十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题06 平面向量(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题06平面向量历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1文科08单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1文科07单选题2015 平面向量的坐标运算2015年新课标1文科02单选题2014 平面向量的几何运算2014年新课标1文科06单选题2010 平面向量的数量积2010年新课标1文科02填空题2017 平面向量的坐标运算2017年新课标1文科13填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1文科13填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1文科13填空题2012 向量的模2012年新课标1文科15填空题2011 平面向量的数量积2011年新课标1文科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1文科02】已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（﹣4，﹣3），则向量（﹣7，﹣4）；故选：A．4．【2014年新课标1文科06】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴（）+（）（），故选：A．5．【2010年新课标1文科02】平面向量，已知（4，3），（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设（，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ，故选：C．6．【2017年新课标1文科13】已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝．【解答】解：∵向量（﹣1，2），（m，1），∴（﹣1+m，3），∵向量与垂直，∴（）•（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m＝7．故答案为：7．7．【2016年新课标1文科13】设向量（，+1），（1，2），且⊥，则＝．【解答】解：∵；∴；即+2（+1）＝0；∴．故答案为：．8．【2013年新课标1文科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若•0，则t ＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t＝0，∴10，解得t＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1文科15】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：310．【2011年新课标1文科13】已知a与b为两个垂直的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则＝．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴＝1 故答案为：1 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,则a b ⋅r r 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,所以2222444a b a b a b -=+-⋅=r r rr r r ，即2244cos 604a b a b +-=or r r r ，即22424a b a b +-=r r r r ，又因为2244a b a b +≥r rr r ，当且仅当2a b =r r 时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=r r rr r r ，即2a b ≤r r ；因此，1cos 6012a b a b a b ⋅==≤or r r r r r .即a b ⋅r r 的最大值为1.故选B3．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r夹角为2π3”是“||a b +=r r ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a r ，b r均为单位向量， 若a r 与b r夹角为2π3，则||1a b +==r r ；因此，由“a r 与b r 夹角为2π3”不能推出“||a b +=r r ”；若||a b +=r r ，则||a b +==r r解得1cos ,2a b =v v ，即a r 与b r 夹角为π3，所以，由“||a b +=r r ”不能推出“a r 与b r 夹角为2π3”因此，“a r 与b r 夹角为2π3”是“||a b +=r r ”的既不充分也不必要条件.故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，1122MN CN CM CB CD =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 11112222BC DC AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u ur u u u r .∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r .故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（ ）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO u u ur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r ，所以(2,2)a b m -=-rr ，因为()a a b ⊥-rr r ，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=r r r ，解得3m =所以答案选B.7．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 31+，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】设向量a r 与b r的夹角为θ， 因为向量a r 、b r为单位向量，且a b +r r 在a r 31+，则有3()||12a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭r r r r ，变形可得：3112a b +⋅=+rr ，即3 cos c2 1o1sa bθθ⋅=⨯⨯==rr，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A．8．在矩形ABCD中，3,4,AB AD AC==与BD相交于点O，过点A作AE BD⊥，垂足为E，则AE EC⋅=u u u v u u u v（）A．725B．14425C．125D．1225【答案】B【解析】如图：由3AB=，4=AD得：9165BD=+=，125AB ADAEBD⋅==又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAE BD⊥Q0AE EO∴⋅=u u u r u u u r又2144cos25AEAE AO AE AO EAO AE AO AEAO⋅=∠=⋅==u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r14425AE EC∴⋅=u u u r u u u r本题正确选项：B9．已知直线y=+m和圆2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若3AO AB2⋅=u u u r u u u r，则实数m=（）A．1±B．3C．22±D．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得22+2m+m 2-1=0， ∵直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得mm ＜，设A （1，y 1），B （2，y 2），则1+2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（1+m ）（2+m ）=12+m （1+2）+m 2，AO u u u r=（-1，-y 1），AB u u u v=（2-1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r +y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32， 解得m=2±． 故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．52【答案】B 【解析】 由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B .11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：7， 又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EBEC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5 B ．7C 29D ．42【答案】C 【解析】∵向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．②由①②得tan 1A =-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4ABπ==u u u r．在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC=故选C．13．在△ABC中，,2,BD DC AP PD BP AB ACu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+=（）A．1-3B．13C．1-2D．12【答案】A【解析】因为,2,BD DC AP PD==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P为ABC∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,所以1133AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r,所以23BP AP AB AB AC=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因为BP AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-故选：A14．在ABC∆中，543AB BC BC CA CA AB→→→→→→==g g g，则sin:sin:sinA B C=（）A．9:7:8BC．6:8:7D【答案】B【解析】设•••543AB BC BC CA CA AB t ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-， 得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选：B15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C.16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选：D ．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（ ）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r【答案】C 【解析】解：设圆的半径为，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =， 所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r，(1)AE λ=-u u u r ()AC R λ∈u u u r，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-，2）+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易知λ+μ=cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（ ）A ．13B ．12C D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0）， 由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为132tan 3BCπ=3(0,)6，半径为22133()()263+=. 所以点A 的轨迹方程为：22313x y ⎛+= ⎝⎭，则213x ≤ ，则303x -≤< ， 由AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC u u u r方向上投影为|DP|=||， 则AQ uuu r 在BC u u u r 3故选：C ．21．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为______． 【答案】5- 【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gRr，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x +=-， 令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-u u u r u u u r，故答案为：-5．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=r r ，若||||a b a b +=-r rr r ，则λ=______．【答案】12【解析】解：()()2,1,,1a b λ=-=r Q r()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--r rr r ；a b a b +=-r r r r Q ；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=． 故答案为：12． 23．