数学分析ch8-1反常积分的概念和计算
反常积分知识点总结框架
反常积分知识点总结框架一、反常积分的基本定义1.1 反常积分的概念反常积分是指积分区间为无穷区间或者积分函数在有限区间内存在间断点的积分。
对于无穷区间的积分，通常是指当积分区间的上限或下限取到无穷大时的情况。
而对于间断点处的积分，则是指在积分区间内，积分函数出现无穷大或不可导的情况。
1.2 反常积分的分类反常积分通常分为第一类和第二类两种情况。
第一类反常积分是指在无穷区间上的积分，通常是指当积分上限或下限趋于无穷大时的情况。
第二类反常积分是指在有限区间内积分函数发生间断的情况，通常是指积分函数在积分区间内出现无穷大或不可导的情况。
1.3 反常积分的性质反常积分有一些特殊的性质，包括线性性、可加性和可积性等。
具体来说，对于具体的积分函数和积分区间，可以根据这些性质来简化对反常积分的计算过程。
同时，这些性质也为我们理解和分析反常积分提供了重要的指导。
二、反常积分的计算方法2.1 无穷远点处的反常积分对于无穷远点处的反常积分，通常采用极限的方法进行计算。
具体而言，可以将无穷远点处的反常积分转化为极限形式，然后利用极限的性质和计算方法来求解反常积分的值。
这种方法通常比较直观和简单，适用于各类函数的反常积分计算。
2.2 间断点处的反常积分对于间断点处的反常积分，通常需要对积分区间进行分段讨论，然后将积分函数在每个子区间上进行化简和求解。
同时，还需要对积分函数在间断点附近的性质进行详细分析，以确保反常积分的计算过程是正确有效的。
2.3 特殊函数的反常积分一些特殊函数的反常积分计算通常需要依赖于一些特殊的方法和技巧。
例如，对于Gamma函数和Beta函数的反常积分计算，可以利用递推关系和变量替换等方法来简化计算过程，从而得到反常积分的精确解析表达式。
三、反常积分的应用3.1 物理学中的应用反常积分在物理学中有着重要的应用。
例如，在热力学和电磁学中，经常需要对一些特殊的物理量进行积分计算，而这些积分往往是反常积分。
数学《反常积分》讲义
第十一章 反常积分1 反常积分概念一、问题提出定积分 1) 积分区间的有穷性2) 被积函数的有界性如果函数(被积函数)的积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间上无界,应如何讨论它们的积分，这类积分称为反常积分(或广义积分，Cauchy-Riemann 积分, C-R 积分), 而上一章的定积分称为正常积分.例 1 (第二宇宙速度) 例 2 (流水时间)二、两类反常积分的定义定义1 设函数f 定义在无穷区间[,)a +∞上, 且在任何有限区间[,]a u 上可积, 如果存在极限lim()uau f x dx J →+∞=⎰, 那么称极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分(无穷积分)，记作()aJ f x dx +∞=⎰，并称()af x dx +∞⎰收敛, 有时也称f 在[,)a +∞上(Cauchy-Riemann )可积; 反之，若上述极限不存在, 则称()af x dx +∞⎰发散.注 1()af x dx +∞⎰收敛的几何意义：若f 在[,)a +∞上为非负连续函数，则介于曲线()y f x =，直线x a =及x 轴之间一块向右无限延伸的区域有面积J .注 2 类似可定义()lim()aauu f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰()()()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰lim()lim()uaauu u f x dx f x dx →+∞→-∞=+⎰⎰例 3 1) 讨论积分211dx x +∞+⎰，0211dx x -∞+⎰，211dx x +∞-∞+⎰的敛散性.2) 计算积分20125dx x x +∞++⎰.例4 讨论下列积分的敛散性.1) 11pdx x +∞⎰; 2) 21(ln )pdx x x +∞⎰.注3 设f 在[,)a +∞上连续，F 为f 的一个原函数，则()lim ()lim ()()()()uaau u f x dx f x dx F u F a F F a +∞→+∞→+∞==-=+∞-⎰⎰例 5 讨论sin axdx +∞⎰的敛散性注 4 ()f x dx +∞-∞⎰为两个非正常积分之和，而非lim()uuu f x dx -→+∞⎰.定义 2 设函数f 定义在区间(,]a b 上，在点a 的任一右邻域内无界, 但在任意内闭区间[,](,]b a b α⊂上有界且可积. 如果存在极限lim ()bu u af x dx J +→=⎰，那么称此极限为无界函数f 在(,]a b 上的反常积分，记作()baJ f x dx =⎰，并称反常积分()baf x dx ⎰收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分()baf x dx ⎰发散.在上述定义中函数f 在点a 的附近无界, 我们称a 为f 的瑕点, 而无界函数的反常积分()ba f x dx ⎰也称为瑕积分.