解直角三角形易错题
解直角三角形错题集 数学学科组： 班级： 姓名：
一、选择题（每题3分，共42分）
1、如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( )
A.12
B.55
C.1010
D.255
（1题） (2题) (3题) (4题)
2.如图 在4x4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦是（ ）
A.2
B. 552
C.2
1 D.55 3.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,Q,四点均在正方形网格的格点上，线段AB 、PQ 交于点M ，则∠QMB 的正切值是（ ）
A.2
1 B. 1 C.3 D.
2 4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠,B=30°，P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ）A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
5.在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=α，BD 是斜边AC 上的高，那么（ ）
A.AC=BC ·sinα
B.AC=AB ·cosα
C.BC=AC ·tanα
D.CD=BD ·tanα
6.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（ ）
A ．b=a·tanA
B ．b=c·sinA
C ．a=c·cosB
D ．c=a·sinA
7. Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AB=a ，∠B=α，则AD 等于( )
A.asin 2α
B.acos 2α
C.asinα·cosα
D.atanα
8.若∠A 是锐角，且4
3cosA =，则（ ） A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
9.在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：3：2，则sinA+tanA 等于（ ）．
A ．
6323+ B.32
1+ C.233 D.213+ 10 .菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=6，则sin 2A =( ) A.53 B.5
4 C.34343 D.3434
5 11．已知△A 为锐角，且cosA≤12
，那么（ ） A ．0°<△A≤60°B ．60°≤△A<90° C ．0°<△A≤30°D ．30°≤△A<90°
12、当锐角△A>60°时，cosA 的值（ ）．
A ．小于12
B ．大于12
C ．大于 3 2
D ．大于1 13、式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是( )
A. 23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2 14、点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）
A ．（32，12）
B ．（-32，12）
C ．（-32，-12）
D ．（-12，-3
2）
二、填空题（每题3分，共18分）
1 .Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，两直角边之和为14，则它的斜边长为_________ 2.如图（2
），在△ABC 中，△ACB =90°，BC =4，AC =5，CD △AB ，则sin△ACD 的值是 ，tan△BCD 的值是 .
（2） （3）
3.在△ABC 中，△A=75°，2cosB=2，则tanC = .
4.若α是锐角，sinα+cosα =2
3，则sinα·cosα 的值为 .
A B
C D 5..已知α为锐角，3tan 3
3≤≤α，则α的取值范围是 . 6.如图（3），在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，∠BAE=30O ，AE=2，则BD=________
三、解答题（第2、4题每题5分，其他每题6分，共40分）
1.计算：(1)cos45°sin45°＋2sin60°tan60°－1tan30°＋tan45° (2)sin45°＋cos30°3－2cos60°
－sin60°(1－sin30°)
2.如图所示，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC,∠CBE=
2
1∠ABE.求证：DE=2AB.
3.在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD△AB 于点D ，AC= 5 ，BC=2，求sin△ACD 的值。
4．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正切值．
5.一位同学想利用树影测量树高，某一时刻他在太阳光下，测得长为1米的竹竿的影长为0.9米，但他在测量树影时，发现因树靠近一墙壁，影子不能全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得墙壁上的影高为1.2米，测得地面上的影长为2.7米，请你帮他求出树高.
6.如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，△A＝30°，E为AB边上一点且AE：EB=4：1，EF△AC 于点F，连接FB，求tan△CFB的值.
1 ，△B＝60°，△C＝45°，求AB的长.
7.如图，在△ABC中，已知BC=3。
常见常新题型__注重解题方法——解三角形易错点扫描
ʏ江苏省高邮市第一中学 袁达飞解三角形问题是高考中的常见题型,主要利用正弦定理㊁余弦定理来求解未知边角的关系或具体值,由于解三角形需要综合应用正余弦定理和有关角的一些变换,所以经常会出现一些顾此失彼的错误,现归纳如下,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁忽视解的讨论致误例1 在әA B C中,已知a =2,b =2,A =45ʎ,求B ㊂错解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或150ʎ㊂剖析:上述解法中忽现了A +B +C =180ʎ这一隐含条件,当B =150ʎ时,A +B =195ʎ,与三角形的内角和为180ʎ矛盾㊂正解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或B =150ʎ㊂若B =150ʎ,则A +B >180ʎ,应舍去㊂故B =30ʎ㊂易错点二㊁忽视三角形中角的范围致误例2 在әA B C 中,已知(a 2+b 2)㊃s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n C ,判断әA B C 的形状㊂错解:原式可化为(a 2+b 2)(s i n A c o s B-c o s A c o s B )=(a 2-b 2)(s i n A c o s B +c o s A s i n B ),即a 2s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ㊂由正弦定理得b 2s i n 2As i n 2B㊃s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ,化简得s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以A =B ㊂所以әA B C 是等腰三角形㊂剖析:上述解法忽略了角的范围,s i n 2A=s i n 2B 是2A =2B 的必要但不充分条件,另外,有些同学也可能由于逻辑关系不清而出现以下错误的判断:由s i n 2A =s i n 2B ,得2A =2B ,又2A +2B =π,且A =B ,A +B =π2,所以әA B C 是等腰直角三角形㊂正解:将条件都化为有关角的关系形式,前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂因为A ,B 是三角形的内角,所以2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2㊂故әA B C 是等腰三角形或直角三角形㊂易错点三㊁忽视隐含条件致误例3 在不等边әA B C中,a 为最大边,若a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是㊂错解:因为a 2<b 2+c 2,所以b 2+c 2-a2>0,则c o s A =b 2+c 2-a22b c>0㊂又因为A 为әA B C 的内角,故A 为锐角,所以0<A <90ʎ㊂剖析:上述解法忽视了隐含条件:三角形的内角和为180ʎ,所以最大边所对的角应该大于60ʎ㊂正解:前面同错解,得0ʎ<A <90ʎ㊂又因为a 为最大边,所以A >60ʎ㊂所以60ʎ<A <90ʎ㊂故A 的取值范围是(60ʎ,90ʎ)㊂易错点四㊁忽视角之间的关系致误例4 在әA B C 中,若s i n 2A s i n 2B =t a n Ata n B ,则әA B C 的形状为㊂错解:已知s i n 2A s i n 2B =t a n A ta n B =s i n A c o s Bc o s A s i n B ㊂因为s i n A >0,s i n B >0,所以s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以2A =2B ,即A =B ㊂故әA B C 为等腰三角形㊂剖析:上述解法忽视了 在әA B C 中,由72解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 2A =s i n 2B ,可以得到2A +2B =π这种情况,导致漏解,结果错误㊂正解:前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂所以2A =2B 或2A +2B =π,则A =B 或A +B =π2,故әA B C 为等腰三角形或直角三角形㊂易错点五㊁忽视三角形中三边的基本关系致误例5 已知钝角三角形的三边长分别是2a +1,a ,2a -1,求实数a 的取值范围㊂错解:因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边,所以2a +1>0,a >0,2a -1>0,解得a >12㊂又2a +1是三边长的最大值,设该边所对的角为θ,则c o s θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)<0,解得12<a <8㊂剖析:不是任意的三个正数都能作为三角形的三条边长,还需要满足三角形三边的基本关系,即两边之和大于第三边㊂上述解法中少了这个约束条件㊂正解:前面同错解,得12<a <8㊂又a +(2a -1)>2a +1,解得a >2㊂综上可得,实数a 的取值范围是(2,8)㊂易错点六㊁实际问题中题意不明致误图1例6 如图1,在海岛A 上有一座海拔1k m的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛北30ʎ东㊁俯角为60ʎ的B 处,到11时10分,又测得该船在岛北60ʎ西㊁俯角为30ʎ的C 处㊂(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D 处,试问:此时船距海岛A 有多远?易错分析:有的同学对题意没有理解透彻,方位确定不了,不能观察出әB A C 是直角三角形;有的同学在求A D 的长时不能放在әA C D 中利用正弦定理求解㊂剖析:实际应用问题中的有关名词㊁术语不能混淆㊂①仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角㊂②方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角㊂③方位角:从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角㊂④坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数㊂正解:(1)在R tәP A B 中,øA P B =60ʎ,P A =1,所以A B =3(k m )㊂在R t әP A C 中,øA P C =30ʎ,所以A C=P A ㊃t a n 30ʎ=33(k m )㊂在әA C B 中,øC A B =30ʎ+60ʎ=90ʎ,所以B C =A C 2+A B 2=332+32=303(k m )㊂所以该船的航行速度为303ː16=230(k m /h)㊂(2)øD A C =90ʎ-60ʎ=30ʎ㊂s i n øD C A =s i n (180ʎ-øA C B )=s i n øA C B =A B B C =3303=31010㊂s i n øC D A =s i n (øA C B -30ʎ)=s i n øA C B ㊃c o s 30ʎ-c o s øA C B ㊃s i n 30ʎ=31010㊃32-1-310102㊃12=33-11020㊂在әA C D 中,由正弦定理得A Ds i n øD C A=A C s i n øC D A ,所以A D =A C ㊃s i n øD C As i n øC D A=33㊃3101033-11020=9+313(k m )㊂故当船到达海岛的正西方向的D 处时,船与海岛A 的距离为9+313k m ㊂(责任编辑 王福华)82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
猜题06直角三角形的边角关系(易错必刷30题8种题型专项训练)(原卷版)
第6章 直角三角形的边角关系（易错必刷30题8种题型专项训练）➢锐角三角函数的定义 ➢锐角三角函数的增减性 ➢特殊角的三角函数值 ➢解直角三角形➢解直角三角形的应用➢解直角三角形的应用坡度坡角问题➢解直角三角形的应用仰角俯角问题➢解直角三角形的应用方向角问题一．锐角三角函数的定义（共8小题）1．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，则cos A 的值等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点A 的坐标为（0，3），tan ∠ABO ＝，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．6C ．12D ．84．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝，AB ＝4，则cos B 的值是（ ） A ． B ． C ． D ．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）A．8B．12C．13D．186．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是．7．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cos A＝，则BC的长为．二．锐角三角函数的增减性（共1小题）9．若∠A是锐角，且sin A＝，则（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°三．特殊角的三角函数值（共2小题）10．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0，那么∠C＝．11．计算：（1）tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°；（2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°．四．解直角三角形（共5小题）12．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A．B．2C．D．13．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．14．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）+1B．﹣1C．D．A．15．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（）A．B．5﹣C．D．5﹣216．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tan A＝．五．解直角三角形的应用（共3小题）17．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm18．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tan B＝tan C ＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面为cm2．19．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C 之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）．六．解直角三角形的应用坡度坡角问题（共2小题）20．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB．C．5sinαD．21．