向量()1,2a v=-，()1,0b =-r ，若()()a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-v，()1,0b =-r ，所以()()()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--r r r r，又因为()()a b a b λ-⊥+r r r r，所以()()0a b a b λ-⋅+=r r r r，即()()21220λλ--⨯-=，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e r r的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____．【答案】6π 【解析】()221221242cos33e e e e e e π-⋅=-⋅=-=r r r r r r又21e e -===r r()212212212cos ,2e e e e e e e e e -⋅∴<->===-⋅r r r r r rr r r 向量21e e -rr与r2e 的夹角为：6π 本题正确结果：6π25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大． 【解析】设a r ，m v ，n v的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =r ，(,)m x y v=，则222m x y =+u r ，4a m x ⋅=r u r ，由210m a m -⋅+=u r r u r可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，∴m v 的终点M 在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上， 同理n v 的终点N 在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上．显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v 的夹角最大．设圆心为A ，则3AM =，∴221OM OA AM =-=，3sin 2MOA ∠=，∴60MOA ∠=︒， 设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴322sin 2132MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯⨯=. 故答案为：3．26．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为_______．【答案】5﹣13【解析】设圆心为O,AB 中点为D,由题得22sin 2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u v u u uv u u u v u u u v , 两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=221113,()322DM ∴=+=, 所以PM 有最小值为2﹣13， 代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣21327．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅u u u r u u u r 的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】 以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ，则(2,0)BC =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =u u u r u u u r，其中01t ≤≤， 则(2,0)BD t =u u u r ，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以(3)CE tmCA tm tm ==-u u u r u u u r ，因此(13)E tm tm -，所以(21,3)AD t =--u u u r ，(223)DE tm t tm =--u u u r， 故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--u u u r u u u r2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭， 因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤， 所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅u u u r u u u r 取得最大值， 即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍） 故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.23 【解析】 因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B C C A B A B A B +=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=， 又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v =+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解23c =. 即AB 的长为23. 故答案为23329．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43 【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2，AD ＝2263，过D 作DF⊥轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF ＝263sin45°＝2623323⨯=，所以D （233-，33）， AC u u u r ＝（2,2），AD u u u r ＝（233-，33），AE u u u r ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以，（2,2）＝λ（233-23）+μ（2,1），所以，2322 232λμλμ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ的值为43故答案为：4330．在平面直角坐标系xOy中，已知()11,A x y，()22,B x y为圆221x y+=上两点，且121212x x y y+=-．若C为圆上的任意一点，则CA CBu u u r u u u rg的最大值为______．【答案】32【解析】因为C为圆2+y2＝1上一点，设C（sinθ，cosθ），则()()1122sin,cos,sin,cosCA x y CB x yθθθθ=--=--u u u r u u u r，∵()11,A x y，()22,B x y为圆221x y+=上两点，∴222211221,1x y x y+=+=，又121212x x y y+=-，∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sin cosθθθθ⋅=+-+-+++u u u r u u u r()()2212121)2x x y yθϕ=++++222211221212122)2x y x y x x y yθϕ=++++++1sin()2θϕ=-+，其中1212tany yx xϕ+=+，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为32． 故答案为：32．。
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题（附详细答案解析）一、选择题。
1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B ．【解析】因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>=a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= AB ．2C ．D ．50 【答案】A ．【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A.3.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A.【解析】法一、通解 如图所示，CB AD DB ED EB 2121+=+= ()()AC AB AC AB -++⨯=212121 3144=-AB AC ．故选A ．CB法二、优解111()222=-=-=-⨯+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B.【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =， 2CN NA =，则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0【答案】C.【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3||BA MA =． 由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3||CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==，连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-，∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ．6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A 1B 1C ．2D ．2 【答案】A.【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．NMOCBA因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．7.（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．8.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =， AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I【答案】C 。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之平面向量
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题06平面向量本专题考查的知识点为：平面向量，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的坐标表示，平面向量的数量积，平面向量基本定理，平面向量与充分必要条件综合问题等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以平面向量的数量积，平面向量基本定理为重点较佳.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝ ，y ＝ ．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝ ． 7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ=．8．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为 ．9．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝ ．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________．1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1B ．−1C ．4D ．−42．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0B ．1C ．√3D ．33．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（ ） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1B ．√3C ．2D ．与α有关5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b ⃑⃗为非零向量，“a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa ⇀+b ⇀与c ⇀共线,则实数λ=（）A ．−2B ．−1C ．1D ．29．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a ⇀，b ⇀满足a ⇀+b ⇀=(3,1)，a ⇀⋅b ⇀=1，则|a ⇀−b ⇀|=() A ．2B ．√6C ．2√2D ．√1010．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为60°,a ⃗=(√3,1),|b ⃑⃗|=1则|a ⃗+2b⃑⃗|=（） A ．2B ．√7C ．2√7D ．2√311．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a ⇀=(1,−3),b ⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2B ．3C ．2√2D ．512．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（ ） A ．13B ．12C ．√33D ．2313．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a ⃗，b ⃑⃗，“(a ⃗+b ⃑⃗)⋅a ⃗=2a ⃗2”是“a ⃗=b ⃑⃗”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a ⃗|=1，则“a ⃗⊥(a ⃗+b ⃑⃗)”是“a ⃗⋅b ⃑⃗=−1”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a ⃗=(0,5)，b ⃑⃗=(4,−3)，c ⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是() A ．