注 5 1) 类似可定义瑕点为b 的瑕积分()lim ()buaau bf x dx f x dx -→=⎰⎰其中f 在b 的任一左邻域内无界，且在任何内闭区间[,][,)a a b β⊂上可积.2) 若,a b 都为f 的瑕点，且在任一内闭子区间[,](,)u v a b ⊂上可积，此时可定义瑕积分()()()bc b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰lim ()lim ()c vucu av bf x dx f x dx +-→→=+⎰⎰其中c 为(,)a b 内的任一实数，当且仅当右式两个瑕积分都收敛时，左式的瑕积分收敛.3) 若f 的瑕点(,)c a b ∈，则定义瑕积分()()()bc b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰lim ()lim ()u bavu cv cf x dx f x dx +-→→=+⎰⎰其中f 在[,)(,]a c c b ⋃上有定义,在c 的任一邻域内无界, 且在任何闭子区间[,][,)a u a c ⊂, [,](,]v b c b ⊂都可积，当且仅当右边两个瑕积分收敛时, 左边的瑕积分收敛.例 6 1) 计算瑕积分1⎰2) 讨论瑕积分1pdxx ⎰的敛散性(p >0)3) 讨论瑕积分0p dxx+∞⎰的敛散性(p >0) 4) 24=⎰5) 1⎰三、两类反常积分的关系设()f x 连续，b 为瑕点，则11211()()t b xbab af x dx f b dt t t=-+∞-=-⎰⎰瑕积分可转化为无穷积分设0a >，1121()()t xaadtg x dx g t t =+∞=-⎰⎰12011()a g dt t t =⎰无穷积分可转化为瑕积分由此可见，瑕积分与无穷积分可相互转化，因而它们有平行的理论和性质. 例 7 讨论下列反常积分是否收敛 1) 2x xe dx +∞--∞⎰2) cos x e xdx +∞--∞⎰3) 2⎰4) 1(1)(ln )pdxp x x >⎰5) 1⎰例 8 举例说明瑕积分()b af x dx ⎰收敛，2()baf x dx ⎰未必收敛.例 9 1) 证明：若()af x dx +∞⎰收敛，且lim ()x f x A →+∞=，则0A =;2) 举例说明: ()af x dx +∞⎰收敛,f 在[,)a +∞上连续,未必有lim ()0x f x →+∞=成立.例 10 若f 在[,)a +∞上可导，且()af x dx +∞⎰与()af x dx +∞'⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.2 无穷积分的性质与收敛判别一、 无穷积分性质由()af x dx +∞⎰收敛lim ()lim()duau u F u f x dx →+∞→+∞⇔=⎰存在, 根据函数极限收敛的Cauchy 准则，我们有定理 1 (Cauchy 准则) 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔120,,,:G a u u G ε∀>∃≥∀>1221()()()u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.性质1 (线性性质) 若1()af x dx +∞⎰和2()af x dx +∞⎰都收敛, 12,k k 为任意常数, 则1122[()()]ak f x k f x dx +∞+⎰也收敛，且11221122[()()]()()aaak f x k f x dx k f x dx k f x dx +∞+∞+∞+=+⎰⎰⎰.性质2 (区间可加性) 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，b a >，则()af x dx +∞⎰与()bf x dx +∞⎰同敛散，且()()()b aabf x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰.定理2 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛0,,:()uG a u G f x dx εε+∞⇔∀>∃≥><⎰当.性质 3 (绝对收敛) 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()af x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰也收敛，且()()aaf x dx f x dx +∞+∞≤⎰⎰.定义1 若()af x dx +∞⎰收敛, 则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.性质3 说明绝对收敛的无穷积分其本身一定收敛，而反之未必成立. 我们称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛的无穷积分.