八年级数学上册期中培优复习

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八年级上册数学全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)

八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word 版含解析）一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=︒,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则1A =_____︒；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________︒．【答案】（2m ）（1024m ）【解析】【分析】根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题．【详解】解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2m °．依此类推∠A 2=224m m ︒︒=，∠A 3=328m m ︒︒=，…，∠A 10=1021024m m ︒︒=．故答案为：()2m ；()1024m ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．2．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=40°，∠2=50°，那么∠ 3的度数等于______________．【答案】12°【解析】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是108°，则∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=12°．点睛：本题考查的是多边形的内角，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．3．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF=1 2（∠BAF+∠C）；③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F=12（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是_____．【答案】①②③④【解析】【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据垂直的定义和同角的余角相等的性质证明结论正确；④证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确.【详解】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，∴∠BEF=12(∠BAF+∠C)，故②正确；③∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=90︒-∠DFH，∠AEB=90︒-∠DFH，∴∠FGD=∠AEB∴∠FGD=∠ABE+∠C.故③正确；④∠ABD=90°-∠BAC，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，∵∠CBD=90°-∠C，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，∴∠F=12(∠BAC-∠C)；故④正确，故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键4．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC +∠OCB 的度数．5．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ．【答案】135【解析】解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°．点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．6．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，若剪去∠A 得到四边形BCDE ，则∠1＋∠2＝______．【答案】240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．二、八年级数学三角形选择题（难）7．在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（）A ．化归思想B ．分类讨论C ．方程思想D ．数形结合思想【答案】A【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n 为整数）的推导过程即可解答．【详解】解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n 为整数），该公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n 边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和，体现了化归思想．故答案为A．【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键.8．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A．45°B．45° 或135°C．45°或125°D．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．【详解】①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．9．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为()A．20°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解析】【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-505°=35°，故选：B ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．10．在下列图形中，正确画出△ABC 的AC 边上的高的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 △ABC 的AC 边上的高的就是通过顶点B 作的AC 所在直线的垂线段，根据定义即可作出判断．【详解】解：△ABC 的AC 边上的高的就是通过顶点B 作的AC 所在直线的垂线段．根据定义正确的只有C ．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，理解定义是关键．11．已知直线m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则2∠的度数为（）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．【详解】设直线n 与AB 的交点为E 。

2024-2025学年人教版八年级数学上册期中达标培优卷

2024-2025学年人教版八年级数学上册期中达标培优卷1.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）A ．B ．C ．D ．2.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A ．B ．C ．D ．3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（）A ．三角形具有稳定性B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短D ．三角形的两边之和大于第三边4.如图,直线MN 是四边形AMBN 的对称轴,与对角线交于点Q,点P 是直线MN 上任意一点,下列判断错误的是()A ．AQ=BQB ．AP=BPC ．∠MAP=∠MBPD ．∠ANM=∠NMB5.在三角形内，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点6.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．在这个过程中先可以得到，其依据的基本事实是()A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．三边分别相等的两个三角形全等D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等7.一个正多边形的每一个内角都等于135°，那么从这个多边形的一个顶点可以引对角线的条数是（）A．4条B．5条C．6条D．8条8.两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是（）A．18cm或24cm B．20cm或24cm C．24cm D．26cm9.若一个多边形的边数增加1，则这个多边形的内角和()A．不变B．增加360°C．减少180°D．增加180°10.如图，已知，垂足分别为交于点O，且平分，那么图中全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对11.如图，中，是的垂直平分线，，的周长为16，则的周长为（）A．18B．21C．24D．2612.如图，将△ABD沿△ABC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E．已知∠C=20°、AB+BD=AC，那么∠B等于（）A．80°B．60°C．40°D．30°13.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（）A．B．C．D．14.如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为（）A．B．C．D．15.如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有（）A．B．C．D．16.已知点和和关于轴对称，则的值为_________．17.如图，在中，平分交于点，过点作交于点．动点从点出发，沿着运动，当时，则的度数为___________．18.如图，在四边形中，已知，．则_____．19.如图在第二个△A1BC中，∠B=40°，A1B=BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E…如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以A n为顶点的内角的度数为______．20.如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当______时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．21.已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标．22.如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．(1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；(2)当为的角平分线时，若，求的度数．23.如图点在线段上，∥，，，是的中点，试探索与的位置关系，并说明理由.24.三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，中，，且．(1)在图中用尺规作边的垂直平分线交于D，连接（保留作图痕迹，不写作法）．(2)请问是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．25.如图，在中，G为的中点，，交的平分线于点D，，垂足为E，，垂足为F．(1)求证：；(2)若，，则的长为______．26.如图所示，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=4厘米，BC=3厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．(1)用含t的式子表示PC的长度是；(2)若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？。

八年级数学上册期中精选试卷(培优篇)(Word版含解析)