a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗为共线向量 B ．a ⃗−b⃑⃗与c ⃗垂直 C ．a ⃗−b⃑⃗与a ⃗的夹角为钝角 D ．a ⃗−b⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为锐角 16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（ ） A ．−83B ．−1C ．1D ．317．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12B ．1C ．2D ．318．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−4319．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±1220．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．10021．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b⇀|=________. 22．【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】已知向量a ⇀=(2,4)，b ⇀=(−1,m)．若a ⇀//b ⇀，则a ⇀⋅b ⇀=__________．23．【2020届北京市顺义区高三二模】已知向量a ⃗=(−1,2)，b ⃑⃗=(x,1)，若a ⃗⊥b ⃑⃗，则实数x =___________. 24．【2020届北京市高考适应性测试】已知向量a ⃗=(1,m)，b ⃑⃗=(2,1)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则m =________． 25．如图所示，平面内有三个向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，其中OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为120°，OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为30°，且|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝1，|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝2√3.若OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝λOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋μOB⃑⃑⃑⃑⃑⃗(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．26．【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末】已知向量a ⇀=(−4,6),b ⇀=(2,x)满足a ⇀//b ⇀,其中x ∈R ,那么|b⇀|=_____________ 27．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高三上学期10月月考】在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60∘,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=16DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为． 28．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(12,√32)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(√32,12)，则∠ABC =______. 29．【2020届北京市高三高考模拟】已知向量a ⃗=(1,1),b ⃑⃗=(−3,m)，若向量2a ⃗−b ⃑⃗与向量b ⃑⃗共线，则实数m =__________．30．【2020届北京市第十一中学高三一模】平面向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(4,2)，c ⃗=ma ⃗+b ⃑⃗（m ∈R ），且c ⃗与a ⃗的夹角等于c ⃗与b ⃑⃗的夹角，则m =.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】解：点A ，B ，C 不共线，“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|＞|BC →|”， “|AB →+AC →|＞|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的充分必要条件． 故选：C ．2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】解：∵“|a →−3b →|＝|3a →+b →|” ∴平方得|a →|2+9|b →|2﹣6a →•b →=9|a →|2+|b →|2+6a →•b →， 即1+9﹣6a →•b →=9+1+6a →•b →， 即12a →•b →=0， 则a →•b →=0，即a →⊥b →，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的充要条件， 故选：C ．3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】解：m →，n →为非零向量，存在负数λ，使得m →=λn →，则向量m →，n →共线且方向相反，可得m →•n →＜0． 反之不成立，非零向量m →，n →的夹角为钝角，满足m →•n →＜0，而m →=λn →不成立． ∴m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是m →•n →＜0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（ ）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】解：若“|a →|＝|b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是菱形； 若“|a →+b →|＝|a →−b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是矩形； 故“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的既不充分也不必要条件； 故选：D ．5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝ ，y ＝ ．【答案】解：由已知得到MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →−AC →)=12AB →−16AC →； 由平面向量基本定理，得到x =12，y =−16；故答案为：12，−16．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝ ． 【答案】解：设a →=（x ，y ）．∵向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ）， ∴λa →+b →=λ（x ，y ）+（2，1）＝（λx +2，λy +1）， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2＝5．解得|λ|=√5． 故答案为：√5．7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ= ．【答案】解：以向量a →、b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得a →=（﹣1，1），b →=（6，2），c →=（﹣1，﹣3） ∵c →=λa →+μb →(λ，μ∈R)∴{−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ＝﹣2且μ=−12因此，λμ=−2−12=4故答案为：48．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为 ． 【答案】解：因为DE →⋅CB →=DE →⋅DA →=|DE →|⋅|DA →|cos ＜DE →⋅DA →＞=DA →2=1． 故答案为：19．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝ ．【答案】解：a →−2b →=(√3，3) ∵a →−2b →与c →共线， ∴√3×√3=3k 解得k ＝1． 故答案为1．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________． 【答案】√5−1【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A (0,0)、B (2,0)、C (2,2)、D (0,2)， AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1)， 则点P (2,1)，∴PD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)， 因此，|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(−2)2+12=√5，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×(−2)+1×(−1)=−1. 故答案为：√5；−1.1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1 B ．−1 C ．4 D ．−4【答案】D 【解析】向量a⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)， ∵a ⃗//b ⃑⃗，∴x =2×(−2)=−4 故选：D2．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0 B ．1C ．√3D ．3【答案】B 【解析】a ⃗−2b⃑⃗=(3,√3)因为a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，所以3k −√3×√3=0，解得：k =1 故选：B3．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（ ） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 【答案】C 【解析】解：a ⃗+b⃑⃗=(√3−12,√3−12)； ∴(a ⃗+b⃑⃗)•b ⃑⃗=3−√34−√3−14=2−√32≠0；∴a ⃗+b ⃑⃗不与b ⃑⃗垂直； ∴A 错误；(a ⃗+b ⃑⃗)•a ⃗=1−√34+3−√34=2−√32≠C ；∴a ⃗+b ⃑⃗不与a ⃗垂直； ∴B 错误；又(a ⃗+b ⃑⃗)•(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=1−1=0； ∴(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗)； ∴C 正确，D 错. 故选C ．4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1 B ．√3C ．2D ．与α有关【答案】B 【解析】根据题意，A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)). 则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα,sinα)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cos(α+π3),sin(α+π3))， 则有OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα+cos(α+π3),sinα+sin(α+π3))，故|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=[cosα+cos(α+π3)]2+[sinα+sin(α+π3)]2 =2+2cosαcos(α+π3)+2sinαsin(α+π3)=2+2cos π3=3，则|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√3； 故选：B.5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b⃑⃗为非零向量，“a⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】a⃑⃗|b ⃑⃗|,b ⃑⃗|a ⃑⃗|分别表示与a ⃗,b ⃑⃗同方向的单位向量， a⃑⃗|b⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|，则有a ⃗,b ⃑⃗共线， 而a ⃗,b ⃑⃗共线，则a ⃑⃗|b ⃑⃗|,b⃑⃗|a ⃑⃗|是相等向量或相反向量， “a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的充分不必要条件. 故选:B.6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为(a ⃗−b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，所以(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=a ⃗⋅b ⃑⃗−b ⃑⃗2=0，所以a ⃗⋅b ⃑⃗=b ⃑⃗2，所以cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|⋅|b ⃑⃗|=|b ⃑⃗|22|b⃑⃗|2=12，所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角为π3，故选B ．7．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a⃗=−12b⃑⃗时，|a⃗+b⃑⃗|=|−12b⃑⃗+b⃑⃗|=12|b⃑⃗|=|a⃗|，推不出|b⃑⃗|=0当|b⃑⃗|=0时，b⃑⃗=0⃑⃗，则|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗+0⃑⃗|=|a⃗|即“|a⃗|=|a⃗+b⃑⃗|”是“|b⃑⃗|=0”的必要不充分条件故选：B8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa⇀+b⇀与c⇀共线,则实数λ=（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】D【解析】由题中所给图像可得：2a⃗+b⃑⃗=c⃗，又c⃗=，所以λ=2.