第七章 轴测投影
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07第7章轴测投影
O1 X1
Y1 X
Z
S O
Y
二、正等轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数
Z
O
120º
120º
X
Y
轴间角：120° 轴向变形系数：p=q=r=0.82 简化轴向变形系数: p=q=r=1
5.4 平行于坐标面的圆的轴测投影
Z
椭圆
X
Y
注意椭圆长、短轴的方向!
画法：八点法（以水平圆为例）
画法：四心法（以水平圆为例）
轴间角：120° 轴向变形系数：p=q=r=o.82 简化轴向变形系数: p=q=r=1
x'
a' b'
xa
s
o' o"
y"
c' a"(c") b"
oc
b
y
画坐标轴
按各点坐标沿轴度量
连线并加深X1 AZ1 NhomakorabeaSCO130° Y1
B
例：画出圆柱体的正等测 o'
x'
z'
x
o
y
外切正方形
X1
Y1
Z1
四心椭圆法（菱形法） 注意：椭圆长、短轴方向
土木工程制图
Civil Engineering Drawing
第7章 轴测投影
西北工业大学出版社
Press of Northwestern Polytechnical University
目录
• 7.1 基本知识 • 7.2 斜轴测投影 • 7.3 正等轴测投影 • 7.4 平行于坐标面的圆的轴测投影 • 7.5 轴测投影的画法
G2● O1 G●
1
E2 ●
Y1 X
Z
S O
Y
二、正等轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数
Z
O
120º
120º
X
Y
轴间角：120° 轴向变形系数：p=q=r=0.82 简化轴向变形系数: p=q=r=1
5.4 平行于坐标面的圆的轴测投影
Z
椭圆
X
Y
注意椭圆长、短轴的方向!
画法：八点法（以水平圆为例）
画法：四心法（以水平圆为例）
轴间角：120° 轴向变形系数：p=q=r=o.82 简化轴向变形系数: p=q=r=1
x'
a' b'
xa
s
o' o"
y"
c' a"(c") b"
oc
b
y
画坐标轴
按各点坐标沿轴度量
连线并加深X1 AZ1 NhomakorabeaSCO130° Y1
B
例：画出圆柱体的正等测 o'
x'
z'
x
o
y
外切正方形
X1
Y1
Z1
四心椭圆法（菱形法） 注意：椭圆长、短轴方向
土木工程制图
Civil Engineering Drawing
第7章 轴测投影
西北工业大学出版社
Press of Northwestern Polytechnical University
目录
• 7.1 基本知识 • 7.2 斜轴测投影 • 7.3 正等轴测投影 • 7.4 平行于坐标面的圆的轴测投影 • 7.5 轴测投影的画法
G2● O1 G●
1
E2 ●
轴测投影图同济大学
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
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文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
➢ 9.4 轴测剖视图 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
为了表达零件旳内部构造和形状，常用 两个剖切平面沿两个坐标面方向切掉零件旳 四分之一。
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X1
Y1
