分式方程的概念
(完整)分式方程概念及解法
分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。
2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二：分式方程的解法1。
解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解.2．解分式方程的一般方法和步骤(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
（2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.规律方法指导1．一般地，解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a，b为已知数，且，则这个方程是( ）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________。
八年级数学分式方程
工程优化问题
通过设定工程目标函数和 约束条件，建立分式方程 求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解相遇时间或相 对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解追及时间或速 度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的 速度、时间和距离，建立 分式方程求解船速、水速 或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的 发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的 现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定， 如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低 元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的 方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。
分式方程与整式方程
分式方程与整式方程在数学中，分式方程与整式方程是我们经常遇到的两类方程。
它们之间有着明显的区别，下面我将从不同的角度来介绍它们的特点和应用。
一、定义和形式1. 分式方程：分式方程是指方程中含有分式的方程。
一般形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为整数，b和d不为0。
分式方程的特点是方程中含有未知数的分数形式。
2. 整式方程：整式方程是指方程中只含有整数和未知数的方程。
一般形式为ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0，其中a、b、c、d 为整数，n为非负整数。
整式方程的特点是方程中只含有未知数的整数形式。
二、解的形式1. 分式方程：分式方程的解一般为有理数。
通过对分子和分母进行因式分解，我们可以求得方程的解。
2. 整式方程：整式方程的解可以是有理数或无理数。
通过代数运算，我们可以求得方程的根。
三、求解方法1. 分式方程：求解分式方程时，我们通常采用通分的方法，将方程中的分式转化为整式方程。
然后通过解整式方程，得到方程的解。
2. 整式方程：求解整式方程时，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法，根据方程的形式选择合适的方法求解。
四、应用领域1. 分式方程：分式方程常常出现在实际问题中，例如涉及到比例、速度、浓度等方面的问题。
求解分式方程可以帮助我们解决实际生活中的实际问题。
2. 整式方程：整式方程广泛应用于各个数学领域，包括代数、几何、概率等。
解整式方程可以帮助我们深入理解数学的基本概念和原理。
总结：分式方程与整式方程在定义、解的形式、求解方法和应用领域上都有所区别。
了解它们的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
无论是在实际生活中还是学术研究中，掌握分式方程与整式方程的区别都是非常重要的。
分式方程
分式方程考点一：分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
如71=x，452600480=-xx 都是分式方程。
注：一个式子是分式方程必须满足：①是方程；②分式的分母中含有未知数例一、下列哪些是分式方程？（1）032=-y x （2）72321x x =-+ （3）xx 523=-（4）321+-+x x （5）161222-=-+x x x考点二：分式方程的解法：（重点）1、解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，方法是方程两边都乘最简公分母，去掉分母。
2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母：在分式方程的两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
{注意：一定是化为一元一次方程，否则就是出错了} （2）解这个整式方程，求出整式方程的根。
（3）检验。
有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，那么这个根是原来方程的增根；如果最简公分母不等于0，那么这个根是原方程的根。
从而得出原方程的解。
②直接代入原方程中，看其是否成立。
例二：解方程：1、215x x =+2、111=+-x x x3、11122--=-x x4、1262=++-x x x5、2213211x x x x --=--对应练习：1、6352-=-x x2、625--=-x x x x3、225122+=++x x x x 4、3323-+=-x x x 5、 1416222=--+-x x x 6、2221422--+=-x x x x 7、01722=-++x x x x 8、125552=-+-x x x9、32121--+=-x x x 10、87178=----xx x11、2163524245--+=--x x x x 12、()16141022-=--x x x x13、211222++=+x x x x 14、x x x -=---91891015、x x x x x -=----+119132222 16、xx x x x ---+-=-+41341216965217、2244168222-=+-+-x xx x x x 18、41312111---=---x x x x考点三：增根的应用（难点）如果由变形后的方程求得的根不适合原方程，那么这种根叫做原方程的增根。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边） （4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数） （6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母） （7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零，则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。
分式方程
x 1
x2 1
解：原方程可化为 2 x 1
3 x3
6
x 1 x1
两边都乘以最简公分母 （x+1）(x-1) 得，
2( x 1) 3( x 1) 6
解这个整式方程得，
x 1
------究竟是不是原方程的根？
把x=1代入原方程检验
当x=1时，
3
和
x 1
6 x2 1
没有意义
∴ x=1不是原方程的根，（舍去） ------叫做原方程的增根
数学世界应该是一个让你感到幸福 和快乐的世界，希望你能体会到数学 给你带来得快乐！
16、4可化为一元一次方程的分式方程
问题：
情景
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行 60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求 轮船在静水中的速度。
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
80 60 x3 x3
一、分式方程的概念：
含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
探究
80 60
x 3
x 3
两边都乘以最简公分母 (x+3)(x-3) 得，
80( x 3) 60( x 3)
解这个整式方程得，
x 21
二、解分式方程的思路和方法：
转化法
2
3
6
例、解方程： x 1
3 6 x m 的解是正数？ x x -1 x( x 1)
注意：
1.去分母时，先确定最简公分母；---如果分母是多项式， 则要因式分解，故要对原方程转化变形；
2.去分母时，不要漏乘不含分母的项；
3.最后切记要验根； 4. 验根最简捷的办法是“代入最简公分母中”；
分式方程