故选D9．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a⇀，b⇀满足a⇀+b⇀=(3,1)，a⇀⋅b⇀=1，则|a⇀−b⇀|=()A．2B．√6C．2√2D．√10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则可知：|a⇀−b⇀|=√(a⇀+b⇀)2−4a⇀⋅b⇀=√32+12−4×1=√6.本题选择B选项.10．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a⃗,b⃑⃗的夹角为60°,a⃗=(√3,1),|b⃑⃗|=1则|a⃗+2b⃑⃗|=（）A．2B．√7C．2√7D．2√3【答案】D【解析】|a⃗+2b⃑⃗|=√(a⃗+2b⃑⃗)2=√a⃗2+4a∙⃑⃑⃑⃑⃗b⃑⃗+4b⃑⃗2=√4+4×2×1×12+4=2√3，故选D. 11．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a⇀=(1,−3),b⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2 B ．3C ．2√2D ．5【答案】A 【解析】因为a ⃗=(1,−3),b ⃑⃗=(−2,0)， 所以a ⃗+2b ⃑⃗=(−3,−3)， 因此|a ⃗+2b ⃑⃗|=√9+9=3√2. 故选A12．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（ ） A ．13 B ．12C ．√33D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由∠BAC =π3可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为π3，所以圆心角为2π3.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为12BC tanπ3=√36，即圆心为(0,√36)，半径为√(12)2+(√36)2=√33. 所以点A 的轨迹方程为：x 2+(y −√36)2=13，则x 2≤13，则−√33≤x <0，由AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的几何意义可得：AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影为|DP|=|x|， 则AQ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是√33，故选C．13．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a⃗，b⃑⃗，“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2 a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，则a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=2a⃗2，即a⃗⋅b⃑⃗=a⃗2，取|b⃑⃗|=2|a⃗|，〈a⃗,b⃑⃗〉=π，此时满足(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，而a⃗≠b⃑⃗；3当a⃗=b⃑⃗时，(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2.故“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的必要而不充分条件.故选：B.14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a⃗|=1，则“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】C【解析】由a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)，则a⃗⋅(a⃗+b⃑⃗)=0⇒a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0又|a⃗|=1，所以a⃗⋅b⃑⃗=−1若a⃗⋅b⃑⃗=−1，且|a⃗|=1，所以a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)所以“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的充要条件故选：C15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是()A．a⃗−b⃑⃗与c⃗为共线向量B．a⃗−b⃑⃗与c⃗垂直C．a⃗−b⃑⃗与a⃗的夹角为钝角D．a⃗−b⃑⃗与b⃑⃗的夹角为锐角【答案】B【解析】解：∵a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，∴a ⃗−b⃑⃗=(−4,8)， ∵−4×(−1)−(−2)×8≠0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗不是共线向量， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=−4×(−2)+8×(−1)=0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗垂直， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅a ⃗=−4×0+8×5=40>0，则a ⃗−b ⃑⃗与a ⃗的夹角为锐角， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=−4×4+8×(−3)=−40<0，则a ⃗−b ⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为钝角， 故选：B ．16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（ ） A ．−83B ．−1C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：EB=EC=√7， 又tan∠BED =BD ED=√3=2√33所以cos∠BEC =1−tan 2∠BED 1+tan 2∠BED=−17所以EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=|EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗‖EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cos∠BEC =√7×√7×(−17)=−1 故选B ．17．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】因为平行四边形ABCD 中,AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点， 设AB =x ,由AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3得，(AB⇀+BC ⇀)⋅(BC ⇀+12BA ⇀) =(AB⇀+AD ⇀)⋅(AD ⇀−12AB ⇀) =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2=4+12|AB ⇀|×2×cos60∘−12AB ⇀2 =4−12x 2+12x =3即x 2−x −2=0解得x =2或x =−1（舍去）； 故选：C.18．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a ⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−43【答案】D 【解析】由题意b ⃑⃗在a ⃗上的投影为a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|=−163√22+(2√3)2=−43.故选：D.19．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±12【答案】A 【解析】设平面向量a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ，∵(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，可得|a ⃗|=|b ⃑⃗|， 在等式|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|两边平方得a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2=4a ⃗2−8a ⃗⋅b ⃑⃗+4b ⃑⃗2，化简得cosθ=35. 故选：A.20．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．100【答案】C 【解析】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=5， 原式=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2×25=50. 故选C.21．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b ⇀|=________. 【答案】5 【解析】因为a ⃗=(2,1)，所以|a ⃗|2=5，因为|a ⃗+b ⃑⃗|=5√2，所以|a ⃗+b ⃑⃗|2=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=50， 即5+|b⃑⃗|2+20=50，|b ⃑⃗|=5。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题06 平面向量(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题06平面向量历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1文科08单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1文科07单选题2015 平面向量的坐标运算2015年新课标1文科02单选题2014 平面向量的几何运算2014年新课标1文科06单选题2010 平面向量的数量积2010年新课标1文科02填空题2017 平面向量的坐标运算2017年新课标1文科13填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1文科13填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1文科13填空题2012 向量的模2012年新课标1文科15填空题2011 平面向量的数量积2011年新课标1文科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1文科02】已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（﹣4，﹣3），则向量（﹣7，﹣4）；故选：A．4．【2014年新课标1文科06】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴（）+（）（），故选：A．5．【2010年新课标1文科02】平面向量，已知（4，3），（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设（，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ，故选：C．6．【2017年新课标1文科13】已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝．【解答】解：∵向量（﹣1，2），（m，1），∴（﹣1+m，3），∵向量与垂直，∴（）•（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m＝7．故答案为：7．7．【2016年新课标1文科13】设向量（，+1），（1，2），且⊥，则＝．【解答】解：∵；∴；即+2（+1）＝0；∴．故答案为：．8．【2013年新课标1文科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若•0，则t ＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t＝0，∴10，解得t＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1文科15】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：310．【2011年新课标1文科13】已知a与b为两个垂直的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则＝．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴＝1 故答案为：1 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,则a b ⋅r r 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,所以2222444a b a b a b -=+-⋅=r r rr r r ，即2244cos 604a b a b +-=or r r r ，即22424a b a b +-=r r r r ，又因为2244a b a b +≥r rr r ，当且仅当2a b =r r 时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=r r rr r r ，即2a b ≤r r ；因此，1cos 6012a b a b a b ⋅==≤or r r r r r .即a b ⋅r r 的最大值为1.故选B3．