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画法： 四心椭圆法(菱形法)
（以平行于H面旳圆为例）
e
●
E1 ●
B● 1
a
b
●
●
A● 1 ●
F● 1
f
画圆旳外切菱形 拟定四个圆心和半径 分别画出四段彼此相切旳圆弧
画法：
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四心扁圆法
O2 A
O1
O2 A
C O1
作图：用八点法作斜二测椭圆。
a
1
5
d
8
X2
O
4
a
f 45° 1
6
7
b
3Y
c
Z1
5
2
6
b
1:1
Y1
45° O1
1:1 X1
g
d
8
4
7
3
c
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
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例：已知两视图，画斜二轴测图。
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例 端盖旳斜二测作图环节 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
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X'
工程制图-轴测投影
轴测投影的基本知识 二 轴测投影的投影特性
(1) 平行性 (2) 等比性
轴测图的投影特性
(1) 平行性 物体上相
互平行的线段,在轴测投影
图上仍相互平行。
z
z1
C D
S
C1
F
D1
F1 E1
E
A oB
x
G
x1
o1
y1
A1
B1
y
G1
续投影特性
(2) 定比性 平行线段的轴测投影，其变形系数相同。
(3)物体上平行于轴测投影面的直线和平面在轴测 投影面上分别反映实长和实形。
轴测投影图的形成
1 轴测投影的基本知识
一.概述
轴测图的形成
将物体和确定物体位 置的直角坐标系沿选 定的投影方向平行地 投影到某一投影面上, 所得到的能同时反映 物体三个方向形状的 投影图,称为轴测投影 图,简称轴测图。
正轴测图 斜轴测图
一 轴测投影图的形成
轴测投影面
z
z1
S(倾斜与三个坐标面)
o x
X
B
F
C
X1
Y1
C
E
Y
切出左上块
2.量取尺寸D，垂直向下切；量取G， 水平向后切
D
出3
左 前 角
量 取
、
， 切
. . EF
4
G
校 核 并 加 深
擦 除 多 余 作
图
线
例3 画出物体的正等测图 在视图上定坐标原点和坐标系
z' z"
x'
y"
o' o"
形体分析与作图相结合
形体分析与作图相结合
工程图学习题答案
a
b
Bb
A
aW
c
O
b
a C cc
Y
9
第二章 点、直线和平面
2-5 求点的投影。
(1) 已知A、B、C、D的两面投影图，求第三投影，并量出 (2) 已知点M、N、S分别属于H、V、W面，点K属于Z轴，试 各点到投影面的距离，填入表中(单位：mm，取整数)。 画出各点的三面投影图。
′
d
′
′b
a
′ ′
′ ′
28
第二章 点、直线和平面
2-36 完成下列各题。
AB为某平面对H面的最大斜度线，求作属于该平面且距V 面20mm的正平线。
2-37 已知△ABC 与V面的倾角为45度，补出其水平投影。
′
′
′
′
′
2021/6/16
29
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
习题 3-1,2 习题 3-7,8 习题 3-13,14 习题 3-19,20 习题 3-25,26 习题 3-31,32
(6) 交叉
16
第二章 点、直线和平面
2-15 AB与CD相交，补出线段所缺的投影。
（ 1）
′ ′