八年级数学上册期中精选试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE="AE+AD=" BD+CE．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．2．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8【解析】【分析】（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．【详解】解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0∴a＝b＝4过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM∴OA平分∠MON即OA 是第一象限的角平分线（2）过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°∵BM ⊥AE∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.3．已知4AB cm=，3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()t s．（1）如图①，AC AB⊥，BD AB⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1t=时，ACP△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB⊥，BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，34tt xt=-⎧⎨=⎩，解得11tx=⎧⎨=⎩，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．4．综合实践如图①，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE∠=︒=⊥⊥，垂足分别为点D E、，2.5, 1.7AD cm DE cm==．（1）求BE的长；（2）将CE所在直线旋转到ABC∆的外部，如图②，猜想AD DE BE、、之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）如图③，将图①中的条件改为：在ABC∆中，,AC BC D C E=、、三点在同一直线上，并且BEC ADC BCAα∠=∠=∠=，其中α为任意钝角．猜想AD DE BE、、之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE，证明见解析．【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，再根据2.5, 1.7AD cm DE cm ==，CD CE DE =-，易求出BE 的值；(2)先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，由图②ED=EC+CD ，等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系；（３）本题先证明EBC DCA ∠=∠，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅，从而得到,BE CD EC AD ==，再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系．【详解】解：(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∵90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCEAC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==， 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∴90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE=+(3)∵BEC ADC BCAα∠=∠=∠=∴180BCE ACD a︒∠+∠=-180BCE BCE a︒∠+∠=-∴ACD BCE∠=∠在ACD与CBE△中，ADC E aACD BCEAC BC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE≅∴,AD CE CD BE==又∵ED EC CD=+∴ED AD BE=+【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．5．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC∆、111A B C∆均为锐角三角形，且11AB A B=，11BC B C=，1C C∠=∠.求证：111ABC A B C∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】（1）过B作BD⊥AC于D，过B1作B1D1⊥B1C1于D1，得出∠BDA=∠B1D1A1=∠BDC=∠B1D1C1=90°，根据SAS证△BDC≌△B1D1C1，推出BD=B1D1，根据HL证Rt△BDA≌Rt△B1D1A1，推出∠A=∠A1，根据AAS推出△ABC≌△A1B1C1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌，∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.理解：（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；应用：（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=°180-2x可得°180-22x x∴x=36°则∠A=36°；（2）如图所示：（3）如图所示：①当AD=AE时，∵2x+x=27°+27°，∴x=18°；②当AD=DE时，∵27°+27°+2x+x=180°，∴x=42°；综上所述，∠C为18°或42°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB22AC BC+2212+55（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE ．∵AD =5．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1．∵BC =2，∴CD BC =51-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵MN DN =15+=512-，∴矩形MNDE 是黄金矩形．（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．长GH 51，宽HE =35点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．8．已知△ABC ．（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成；（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.【详解】解：（1）如图，就是所要求作的图形；（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，∴OH=OG ，CG=BG ，∵OB=OB,∴OBH OBG∆≅∆,∴BH=BG，∵BE=CD，∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，在OEH∆和ODG∆中,90OH OGOHE OGDEH DG=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴OEH ODG∆≅∆,∴OE=OD．（3）ABC∠与EOF∠的数量关系是2180ABC EOF∠+∠=，理由如下；如图，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，由(2)可知，因为 CD=BE，所以OEH ODG∆≅∆且OE=OD，∴EOH DOG∠=∠,180ABC HOG∠+∠=,∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG∠=∠+∠=∠+∠=∠,∴180ABC EOD∠+∠=,∵△BEF的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC∴DF=EF,在△OEF和△OGF中,OE ODEF FDOF OF=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴OEF OGF∆≅∆,∴EOF DOF∠=∠,∴2EOD EOF∠=∠,∴2180ABC EOF∠+∠=.【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.9．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒．【解析】【分析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得：10x =（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =-解得103t =∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，∴AN AM =，∴AMN ANM ∠=∠，∴AMC ANB ∠=∠，∵AB BC AC ==，∴ACB ∆是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACM ∆和ABN ∆中，∵AC AB C B AMC ANB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），∴CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形， ∴10CM y =-，302NB y =-，CM NB =，10302y y -=-解得：403y =，故假设成立. ∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.10．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN＝3t﹣24＝6解得t＝10；④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图此时2t＝12+6解得t＝9；综上所述，点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____．【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-．【详解】解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2， ∴xy=()222()2x y x y +-+=-2，即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.【解析】【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，∵当k=-5时，22465N x y x y =-+--，=224649x y x y -+-+-，=22(44)(69)x x y y ++-++，=22(2)(3)x y +-+，=(23)(23)x y x y ++++--=(5)(1)x y x y ++--.∵,x y 是正整数，且1x y >+，∴N 是正整数，符合题意，∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），当m=178时，∵178=2⨯89，∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩，得45.543.5a b =⎧⎨=⎩（不合题意，舍去）；当m=279时，∵279=3⨯93=9⨯31，∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩，得4845a b =⎧⎨=⎩，∴222794845=-， ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩，得2011a b =⎧⎨=⎩，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.13．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦.（1）上述分解因式的方法是______________法.（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.【答案】（1）提公因式 ; （2）()20201x + ；（3）()11n x ++【解析】【分析】（1）用的是提公因式法；（2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()41x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x +……由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，=（1+x ）n +x （x+1）n ，=（1+x ）n+1．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．14．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法次，结果是 .(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x ＋1）2005；(3) (x ＋1)1n +【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x ），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，=（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003]⋯=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=（1+x ）2005，故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．15．（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，有阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用字母表示）（应用）请应用这个公式完成下列各题①已知22412m n -=，24m n +=，则2m n -的值为②计算：(2)(2)a b c a b c +--+（拓展）①()()()()24832(21)21212121+1+++++结果的个位数字为 ②计算：222222221009998974321-+-++-+-【答案】[探究]（1）a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）；（2）（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；[应用]①3；②4a 2﹣b 2+2bc ﹣c 2；[拓展]①6；②5050．【解析】【分析】[探究]（1）由面积公式可得答案；（2）公式由（1）直接可得；[应用]①用平方差公式分解4m 2﹣n 2，将已知值代入可求解；②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；[拓展]①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．【详解】（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2=12，2m+n=4，4m2﹣n2=（2m+n）（2m﹣n），∴（2m﹣n）=12÷4=3．故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）=[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]=4a2﹣（b﹣c）2=4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1=（216﹣1）…（232+1）+1=264﹣1+1=264．∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16．故答案为：6．②原式=（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．已知分式 A =2344 (1)11a aaa a-+ +-÷--（1）化简这个分式；（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．【答案】（1）22aa+-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；（2）根据题意列出算式2622a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得；（3）由24122a A a a +==+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得．【详解】解：（1）A=2344(1)11a a a a a -++-÷-- =221311(2)a a a a ---⨯-- =2(2)(2)11(2)a a a a a +--⨯-- =22a a +-；（2）变小了，理由如下： ∵22a A a +=-， ∴62a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >，∴20a ->，24a +>，∴0A B ->，∴分式的值变小了；（3）∵A 是整数，a 是整数，则24122a A a a +==+--， ∴21a -=±、2±、4±， ∵1a ≠，∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2；∴3046(2)11++++-=；∴符合条件的所有a 值的和为11．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是吨，现在小麦的平均每公顷产量是吨；（用含a 、m 的式于表示）（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20ma ，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241n n n --小时．【解析】【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：20m n +，乙的工作效率为：200.5m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨，根据题意可得：100100200.8x x +=+ 解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0，∴原分式方程的解为x ＝4，∴现在平均每公顷产量是4.8吨，答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨，根据题意得：20m m y y a +=+ 解得；y ＝20ma ，经检验：y ＝20ma 是原方程的解，则现在小麦的平均每公顷产量是:202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ，2020ma a +；（3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241n n n --小时．【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.18．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟， 900900151.2x x+＝，解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ，化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍，。

八年级数学上册：期中复习一优质(共47张PPT)

等边三角形不等边三角形
（正三角形）
三条边都相等的三角形
三条边都不相等的三角形
任意三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边
C
a+b>c
c-b＜a
b
a
b+c>a
a-c＜b
Ac B
c+a>b
b-a＜c
三角形任意两边之差小于第三边
三角形第三边取值范围：
两边之差<第三边<两边之和
试一试
A
1.图中有几个三角
∠3按由小到大的顺序
排列是_________．
∠1＜∠3＜∠2
12 3
2.你可以想出多少种方法计算： ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
A
180°
ED
C B
3题
A
C
D
B
5题
A
B DE
C
BD=DE=EC
展示、点评、分工表
题
地点
15抄题画图 1板
15过程
2板
16画图
5板
16过程 6,7板
展示
2组 4组 6组 8组
B、C、D四个位置，现在要建立一个维修
H′ H
站H，问H建在何处，
才能使它到四个油井
的距离之和HA+HB B
C
＋HC+HD为最小？说明理由。
1.你认为这个H应该在什么位置？大胆设想！
2.到A、C距离和最小的点在哪儿？到B、D?
③ 三角形的一个外角等于两个内角的和。
巩固练习 1、判断：
④ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