性质4 (换元) 设:[,)[,)a ϕα+∞→+∞是光滑严格单调映射,且()a ϕα=，lim ()t t ϕ→+∞=+∞. 若()af x dx +∞⎰收敛，则(())()f t t dt αϕϕ+∞'⎰收敛，且()(())()af x dx f t t dt αϕϕ+∞+∞'=⎰⎰.性质5 (分部积分) 设,f g 为[,)a +∞上的光滑函数, 且lim ()()x f x g x →+∞⋅存在, 则()()af xg x dx +∞'⋅⎰与()()af xg x dx +∞'⎰同敛散，且它们收敛时有等式()()()()()()aaaf xg x dx f x g x f x g x dx +∞+∞+∞''⋅=⋅-⋅⎰⎰其中()()lim ()()()()ax f x g x f x g x f a g a +∞→+∞⋅=-.二、 无穷积分判别法1、比较判别法 (绝对收敛判别法)定理 3 (比较法则) 设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()()f x g x ≤，[,)x a ∈+∞. 则i) 当()ag x dx +∞⎰收敛时, 必有()af x dx +∞⎰收敛;ii) 当()af x dx +∞⎰发散时, 必有()ag x dx +∞⎰发散.例 1 判断积分22sin(1)5x dx x+∞++⎰的敛散性.1) Cauchy 判别法推论1 设f 定义在[,)(0)a a +∞>上，且在任何有限区间[,]a u 上可积，则有i) 当1(),[,)1p f x x a p x≤∈+∞>且时，()a f x dx +∞⎰收敛. ii) 当1(),[,)1p f x x a p x≥∈+∞≤且时，()a f x dx +∞⎰发散.2) 比较原则的极限形式推论 2 设f 和g 都在任何区间[,]a u 上可积, ()0g x >, 且()lim ()x f x c g x →+∞=. i) 当0c <<+∞时，()af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰同敛散;ii) 当0c =时，若()ag x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰收敛;iii) 当c =+∞时，若()ag x dx +∞⎰发散，则()af x dx +∞⎰发散.推论 3 设f 定义在[,)(0)a a +∞>上，且在任何有限区间[,]a u 上可积，且lim ()p x x f x λ→+∞=，则有i) 当1p >，0λ≤<+∞时，()af x dx +∞⎰收敛; ii) 当1p ≤，0λ<≤+∞时，()af x dx +∞⎰发散.例 2 讨论下列无穷积分的敛散性:1) 1x x e dx α-⎰2)21+∞⎰2、 Dirichlet 和Abel 判别法定理4 (Dirichlet ) 若()()ua F u f x dx =⎰在[,)a +∞上有界, ()g x 在[,)a +∞上x →+∞时单调趋于0, 则()()a f x g x dx +∞⋅⎰收敛.定理5 (Abel ) 若()af x dx +∞⎰收敛, ()g x 在[,)a +∞上单调有界, 则()()af xg x dx +∞⋅⎰收敛.定理6 (Dirichlet- Abel ) 设无穷积分()()()aaf x dx u x dv x +∞+∞=⎰⎰, 其中()u x单调, 且(),()u x v x 中一个有界, 另一个在x →+∞时趋于0, 则()af x dx +∞⎰收敛.例 3 讨论无穷积分1sin p xdx x +∞⎰与1cos (0)px dx p x +∞>⎰的敛散性.例 4 证明下列积分条件收敛.1) 21sin x dx +∞⎰,21cos x dx +∞⎰;2) 41sin x x dx +∞⋅⎰;3)1+∞⎰. 例 5 若()af x dx +∞⎰绝对收敛. 且lim ()0x f x →+∞=，则2()af x dx +∞⎰必收敛.例6 设,,f g h 为[,)a +∞上三个连续函数，且()()()h x f x g x ≤≤. 证明：如果()ah x dx +∞⎰，()ag x dx +∞⎰收敛，那么()af x dx +∞⎰亦收敛.例 7 证明: 若f 在[,)a +∞上一致连续，且()af x dx +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.例 8 讨论下列无穷积分的敛散性1) 1ln n xdx x+∞⎰2) 31arctan 1x xdx x +∞+⎰3)21x edx +∞-⎰4) 1ln(1)px dx x +∞+⎰5) 0ln(1)px dx p x+∞+ (>0)⎰6) 0xdx ⎰7)21cos x e xdx +∞-⎰8) 0sin arctan xxdx x+∞⎰例9 证明：若f 是[,)a +∞上的单调函数,()af x dx +∞⎰收敛,则lim ()0x f x →+∞=, 且1()()f x o x x= , →+∞.