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）七．解直角三角形的应用仰角俯角问题（共6小题）22．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．23．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）24．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）25．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．26．小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588cos15°≈0.9659tan15°≈0.2677）27．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上）（1）求FG的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）八．解直角三角形的应用方向角问题（共3小题）28．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．29．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）30．如图，B地在A地的北偏东56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的分路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）。
备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析
备战中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案解析一、直角三角形的边角关系1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）求证：△AMD≌△CMD；（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以2114ACBS MDS AB⎛⎫==⎪⎝⎭V，所以S△MCB=12S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1，由于1EBDS MES EB=V，从而可知52MEEB=，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，∵∠ACB=∠MED=90°，∴△MED∽△BCA；（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，∴MB=MC=AM，∴∠MCB=∠MBC，∵∠DMB=∠MBC，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1， ∵1EBDS MES EB=V ， ∴1125S MEEB S =，∴52ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，∵12MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．5．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数6．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142．【答案】塔高AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451ABAEB EB∠=︒==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15． 在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AHADH HD∠=． 即得 3tan3215x x -︒=+． 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒．∴ 塔高AB 约为32.99米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米． 【解析】 【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒， ∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BNDN =≈o米，∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.8．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（4，0），点D 在边AB 上，且tan ∠AOD ＝12，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ． （1）求B ，D 两点的坐标；（2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小；（3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标．【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216,77⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭，理由见解析 【解析】【分析】（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B（4，4），再由tan∠AOD= 12得AD=12OA=2，据此可得点D坐标；（2）由1tan2GFGOFOF∠==知GF=12OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即GF=12EF，根据GH∥x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位线，即HD∥BE，据此可得答案；（3）分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得．【详解】解：（1）∵A（4，0），∴OA＝4，∵四边形OABC为正方形，∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，∴B（4，4），在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，∵tan∠AOD＝12，∴AD＝12OA＝12×4＝2，∴D（4，2）；（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°∴tan∠GOF＝GFOF ＝12，即GF＝12OF，∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，∴GF＝12EF，∴G为EF的中点，∵GH∥x轴交AE于H，∴H为AE的中点，∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴HD∥BE，∴∠HDA＝∠ABO＝45°．（3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，则x＝22x，解得：x＝22，∴E（8﹣2，8﹣2如图3，当点E在线段OB的延长线上时，x＝2x﹣2，解得：x＝2+2，∴E（8+42，8+42）；②若⊙G与对角线AC相切，如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，过点G作GQ⊥AC于点Q，则GQ＝PM＝3x﹣2∴3x﹣2＝22x，∴227x=，∴42164216,77E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；如图5，当点E在线段OM上时，GQ＝PM＝22﹣3x，则22﹣3x＝2﹣2x，解得422x-=，∴16421642,77E⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；如图6，当点E在线段OB的延长线上时，3x﹣22x﹣2，解得：4227x=（舍去）；综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216++⎝⎭或16421642--⎝⎭．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．9．