北师大版2020八年级数学上册期中综合复习培优训练题(附答案详解)

北师大版2020八年级数学上册期中综合复习培优训练题（附答案详解）
1．满足的整数x的值是（）
A．3B．4C．2和3D．3和4
2．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()
A．3.14﹣πB．0C．π+31.4D．﹣π﹣3.14
10．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）
6．下列各式中属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
7．下列说法中正确的是（）
A．使式子有意义的x的取值范围是x＞-3B．若正方形的边长为 cm,则面积为30c㎡
C．使是正整数的最小整数n是3D．计算的结果是3
8．下列各式中，正确的是（）
A． B． C． D．
9．写出π﹣3.14的相反数是（）
16．下列计算正确的是（）．
A． B． C． D．
17．数轴上的点所表示的数一定是( )
A．整数B．有理数C．无理数D．有理数或无理数
18．下列各数中，无理数是（）
A．0.121221222B． C． D．0.333
19．在，，，0.1010010001，，中，无理数的个数是
A．2B．3C．4D．5
C．该工程队用2小时清理了30米D．该工程队清理了30米之后加快了速度

(精选)人教版八年级数学上期中复习提优试题精选附答案

人教版八年级数学上学期（全卷总分120分）系描11题1AOB12 13 14 6 cm第3题1514题 M 第4题15题须添16 第5题16题第7题N18题第9题20正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案即从第D C C AC, 第8题点P,BC -和过和 4QPA9.如佟 /ABC AOC 和BCD 如图摆放A. C. 2.如［A.3.如I边AB70。

， A.；、AC 上的点则 / 1 + /2= 110°P 至I BC 的距离佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是RtAABC 中, 戋段PQ=AB D. 22.5 B = 42°, AABC 的外角 / DAC已知 / AOB =60B. 17.5 且与AB 垂直 A. 84.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如性 ①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃19. （12分）问题引入A. 15 10.用正三角形B. 140 D. 700,则/AEC= ___________/C = 90°, AC = 12 cm 将^ ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A'重合 18. （6分）如图所示A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ ABC率.则AP=.A. BD = CE C. /BAD = /CAE 6.下列图形分别是桂林、湖南B. /ABD =/ACE D. /BAC = /DAE若 AD = 8,B. 6 ABC 中，AB r B. 115° C, 110° D 在折纸活动中，小明制作了一张△ N 在边 OB 上，PM = PN,若 MN=2,贝U OM = ___________如图所示，顶角 A 为120°的等腰△ ABC 中，DE 垂直平7.如图，在^ ABC 中，AC =4 cm,线段AB 的垂直平分线交AC△ BCN 的周长是7 cm,则BC 的长为（） A , 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D , 4 cm 8.如图，AB//CD, BP 和CP 分别平分/ABC 和/DCB, AD 过,则/ DFE 等于（105° ABC 纸片，点D 、E 分分 AB 于 D,若 DE= 2,则 EC= ____________ .三、解答题（共72分）/ X —17. （6分）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形AS B.② C.③ D.①和②5.如图，已知 AB=AC, AD=AE,若要得到 AABD^AACE 加一个条件，则下列所添条件不成立的是（）第12题13题4 D. 2 /ABC =75°, E 为BC 延长线上第一个图案第二个图案第三个图案A. 2n+1B. 3n+2C. 4n+2二、填空题（每小题3分，共18分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，直线a 、b 、c 、d 互不平行，对它们截出的一些角的数量关述错误的是（）（用a 表示），并说明理由;第19题1 _____（3）BO 、CO 分别是△ ABC 的外角/ DBC 、/ECB 的n 等分线，它们父于点O, / CBO ：、/DBC , ， 1 ，、…，一，/BCO = n/ECB, /A=a,请猜想/ BOC = ___________________________ . 第20题（2）问题解决：如图2,在4ABC 中，D 是BC 边上的中点，DELDF 于点D, DE 交 AB 于点E,DF 交AC 于点F,连接EF,求证BE + CF>EF.第23题24. （9分）如图，在等边△ ABC 中，点E 为边AB 上任意一点，点D 在边CB / 的延长线上，且ED = EC.（1）当点E 为AB 的中点时（如图1）,则白以有AE _________ DB （填知" 或匚"）图।（2）猜想AE 与DB 的数量关系，并证明你的猜想.(1)如图1,在4ABC 中，点。

浙教版2022-2023学年八年级上数学期中培优测试卷2(解析版)