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r夹角为2π3”是“||a b +=r r ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a r ，b r均为单位向量， 若a r 与b r夹角为2π3，则||1a b +=r r ；因此，由“a r 与b r 夹角为2π3”不能推出“||a b +=r r ”；若||a b +=r r ，则||a b +===r r解得1cos ,2a b =v v ，即a r 与b r 夹角为π3，所以，由“||a b +=r r ”不能推出“a r 与b r 夹角为2π3”因此，“a r 与b r 夹角为2π3”是“||a b +=r r ”的既不充分也不必要条件.故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，1122MN CN CM CB CD =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 11112222BC DC AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u ur u u u r .∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r .故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（ ）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO u u ur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r ，所以(2,2)a b m -=-rr ，因为()a a b ⊥-rr r ，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=r r r ，解得3m =所以答案选B.7．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 31+，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】设向量a r 与b r的夹角为θ， 因为向量a r 、b r为单位向量，且a b +r r 在a r 31，则有3()||12a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭r r r r ，变形可得：3112a b +⋅=+rr ，即3 cos c2 1o1sa bθθ⋅=⨯⨯==rr，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A．8．在矩形ABCD中，3,4,AB AD AC==与BD相交于点O，过点A作AE BD⊥，垂足为E，则AE EC⋅=u u u v u u u v（）A．725B．14425C．125D．1225【答案】B【解析】如图：由3AB=，4=AD得：9165BD=+=，125AB ADAEBD⋅==又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAE BD⊥Q0AE EO∴⋅=u u u r u u u r又2144cos25AEAE AO AE AO EAO AE AO AEAO⋅=∠=⋅==u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r14425AE EC∴⋅=u u u r u u u r本题正确选项：B9．已知直线y=+m和圆2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若3AO AB2⋅=u u u r u u u r，则实数m=（）A．1±B．3C．22±D．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得22+2m+m 2-1=0， ∵直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m或m ＜，设A （1，y 1），B （2，y 2），则1+2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（1+m ）（2+m ）=12+m （1+2）+m 2，AO u u u r=（-1，-y 1），AB u u u v=（2-1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r +y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32， 解得m=2±． 故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．52【答案】B 【解析】 由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B .11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：7， 又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EBEC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5 B ．7C 29D ．42【答案】C 【解析】∵向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．②由①②得tan 1A =-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4 ABπ== u u u r在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC=故选C．13．在△ABC中，,2,BD DC AP PD BP AB ACu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+=（）A．1-3B．13C．1-2D．12【答案】A【解析】因为,2,BD DC AP PD==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P为ABC∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,所以1133AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r,所以23BP AP AB AB AC=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因为BP AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-故选：A14．在ABC∆中，543AB BC BC CA CA AB→→→→→→==g g g，则sin:sin:sinA B C=（）A．9:7:8BC．6:8:7D【答案】B【解析】设•••543AB BC BC CA CA AB t ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-， 得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选：B15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C.16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选：D ．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（ ）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r【答案】C 【解析】解：设圆的半径为，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =， 所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u ur ()AC R λ∈u u u r，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-，2）+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θλ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易知λ+μ=+cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（ ）A ．13B ．12C D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0）， 由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为132tan 3BCπ=3(0,6，半径为22133()()263+=. 所以点A 的轨迹方程为：22313x y ⎛+= ⎝⎭，则213x ≤ ，则303x -≤< ， 由AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC u u u r方向上投影为|DP|=||， 则AQ uuu r 在BC u u u r 3故选：C ．21．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为______． 【答案】5- 【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gRr，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x +=-， 令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-u u u r u u u r，故答案为：-5．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=r r ，若||||a b a b +=-r rr r ，则λ=______．【答案】12【解析】解：()()2,1,,1a b λ=-=r Q r()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--r rr r ；a b a b +=-r r r r Q ；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=． 故答案为：12． 23．向量()1,2a v=-，()1,0b =-r ，若()()a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-v，()1,0b =-r ，所以()()()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--r r r r，又因为()()a b a b λ-⊥+r r r r，所以()()0a b a b λ-⋅+=r r r r，即()()21220λλ--⨯-=，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e r r的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____．【答案】6π 【解析】()221221242cos33e e e e e e π-⋅=-⋅=-=r r r r r r又21e e -===r r()212212212cos ,2e e e e e e e e e -⋅∴<->===-⋅r r r r r rr r r 向量21e e -rr与r2e 的夹角为：6π 本题正确结果：6π25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大． 【解析】设a r ，m v ，n v的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =r ，(,)m x y v=，则222m x y =+u r ，4a m x ⋅=r u r ，由210m a m -⋅+=u r r u r可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，∴m v 的终点M 在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上， 同理n v 的终点N 在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上．显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v 的夹角最大．设圆心为A ，则3AM =，∴221OM OA AM =-=，3sin 2MOA ∠=，∴60MOA ∠=︒， 设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴322sin 2132MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯⨯=. 故答案为：3．26．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为_______．【答案】5﹣13【解析】设圆心为O,AB 中点为D,由题得22sin 2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u v u u uv u u u v u u u v , 两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=221113,()322DM ∴=+=, 所以PM 有最小值为2﹣13， 代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣21327．