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【答案】建筑物CD的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD 的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.10．已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35时，求BF CF 的值； (2)如图2,当tan ∠ABC=12时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积【答案】(1)17；（2）80；（3）100. 【解析】【分析】 (1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a ,∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴BK =CK =4a ,∴BF =a ,又∵CF =7a ,∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，∵∠AGE =∠DHE =90°,∴△EGA ∽△EHD ,∴EH ED EG EA=， ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝12， cos ∠ABC ＝5， ∴BA ＝BC · cos ∠ABC ＝5， BK= BA·cos ∠ABC ＝855⨯= ∴EG =8,另一方面：ED =BC =10,∴EH ·EA =80 (3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,∵BC ∥KT ,BF AF FG KE AE ED ==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG ED CG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG FG CG =， ∴ED 2= KE ·DT ∴KE ED DE DT= ， 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CD BE DT=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.11．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处．求这艘轮船的航行路程CE 的长度．（结果精确到0.1km ）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o =8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ，∴AE BD AF BF， ∴AE=6km ， 在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.12．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B 作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA=∠ABC；（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）如图，连接OA，由AE为⊙O的切线，BD⊥AE得到∠DAO=∠EDB=90°，于是得到DB∥AO，推出∠DBA=∠BAO，由于OA=OB，得到∠ABC=∠BAO，即可得到结论；（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．试题解析：（1）如图，连接OA，∵AE为⊙O的切线，BD⊥AE，∴∠DAO=∠EDB=90°，∴DB∥AO，∴∠DBA=∠BAO，又∵OA=OB，∴∠ABC=∠BAO，∴∠DBA=∠ABC；（2）∵BD=1，tan∠BAD=，∴AD=2，∴AB=，∴cos∠DBA=；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=．∴⊙O的半径为2.5．考点：1.切线的性质；2.勾股定理；3.解直角三角形．。
秋九年级数学上册 专题训练 解直角三角形易错问题归纳 (新版)华东师大版
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————专题训练(五) 解直角三角形易错问题归纳►易错点一没有找准边、角的对应关系，生搬硬套1．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝5，求AC与BC的长．►易错点二没有说明在直角三角形中，缺少推理依据2．如图Z－5－1，△ABC是一块绿地，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝20，求△ABC的面积．图Z－5－1►易错点三忽略锐角三角函数的取值范围3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10.若sin A是方程2x2－3x＋1＝0的根，求BC的长．►易错点四对坡度的概念理解不准确4．［2016·营口］某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．如图Z－5－2所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD＝60°.为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC＝20米．求斜坡BC 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图Z－5－2►易错点五忘记分类讨论5．在△ABC中，AB＝12 2，AC＝13，cos B＝22，则边BC的长为( )A．7 B．8 C．8或17 D．7或176．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝40 cm，BC＝25 cm，求△ABC的面积．1．解：∵tan60°＝AC 5， ∴AC ＝5tan60°＝5 3.由勾股定理，得BC ＝（5 3）2＋52＝10.2．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝20cos30°＝10 3， CD ＝12×20＝10， ∴tan45°＝10BD， ∴BD ＝10，∴AB ＝10＋10 3，∴S △ABC ＝12×(10＋10 3)×10＝50＋50 3.3．解：因为方程2x 2－3x ＋1＝0的根为x ＝12或x ＝1， 所以sin A ＝12或sin A ＝1. 由题意知∠A 为锐角，所以0<sin A <1，所以sin A ＝12. 因为sin A ＝BC 10＝12， 所以BC ＝5.4．解：如图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点C 作CN ⊥BD 于点N ，则四边形ACNM 为矩形，∴MN ＝AC ，CN ＝AM .∵∠ABD ＝60°，∠CBD ＝45°，∴BN ＝CNtan 45°＝CN ，BM ＝AM tan60°＝33CN ，BC ＝CN sin45°＝2CN . ∵AC ＝BN －BM ，AC ＝20米， ∴20＝CN －33CN ， ∴CN ＝30＋10 3≈47.30(米)，∴BC ＝2CN ≈1.41×47.30≈66.7(米)．答：斜坡BC 的长约是66.7米．5．D6．解：分两种情况讨论：(1)如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝40cos30°＝203，CD ＝12×40＝20， ∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3＋15)＝(200 3＋150)cm 2.(2)如图②，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则 AD ＝40cos30°＝20 3，CD ＝12×40＝20，∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3－15)＝(200 3－150)cm 2. 答：△ABC 的面积为(200 3＋150)cm 2或(200 3－150)cm 2.。
解直角三角形易错题型(带答案)