注: 由()lim 1()x f x g x →+∞=, ()ag x dx +∞⎰收敛, 推不出()af x dx +∞⎰收敛.3 瑕积分的性质与判别法一、 瑕积分的性质 (瑕点为x a =)定理1 瑕积分()ba f x dx ⎰收敛0,0,εδ⇔∀>∃>当12,(,)u u a a δ∈+时,2121()()()bbu u u u f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.性质1 设函数1f , 2f 的瑕点同为a ，1k ，2k 为常数，则当瑕积分1()baf x dx ⎰，2()baf x dx ⎰都收敛时，瑕积分1122[()()]bak f x k f x dx +⎰必收敛，且11221122[()()]()()bb baaak f x k f x dx k f x dx k f x dx +=+⎰⎰⎰.性质2 设函数f 的瑕点为x a =，(,)c a b ∈, 则瑕积分()baf x dx ⎰与()caf x dx ⎰同敛散且()()()b c b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰, 其中()bcf x dx ⎰为定积分.性质3 若f 的瑕点为a , f 在(,]a b 的任一闭子区间[,]u b 上可积, 则当()baf x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰必收敛且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.当()baf x dx ⎰收敛时，称()baf x dx ⎰为绝对收敛; 而称本身收敛但不绝对收敛的瑕积分为条件收敛的瑕积分.二、瑕积分判别法定理2 (比较原则) 定义在(,]a b 上的两个函数,f g , 瑕点同为a , 在任闭子区间[,](,]u b a b ⊂上可积，且()()(,]f x g x x a b ≤ ∈，则i) 当()bag x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰必收敛 (从而()baf x dx ⎰也收敛) ;ii) 当()baf x dx ⎰发散时,()bag x dx ⎰发散.推论1 设f 定义在(,]a b 上，瑕点为a ，且在任何闭子区间[,](,]u b a b ⊂上可积，则 i) 当1()01()pf x p x a ≤, <<-时, ()baf x dx ⎰收敛;ii) 当1()1()pf x p x a ≥, ≥-时, ()baf x dx ⎰发散.推论2 若()0g x >，且()lim ()x af x cg x +→=, 则 i) 当0c <<+∞时,()b af x dx ⎰与()bag x dx ⎰同敛散;ii) 当0c =，()b ag x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰收敛;iii) 当c =+∞，()b ag x dx ⎰发散时, ()b af x dx ⎰发散.推论3 在推论2的条件下，若lim()()p x ax a f x λ+→-=, 则 i) 01,0p λ<<≤<+∞时, ()baf x dx ⎰收敛;ii) 1,0p λ≥<≤+∞时, ()baf x dx ⎰发散.定理 3 (Dirichlet- Abel ) 设瑕积分()()()b baaf x dx u x dv x =⎰⎰有唯一奇点a ,其中()u x 单调, 且(),()u x v x 中一个有界, 另一个在x a +→时趋于0, 则()baf x dx ⎰收敛.例 1 讨论下列瑕积分的敛散性.1) 10⎰2) 21ln dx x⎰3) 130arctan 1xdx x -⎰4) 201cos mxdx xπ-⎰5) 1⎰6) 10⎰7) 20(,0)sin cos p q dxp q x xπ>⎰例 2 讨论反常积分1()1x x dx xα-+∞Φ=+⎰的敛散性.例 3 证明瑕积分20ln(sin )J x dx π=⎰收敛，且ln 22J π=-，同时利用上述结果证明：1) 2ln(sin )ln 22d ππθθθ=-⎰2) 0sin 2ln 21cos d πθθθπθ=-⎰三、反常积分与正常积分的区别1、 Riemann 积分 f 在[,]a b 上可积，则f 在[,]a b 上有界. 无穷积分 f 在[,)a +∞上可积(()af x dx +∞⎰收敛) f ⇒在[,)a +∞上有界.如4()sin f x x x =⋅ 或者 ,()0,n x nf x x n =⎧=⎨≠⎩.2、Riemann 积分 f 在[,]a b 上可积⇒()f x 在[,]a b 上可积，但反之未必, 故Riemann 积分是绝对型积分，而无穷积分 ()f x 在[,)a +∞上可积⇒f 在[,)a +∞上可积，但反之未必, 故Cauchy-Reimann 积分是非绝对型积分, 如sin (),[1,)xf x x x=∈+∞.3、Riemann 积分 ,f g 在[,]a b 上可积⇒f g ⋅在[,]a b 上可积, 而无穷积分 ,f g 在[,)a +∞上可积⇒f g ⋅在[,)a +∞上可积.