2.4《正态分布》ppt

P ( X ) 0 .6 8 2 6, P ( 2 X 2 ) 0 .9 5 4 4, P ( 3 X 3 ) 0 .9 9 7 4 .
-a
+a
P ( X ) 0 .6 8 2 6, P ( 2 X 2 ) 0 .9 5 4 4, P ( 3 X 3 ) 0 .9 9 7 4 .
0.1573
例2：
1.已知随机变量X服从正态分布 N(3,σ2),则P(X<3)等 于( ) A. 1/4 B. 1/3 C. 1/3 D. 1/2 2 2 2.设两个正态分布N(μ1, 1 ) (σ1>0)和N(μ2, ) 2 (σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有 ( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
3.已知随机变量ξ 服从正态分布N(2,σ 2), P(ξ ≤4)=0.84,则P(ξ <0)等于 ( A.0.16 B.0.32
2
) Dຫໍສະໝຸດ Baidu0.84
C.0.68
4.已知x ~ N (0, ) ，且 P ( 2 x 0) 0.4 则 P (x 2) 等于( )
1
平均数
产品 尺寸 (mm)
2
3、正态曲线的性质
( x )
y
μ= -1 σ=0.5
1 2

(x ) 2
2
2
e
y
, x ( , )
y
μ=0
μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
σ唯一确定.正态分布记作N（ μ，σ2）
如果随机变量X服从正态分布，则记作: X~ N（ μ，σ2）,期中μ、σ为X的期望和标准 差
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.56％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.26 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ）， 通常称这些情况发生为小概率事件。
P ( X ) 0 .6 8 2 6, P ( 2 X 2 ) 0 .9 5 4 4, P ( 3 X 3 ) 0 .9 9 7 4 .
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了 检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测 得它们的实际尺寸如下: 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39
2
a
P( a x ≤ a)
a

, ( x )dx
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 ( a , a ] 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
特别地有 x=μ
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 ( , 2 ) 内取值的概率 等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 ,
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P ( X 0) =
P (2 X 2) =
0.9544
.
4、若X~N(5,1),求P(6<X<8).
例1、在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正 态分布，即X ~N(90,100). （1）试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多 少？ （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的 2 (1 0 0, 5 ) ，据此估计，大约应有57人的分 成绩X~N 数在下列哪个区间内？（ A ） A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
0.63
0.79 0.92 0.96 0.98 1.00
0.0227
0.0145 0.0118 0.0036 0.0018 0.0018
频率分布直方图
频率 组距
100件产品尺寸的频率分布直方图
产品内径尺寸/mm
o
200件产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
8 6 4 2
o
产品内径尺寸/mm
样本容量增大时频率分布直方图
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1
1 σ 2π
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1
σ=0.5
若 固定, 随值 的变化而 沿x轴平 移, 故 称为位置 参数；
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
=0.5
=1
若 固定, 大时, 曲线 矮而胖； 小时, 曲 线瘦而高, 故称 为形状参 数。 =2
其中实数 和 0 为参数.我们称 ,
x 的
图象为正 态 分 布 密 度 曲 线 , 简称 正态曲线 .
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P (a X b)

b
a
, ( x ) dx
则称随机变量X 服从正态分布. 正态分布由参数μ、
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.56％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.26 ％。
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
0.0009 0.0018 0.0045 0.0109 0.0164
25.385~25.415
25.415~25.445 25.445~25.475 25.475~25.505 25.505~25.535 25.535~25.565 合计
25
16 13 4 2 2 100
0.25
0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00
3、正态曲线的性质
( x )
y μ= -1 σ=0.5
1 2

(x ) 2
2
2
e
y
, x ( , )
y μ=1
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
A.0.1
B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
5.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且Ｐ（X ＜4）=0.8，则Ｐ（0＜X＜2）＝（ ） Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
6.

正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2

x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N ( , ) ,则对于任何实数a>0,概率
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
产品 尺寸 (mm)
x3
x4
x1
平均数
x2
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度
频率 组距
8
正态曲线
6
4 2
o
产品内径尺寸/mm
可以看出,当样本容量无限大,分组的组距 无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无 限接近于一条光滑曲线---正态曲线.
1 、正态曲线的定义：
这条曲线就是 或近似地)下列函数的图象: ( x μ 2 1 2 φμ,σ x e 2σ , x , , 2π σ
列出频率分布表
分组
25.235~25.265 25.265~25.295 25.295~25.325 25.325~25.355 25.355~25.385
频数
1 2 5 12 18
频率
0.01 0.02 0.05 0.12 0.18
累积频率
0.01 0.03 0.08 0.20 0.38
频率/组距