解直角三角形易错题【基础题型】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C=90°，下列等式不正确的是（ ）A. sin 2A+cos 2=1B. sin 2（90°- A ）+ cos 2（90°- A ）=1C. C.sin （60°- A ）=cos （30°+ A ）D. tanA · cotA=12. 已知α为锐角，且cos （α-10°）=23，则α等于（ ） A.20° B.40° C.60° D.80°3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于（ ）A. 43B.34C.53D.544. 在△ABC 中，∠C=90°，斜边AB=m ，∠B=40°，则直角边BC 的长是（ ）A. msin40°B.msin50°C.mtan40°D.tan40m5. Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A. 724B.37C.247D.316. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A.103米B.10米C.20米D.203米7. 如图，已知楼房AB 高为50米，铁塔塔基距楼房的水平距离BD 为100米，塔高CD 为31503100 m ，则下面结论正确的是（ ）A. 由楼顶望塔顶仰角为60°B.由楼顶望塔基俯角为60°B. 由楼顶望塔顶仰角为30° D.由楼顶望塔基俯角为30°8. 以下对坡度的描述正确的是（ ）A. 坡度是指斜坡与水平线夹角的度数B. 坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C. 坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D. 坡度是指倾斜的角度二、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，如果CD=4,BD=3，则∠A 的正弦值是 .2. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=21，则CD:DB= .3. 在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为6m ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为 .4. 如图，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m.三、解答题1.甲，乙两名同学在计算锐角A 的正弦值时，甲的答案为sinA=107，乙的答案为sinA=1013.请你不看解答过程，迅速判断哪名同学的答案一定是错误的，并说明理由。
人教版九年级数学下册解直角三角形易错题(含答案)
解直角三角形(第一课时)易错题1 、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且AD ＝4，AC ＝23，求：sin ∠CAB ＝________．错解：在在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵2422==-=AC AD AB∴21sin =∠CAD ，又AD 平分∠A ，∴sin ∠CAB=21sin =∠CAD 分析：产生错误的原因是认为：当一个锐角是另一个角的两 倍时，其函数值也为这个锐角的两倍。
正确答案：在在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵2422==-=AC AD AB∴21sin =∠CAD ，∴︒=∠30CAD又∵AD 平分∠A ，∴∠CAB =2∠CAD=60° ∴sin ∠CA B =sin60°=23 应对攻略：当一个角的度数一定时，其函数值不会因为边长的改变而改变。
要求某个锐角的函数值，应该借助直角三角形相应边的比值得到。
2、在中，，AC=1cm ，BC=2cm ，求sinA ，tanA ． 错解 ：在中，∵，AC=1，BC=2，∴． ∴． ∴．∴．分析 错误地应用了“若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对角为”，没有分清斜边和直角边，避免该错误的有效方法是应画出图形，利用“数形结合”进行解答． 正解 在中，∵， ∴．∴，应对攻略：正确解题的关键是结合题意，画出图形，借助图象的直观性，使问题得以解决。
解直角三角形(第二课时)易错题1、已知：一块形状是等腰三角形的空坪，测得腰长为20米，一腰上的高与另腰的夹角为60°，要在这块空坪上种上草皮，请你帮忙计算一下，需要买多少个平方的草皮比较合适？ （结果保留根号）错解： 如图：ABC ∆中，AB=CA ，AB CD ⊥于D ，︒=∠60ACD由：ACCDACD COS =∠，得：310cos =∠=ACD AC CD ∴310021=•=∆CD AB S ABC 答：需要买3100个平方的草皮比较合适分析：由已知条件这是一等腰三角形，并没有指出是锐角等腰三角还是钝角等腰三角形 所以，要分类讨论。
初中解三角形易错题总结
易错题
一．选择题（共7 小题）
1．一个直角三角形有两条边长为 3 和4，则较小锐角的正切值是（）
2．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD，则tan ∠DAC的值为（）
3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）
4．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是（）
5．正比例函数y=kx 的图象经过点（3，2），则它与x 轴所夹锐角的正切值是（）
6．在Rt△ABC中，锐角A的正弦值为，那么这个三角形的两条直角边长不可能是（）
7．△ABC中，若AB=6，BC=8，∠B=120°，则△ABC的面积为（）
二．填空题（共 1 小题）
8．若等腰三角形两边为4，9，则底角余弦值是_________ ．
三．解答填空题（共 3 小题）
9．如图，△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，
则sin ∠ACE= _________ ．
10．如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，，则电线杆AB的长为_________ 米．
11．在一个含30°角的三角形中，一条边的长为1，另一条边的长为2．那么这个三角形的面
积有_________ 种结果．。
中考数学易错难题（含解析）之直角三角形的边角关系及答案
备战中考数学培优易错难题(含解析)之直角三角形的边角关系及答案一、直角三角形的边角关系1．已知：如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD，∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD垂直平分 A C．点 P从点 B出发，沿 BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q从点 D出发，沿 DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 PE⊥AB，交 BC于点 E，过点 Q作 QF∥AC，分别交 AD， OD于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当 t为何值时，点 E在BAC的平分线上？（2）设四边形 PEGO的面积为 S(cm2)，求 S与 t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PEGO的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=4s；（2）S四边形PEGO=-t+382155t+6，(0<t<5)；（3）t=时，28S四边形PEGO取得最大值；（4）t=【解析】【分析】16时，OE⊥OQ.5（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出可解决问题．【详解】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=102-82=6（cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，∵CD∥AB，EC GQ=，由此构建方程即OC OG∴∠BAC=∠DCO，∵∠DOC=∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴∴AC AB BC==，OC CD OD6108==，3CD OD∴CD=5（cm），OD=4（cm），∵PB=t，PE⊥AB，易知：PE=35t，BE=t，44当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE=EC，35t=8-t，44∴t=4．∴∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）=⎡11⎛4⎫4⎫1⎛5⎫31⎛⎛5⎫⨯ 4-t⎪⨯3+⎢⨯3⨯ 8-t⎪+⨯ 8-t⎪⨯t-⨯3⨯ 8-t⎪2⎝5⎭4⎭524⎭⎝5⎭2⎝⎝⎣283215t+16(0<t<5)．3（3）存在．