′
′
′
′
′
′
2-16 过点A作直线，与CD、EF相交。
（ 1）
′
′
′
′
′
d （ 2）
c
d
′ ′
′
′
（ 2）
′ ′′
′ ′
d
c
2021/6/16
17
第二章 点、直线和平面
2-17 完成下列个题。
(1) 作一直线KL,使其与AB平行,与CD相交,确定K。
轴测投影
3.作圆柱切口的轴测图，在椭圆上自1、2、3、4、5、6各点向上引垂线， 并截取相应高度即可作出；再根据圆柱的高度作圆柱的上顶圆；
1’(4’)
2’(5’)
3’(6’) 1 X
Z
Y 2 3
O
5 4 6
O 4 5 6 45°
45°
O
2
1
3
步骤： 1.画出轴测轴（为了看清切口，最好画成仰视的 轴测图）； 2.用八点法作出下底圆的斜二测椭圆；
在工程中，轴测投影图一般作为工程辅助图样。
返回
2、轴间角和轴向伸缩系数
轴测轴——三个坐标轴X1、Y1、Z1的轴测投影X、Y、Z。 轴间角——轴测轴之间的夹角，∠XOY、∠YOZ、∠ZOX 。 轴倾角——轴测轴X、Y与水平线间的夹角。
Z 轴向伸缩系数——轴测轴上的 C 单位长度与对应坐标轴上的单 位长度之比。 O X轴轴向伸缩系数: p=OA/O1A1 X A Y轴轴向伸缩系数: q=OB/O1B1 Z轴轴向伸缩系数：r=OC/O1C1 推论: 与坐标轴平行的棱线，其轴测投影平 行于对应的轴测轴，其轴向伸缩系数 等于对应坐标轴的轴向伸缩系数。 P
高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版
5
Z′
X′ O′ Y Z Y
O X
O
返回
倒圆角正等轴测图的画法
Z
返回
返回
综合法
Z′ Z
X′
O′ O
X
Y
返回
Z′
Z
X′O′ O X YY′Z′ZX′
O′ O X Y
Y′ 返回
Z′ Z
X′
O′ O
X
Y
画法几何：7轴测投影
平行性
空间平行的两直线，其轴测投影仍然平行；空间平行于坐标 轴的线，其轴测投影平行于相应的轴测轴。
定比性
互相平行的线段的长度之比，等于轴测投影长度之比；与坐 标轴平行的线段和该轴具有相同的伸缩系数。
7.2 正等轴测投影
➢ 7.2.1 轴间角和轴向伸缩系数 ➢ 7.2.2 正等轴测投影的画法 ➢ 7.2.3 平行于坐标面圆的正等轴测投影
90°
135°
135°
L 0.82L
L
边长为L的正 方体的轴测图
L
按简化轴向变形系数画
按理论轴向变形系数画
7.4 轴测投影的选择
要避免被遮挡
要避免转角处交线投影成一直线
要避免平面体投影成对称的图形
要避免有侧面的投影积聚为直线
合理选择轴测投射方向
X1
Z1
O1
Y1 X
Z
S O
Y
轴测 投影图
将物体连同确定其位置的直角坐标系按照不 平行于任一坐标面的方向S用平行投影法投影 到某一选定的投影面P上所得到的投影图称轴
测投影图。
7.1.2 轴测投影的形成
Z1
P
Z
轴测投影图
O1 X1
Y1 X
六个基本要素
S O
Y
空间坐标系 O-XYZ 空间形体 轴测投影方向 S 轴测投影面 P 轴测坐标系 O1-X1Y1Z1 轴测投影图
斜等测（p＝q＝r） 斜二测（p＝r≠q）
斜三测（p ≠q ≠r）
7.1.4 轴测投影的分类 正轴测投影图
P
Z1
正轴测投影图
O1
X1
Y1 X
Z
S O
Y
7.1.4 轴测投影的分类 斜轴测投影图
空间平行的两直线，其轴测投影仍然平行；空间平行于坐标 轴的线，其轴测投影平行于相应的轴测轴。
定比性
互相平行的线段的长度之比，等于轴测投影长度之比；与坐 标轴平行的线段和该轴具有相同的伸缩系数。
7.2 正等轴测投影
➢ 7.2.1 轴间角和轴向伸缩系数 ➢ 7.2.2 正等轴测投影的画法 ➢ 7.2.3 平行于坐标面圆的正等轴测投影
90°
135°
135°
L 0.82L
L
边长为L的正 方体的轴测图
