要求按正常使用极限状态进行变形、裂缝宽度或抗裂等验算。
抗力R均符合正态分布，
bz
因此结构的功能函数也
符合正态分布。如图：
Pf
结构功能函数 Z = R - S
Pf =P (S >R) =P(Z< 0)
z
Z=R- S
z Z 的平均值 z Z 的标准差
Pf
b
Z Z
R S
2 R
2 S
13
4 结构构件的可靠指标(reliability index)
Pf
2
第三章 结构设计方法
• 钢筋混凝土简支梁极限状态
表 4.1 钢筋混凝土简支梁的可靠、失效和极限状态概念
结构的功能
可靠
极限状态
失效
安全性 受弯承载力 适用性 挠度变形
M < Mu f < [f]
M = Mu f = [f]
M > Mu f > [f]
耐久性 裂缝宽度 wmax< [wmax] wmax= [wmax] wmax> [wmax]
★永久荷载G ★可变荷载Q
S CG G CQ1 Q1 ★偶然荷载（作用）
◆实际作用在结构上的荷载大小具有不定性，应当按随机变量， 采用数理统计的方法加以处理。这样确定的荷载是具有一定 概率的最大荷载值，该值称为荷载标准值（符号Gk，Qik）。
钢筋混凝土结构各章重点(0-4章)
钢筋混凝土结构各章重点绪论1、混凝土结构概念：以混凝土为主要材料制作的结构称为混凝士结构。
◇2、混凝土结构分类：包括素混凝土结构、钢筋混凝土结构和预应力混凝土结构等三类。
◇3、钢筋和混凝土共同工作的主要原因钢筋和混凝土是两种物理、力学性能很不相同的材料，它们可以相互结合共同工作的主要原因是：①混凝土结硬后，能与钢筋牢固地粘结在一起，相互传递内力。
粘结力是这两种性质不同的材料能够共同工作的基础；②钢筋的线膨胀系数为 1.2×10-5℃-1，混凝土的为 1.0×10-5℃-1～1.5×10-5℃-1，二者数值相近。
因此.当温度变化时，钢筋与混凝土之间不会存在较大的相对变形和温度应力而发生粘结破坏。
③钢筋包裹在混凝土中，混凝土保护层可以保护钢筋，避免或延缓钢筋锈蚀。
◇4、钢筋混凝土结构的优点：钢筋混凝土结构除了比素混凝土结构具有较高的承载力和较好的受力性能以外。
与其他结构相比还具有下列优点：①就地取材。
钢筋混凝土结构中，砂和石料所占比例很大，水泥和钢筋所占比例较小。
砂和石料一般可以由建筑工地附近供应。
②节约钢材。
钢筋混凝土结构的承载力较高。
大多数情况下可用来代替钢结构，因而节约钢材。
③耐久、耐火。
钢筋埋放在混凝土中，受混凝土保护不易发生锈蚀，因而提高了结构的耐久性。
当火灾发生时。
钢筋混凝土结构不会象木结构那样被燃烧，也不会象钢结构那样很快软化而破坏。
④可模性好。
钢筋混凝土结构可以根据需要浇捣成任何形状。
⑤现浇式或装配整体式钢筋混凝土结构的整体性好，刚度大。
◇5、钢筋混凝土结构的缺点：①自重大。
钢筋混凝土的重度约为25kN/m3，比砌体和木材的重度都大。
尽管比钢材的重度小，但结构的截面尺寸比钢结构的大，因而其自重远远超过相同跨度或高度的钢结构。
②抗裂性差。
如前所述，混凝土的抗拉强度非常低，因此，普通钢筋混凝土结构经常带裂缝工作。
尽管裂缝的存在并不一定意味着结构发生破坏，但是它影响结构的耐久性和美观。
结构可靠度分析
Pf min Pfi
i1, n
对于超静定结构，当结构失效形态唯一时，结构体系的可 靠度总大于或等于构件的可靠度；当结构失效形态不唯一时， 结构每一失效形态对应的可靠度总大于或等于构件的可靠度， 而结构体系的可靠度又总小于或等于结构每一失效形态所对应 的可靠度。
（3）串-并联模型
在延性构件组成的超静定结构中，若结构的最终失效形态不 限于一种，则这类结构系统可用串 -并联模型表示。
* 多失效形态的超静定结构的失效分析——串-并联模型。 * 由脆性构件组成的超静定结构，其并联子系统可简化为一个
元件——串联模型。(当一个元件发生破坏，就可近似认为整个结构破坏)
中心点法的优缺点
优点： 计算简便，可靠指标β具有明确的物理概念和几何意义。 缺点： （1）中心点法建立在正态分布变量基础上，没有考虑有关基本 变量分布类型的信息。 （2）当功能函数为非线性函数时，因该方法在中心点处取线性
近似，由此得到的可靠指标β将是近似的，其近似程度取决于线
性近似的极限状态曲面与真正的极限状态曲面之间的差异程度。
当结构的功能函数为非线性函数时：
结论2：当X=[X1，X2，…，Xn]T为独立正态随机向量时，可靠指 标β的绝对值近似等于在标准化空间中原点到过极限状态非线性 曲面上某点（常取为均值点）切面的距离。
结论3：当X=[X1，X2，…，Xn]T为独立正态随机向量时，且在X 的标准化空间中极限状态曲面为单曲曲面，则用原点到极限状态 曲面的最短距离代替可靠指标所产生的误差最小。 （见图9-5）
构件失效性质的不同，对结构体系可靠度的影响也不同。
2、结构体系的失效模型
组成结构的方式（静定、超静定） 构件失效性质（脆性、延性）
三种基本失效模型：串联模型、并联模型、串-并联模型。