=-t+8⎛5⎫68∵S=- t-⎪+(0<t<5)，3⎝2⎭32568时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．32（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴t=∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ=，OC OG35t8-t4=5，∴434-t5整理得：5t2-66t+160=0，解得t=∴当t=16或10（舍弃）516秒时，OE⊥OQ．5【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12方向旋转30°．【解析】）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，）cm；=12，∴BD=OBsin∠BOD，，∵O′C⊥OA，，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图，在平行四边形ABCD中，，与交于点，连接，.的值.（1）求证：四边形（2）若，是菱形；，，求平分，交于点，平分，交于点【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=∴tan∠ADP=，AH=1，∴DH=AD-AH=5考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数4．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）【解析】75+8-1+5；（3）．162试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，AB BC x+11==，，即BD CD1x整理得：x2+x-1=0，∴解得：x1=则x=-1-5-1+5，x2=（负值，舍去），22-1+5；2（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=-1+5，4-1+5AE5+14==在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，AB-1+54+121+-1+5在Rt△BCE中，cosC=cos72°=EC-1+5，4==BC14则cos36°-cos72°==5+1-1+51-=．244【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）【解析】；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=∵AD=AH+DH=∴x=3．当≤t≤4时，SMNGN =1cm2．x+x=x=4x，，当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：（3）分两种情况：.①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cmcm=（15﹣6）cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6∴t=（15﹣6故当t=（15﹣6）s）s时，△CPD为等腰三角形．）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.11x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过22A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；6．如图，直线y＝（2）根据图象，直接写出满足11x+2≥﹣x2+bx+c的x的取值范围；22（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）y=-（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y＝式；123x-x+2；（2）当x≥0或x≤﹣4；（3）D点坐标为（0，2）或221x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析2（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO＝1，AO＝4，再由∠DAC＝∠CBO，得出tan∠DAC＝tan∠CBO，从而有，【详解】解：（1）由y＝DE CO=,最后分类讨论确定点D的坐标．AE BO1x+2可得：2当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），3⎧b=-1⎪把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：⎨2，，2⎪⎩c=2123x-x+22211（2）当x≥0或x≤﹣4时，x+2≥﹣x2+bx+c22∴抛物线的解析式为：y=-（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，123x-x+2令y＝0，22解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴CO＝1，AO＝4，123设点D的坐标为（m，-m-m+2），22∵∠DAC＝∠CBO，∴tan∠DAC＝tan∠CBO，DE CO=∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有，AE BO由y=13-m2-m+21当D在x轴上方时，22=m+42解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（0，2）．13-(-m2-m+2)1当D在x轴下方时，22=m+42解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，∴∠BAE＝∠DAG，在△ADG和△ABE中，4．理由见解析.3⎧∠ADG=∠ABE⎪⎨∠DAG=∠BAE，⎪AD=AB⎩∴△ADG≌△ABE（AAS）．（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：作FH⊥MN于H，如图1所示：则∠EHF＝90°＝∠ABE，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，⎧∠EHF=∠ABE⎪⎨∠FEH=∠BAE，⎪EF=AE⎩∴△EFH≌△ABE（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FH==；AB BE CHFH EH84===，CH AB634．3在Rt△FEH中，tan∠FCN＝∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1∠ACH，求证：CA∥FE；23，AK＝10，求CN5（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（3）【解析】试题分析：2010.13（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；（3）如下图2，作NP⊥AC于P，由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=CH=4a，则tan∠CAH=1∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得2AH3=，设AH=3a，可得AC=5a，AC5CH4=，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC，从而可AH3AH=3，AK=10a，结合AK=10可得a=1，HK得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tan∠AKH=则AC=5；在四边形BGKH中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH，在Rt△APN中，由tan∠CAH=tan∠ACG=4PN=，可设PN=12b，AP=9b，由3APPN5 =tan∠AKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP=13b=5，则可得b=，由CP13此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的长.试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD=90°，∴∠OAG=∠AKH=90°，∵OA=OG，∴∠AGO=∠OAG，∴∠AGE=∠AKH，∵∠EKG=∠AKH，∴∠EKG=∠AGE，∴KE=GE．