L
按简化轴向变形系数画
按理论轴向变形系数画
7.4 轴测投影的选择
要避免被遮挡
要避免转角处交线投影成一直线
要避免平面体投影成对称的图形
要避免有侧面的投影积聚为直线
合理选择轴测投射方向
X1
Z1
O1
Y1 X
Z
S O
Y
轴测 投影图
将物体连同确定其位置的直角坐标系按照不 平行于任一坐标面的方向S用平行投影法投影 到某一选定的投影面P上所得到的投影图称轴
测投影图。
7.1.2 轴测投影的形成
Z1
P
Z
轴测投影图
O1 X1
Y1 X
六个基本要素
S O
Y
空间坐标系 O-XYZ 空间形体 轴测投影方向 S 轴测投影面 P 轴测坐标系 O1-X1Y1Z1 轴测投影图
斜等测（p＝q＝r） 斜二测（p＝r≠q）
斜三测（p ≠q ≠r）
7.1.4 轴测投影的分类 正轴测投影图
P
Z1
正轴测投影图
O1
X1
Y1 X
Z
S O
Y
7.1.4 轴测投影的分类 斜轴测投影图
第七章轴测图
分析：由图可分析出，支架是 由底板、支承座及两个三角形 肋板叠加而成。底板为长方 体，有两个圆角并挖切两个圆 孔；支承座的U形是由半圆柱和 长方体叠加而成，其中间挖切 一通孔，支承座两边的三角形 肋为三棱柱。画轴测图时，按 叠加法作图，底板及支承先按 长方板画出，按其相对位置尺 寸叠加，然后典型示范画圆 孔、圆角等细节。支架左、右 对称，三部分的后表面共面， 三部分均以底板上面为结合 面，故坐标原点选在底板上面 与后端面的交线的中点处。
（续）
4、坐标法是画轴测图的基本方法。画立体的轴测图 时，应尽量利用立体各组成部分的相对位置尺寸定位，对能 分出层次的立体，还应该正确定出其各平面的位置。画有回 转结构的立体时，要注意轴测图上椭圆长短轴的方向，以免 出错。 5、具体画图时，一般应先画出立体的主要轮廓线；然 后再画出各部分的详细结构。要充分利用互相平行直线，在 轴测图中仍互相平行；平行于投影轴的直线，在轴测图中仍 平行于轴测轴的投影特性，采用从上到下、从前到后的顺序 作图，以便提高作图效率。
第三节 斜二等轴测图
一、斜二等轴测图的形成、轴间角和轴向变形系数
如图a所示，斜二等轴测图是由斜投影法得到的轴测图。当立体的两个坐标轴x和z 与轴测投影面P平行，而投影方向与轴测投影面倾斜时，所得到的轴测图称斜二等轴 测图，简称斜二测图。
第三节 斜二等轴测图
（续）
如图b所示，斜二等轴测图的轴间角分别为90°、135°、135°；x1和 z1轴的轴向变形系数p = r = 1，y1轴的轴向变形系数q = 0.5。
第一节 轴测图的基本知识
四、轴测图的分类
1)轴测图根据投影方向S与轴 测投影面P的相对位置不同。可分为 两大类： 2)正轴测图：轴测投影方向S垂 直于轴测投影面P。 3)斜轴测图：轴测投影方向S倾 斜于轴测投影面P。
（续）
4、坐标法是画轴测图的基本方法。画立体的轴测图 时，应尽量利用立体各组成部分的相对位置尺寸定位，对能 分出层次的立体，还应该正确定出其各平面的位置。画有回 转结构的立体时，要注意轴测图上椭圆长短轴的方向，以免 出错。 5、具体画图时，一般应先画出立体的主要轮廓线；然 后再画出各部分的详细结构。要充分利用互相平行直线，在 轴测图中仍互相平行；平行于投影轴的直线，在轴测图中仍 平行于轴测轴的投影特性，采用从上到下、从前到后的顺序 作图，以便提高作图效率。
第三节 斜二等轴测图
一、斜二等轴测图的形成、轴间角和轴向变形系数
如图a所示，斜二等轴测图是由斜投影法得到的轴测图。当立体的两个坐标轴x和z 与轴测投影面P平行，而投影方向与轴测投影面倾斜时，所得到的轴测图称斜二等轴 测图，简称斜二测图。
第三节 斜二等轴测图
（续）
如图b所示，斜二等轴测图的轴间角分别为90°、135°、135°；x1和 z1轴的轴向变形系数p = r = 1，y1轴的轴向变形系数q = 0.5。