例4 证明：1) 11111p p x x dx dx x x --+∞=++⎰⎰2) 12π<<⎰3) 设f 在[,)a +∞上连续0a b <<，若lim ()x f x k →+∞=，则()()((0))ln f ax f bx adx f k x b+∞-=-⎰例5 证明: 1) 设f 在[,)a +∞上非负连续, 若0()xf x dx +∞⎰收敛, 则0()f x dx +∞⎰也收敛.2) 设f 在[,)a +∞上连续可微且当x →+∞时,()f x 递减趋于0, 则()f x dx +∞⎰收敛⇔0()xf x dx +∞'⎰收敛.习 题 课例 1 论述题:1) 设f 在(,)-∞+∞上连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，则()(),()()x x d d f t dt f x f t dt f x dx dx +∞-∞==-⎰⎰. 2) 积分0()f x dx +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.3) 积分()baf x dx ⎰收敛，则此积分可用和式公式01lim ()ni i T i f x ξ→=∑来计算.4) 若lim ()x f x A →+∞=存在，()af x dx +∞⎰收敛，则0A =.5) 若0()f x dx +∞⎰收敛，lim ()0x f x →+∞=，则2()af x dx +∞⎰必收敛.6) 若()af x dx A +∞=⎰，则lim()nan f x dx A →+∞=⎰，但反之不成立.7) 若()af x dx +∞⎰收敛,g 有界, 则()()af xg x dx +∞⎰收敛.8) 若lim ()AAA f x dx -→+∞⎰存在，则()f x dx +∞-∞⎰收敛.例 2 计算下列无穷积分: 1) 0()x n n I e x dx n N +∞-=∈⎰2) 21dxx x+∞++⎰3) (1)(ln )padxa x x +∞>⎰4) 24011x dx x +∞++⎰5) 31⎰6)1+∞⎰例 3 1) 设1()(2)x x x x ϕ+=-，求321()1()x dx x ϕϕ'+⎰;2) 已知01()cos x x dt tϕ=⎰，求(0)ϕ'.例 4 证明: 0cos 1xdx x+∞+⎰收敛, 且0cos 11xdx x+∞≤+⎰.例 5 讨论下列积分收敛性 1)2301dx x x x +∞+++⎰2)0cos (0)kx e xdx k +∞->⎰3)0ln(1)m x dx x +∞+⎰4)1+∞⎰5)20sin mx dx x +∞⎰6) 01m n x dx x +∞+⎰ 7) 10p x x e dx +∞--⎰ 8) 0cos (0)1n ax dx n x+∞≥+⎰。
反常积分常用的计算公式
反常积分常用的计算公式在数学中，积分是一种非常重要的运算，它在求解曲线下面积、求解定积分、求解不定积分等方面都有着广泛的应用。
而在积分的计算中，反常积分是一种特殊的积分形式，它在一定范围内无法求解的情况下，需要通过特定的计算公式来求解。
本文将介绍反常积分常用的计算公式，并对其应用进行详细的讲解。
首先，我们来看一下反常积分的定义。
反常积分是指在积分区间上存在无穷限的积分，或者被积函数在积分区间上有无穷大的间断点的积分。
反常积分分为两类，第一类是无穷限的反常积分，第二类是间断点的反常积分。
对于这两类反常积分，我们都可以通过特定的计算公式来求解。
对于第一类无穷限的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 收敛的无穷限反常积分。
对于收敛的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 是积分下限。
这个公式的意义是将积分区间扩展到一个无穷大的范围，然后求解极限值，从而得到无穷限反常积分的结果。
2. 发散的无穷限反常积分。
对于发散的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]但是需要注意的是，如果极限值不存在或者为无穷大，那么这个反常积分就是发散的，无法求解出具体的结果。
接下来，我们来看一下第二类间断点的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 无穷间断点的反常积分。
对于无穷间断点的反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) \, dx + \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{b+\epsilon}^{a} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分区间的下限和上限。
数学分析-反常积分讲稿