浙教版2022-2023学年八年级上数学期中培优测试卷2（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列垃圾分类的图标（不含文字与字母部分）中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B 、是轴对称图形，故本选项符合题意； C 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D 、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故答案为：B ．2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（） A ．3，4，8 B ．5，6，10 C ．5，5，11 D ．5，6，11【答案】B【解析】A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A 不符合题意； B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B 符合题意； C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C 不符合题意； D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D 不符合题意；故答案为：B.3．如图是作△ABC 的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A ．已知两边及夹角B ．已知三边C ．已知两角及夹边D ．已知两边及一边对角【答案】C【解析】观察图象可知：已知线段AB ，∠CAB ＝α，∠CBA ＝β. 故答案为：C.4．已知关于x 的不等式组{3x −m <0x >−4的所有整数解的和为-5，则m 的取值范围为（）A ．−6<m ≤−3或3<m ≤6B ．−6≤m <−3或3≤m <6C ．−6≤m <−3D ．−6<m ≤−3 【答案】A【解析】由3x −m <0，得：x <m3，又x >−4，且不等式组所有整数解的和为−5， ∴不等式组的整数解为-3、-2或-3、-2、-1、0、1，∴−2<m 3≤−1或1<m3≤2，解得−6<m ≤−3或3<m ≤6. 故答案为：A. 5．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线相交于点D ，过点D 作DF ⊥BC ，DG ⊥AB ，垂足分别为F 、G ．若BG ＝4，AC ＝5，则△ABC 的周长是（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】连接AD、DC．∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，∴DG=DF．∵D在AC的中垂线上，∴DA=DC．在Rt△DGA与Rt△DFC中，∵DG=DF，DA=DC，∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．∴AG=CF，∵DG=DF，BD=BD，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．∴BG=BF．又∵AG=CF，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13.故答案为：B.6．如图，已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，下列结论：①AE=BD；②直线AE与直线AB所夹的锐角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BED−∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的结论序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】∵△ABC，△CDE都是等边三角形∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE= 60°∴∠BCD=∠ACE∴△BCD≅△ACE(SAS)∴BD=AE，∠BDC=∠AEC，故①正确；∵∠EOC=∠DOA∴∠OAD=∠OCE= 60°∴AE与AB的夹角为60°，故②正确；∵∠BED-∠AED=∠AEB<∠AEC∠AEC=∠BDC∴∠BED-∠AED <∠BDC，故③错误；当∠BCD= 90°时，易证AC=AD∵CE=DE∴CE2+AD2=AC2+DE2，故④正确.故答案为：C.7．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是（）A．√22B．1C．√2D．2【答案】C【解析】设Q为AB的中点，连接DQ，如图所示：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=4，点O为AC的中点，∴AQ=AO，∵AD=AE，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD=OE，∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴△QBD是等腰直角三角形，∴QD=√22QB，∵QB=12AB=2，∴QD=√2，∴线段OE的最小值为√2；故答案为：C.8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD ＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（）A．10B．5C．103D．53【答案】B【解析】∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE，∵CD＝AE＝5，∴AB＝10，根据勾股定理得：AD＝√AB2−BD2＝8，∴△ABC的面积为12BC·AD=12×11×8=44，∵CE 是△ABC 的中线， ∴S △BCE ＝S △ACE ＝22，∵BD ＝6，AD ＝8，AD ⊥BC ，∴S △ABD =12·BD ·AD =12×6×8=24 ， ∵DE 是△ABD 的中线， ∴S △BDE ＝12，∴S △DCE ＝S △BCE ﹣S △BDE ＝10，∵DE ＝AE ＝ 12 AB ，DC ＝AE ， ∴DC ＝DE ， ∵DG ⊥CE ，∴S △DCG =12S △DCE =12×10=5 . 故答案为：B.9．已知关于x 的不等式组的 {x −a ≥b2x −a <2b +1解集为3≤x ＜5，则 b a 的值为（） A ．﹣2 B ．−12 C ．﹣4 D ．﹣ 14【答案】A【解析】{x −a ≥b①2x −a <2b +1②由①得：x≥a+b ；由②得：x <a+2b+12；∵不等式组的解集为：a +b ≤x ＜a+2b+12即3≤x ＜5∴{a +b =3a+2b+12=5 解之：{a =−3b =6∴b a =6−3=−2. 故答案为：A.10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 边上的中点，连接CD ，延长BC 至点E ，使得CE ＝AD ，连接DE ，过点C 作CM ⊥DE 于点M ，其中BC ＝6，AD ＝5，则S △ABC ：S △MCE 等于（）A ．11：1B ．44：3C ．24：5D ．44：5【答案】C【解析】∵点D 是斜边AB 边上的中点，AD ＝5， ∴AB ＝10， ∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，∴AC ＝ √AB 2−BC 2 ＝8，CD ＝AD ＝BD ＝ 12 AB ＝5， ∵CE ＝AD ， ∴CE ＝CD ， ∵CM ⊥DE ， ∴DM ＝EM ，∵BC ＝6，CE ＝5，∴S △BCD ：S △DCE ＝BC ：CE ＝6：5，∵S △ABC ＝2S △BCD ，S △CEM ＝ 12 S △CDE ， ∴S △ABC ：S △MCE ＝2×6： 12 ×5＝24：5. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，已知△ABD ≌△ACE ，∠A ＝53°，∠B ＝22°，则∠BEC ＝ °.【答案】75【解析】∵△ABD ≌△ACE ， ∴∠B=∠C=22°，∴∠BEC=∠A+∠C=53°+22°=75°. 故答案为：75.12．如图，直线 l 上有三个正方形A 、B 、C ，若正方形A 、C 的边长分别为5和7，则正方形 B 的面积为．【答案】74 【解析】如图，∵ 正方形 A ， C 的边长分别为5和7， ∴EF =5 ， MH =7 ，由正方形的性质得： ∠EFG =∠EGH =∠GMH =90° ， EG =GH ， ∵∠FEG +∠EGF =90° ， ∠EGF +∠MGH =90° ， ∴∠FEG =∠MGH ，在 ΔEFG 和 ΔGMH 中， {∠EFG =∠GMH ∠FEG =∠MGH EG =GH，∴ΔEFG ≅ΔGMH(AAS) ，∴FG =MH =7 ， GM =EF =5 ， ∴EF 2=52=25 ， HM 2=72=49 ，∴ 正方形B 的面积为 EG 2=EF 2+FG 2=EF 2+HM 2=25+49=74 ，故答案为：74.13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，点E 、F 分别是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为18cm 2，则图中阴影部分面积为 cm 2．【答案】9【解析】∵S △ABC =18cm 2，∴阴影部分面积= 12 ×18=9cm 2．故答案为：9． 14．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是．【答案】76【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得：x=13，∴“数学风车”的外围周长(13+6)×4=76．故答案为：76.15．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．若保持△A′DE的一边与BC平行，则∠ADE 的度数．【答案】45°或30°【解析】当DA'∥BC时，如图，∠A'DA=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE折叠到A'DE，∴∠ADE=∠A'DE= 12∠ADA′＝45°，当EA'∥BC时，如图，在△ABC中，∠B=180°-∠C-∠A=60°，∴∠2=∠ABC=60°，由折叠可知，∠A′=∠A=30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE=180°，∴∠2=180°-∠A′-∠A′FE=150°-∠A′FE，在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°，∴∠1=360°-∠C-∠B-∠BFD=210°-∠BFD，∵∠BFD=∠A′FE，∴∠1-∠2=210°-150°=60°，∴∠1=∠2+60°=120°，∵△ADE 沿DE 折叠到A'DE ，∴∠ADE=∠A'DE= 12 ∠ADA′= 12 （180°-∠1）=30°，综上所述，∠ADE 的度数为：45°或30°. 故答案为：45°或30°.16．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE=AC ，∠BAE=15°，则∠COE= 度．【答案】75【解析】∵∠ACB=90°，CE=AC ， ∴∠CAE=∠AEC=45°， ∵∠BAE=15°， ∴∠CAB=60°， ∴∠B=30°， ∵∠ACB=90°，O 为AB 的中点，∴CO=BO=AO= 12 AB ，∴△AOC 是等边三角形，∠OCB=∠B=30°， ∴AC=OC=CE ，∴∠COE=∠CEO= 12 ×（180°-30°）=75°. 故答案为：75.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CD ＝CE ，且点D 在△ABC 的斜边AB 上．（1）连结AE ，求证：△ACE ≌△BCD ．（2）若BD ＝2，CD ＝6，求AD 的长．【答案】（1）证明：∵ΔABC 和ΔDCE 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CD =CE ， ∴∠ACB =∠DCE =90°， ∴∠BCD =∠ACE ，在ΔBCD 和ΔACE 中，{CB =CA∠BCD =∠ACE CD =CE，∴ΔBCD ≅ΔACE(SAS)．