（2）设∠FGB=α，∵AB是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，1∠ACH，2∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E，∴CA∥FE．∵∠FGB=（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH=∠E，∴sin∠E=sin∠ACH=则CH=2AH3=，设AH=3a，AC=5a，AC52AC-CH=4a，tan∠CAH=CH4=，AH3∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=∵AK=10，∴AH=3，AK=AH2+HK2=10a，HK10a=10，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=在Rt△CPN中，tan∠ACN=∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=PN4=，设PN=12b，则AP=9b，AP3PN=3，CP5，132010．13∴CN=PN2+CP2=410⋅b=9．已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=3BF时，求的值；CF5(2)如图2,当tan∠ABC=1时,过D作DH⊥AE于H,求EH⋅EA的值；2(3)如图3,连AD交BC于G,当FG2=BF⋅CG时,求矩形BCDE的面积【答案】(1)【解析】【分析】1；（2）80；（3）100.7(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=3FK3=,设FK=3a,AK=5a，可求得BF=a,故得出5AK5BF1=；（2）过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，得△EGA∽△EHD，CF7利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A作AK⊥BC于K,∵sin∠BEF＝∴33,sin∠FAK＝,55FK3=,AK5设FK=3a,AK=5a,∴AK=4a,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BK=CK=4a,∴BF=a,又∵CF=7a,∴BF1=CF7(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，∵∠AGE=∠DHE=90°,∴△EGA∽△EHD,∴EH ED=，EG EA∴EH⋅EA=EG·ED,其中EG=BK,∵BC=10,tan∠ABC＝cos∠ABC＝1，22，520，5∴BA＝BC· cos∠ABC＝BK= BA·cos∠ABC＝∴EG=8,另一方面：ED=BC=10,∴EH·EA=80202⨯=855(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,∵BC∥KT,∴BF AF FG==，KE AE EDBF KE FG ED==，同理：FG DE CG DTBF FG=，FG CGKE ED=，DE DT∵FG2= BF·CG∴∴ED2= KE·DT∴KE CD=，BE DT∴KE·DT＝BE2，∴BE2＝ED2∴BE=ED∴S矩形BCDE=10⨯10=100又∵△KEB∽△CDT,∴【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解. 10．如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD 相交于点E（点E与点C、D不重合），设OM＝m．（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；（2）令弦CD所对的圆心角为α，且sinα2=4．5①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90°时，求DE的长．100-10m503m2-60m+300【答案】（1）DE＝；（2）①S＝，（＜m＜10），m13m5.2【解析】【分析】②DE＝（1）由CD∥AB知△DEM∽△OBM，可得DE DM=，据此可得；OB OM1∠COD，据此2（2）①连接OC、作OP⊥CD、MQ⊥CD，由OC＝OD、OP⊥CD知∠DOP＝可得sin∠DOP＝sin∠DMQ＝DM sin∠ODP＝43、sin∠ODP＝，继而由OM＝m、OD＝10得QM＝553（10﹣m），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD＝8、CD5CD DM50=，求得OM＝，据此可得m的取值范围；BO OM133＝6，可得OM＝8，根据（1）所求结果可得答5＝16，证△CDM∽△BOM得②如图3，由BM＝OB sin∠BOM＝10×案．【详解】（1）∵CD∥AB，∴△DEM∽△OBM，∴DE DM DE10-m==，即，OB OM10m∴DE＝100-10m；m（2）①如图1，连接OC、作OP⊥CD于点P，作MQ⊥CD于点Q，∵OC＝OD、OP⊥CD，∴∠DOP＝∵sin1∠COD，2α2＝4，543，sin∠ODP＝，55∴sin∠DOP＝sin∠DMQ＝∵OM＝m、OD＝10，∴DM＝10﹣m，∴QM＝DM sin∠ODP＝3（10﹣m），511100-10m33m2-60m+300×（10﹣m）＝则S△DEM＝DE•MQ＝×，22m5m如图2，∵PD＝OD sin∠DOP＝10×∴CD＝16，∵CD∥AB，∴△CDM∽△BOM，∴4＝8，5CD DM1610-OM==，即，BO OM10OM50，13解得：OM＝∴50＜m＜10，13503m2-60m+300∴S＝，（＜m＜10）．13m②当∠OMF＝90°时，如图3，则∠BMO＝90°，在Rt△BOM中，BM＝OB sin∠BOM＝10×则OM＝8，由（1）得DE＝【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力．3＝6，5100-10⨯85=．8211．如图所示，一堤坝的坡角∠ABC=62︒，坡面长度AB=25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin62︒≈0.88，cos62︒≈0.47，tan50︒≈1.20)【答案】6.58米【解析】试题分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．试题解析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE=∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．=18米，考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（0，3）；（2）C（12﹣63，123﹣18）；（3）B'（2+13，0），（2﹣13，0）.【解析】【分析】(1)设OD为x，则BD=AD=33x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，33），∴AO=3，BO=33∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（33﹣OD）2．∴OD=3∴D（0，3）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD∥OA∴∴BD BC=且BD=AC，BO ABBD6-BD=633∴BD=123﹣18∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93∵tan∠ABO=AO3，=OB3CD3，=BD3∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan∠ABO=∴CD=12﹣63∴D（12﹣63，123﹣18）（Ⅲ）如图：过点C作CE⊥AO于E∵CE⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE⊥AO，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE⊥AO∴AC=2，CE=3∵BC=AB﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE=3，CE⊥OA∴B'E=B'C2-CE2=13∴OB'=2+13∴B'（2+13，0）若点B'落在A点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE=3，CE⊥OA∴B'E=B'C2-CE2=13∴OB'=13﹣2∴B'（2﹣13，0）综上所述：B'（2+13，0），（2﹣13，0）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.。
【易错题】沪科版九年级数学上册《第23章解直角三角形》单元检测试卷含答案解析.doc