第一节 轴测图的基本知识
四、轴测图的分类
1)轴测图根据投影方向S与轴 测投影面P的相对位置不同。可分为 两大类： 2)正轴测图：轴测投影方向S垂 直于轴测投影面P。 3)斜轴测图：轴测投影方向S倾 斜于轴测投影面P。
7-1 轴测投影的基本知识
木材科学与工程
16
第 七章轴测投影
1．轴测投影种类的选择 1) 轴测图都可根据正投影图来绘制，在 正投影图中，如果物体的表面有和水平方向成 45°的，就不应采用正等测图。因为这种方向 的平面在轴测图上积聚为一条直线，平面就显
示不出来，削弱了图形的立体感，故宜采用斜
二测较好。
木材科学与工程
17
第 七章轴测投影
木材科学与工程
2
第 七章轴测投影
一、轴测投影的形成 将物体连 同其参考直角 坐标系，沿不 平行于任一坐 标面的方向S， 用平行投影法 将其投射在单 一投影面P上所 得单面投影。
木材科学与工程
3
第 七章轴测投影
1、斜轴测投影图的形成
P
正投影图
Z S S0 Y
斜轴测投影图
Z1 X
O
O1 X1 Y1 木材科学与工程
p、q、r分别称为x轴、y轴、Z轴的变形系数
木材科学与工程
6
第 七章轴测投影
如果事先知道了轴测投影中的轴测轴的方 向和变形系数，则与每条坐标轴平行的直线， 其轴测投影必平行于轴测轴，其投影长度等于 原来长度乘以该轴的变形系数。 所谓 “ 轴测 ” ，就是说沿坐标轴的方 向，即平行于坐标轴的直线，可以测量长度。 它可以由空间长度乘以该轴的变形系数得出投 影长度，也可以由投影长度除以该轴的变形系 数，得出原来长度。轴测投影之名来源于此。
24 Z Z 6
6
20
28
Y
Z
X X
32
O O
O
8
O 24 Y
X
Y
步骤一
木材科学与工程
36
第 七章轴测投影
24 Z Z 6 Z 28
16
第 七章轴测投影
1．轴测投影种类的选择 1) 轴测图都可根据正投影图来绘制，在 正投影图中，如果物体的表面有和水平方向成 45°的，就不应采用正等测图。因为这种方向 的平面在轴测图上积聚为一条直线，平面就显
示不出来，削弱了图形的立体感，故宜采用斜
二测较好。
木材科学与工程
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第 七章轴测投影
木材科学与工程
2
第 七章轴测投影
一、轴测投影的形成 将物体连 同其参考直角 坐标系，沿不 平行于任一坐 标面的方向S， 用平行投影法 将其投射在单 一投影面P上所 得单面投影。
木材科学与工程
3
第 七章轴测投影
1、斜轴测投影图的形成
P
正投影图
Z S S0 Y
斜轴测投影图
Z1 X
O
O1 X1 Y1 木材科学与工程
p、q、r分别称为x轴、y轴、Z轴的变形系数
木材科学与工程
6
第 七章轴测投影
如果事先知道了轴测投影中的轴测轴的方 向和变形系数，则与每条坐标轴平行的直线， 其轴测投影必平行于轴测轴，其投影长度等于 原来长度乘以该轴的变形系数。 所谓 “ 轴测 ” ，就是说沿坐标轴的方 向，即平行于坐标轴的直线，可以测量长度。 它可以由空间长度乘以该轴的变形系数得出投 影长度，也可以由投影长度除以该轴的变形系 数，得出原来长度。轴测投影之名来源于此。
24 Z Z 6
6
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Y
Z
X X
32
O O
O
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O 24 Y
X
Y
步骤一
木材科学与工程
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第 七章轴测投影
24 Z Z 6 Z 28
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1、坐标法