（2）解：∵ΔACE ≅ΔBCD ，∴CE =CD =6，BD =AE =2，∠B =∠CAE =45°， ∴DE =6√2，∠DAE =90°，∴AD =√DE 2−AE 2=√(6√2)2−22=2√17．18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．（1）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2√5，BC ＝4，求证：△ABC 是“奇妙三角形”；（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2√3，若△ABC 是“奇妙三角形”，求BC 的长．【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝2，由勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝4， ∴AD ＝BC ，即△ABC 是“奇妙三角形”；（2）解：∵直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， ∴该中线不可能是斜边的中线．当AC 边上的中线BD 等于AC 时， BC ＝√BD 2−CD 2＝3，当BC 边上的中线AE 等于BC 时，AC 2＝AE 2﹣CE 2，即BC 2﹣(12BC)2＝(2√3)2，解得BC ＝4．综上所述，BC 的长是3或4．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ．（1）若∠BAD =40°，求∠EDC 的度数．（2）判断∠BAD 与∠EDC 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）解：∵∠AED=∠EDC+∠C ， ∠ADC=∠B+∠BAD ，又∵AD=AE ，∴∠AED=∠ADE ， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ，∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC ，即∠BAD=2∠EDC ， ∵∠BAD=40°， ∴∠EDC=20°．（2）解：∠BAD ＝2∠EDC(或∠EDC ＝12∠BAD )． ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ， ∴∠BAD ＋∠B ＝∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC＝∠AED ＋∠EDC＝(∠EDC ＋∠C)＋∠EDC ＝2∠EDC ＋∠C ，又∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ，∴∠BAD ＝2∠EDC ，∴∠EDC ＝12∠BAD ．20．如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AC =10，BC =6，若动点P 从点B 开始，按B →A →C →B 的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求CP 的长．（2）出发几秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长．（3）当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？【答案】（1）解：由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B→A→C→B ，且速度为2， ∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6， ∵∠B ＝90°，∴在Rt △BCP 中，由勾股定理得PC ＝√BP 2+BC 2=√62+42=√52 ；（2）解：∵P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长（3）解：①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD ⊥AC ，则BD =AB×BC AB=6×810=4.8在Rt △BDP 中，PD =√PD 2−BD 2=√62−4.82=3.6 在Rt △ADB 中，AD =√AB 2−BD 2=√82−4.82=6.4∴BA +AP =BA +AD −PD =8+6.4−3.6=10.8即2t =10.8 解得t =5.4③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，BA +PA =BA +AC −PC =8+10−6=12即2t =12 解得t =6④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，PA =12AB =5∴BA +AP =8+5=13得到2t ＝6；则t ＝6.5．综上可得t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形．21．某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？（2）若购进了甲种钢笔80支，乙种钢笔60支，求需要多少元？（3）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种购进方案．【答案】（1）解：设购进甲种钢笔每支需x 元，购进乙种钢笔每支需y 元，依题意得：{100x +50y =100050x +30y =550，解得：{x =5y =10．答：购进甲种钢笔每支需5元，购进乙种钢笔每支需10元．（2）解：5×80+10×60=400+600=1000（元)．答：需要1000元．（3）解：设购进甲种钢笔m 支，则购进乙种钢笔1000−5m 10=(100−12m)支，依题意得：{m ⩾6(100−12m)m ⩽8(100−12m)，解得：150⩽m ⩽160．又∵m ，(100−12m)均为正整数，∴m 可以为150，152，154，156，158，160， ∴该文具店共有6种购进方案．22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在△ABC 内，BD ＝BC ，∠DBC ＝60°，点E 在△ABC 外，∠BCE ＝150°，∠ABE ＝60°．（1）求∠ADB 的度数；（2）判断△ABE 的形状并证明；（3）连接DE ，若DE ⊥BD ，DE ＝6，求AD 的长．【答案】（1）解：∵BD ＝BC ，∠DBC ＝60°，∴△DBC 是等边三角形，∴DB ＝DC ，∠BDC ＝∠DBC ＝∠DCB ＝60°，在△ADB 和△ADC 中，{AB =AC AD =AD DB =DC ，∴△ADB ≌△ADC （SSS ），∴∠ADB ＝∠ADC ，∴∠ADB ＝12（360°﹣60°）＝150°．（2）解：结论：△ABE 是等边三角形．理由：∵∠ABE ＝∠DBC ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ，在△ABD 和△EBC 中，{∠ADB =∠BCE =150°BD =BC ∠ABD =∠CBE ， ∴△ABD ≌△EBC （ASA ），∴AB ＝BE ，∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．（3）解：连接DE ．∵∠BCE ＝150°，∠DCB ＝60°，∴∠DCE ＝90°，∵∠EDB ＝90°，∠BDC ＝60°，∴∠EDC ＝30°，∴EC ＝12DE ＝3，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD ＝EC ＝3．23．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ，连接AE ，取AE 的中点P ，连接DP ，CP.（1）观察猜想：如图（1），DP与CP之间的数量关系是，DP与CP之间的位置关系是.（2）类比探究：将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由.（3）问题解决：若BC＝3BD＝3√2，将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB 时，请直接写出线段CP的长.【答案】（1）PD＝PC；PD⊥PC（2）解：结论成立.理由如下：过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O.则∠APO=∠BPT=∠OCT=90°∴∠A=∠AOP=45°，∠COT=∠AOP=45°∴PA=PO，OC=CT，∠CTO=45°由勾股定理可得：OT=√2CT∴∠PBT=∠CTO=45°∴PB=PT∴PE+BE=OP+OT∵点P为AE的中点，∴PA=PE=PO∴BE=OT在Rt△BDE中，BD=DE，∴BE=√2BD，∠DBE=∠T=45°∴√2CT=√2BD∴CT=BD∴△DBP≌△CTP(SAS)，∴PD=PC，∠BPD=∠CPT，∴∠DPC=∠BPT=90°，∴PD⊥PC.（3）解：PC的长为4或2.【解析】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠BDE=∠ACB=90°，∵点P为AE的中点，∴DP=12AE=CP=AP，∴∠PDA=∠PAD，∠PAC=∠PCA，∴∠DPC=∠DPE+∠CPE=2∠DAP+2∠CAP=2∠DAC=90°，∴PD⊥PC故答案为：PD=PC，PD⊥PC；解：（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q.则DE∥PQ∥AC，PE=PA∴DQ=CQ∵BC=3BD=3√2∴CD=4√2由（2）可得，PD⊥PC，PD=PC，∴△PCD为等腰直角三角形∴PQ=12CD∴PQ=12CD=DQ=2√2由勾股定理得，PC=PD=4如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2.综上所述，PC的长为4或2.24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．（1）当AC＝5时，求BE的长．（2）求证：BD⊥DE．（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．①求C′E的长．②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长：▲ ．（直接写出答案）【答案】（1）解：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，∴∠ABC＝∠DBE，∴△BAC≌△BDE（SAS），∴∠BAC＝∠BDE＝90°，BE＝BC．在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝5，∴BC=√AB2+AC2=√42+52=√41，∴BE=√41；（2）证明：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，∴∠ABC＝∠DBE，∴△BAC≌△BDE（SAS），∴∠BAC＝∠BDE＝90°，∴BD⊥DE；（3）解：①连接AC′，由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），∴AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，∴∠ADE＝60°+90°＝150°，∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，由对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，∴∠ADE+∠DAC′＝180°，∴DE∥AC′，∴四边形AC′ED是平行四边形，∴C′E＝AD＝AB＝4；②4或4√3【解析】（3）②分两种情况：C′E＝DE时，∵C′E＝4，四边形AC′ED是平行四边形，∴C′E＝DE＝AC′＝4，由对称的性质得AC＝AC′＝4，C′E＝C′D时，作C′F⊥DE于F，∵C′E＝C′D，C′F⊥DE，∴DF＝EF，∠C′FE＝90°，∵四边形AC′ED是平行四边形，∴∠C′EF＝∠DAC′＝30°，C′E=2，EF=DF=2√3，∴C′F=12∴DE=AC′=AC=4√3，综上，AC长为4或4√3．故答案为：4或4√3．。