1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．【例1】在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x-=；2371x x x ++=-；1(37)x x -中，分式方程有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________． 【例3】直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________； （3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【例4】用换元法解方程221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则方程变为( )A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【例5】解方程： （1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++； （3）23312222x x x x x ++=--+-．【例6】解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【例7】已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【例8】已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【例9】已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【例10】解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例11】解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【例12】解方程组：（1）413538x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）132013251x y x y ⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=-⎪-⎩．【例13】解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++； （2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【例14】解方程：226205x x +-=+．【例15】a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【例16】已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【例17】解关于x 的方程：22112()3()1x x x x+-+=【例18】解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【例19】已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．【例20】要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【例21】某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【例22】甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【例23】登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【例24】甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【例25】甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【例26】某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【习题1】已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【习题2】当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【习题3】分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【习题4】解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+．【习题5】解方程：221313x x x x ++=+．【习题6】解方程组311332412463324x y x y x y y x⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩【习题7】若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【习题8】甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米， 因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【习题9】某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．【习题10】解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【习题11】解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【习题12】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【习题13】已知：关于x 的方程227()72120a ax x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【作业1】下列哪个分式方程（ ）的根是2x =.A ．2321x x -=+ B ．3221x x-=+ C ．3101x -=+ D ．222x x x =--【作业2】用换元法解方程组56111211x y xy ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩时，如果设___________=u ，___________=v ，那 么原方程组可以化为二元一次方程组____________________．【作业3】已知方程22113()()40x x x x +++-=，若设1x y x +=，则原方程化为（ ）． A ．23540y y +-=B ．23100y y +-=；C ．23520y y -+=D ．23520y y ++= 【作业4】如果24410x x -+=，那么2x 的值是 ．【作业5】解方程：（1）21421242x x x x++=+--； （2）2154111x x x x --=+--．【作业6】解方程： （1）223121x x x x +-=+； （2）2322x x x x --=-．【作业7】解下列方程组： （1）22125134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩； （2）53327235572x y y x ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪-+⎩．【作业8】当m 为何值时，关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实根？【作业9】甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门，已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度．（其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）【作业10】如图所示，A B 、两港中间有C D 、两岛，AB AC AD 、、的距离分别为72海里，18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从A B 、两港同时出发，水流由A 流到B ，流速为2海里/时，第一次任务是到达C 岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达D 岛， 甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．【作业11】解方程：11111726x x x x +=+----．【作业12】若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的取值．。
分式方程概念
分式方程概念
分式方程是一种特殊的方程，它是由两个或多个分式组成的方程。
分式方程可以概括为：将两个或多个分式组合起来，进行等式比较，以找出解（未知数）的方程。
分式方程的解可以是一个或多个未知数的实数值或复数值。
分式方程的形式可以是整体对整体的比较、单个分式对整体的比较、单个分式对单个分式的比较。
分式方程可以用来解决许多物理问题，例如考虑地球和月球之间的引力问题，考虑在两个刚性物体之间发生碰撞时的动量守恒定律，还有分析元宝石或金属中的晶体结构等。
通过解决这些问题，我们可以得出一些结论，并从中学习物理规律。
此外，分式方程在许多其他领域中都有广泛应用，例如在金融领域可以用来模拟市场，求解资产定价问题；在管理科学领域可以用来求解资源分配问题；在运筹学领域可以用来求解最优解等。
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x 1 x2 1
3 2x 5 5x 4 1
3x 6 2x 4 2
x3 A
B
应用1
已知
(
x
2)2
x 2 (x 2)2
,
求A、B
应用2.当k=_____时,分式方程
x k x 0 x1 x1 x1
有增根.
x x6
请你解这个分式方程
1பைடு நூலகம்
2
x 1 x2 1
X能取1吗？
探究分式方程的增根原因
在将分式方程变形为整式方程时，有时 可能产生不适合原分式方程的解（或根）， 这种根通常称为增根.
因此，在解分式方程时必须进行检验.
赛一赛
解下列分式方程：
1 4 1 0 21 x x
x x 1
分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式 方程.
•分式方程的主要特征：
分母中含有未知数。
辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1) 5 7 x
( 2)
5 3 6y
3y2
(3)
5x 3 6x
3
(4) 5
( 5 ) x a x为未知数
2x 3
a
你会解这个分式方程吗？
90
60
分式方程1
观察下列方程，并进行分类
(1)2x 6 y 10;(2)2x 3 0;(3) x 5 1 32
(4)x2 3x 4 0;(5) 3 2x 1 x x5
(6) x 1 (a,b为常数）；(7) x 1
ab
x 1 2
分式方程的概念
方程 80 60 中含有分式，并且 x3 x3