坐标法是轴测图作椭圆的真实画法
2、四心扁圆法
四心扁圆法简称四心法，是一种椭圆的近似画 法。画椭圆的关键有以下几点: ①分辨平行于哪个坐标面的圆; ②确定圆心的位置; ③画出与椭圆相切的菱形; ④确定椭圆长轴与短抽的方向； ⑤用四心法分别求四段圆弧。
例7-5 根据图所示水平圆的投影图，绘制 其正等测图。
第七章 轴测投影
7-1 轴测投影的基本知识 7-2 正轴测图 7-3 斜轴测图
轴测投影图
轴测投影图简称轴测图，有立体感是它的优点， 但它也存在着缺点。 首先是对形体表达不全面 其次，轴测图没有反映出形体各个侧面的实形 工程上仅用来作为辅助图样。在给排水和暖通 等专业图中，常用轴测投影图表达各种管道的 空间位置及其相互关系。
一、正面斜轴测;
⑴不管投射方向如何倾斜.平行于轴测投影面 的平面图形;它的斜轴测投影反映实形。 ⑵相互平行的直线，其正面斜轴测图仍相互平 行;平行于坐标轴的线段的止面斜轴测投影与 线段实长之比，等于相应的轴向伸缩系数。 (3)垂直于轴测投影面的直线，它的轴钡l投影 方向和长度，将随着投影方向S的不同而变化。
四、轴测投影图的分类
1.按投射方向与轴测投影面之间的关系分类 (1)正轴测投影。 (2)斜轴测投影。 2.按轴向伸缩系数的不同分类 (1)等测。 (2)二测。 (3)三测。
7-2 正轴测图
一、正等测 (一)轴间角和轴向伸缩系数
(二)轴测图的基本画法
1.坐标法
例7-1 下图所示为四坡顶房屋的投影图，作出 其正等测图。
7-1 轴测投影的基本知识 Nhomakorabea一、轴测投影图的形成 轴测投影属于平行投影的一种，它是用一组平 行投射线，采用与形体的三个向度都不一致的 投影方向。
二、轴间角及轴向伸缩系数
在轴测投影面P上，三 个轴测轴O1X1、O1Y1,、 O1Z1之间的夹角 ∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、 ∠X1O1Z1称为轴间角， 三个轴间角之和360o. p= O1X1/ OX q= O1Y1/ OY r= O1Z1/ OZ
四、曲面体的正等测图
例7-6 根据图所示圆 木木榫的投影图，绘 制其正等测图。
例7-7 根据图所示带圆角矩形板的投影图， 绘制其正等测图。
7-3 斜轴测图
投射方向s倾斜于轴测投影面时所得的投影， 称为斜轴测投影。以v面或V面平行面作为轴 测投影面，所得的斜轴测投影，称为正面斜轴 测投影。 若以H面或H面平行面作为轴测投影面，则得 水平斜轴测投影。 画斜轴测图与画正轴测图一样，也要先确定轴 间角，轴向伸缩系数以及选择轴测类型和投射 方向。
三、轴测投影的特性
(1)空间平行的两条直线在轴测投影中仍然平 行，所以凡与坐标轴平行的直线，其轴测投影 必然平行于相应的轴测轴. (2)空间与坐标轴平行的直线。其轴测投影具 有与该相应轴测轴相同的轴向伸缩系数与坐标 轴不平行的直线，其轴测投影具有不同的伸缩 系数,求这种直线的轴测投影，应该根据直线 端点的坐标，分别求得其轴测投影，再连接成 直线。
2.叠加法
例7-2 下图所示为某形体的投影图，作出 其正等测图。
3.切割法 例7-3 根据图所示某形体的投影图，用切 割法绘制其i正等测图。
二、正二测
例7-4 根据图所示某基础形体的投影图。 绘制其正二测图。
三、圆的正等测图
平行于坐标面的圆的 正等测投影都是椭圆。 绘制平行于坐标面 的圆的正等测图常见 的方法有两种:坐标 法和四心扁圆法。
例7-8 根据图所示某拱门的投影图，绘制 其正面斜二测图。
二、水平斜轴测
如果形体仍保持正投影的位置，而用倾 斜于H面的轴测投影方向S，向平行于H 面的轴测投影面P进行投影，如图所示， 则所得斜轴测图称为水平斜等测图.
例7-9 根据图所示某房屋的投影图，绘制 其水平斜等测图。