人教版八年级数学上册期中复习考试双基培优培优练习(含答案)

人教版八年级数学上册期中复习考试双基培优培优练习一、选择题(12×3=36分)1. 一个多边形的内角和比外角和的三倍少180°，则这个多边形是（ C ） A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形2. 下列判断中错误的是（ B ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等3. 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，且点O 是AC 和BD 的中点，若AB 的长为10，则AC 和BD 的长可以是（ C ）A ．5和10B ．8和12C ．10和20D ．20和404. 如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ D ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF5. 已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ D ） A ．72° B ．60° C ．58° D ．50°6. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（ A ）EFB C58°72°50°a bcA ．B ．C ．D ． 7. 已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ C ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°8. 有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ A ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC 不平行BE9. 如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ A ）A . 小华、小明都对B . 小华、小明都不对C . 小华对、小明不对D .小华不对、小明对 10. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ C ）A ．200B ．1200C ．200或1200D ．36011. 如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，若∠A ＝180，则∠GEF 的度数是（ B ）A ．800B ．900C ．1000D ．108012. 如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ,交AC 于点E ,那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE ＝BD ＋CE ;③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF ＝CF .其中正确的有（ A ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①二、填空题(5×3=15分)A13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__6____.14. 如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_60°___.15. 如图所示，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝360，BC ＝3，BD 是△ABC 的角平分线，则AD ＝____3____.16. 如图，等边△ABC 的边长为2cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为___6____ cm17. 在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝____6___．CB三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)18. 已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, {AB =DCAE =DF BE =CF∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, {AB =DC∠B =∠C BF =CE∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE19. P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠PAB ＝∠PAC ＝22°，求∠APC 的度数解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD , ∵∠PBA ＝8°∠PAB ＝22°∴∠BPA ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，{AB =AD∠BAP =∠DAP AP =AP∴△ABP ≌△ADP∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8° ∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，{BP =BD∠PBC =∠DBC BC =BC∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD∴∠CPD ＝∠CDP ＝8°∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142°20. 如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．CB ACBAC(1)探究：BM、MN、NC之间的关系，并加以证明;(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由解：(1)关系为MN＝BM＋NC证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°在△DMB和△DGC中；DB＝DC．BM＝CG∴△DMB≌△DGC∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°∴△MND≌△GND∴MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC 仍与(1)中情况类似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．21. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；⑵如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；(1)NMDCBA(2)DCBA(3)NMGDCBA(4)NMGDCBA⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∵∠DCB＝∠EBC ＝12∠A，BC为公共边，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，可证△BDF≌△CEG，∴BD＝CE∴四边形DBCE是等边四边形．证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F点．∵∠DCB＝∠EBC＝12∠A，BC为公共边，∴△BDC≌△CFB，∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE，∴四边形DBCE是等边四边形．22. 如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.解：⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,ABF＝∠DEC在△ABF和△DEC中, {AB=DE∠ABF=∠DEC BF=EC∴△ABF≌△DEC∴∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCA23.已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, {AB=QC ∠1=∠2 BP=CA∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQ⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ24.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°，到△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．（3）探索：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．解：（1）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°，∴△AOD是直角三角形；（3）∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=∠COD=60°，∴∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°，解得α=125°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，解得α=110°，综上所述，∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．。