【易错题解析】沪科版九年级数学上册 第23章 解直角三角形 单元检测试卷、单选题（共10题；共30分）1 •在 RtA ABC 中,ZC=90°, ZB=35°, AB=7,则 BC 的长为()2•在△ ABC 中,ZC=90%若cosB 哼则ZB 的值为（）A.30°B.60°C.45° 3.要在宽为22米的九州大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC成220。
角，路灯采用 圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳, 此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为（）5•如果把RtA ABC 的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的余眩值（6.在AABC 中，若|sinA-||+ (^-tanB) 2=0,则ZC 的度数为( )7.（2017<滨州）如图，在△ ABC 中，AC 丄BC, ZABC=30°,点D 是CB 延长线上的一点,且BD=BA,则tan ZD ACA. 7sin35°B.7cos35°C. 7tan35° 7D ・ cos35 D ・90B. (11V3-4)米C. (11-2V3)米D. (11V3-2V2)米4.已知点A, B 分别在反比例函数y 二彳（x>0）,y= — （x>0）的图象上.ROA 丄OB,则tanB 为（） XB 2 D iA.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的jC.不变D.都不能确定 A. 30° B. 60° C. 90° D.120°的值为（）A. (11-2^2)米A. 2+ V3B. 2 V3C. 3+ V3D. 3 V3 8•在Rt/XABC 中，ZC=90\ AC=5, ZA=a,那么BC 的长是()9. （2017＞深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树 顶B 的仰角为60° ,然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30° ,已知斜坡CD 的长度为20m , DE 的长为10m ,则树AB 的高度是（）m二.填空题（共10题；共30分）□.计算：5 — 3.14）° 一 2V3COS 30° + （|）-2-|-3| = ______________ .22.计算：sin 260°+cos 260° - tan45°= _________ .13•若 sinA 二-,则 cos （90。
浙教版初中数学九年级下册解直角三角形在实际问题中的运用 易错点剖析
三角函数的应用常见错误示例一、例1 在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化错解： 选A.错解分析： 该题选A 是对锐角三角函数的定义不理解所致，根据锐角三角函数的定义可知应选D.可画出草图，结合图形分析.要明白三角函数的本质只是一个比值.正解：D.二、例2 在△ABC 中，若sin A =32，且a =4，能否求出b ，c 的值？ 错解： ∵sin A =c a =32，∴c 4=32，∴c =6 由勾股定理，得b =22a c -=1636-=20=25错解分析： 对锐角三角函数的适用条件没有认真思考，△ABC 并没有说是直角三角形所以不能当做是直角三角形来求.正解：不能，因为△ABC 不一定是直角三角形.三、例3 在△ABC 中，∠B =90°，BC =3，AB =5，求tan A ，cos A 的值.错解： 在Rt △ABC 中，AC =22BC AB -=2235-=4. tan A =AC BC =43，cos A =AB AC =54. 错解分析： 题中已指出∠B =90°，所以AC 应为Rt △ABC 的斜边，而上述解法是从印象出发，误以为∠C 的对边AB 是斜边，因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边.正解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC 925+=34.tan A =AB BC =53， cos A =AC AB =345=34345. 四、例4 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，求sin A ，tan A 的值.错解： 在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AC =21BC ， ∴∠B =30°∴∠A =90°-∠B =60°.∴sin A =sin60°=23， tan A =tan60°=3.错解分析：本题错误地认为，直角三角形中，一条直角边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角就是30°，没有分清斜边和直角边.正解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB =22BC AC +=2221+=5.∴sin A =AB BC =52=552. tan A =AC BC =12=2. 五、例5 如图，飞机于空中A 处，测得地面目标B 处的俯角为α，此时飞机高度AC 为a 米，则BC 的距离为（ ）米A.a tanαB. a tan αC. a sin αD.a cos α错解：选A.在Rt △ABC 中，∠BAC =α，AC =a ， ∴ACBC =tan α， ∴BC =AC ·tan α=a tan α 错解分析： 本题的错误在于没弄清俯角的定义，俯角是从上往下看时，视线与水平线的夹角，所以∠DAB =α，而不是∠BAC =α，正解：选B. ∵飞机在A 处目测B 的俯角为α，∴∠ABC =α又∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =a ，∴tan ∠ABC =BCAC ， ∴BC =a =tan ABC tan ∠AC α 六、 例6 已知0°＜α＜30°，求cos α的取值范围（ ）A CB D αA.0＜cos α＜21B. 21＜cos α＜22 C. 22＜cos α＜23 D.23＜cos α＜1 错解：选A.错解分析： 误将余弦函数当成正弦函数来求解，余弦函数的函数值是随着锐角度数的增大而减小，而正弦函数的函数值才是随着锐角度数的增大而增大.另外容易记错特殊角度的函数值也是这种题型的易错点之一，大家在解题过程中要注意多加体会！正解：选D.七、概念不清出错例7 如图，直升机在长江大桥AB 上方P 点处，此时飞机离地面高度为a cm ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得点A 俯角为α，点B 的俯角为β，求长江大桥AB 的长度.错解： 在Rt △AOP 中，tan ∠APO =OP OA ，∠APO =α， ∴ OA =OP ·tan α.在Rt △BPO 中，∠BPO =β.∵tan ∠BPO =OPOB ， ∴OB =OP ·tan ∠BPO .∴AB =OA -OB =OP (tan α-tan β)=a (tan α-tan β).错解分析：把从P 点观测A 点的俯角误认为∠APO ，从P 点观测B 点的俯角误认为∠BPO ，只有弄清俯角概念才能避免该错误.正解：根据题意，得∠CP A =α，∠BPC =β，∴∠P AO =α，∠PBO =β.在Rt △POA 中，∵cot ∠P AO =OPOA ， ∴OA =OP ·cot α.在Rt △POB 中， ∵cot ∠PBO =OPOB ， A B C P O a∴OB =OP ·cot β.∴AB =OA -OB =OP ·cot α-OP ·cot β=OP (cot α-cot β)=a (cot α-cot β).八、忽略直角三角形出错例8 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，且a :b :c =3:4:5，求证sin A +sin B =57. 错解：设a =3k ，b =4k ，c =5k ， 则sin A =c a =k k 53=53， sin B =c b =k k 54=54， ∴sin A +sin B =53+54=57. 错解分析：本题中没有说明∠C =90°，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明△ABC 为直角三角形，且∠C =90°后才能用定义.正解：设a =3k ，b=4k ，c =5k (k ＞0)，∵a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形.∴∠C =90°.则sin A =c a =k k 53=53， sin B =c b =k k 54=54， ∴sin A +sin B =53+54=57.。