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅u u u r u u u r 的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】 以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系， 因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ，则(2,0)BC =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =u u u r u u u r，其中01t ≤≤， 则(2,0)BD t =u u u r ，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以(3)CE tmCA tm tm ==-u u u r u u u r ，因此(13)E tm tm -，所以(21,3)AD t =-u u u r ，(223)DE tm t tm =--u u u r ，故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--u u u r u u u r2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭， 因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤， 所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅u u u r u u u r 取得最大值， 即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍） 故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.23【解析】 因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B C C A B A B A B +=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=， 又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v =+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解23c =. 即AB 的长为23. 故答案为23329．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43 【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2AD ＝2×tan30°＝263，过D 作DF⊥轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF ＝263sin45°＝6223323⨯=，所以D （233-，33）， AC u u u r ＝（2,2），AD u u u r ＝（233-，33），AE u u u r ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以，（2,2）＝λ（233-23+μ（2,1），所以，2322 232λμλμ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ的值为43故答案为：4330．在平面直角坐标系xOy中，已知()11,A x y，()22,B x y为圆221x y+=上两点，且121212x x y y+=-．若C为圆上的任意一点，则CA CBu u u r u u u rg的最大值为______．【答案】32【解析】因为C为圆2+y2＝1上一点，设C（sinθ，cosθ），则()()1122sin,cos,sin,cosCA x y CB x yθθθθ=--=--u u u r u u u r，∵()11,A x y，()22,B x y为圆221x y+=上两点，∴222211221,1x y x y+=+=，又121212x x y y+=-，∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sin cosθθθθ⋅=+-+-+++u u u r u u u r()()2212121)2x x y yθϕ=++++222211221212122)2x y x y x x y yθϕ=-++++++1sin()2θϕ=-+，其中1212tany yx xϕ+=+，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为32． 故答案为：32．。
平面向量(十年全国高考数学真题分类汇编 (文科) )
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）平面向量（原卷版）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b - 2．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)在平面内，A ．B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知向量()()2,3,3,2a b ==，则a b -= ( )AB ．2 C．D ．504．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 6．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( )A ．4B ．3C ．2D ．07．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)设非零向量满足则 ( )A ．B ．C ．D ． 9．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知向量1=2BA ⎛ ⎝⎭，31=22BC ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒10．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．211．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ( )A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)12．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设向量a ,b 满足||=10a b +，||=6a b -，则a b ⋅= ( ) Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．513．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB ,a b a b a b +=- a b ⊥a b = a b //a b >( ) A ．ADB ．AD 21C ．BC 21D ．BC二、填空题 14．(2021年高考全国甲卷文科)若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________． 15．(2021年全国高考乙卷文科)已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．16．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________．17．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知向量，a b ，(2,2)=a ，(8,6)=-b ，则cos =，a b __________.18．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．19．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知向量,且,则_______． 20．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知向量,若向量与垂直,则______．21．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知向量(),4a m =，()3,2b =-，且//a b ，则m =___________．22．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且 a b ⊥，则x = ．23．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=_______。
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题03 平面向量(解析卷)
专题03 平面向量平面向量小题：10年10考，每年1题，向量题考得比较基础，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大．这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明．【答案】B2．（2018年）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r（ ）【答案】A【答案】7【解析】∵向量a r ＝（﹣1，2），b r ＝（m ，1），∴a b +r r ＝（﹣1+m ，3），∵向量ab +r r 与a r 垂直，∴()a b a+⋅r r r ＝（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m ＝7．5．（2015年）已知点A （0，1），B （3，2），向量C A uuu r ＝（﹣4，﹣3），则向量C B uuu r＝（ ）A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）【答案】A【解析】∵点A （0，1），B （3，2），∴AB u u u r＝（3，1），∵C A uuu r ＝（﹣4，﹣3），∴C B uuu r ＝C A -AB u u u r u u u r ＝（﹣7，﹣4），故选A ．6．（2014年）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB u u u r +FC u u u r ＝（ ）A ．D A u u u rB ．1D 2A u u urC ．C B uuu rD ．1C 2B u u ur【答案】A【解析】∵D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴EB u u u r +FC u u u r ＝（F E u u r +F B u u u r ）+（F E u u r +C E u u ur ）＝F B u u u r +C E u u u r ＝()1C 2AB +A u u u r u u u r ＝D A u u u r，故选A ．7．（2013年）已知两个单位向量a r ，b r 的夹角为60°，c r ＝t a r+（1﹣t ）b r ．若b c ⋅r r ＝0，则t ＝ ．【答案】2【解析】∵c r ＝t a r+（1﹣t ）b r，b c ⋅r r ＝0，∴()210b c ta b t b ⋅=⋅+-=r rr r r ，∴t cos60°+1﹣t ＝0，∴1102t -=，解得：t ＝2．8．（2012年）已知向量a r ，b r夹角为45°，且1a =r ，210a b -=r r ，则b r ＝ ．【答案】32【解析】∵45θ=o，1a =r，∴2cos 2a b a b b θ⋅==r r r r r ，∴2a b -r r ＝()22a b-r r ＝2244a a b b-⋅+r r r r ＝2422b b -+r r ＝10，解得：32b =r ．9．（2011年）已知a r 与b r 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量a r +b r 与向量k a r ﹣b r垂直，则k ＝ ．【答案】1【解析】∵a b ⊥r r ，∴0a b ⋅=r r ，∵a r +b r 与k a r﹣b r 垂直，∴()()0a b ka b +⋅-=r r r r ，即220ka ka b a b b +⋅-⋅-=r r r r r r ，∴k ＝1．10．（2010年）平面向量a r ，b r ，已知a r ＝（4，3），2a b +r r ＝（3，18），则a r ，b r夹角的余弦值等于（ ）【答案】C故选C ．。
专题10 平面向量丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共40页)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量目录题型一：平面向量的概念及线性运算.......................................................1题型二：平面向量的基本定理....................................................................3题型三：平面向量的坐标运算....................................................................9题型四：平面向量中的平行与垂直.........................................................13题型五：平面向量的数量积与夹角问题.................................................14题型六：平面向量的模长问题..................................................................32题型七：平面向量的综合应用 (37)题型一：平面向量的概念及线性运算一、选择题1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B解析:若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b = ，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件,故选B ．2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=()A ．2CD CA +B ．2CD CA-C ．2CD CA-D ．2CD CA+【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=()A ．32m n -B ．23m n-+C ．32m n+D ．23m n+【答案】B解析：因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．4．(2019·上海·第13题)已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是()A.)1,2(-B ．)1,2(C ．)2,1(-D ．)2,1(【答案】D【解析】依题意：)1,2(-为直线的一个法向量，∴方向向量为)2,1(，选D .【点评】本题主要考查直线的方向量．5．·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为12(10.6182≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是()A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．二、填空题1．(2020北京高考·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD =_________．【答案】(1)．(2)．