数学八年级上册期中精选试卷培优测试卷

数学八年级上册期中精选试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．已知4AB cm=，3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()t s．（1）如图①，AC AB⊥，BD AB⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1t=时，ACP△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB⊥，BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，34tt xt=-⎧⎨=⎩，解得11tx=⎧⎨=⎩，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．2．在ABC中，AB AC=，点D在BC边上，且60,ADB E∠=︒是射线DA上一动点(不与点D重合，且DA DB≠)，在射线DB上截取DF DE=，连接EF．()1当点E在线段AD上时，①若点E与点A重合时，请说明线段BF DC=；②如图2，若点E不与点A重合，请说明BF DC AE=+；()2当点E在线段DA的延长线上()DE DB>时，用等式表示线段,,AE BF CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD【解析】【分析】（1）①根据等边对等角，求到B C∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF∆是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC∠=∠=︒，推出ABF ACD∆∆≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：AB AC=B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒，且E与A重合，ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，BF CD BF BG GF AE∴+=+===-．故BF AE CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝12EC＝2.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．如图1，已知CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，D 为CF 上一点，且DA ＝DB ．（1）求证：∠ACB ＝∠ADB ；（2）求证：AC +BC ＜2BD ；（3）如图2，若∠ECF ＝60°，证明：AC ＝BC +CD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ，得出∠DAM=∠DBN ，则结论得证；（2）证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ，可得CM=CN ，得出AC+BC=2BN ，又BN ＜BD ，则结论得证；（3）在AC 上取一点P ，使CP=CD ，连接DP ，可证明△ADP ≌△BDC ，得出AP=BC ，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM＝∠DBN，∴∠ACB＝∠ADB；（2）证明：由（1）知DM＝DN，在Rt△DMC和Rt△DNC中，DC DCDM DN=⎧⎨=⎩，∴Rt△DMC≌Rt△DNC（HL），∴CM＝CN，∴AC+BC＝AM+CM+BC＝AM+CN+BC＝AM+BN，又∵AM＝BN，∴AC+BC＝2BN，∵BN＜BD，∴AC+BC＜2BD．（3）由（1）知∠CAD＝∠CBD，在AC上取一点P，使CP＝CD，连接DP，∵∠ECF＝60°，∠ACF＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴DP＝DC，∠DPC＝60°，∴∠APD＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCD＝120°，在△ADP和△BDC中，APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP≌△BDC（AAS），∴AP＝BC，∵AC＝AP+CP，∴AC＝BC+CP，∴AC＝BC+CD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长；（2）若Rt △ABC 中，点C 在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点P ，使PA =PB 且PA +PB 最小？若存在，就求出点P 的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△DCE为等腰三角形；（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（22；（3）CE＝2GH，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可得∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝12∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=2+1，即可求GH的值；（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝12BC﹣12BE+CE＝12CE，即CE=2GH【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB，∵BD＝DE，∴∠DBC＝∠E＝12∠ACB，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝12∠ACB＝∠E，∴CD＝CE，∴△DCE是等腰三角形（2）∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°∴DH＝CH，∵DH2+CH2＝DC2＝2，∴DH＝CH＝1，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC中点∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，∵BD＝DE，DH⊥BC∴BH＝HE＝2+1∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝2+1∴1+2GH＝2+1∴GH＝2 2（3）CE＝2GH理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，∵BD＝DE，DH⊥BC，∴BH＝HE，∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝12BC﹣12BE+CE＝12CE，∴CE＝2GH【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.8．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相交于点 F，且∠CAD＝12∠ABE．(1)求证：BF＝AC；(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.【解析】【分析】（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.【详解】（1）设∠CAD=x ，∵∠CAD ＝12∠ABE ，∠BAC ＝90º， ∴∠ABE=2x ，∠BAF=90°-x ，∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x ，∴∠BAF =∠AFB ，∴BF ＝AB ；∵AB ＝AC ，∴BF ＝AC ；（2）由（1）可知：∠CAD=x ，∠ABE=2x ，∠BAC ＝90º，∴∠AEB=90°-2x ，∵EF ＝EC ，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x ，∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，∵BF ＝AB ,∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ，∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；（3）由（2）可知：EF ＝EC ，∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，∴AB=BF=AC=3+x ，∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，∵∠BAC ＝90º，∴222AB AE BE +=，∴222(3)3(32)x x ++=+，解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）∴BF=3+x=3+1=4.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.9．（1）如图①，D 是等边△ABC 的边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边，在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ，你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．【详解】（1）结论：AF=BD，理由如下：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，同理知，DC=CF，∠DCF=60°，∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，在△BCD和△ACF中，∵BC ACBCD ACFDC FC=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由如下：如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，同理知，DC=CF，∠DCF=60°，∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，在△BCF ′和△ACD 中，BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩′′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），∴BF ′=AD ，又由（2）知，AF =BD ，∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．10．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A的坐标为()-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式22m n +-化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°, ∵ABC △为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,∴AQC BOA ≅(AAS),∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6, ∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,∴∠BPD=90°,∵ABD △是等腰直角三角形，∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP ,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,∴AOB BPD ≅∴AO=BP ,∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,∴OA=3∴m+n=23∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23∴整式2253m n +-3-（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM≅,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12 EG,∴EN=12 EG,∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM),∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．观察下列等式：22()()a b a b a b-=-+3322()()a b a b a ab b-=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++ 55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）. （3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76. 【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++， ()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b aa b a b ab b -=-++++，由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1，∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ] ∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76. 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．12．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++{n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=-∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．【答案】()4,x + 20. 【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+--{2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20 【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．13．阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．例如：分解因式3223x x +-．∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．设()()322231x x x ax bx c +-=-++而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积； ②分解因式323x x ++；（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3【解析】【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．【详解】解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．故答案为：x=-1；（x+1） ②设另一个因式为（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b =x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b ∴a+1=0 ，a=-1， b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3． ∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+．（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②，∴②-①，得m-n=3∴m n-的值为3．【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．14．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．【答案】232﹣13231 2-；【解析】【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．【详解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；（2）原式=12（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=32312-；（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．当m≠n时，原式=1m n-（m-n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=3232m nm n--；当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．【点睛】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．15．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：=m2+2n2，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若（）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=，b=（2）若（2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn；（2）由题意，得223 {42a m nmn=+=∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.（注：=垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量）（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？【答案】（1）100；（2）98.【解析】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可；（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案. 【详解】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，40 2.5401.25100x x ⨯=⨯+，解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，40 2.5200(110%)m⨯+⨯+≥90%，m ≥98，∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.17．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是吨，现在小麦的平均每公顷产量是吨；（用含a 、m 的式于表示）（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20ma ，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241n nn --小时．【解析】【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：20m n +，乙的工作效率为：200.5m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨，根据题意可得：100100200.8x x +=+ 解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0， ∴原分式方程的解为x ＝4， ∴现在平均每公顷产量是4.8吨，答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨，根据题意得：20m m y y a+=+ 解得；y ＝20ma ，经检验：y ＝20ma是原方程的解，则现在小麦的平均每公顷产量是:202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ，2020ma a+；（3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241n nn --小时．【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.18．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23x 天．根据题意，得201160()12233x x x ++=，解得：x =180．经检验，x =180是原方程的根，∴23x =23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，则有11()1120180y +=，解得 y =72．需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．19．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。