127第十一章 反常积分§1 反常积分的概念教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法．教学要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法． 教学重点：无穷积分与瑕积分的定义与计算方法． 教学难点：讲清反常积分是变限积分的极限． 教学方法：系统讲授法． 教学程序：一 问题的提出例1度至少多大？解 设地球半径为R ，火箭质量为地面重力加速度为g在距地心x 处火箭受到的引理为22()mgR F x x =于是火箭上升到距地心r 处需要做到功为22211()rRmgR dx mgR x R r =-⎰ 当r →∞时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功2222lim rr R RmgR mgR dx dx mgR x x ∞→∞==⎰⎰ 再由能量守恒定律，可求得处速度0v 至少应使200111.2(/)2mv mgR v km s =⇒=≈ 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情 况下），桶里水位高度为h x -时，水从小 孔里流出的速度为v =设在很短一段时间t ∆内，桶里水面降低的x128高度为x ∆，则有下面关系：22R x v r t ππ∆=∆由此得2,[0,]t x x h ∆=∈所以流完一桶水所需的时间应为220(2()hf R t dx rgh x =-⎰但是，被积函数在(0,]h 上是无界函数，，所一我们取220lim (2()lim uf u h u hR t dx r g h x --→→=-==⎰相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分．二 两类反常积分的定义 无穷限反常积分的定义⎰=AaA F )(，⎰+∞-+∞=aa F F f)()(.无穷限反常积分几何意义例1 ⑴ 讨论积分 ⎰+∞+021x dx , ⎰∞-+021x dx , ⎰+∞∞-+21xdx的敛散性 . ⑵ 计算积分⎰+∞++0252x x dx. 例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴ ⎰+∞1p xdx; ⑵⎰+∞2)(ln p x x dx. 例3 讨论积分⎰+∞axdx cos 的敛散性 .129二. 瑕积分: （先介绍函数的瑕点）1. 瑕积分的定义: 以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点),(b a c ∈ 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9 判断积分⎰-121xdx 的敛散性 .例10 讨论瑕积分⎰>10) 0 ( q xdxq 的敛散性 , 并讨论积分⎰+∞0 p xdx的敛散性 . 2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 有⎰⎰∞+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=====baab xb t dt t t b f dx x f 12111)(,3. 把瑕积分化成了无穷积分;设0>a , 有⎰⎰⎰∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====a aaxt tdtt g t dt t g dx x g 011022111 )(， 把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果 . 例11 证明瑕积分⎰101sin 1dx x xα当2<α时收敛. 证明⎰⎰∞+-=====1211sin dt tttx α, 由例6 , 该积分当2<α时收敛.作业：P269 1(2)(4)(6)(8), 2(1)(3)(5)(7)。
《反常积分的概念》课件
02
反常积分在解决一些物理问题时，可以提供更精确、更可靠的
解决方案。
反常积分在物理问题中，可以用于研究物理系统的稳定性和动
03
态行为等。
在工程问题中的应用
01
反常积分在工程问题中主要用 于解决一些复杂的控制系统问 题，例如控制系统的稳定性、 响应特性和优化设计等。
02
反常积分在解决一些工程问题 时，可以提供更高效、更实用 的解决方案。
在数学分析中的应用
01
反常积分在数学分析中主要用于解决一些难以用常 规积分处理的积分问题。
02
反常积分在解决一些数学问题时，可以提供更简单 、更直观的解决方案。
03
反常积分在数学分析中，可以用于研究函数的性质 ，例如函数的连续性、可积性和可微性等。
在物理问题中的应用
01
反常积分在物理问题中主要用于描述一些非线性的物理现象， 例如波动、振动和混沌等。
反常积分的概念
contents
目录
• 反常积分概述 • 反常积分的计算方法 • 反常积分的收敛性判断 • 反常积分在数学物理中的应用 • 反常积分的扩展与展望
01 反常积分概述
定义与特点
定义
反常积分分为两种，一是无穷区间上 的反常积分，另一是瑕积分，它们都 拓展了定积分的概念。
特点
反常积分与定积分的不同之处在于， 其积分区间可能是无穷区间，或者被 积函数在积分区间内可能无界。