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =-，因此，PD ==，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-．故答案为：；1-．2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量a 、b 满足|a |=1,b =(2,1),且0a b λ+=(R λ∈),则||λ=．【答案】5解析：∵0a b λ+= ，∴a b λ=-，b aλ∴==3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．题型二：平面向量的基本定理一、选择题1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a表示出来的是()A ．)2,1(),0,0(21==e eB ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B解析：根据12a e e λμ=+ ，选项A ：()()()3,20,01,2λμ=+，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：()()()3,21,25,2λμ=-+-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：()()()3,23,56,10λμ=+，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：()()()3,22,32,3λμ=-+-，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则()A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC=- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC=-【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A ．4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图则()0,0A ，()1,0B ，()0,2D ，()1,2C ，连结BD ，过点C 作CE BD ⊥于点E在Rt BDC ∆中，有BD ==1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△即112512225CE CE ⨯⨯=⇒=所以圆C 的方程为()()224125x y -+-=可设1cos ,2sin 55P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭由AP AB AD λμ=+ 可得()1cos ,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以1cos 51sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2cos sin 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=所以λμ+的最大值为3，故选A ．法二：通过点C 作CE BD ⊥于E 点，由1AB =，2AD =，可求得BD ==又由1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△，可求得255CE =由等和线定理可知，当点P 的切线(即FH )与DB 平行时，λμ+取得最大值又点A 到BD 的距离与点C 到直线BD 的距离相等，均为255而此时点A 到直线FH 的距离为25252565225555r +=+⨯=所以6553255AFAB ==，所以λμ+的最大值为3，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P 点在如图所示位置时，λμ+最大，且此时若AG x AB y AD =+，则有x y λμ+=+，由三角形全等可得2AD DF FG ===，知3,0x y ==，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB ADλμ=+ 即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．法四：由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系则C 点坐标为(2,1)．∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+=．BD 切C 于点E ．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 255．∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0151cos 25x μθ==+，02155y λθ==+．两式相加得：2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤(其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题1．(2023年天津卷·第14题)在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b表示为_________；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．【答案】①．1142a b + ②．1324解析：空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED ADAE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加，可得到2AE AD AC =+，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC ACAF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+，即32AF a b =+，即2133AF a b =+ ．于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭．记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅有最大值1324．故答案为：1142a b + ；1324．2．(2015高考数学北京理科·第13题)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y =．【答案】11,26-解析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC = ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-．3．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为2,OA与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+ (,)m n ∈R ,则m n +=______．【答案】3解析:由tan 7α=可得72sin 10α=,2cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩,即2222102720210n m n +=⎪⎪⎪-=⎪⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=．题型三：平面向量的坐标运算一、选择题1．(2023年北京卷·第3题)已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，则22||||a b -=()αA CBO(第12题)A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B解析：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D解析：因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．3．(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量)1,2(),4,1(),3,(===c b k a ，且(23)a b c -⊥,则实数k =()A ．92-B ．0C ．3D ．152【答案】C解析：(23)a b c -⊥ (23)0a b c ⇒-= 230a c b c ⇒-= 2(23)360 3.k k ⇒+-⨯=⇒=C ．13r R ≤<<D ．13r R<<<【答案】A解析：因为||||1a b == ，且0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,1)b =，则由)OQ a b =+得Q 曲线C:设(,)P x y ，则(1,0)cos (0,1)sin (cos ,sin )OP θθθθ=+=，02θπ≤<，则cos ,(02)sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩，表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆；区域Ω：设(,)P x y ，则由||r PQ R ≤≤，则有：2222(2)(2)r x y R ≤-+-≤，表示以(2,2)为圆心，分别以r 和R 为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，若使得C Ω 是两段分离的曲线，则由图像可知：13r R <<<，故选A ．5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,)22BA = ,31(,)22BC = ,则ABC ∠=()A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC ⨯+⋅∠===⨯⋅ ,所以30ABC ∠=︒,故选A.6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =()A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】由()a b b ⊥ +可得：()0a b b +=，所以20a b b += ，又(1,)(3,2)a mb =- ，=所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m =，故选D ．二、填空题1．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．2．(2020江苏高考·第13题)在ABC ∆中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数)，则CD 的长度是________．【答案】185【解析】,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=> ，32PA mPB m PC ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，32PD mPB m PC λ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+=，即32λ=，9AP = ，3AD ∴=，4AB = ,3AC =,90BAC ∠=︒，5BC ∴=，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-．∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，()cos cos 0θπθ+-= ，()()2570665x x x --∴+=-，解得185x =，CD ∴的长度为185．当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去．故答案为：0或185．3．设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-，，则cos θ=．【答案】31010解：设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=- ∴(1,2)b =，则cos θ=||||a b a b ⋅==⋅31010。
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)
解法二 由 b2 4e b 3 0 得 b2 4e b 3e2 (b e) (b 3e) 0 ．
设 b OB ， e OE ， 3e OF ，所以 b e EB ， b 3e = FB ，
7.（2017 北京）设 m , n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n ”是“ m n 0 ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【 解 析 】 因 为 m, n 为 非 零 向 量 ， 所 以 m n | m || n | cos m, n 0 的 充 要 条 件 是
cos m, n 0 ．
因 为 0 ， 则 由 m n 可 知 m, n 的 方 向 相 反 ， m, n 180 ， 所 以
法二、优解
EB
AB
AE
AB
1
AD
AB
1
1
(AB
AC
)
2
22
3
AB
1
AC
．故选
A．
44
4.（2018 全国卷Ⅱ）已知向量 a ， b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b)
所以 cos a, b b 2 b 2 1 ． ab 2b 2
又因为 a, b [0，π] ，所以 a, b π ．故选 B． 3
2.（2019 全国Ⅱ文 3）已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
2010年高考数学试题分类汇编-平面向量