华师版八年级数学上册期中培优测试卷含答案

华师版八年级数学上册期中培优测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．计算4的结果是( )A ．4B ．－2C ．2D ．±22．计算(－a )3·(－a 2)的结果是( )A ．a 5B ．－a 5C ．a 6D ．－a 63．下列说法不正确的是( )A ．1的平方根是1B ．－2是－8的立方根C ．4是64的立方根D ．0的平方根是04．估计11－2的值在( )A ．3和4之间B ．2和3之间C ．1和2之间D ．0和1之间 5．计算－2a 3b 4÷3a 2b ·ab 3的结果是( )A ．－23B ．－23abC ．－23a 6b 8D ．－23a 2b 66．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：－4xy (3y －2x －3)＝－12xy 2●＋ 12xy ，●处被墨水弄污了，你认为●处是( ) A ．＋8x 2yB ．－8x 2yC ．＋8xyD ．－8xy 27．计算：52a ×1 0012－52a ×9992＝( )A ．5 000aB ．1 999aC ．10 001aD ．10 000a8．在多项式16x 2＋1中添加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是( ) 嘉琪：添加±8x ，16x 2＋1±8x ＝(4x ±1)2；陌陌：添加64x 4，64x 4＋16x 2＋1＝(8x 2＋1)2；嘟嘟：添加－1，16x 2＋1－1＝16x 2＝(4x )2. A ．嘉琪和陌陌的做法正确 B ．嘉琪和嘟嘟的做法正确 C ．陌陌和嘟嘟的做法正确D ．三名同学的做法都正确9．已知10a ＝20, 100b ＝50，则2a ＋4b －3的值是( )A ．9B ．5C ．3D ．610．已知实数m，n满足m2＋n2＝2＋mn，则(2m－3n)2＋(m＋2n)(m－2n)的最大值为()A．24 B.443 C.163D．－4二、填空题(每题3分，共15分)11．写出一个比3大且比4小的无理数：________．12．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简|a＋b|＋|－a|＋3b3的结果为________．(第12题)13．计算：1 2342－1 235×1 233＝________．14．若M＝(x－2)(x－8)，N＝(x－3)(x－7)，则M与N的大小关系为：M______N. 15．若一个整数能表示成a2＋b2(a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为5＝22＋12，所以5是一个“完美数”．已知M是一个“完美数”，且M ＝x2＋4xy＋5y2－12y＋k(x，y是两个任意整数，k是常数)，则k的值为________．三、解答题(20题9分，21题10分，22，23题每题12分，其余每题8分，共75分)16．计算：(1)9＋3－27－（－2）2；(2)(－1)2 023－|3－2|＋2＋14－0.25.17．利用乘法公式计算：(1)(x－y)(x＋y)－(x－y)2; (2)3.992－4.01×3.97.18．已知5x＋2的立方根是3，3x＋y－1的算术平方根是4.求：(1)x，y的值；(2)3x－2y－2的平方根．19．分解因式：(1)a3b－ab; (2)(x＋y)2－(2x＋2y－1)．20．先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 009.21．阅读下列材料：因为4＜5＜9，即2＜5＜3，所以5的整数部分为2，小数部分为5－2.请仿照上述方法，解答下列问题：(1)7的整数部分是________；(2)7的小数部分为m，11的整数部分为n，求m＋n－7的值．22．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的小长方形．(1)观察图形可以发现，代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为______________．(2)若每块小长方形的面积为20，四块正方形的面积和为162.①试求图中所有裁剪线(虚线)长度之和；②求(m－n)2的值．(第22题)23．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21计算如图①所示．(第23题)因此(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)＝3x＋2.(1)阅读上述材料后，试判断x3－x2－5x－3能否被x＋1整除，并说明理由；(2)若多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，求ab的值；(3)有一个长为x＋2，宽为x－2的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍(如图)，另有一长方形C，它的一边长为x＋10，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长．答案一、1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A7.D8.A9.C10．B二、11.15(答案不唯一)12.－2a13.114．＜点拨：∵M＝(x－2)(x－8)＝x2－10x＋16，N＝(x－3)(x－7)＝x2－10x＋21，∴M－N＝(x2－10x＋16)－(x2－10x＋21)＝16－21＝－5<0，即M＜N. 15．36点拨：∵M＝x2＋4xy＋5y2－12y＋k＝(x＋2y)2＋(y－6)2＋k－36，且M是“完美数”，∴k－36＝0，∴k＝36.三、16.解：(1)原式＝3－3－2＝－2.(2)原式＝－1＋3－2＋94－0.5＝－3＋3＋32－12＝－2＋ 3.17．解：(1)原式＝x2－y2－(x2－2xy＋y2) ＝x2－y2－x2＋2xy－y2＝2xy－2y2.(2)原式＝3.992－(3.99＋0.02)×(3.99－0.02)＝3.992－(3.992－0.022)＝3.992－3.992＋0.000 4＝0.000 4.18．解：(1)由题意得，35x＋2＝3，3x＋y－1＝4，∴5x＋2＝27，3x＋y－1＝16.∴x＝5，y＝2.(2)由(1)得，x＝5，y＝2，∴3x－2y－2＝15－4－2＝9.∴3x－2y－2的平方根是±3.19．解：(1)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)．(2)(x＋y)2－(2x＋2y－1)＝(x＋y)2－2(x＋y)＋1＝(x＋y－1)2.20．解：(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2＝4－a2＋a2－5ab＋3a5b3÷a4b2＝4－a2＋a2－5ab＋3ab＝4－2ab，当ab＝－1 009时，原式＝4－2×(－1 009)＝4＋2 018＝2 022.21．解：(1)2(2)m＝7－2，因为9＜11＜16，即3<11<4，所以n＝3，所以m＋n－7＝1.22．解：(1)(2m＋n)(m＋2n)(2)①由题意知mn＝20，2m2＋2n2＝162，∴m2＋n2＝81，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝121，∴m＋n＝11(负值已舍去)，∴图中所有裁剪线(虚线)长度之和为2(2m＋n)＋2(m＋2n)＝6(m＋n)＝66.②(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝81－40＝41.23．解：(1)x3－x2－5x－3能被x＋1整除．理由如下：(2)若多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，则有∴a＋9＝－3，b＝6，∴a＝－12，∴ab＝－2.(3)长方形A的周长为2(x＋2＋x－2)＝4x，长方形B的周长为2(x－2＋a＋x＋2＋6)＝4x＋2a＋12. ∵长方形B的周长是A周长的2倍，∴4x＋2a＋12＝8x.∴a＝2x－6.∴长方形B的面积为(x＋2＋6)(x－2＋2x－6)＝(x＋8)(3x－8)＝3x2＋16x－64. ∴长方形C的面积为3x2＋16x－140.∴所求边长为(3x2＋16x－140)÷(x＋10)＝3x－14.。

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B
C
A
北师八年级数学（上）期中复习培优
一．选择题
1、 △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）
A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 2、在-1.414，2，π，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为( ).
A.5
B.2
C.3
D.4 3、已知a>0，b<0，那么点P(a ，b)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5、下列说法正确的是（）
A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；
B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；
C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；
D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，
90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2
．
6、已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是( ).
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④ 7、点P （-3，5）关于x 轴的对称点P’的坐标是（）
A 、（3，5）
B 、（5，-3）
C 、（3，-5）
D 、（-3，-5） 8、下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）
A ．1，2，5
B ．1，2，3
C ．3，4，5
D ．6，8，12
9、下列计算正确的是（） A 、20=102 B 、632=
⋅ C 、224=- D
3=-
10、下列说法中，不正确的是（）．
A 3是2
)3(-的算术平方根 B ±3是2
)3(-的平方根 C －3是2
)3(-的算术平方根 D.－3是3
)3(-的立方根
11、已知点A （3，2），A C ⊥x 轴，垂足为C ，则C 点的坐标为（）
A 、（0，0）
B 、（0，2）
C 、（3，0）
D 、（0，3）
12．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是（）
A
． B
． C
． D
．
13. 如果
0)6(22
=+-++y x y x ，则y x 2-的立方根是。

14、2180a -=，那么a 的算术平方根是。

15、斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是。

16、知点A(3，b)在第一象限，那么点B(3，-b)在第___________象限。

17、已知x ＜1，则12x -x 2+化简的结果是。

18、直角三角形两直角边长分别为3 和4，则斜边上的高为__________。

19、知x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为___________。

20、一长方形的一边长为cm 3，面积为2
12cm ，那么它的一条对角线长是。

21、、若a<440-=m <b ，则a 、b 的值分别为。

22、知点A （2，y ）与点B （x ，－3）关于y 轴对称，则xy ＝__________。

23、若622
=+n
m y
x 是二元一次方程，则=m ______，=n ______.
24、方程632=-y x ，若用含x 的式子来表示y ，则y ＝______，若用含y 的式子来表示x ，则x ＝______.
25、观察下列各式====….请你将猜想到的规律用含自然数(1)n n ≥的代数式表示出来是 .
26、矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合，设折痕为EF ，则重叠部分△AEF
的面积等于．三．解答题 27、计算下列各题
（1 （2）0
1
()
5
--+.
（3）32
1
4
505118-+ （4） 126942-=x
28、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2
．求此时AD 的长．
29、已知y=x x -+-88+18,求代数式y x -的值。

30、折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子?
31、如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时梯子底部B 到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A 沿墙下移0.4米到A ′处，问梯子底部B 将外移多少米？
32、已知
a
x =M 的立方根，y =x 的相反数，且37M a =-，请你求出x 的平方根．
33、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求()2
-ab －27 的值.
34、已知点A （a －1，5）和点B （2，b －1）关于x 轴对称，求2003)b a (+的值。

35、定义新运算“※”：a ※b =ab
y
b a x ++，已知1※2=8，2※3=4，求3※4的值.
36、如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，且CE ＝AC
（1）若AB ＝3cm ，请求出△ACE 的面积。

（2）以AE 为边的正方形的面积是多少？
E
D
C
B
A。