第五章 平面向量一 平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示． 【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．【2010年湖北卷理5文8】．已知△ABC 和点M 满足++=0．若存在实数m 使得+=m 成立，则m =BA ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由MA +MB +MC =0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM =31AD =32·21（AB +AC ）=31（AB +AC ），所以有AB +AC =m AM ，故m =3，选B ．【2010年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ．若CB =a ，CA =b ，| a |=1，| b |=1，则CD =B A ．31a +32b B ．32a +31b C ．53a +54b D ．54a +53b 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得CBCADB AD =2，所以D 为AB 的三等分点，且AD =32AB =32（CB ―CA ），所以CD =CA +AD =32CB +31CA =32a +31b ．【2010年陕西卷理11文12】．已知向量a =（2，―1），b =（―1，m ），c =（―1，2），若（a +b ）∥c ，则m = ． 【答案】―1【解析】∵a +b =（1，m ―1），c =（―1，2），∴由（a +b ）∥c得1×2―（―1）×（m ―1）=0，所以m =―1．【2010年高考上海市理科13】．如图所示，直线x =2与双曲线Г：42x ―y 2=1的渐近线交于E 1，E 2两点，记1OE =e 1，2OE =e 2，任取双曲线上的点P ，若=a e 1+b e 2（a ，b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 ．4ab =1【答案】4ab =1【2010年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（5，0），e 1=（2，1），e 2=（2，―1）分别是两条渐近线的方向向量。
2010-2019年十年高考数学真题分类汇编.docx
A．1
B．2
C．3
D．4
31（. 2017Ⅲ理 1）已知集合 A = (x, y) x2 + y2 = 1 ，B = (x, y) y = x ，则 A I B 中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
32.（2018Ⅰ文 1）已知集合 A = 0，2 ， B = -2，-1，0，1，2 ，则 A I B = ( )
A．（-14，16）
B．（-14，20）
C．（-12，18）
D．（-12，20）
x-3 2.（2010Ⅱ文 2）不等式 0 的解集为( )
x+2
A．{x｜-2< x<3} B．{ x｜x<-2}
C．{ x｜x<-2,或 x>3} D．{ x∣x>3}
x -1
3.(2010Ⅱ文
5
理
3）若变量
x，y
1.集合
1.（2010Ⅰ文理 1）已知集合 A = x | x 2，x R，B = x | x 4，x Z ,则 A I B ＝( )
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
2.（2010Ⅱ文 1）设全集 U= x N * | x 6 ,集合 A＝{1，3}，B＝{3，5}，则 CU A U B ＝( )
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{-1，0，1}
D．{0，1，2}
20.（2016Ⅰ文 1）设集合 A={1，3，5，7}，B＝{x| 2 x 5}，则 A∩B=( )
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
21.（2016Ⅰ理 1）设集合 A＝{x|x2－4x+3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则 A I B = ( )
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题06 平面向量 考试版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题06 平面向量1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )A.√2B.2C.5√2D.502.(2019·全国1·理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗C.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.05.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√37.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则( )A.2116B.32C.2516D.38.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.09.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-3C.-43D.-110.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3B.2√2C.√5D.211.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b|12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434B.494C.37+6√34D.37+2√33413.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58B.18C.14D.11814.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8B.-6C.6D.815.(2015·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.216.(2015·福建·文T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于( ) A.-32B.-53C.53D.3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.218.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 219.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.620.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2121.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4)22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a,b 满足|a|=2√2|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π624.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 25.(2014·全国1·文T6)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD⃗⃗⃗⃗⃗C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1,√3),b=(3,m),若向量a,b 的夹角为π6,则实数m=( ) A.2√3B.√3C.0D.-√327.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.531.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b )·b=( ) A.-1B.0C.1D.232.(2014·大纲全国·理T4)若向量a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2B.√2C.1D.√233.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( ) A.-92B.0C.3D.15234.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( ) A.√22B.12C.0D.-135.(2012·重庆·理T6)设x,y ∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a ⊥c,b ∥c,则|a+b|= ( ) A.√5B.√10C.2√5D.1036.(2010·全国·文T2)a,b 为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b 夹角的余弦值等于( ) A.865B.-865C.1665D.-166537.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= .38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a ⊥b,则m= .39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 40.(2019·全国3·理T13)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= . 41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为 1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是,最大值是 . 42.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA,AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则AB AC的值是 .43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a ⊥(ma-b),则m= .44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= . 47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b 与a 垂直,则m= . 48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a ∥b,则λ= . 49.(2017·全国1·理T13)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .50.(2017·天津,理13文14)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 51.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),则m+n=. 52.(2017·山东·理T12)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量,若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .55.(2016·北京·文T9)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 夹角的大小为 . 56.(2016·全国1·文T13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a ⊥b,则x= .57.(2016·山东·文T13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a ⊥(ta+b),则实数t 的值为 . 58.(2016·全国2·文T13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a ∥b,则m= . 59.(2016·全国1·理T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .60.(2015·浙江·文T13)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b|= .61.(2015·全国2·理T13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 62.(2015·北京·理T13)在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .63.(2014·湖北·理T11)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a +λb)⊥(a-λb),则实数λ= .64.(2014·陕西·理T3)设0<θ<π2,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a ∥b,则tan θ= . 65.(2014·重庆·文T12)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a ·b= . 66.(2014·全国1·理T15)已知A,B,C 为圆O 上的三点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为. 67.(2014·湖北·文T12)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 68.(2013·江苏·T10)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .69.(2013·北京·理T13)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb(λ,μ∈R),则λ= .70.(2013·全国1·T13)已知两个单位向量a,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b ·c=0,则t= . 71.(2013·全国2·理T13文T14)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 72.(2013·天津·理T12)在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB 的长为 .73.(2013·北京·文T14)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成,则D 的面积为. 74.(2012·全国·理T13文T15)已知向量a,b 夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= . 75.(2012·安徽·文T11)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|= .76.(2011·全国·文T13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a+b 与向量ka-b 垂直,则k= .。