在工程领域的应用
在解决一些工程问题时，如信号处理、控制 系统分析和图像处理等，反常积分也发挥了 重要作用。
THANKS
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无穷区间性质
反常积分在无穷区间上的积分值可能为无穷大或有限值，取决于被 积函数的性质。
7反常积分——反常积分的概念和计算
7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。
与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。
本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。
一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。
在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。
具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。
设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。
2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。
需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。
如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。
二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。
然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。
2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。
反常积分的概念与计算
反常积分的概念与计算反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。
本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。
1. 反常积分的概念反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。
它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。
1.1 第一类反常积分第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。
这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第一类反常积分。
为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
1.2 第二类反常积分第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。
这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第二类反常积分。
同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
2. 反常积分的计算方法反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。
2.1 换元法换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。
换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。
通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。
具体步骤如下：1.选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。
7反常积分——反常积分的概念和计算
则也有类似牛 – 莱公式的
若 b 为瑕点, 则
若 a 为瑕点, 则若 a , Fra bibliotek 都为瑕点, 则
则
可相消吗?
下述解法是否正确:
, ∴积分收敛
例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解:
所以反常积分
发散 .
例6. 证明反常积分
证: 当 q = 1 时,
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
当 q≠1 时
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
例7.
解：
求
的无穷间断点,
故 I 为反常
积分.
内容小结
1. 反常积分
积分区间无限
被积函数无界
常义积分的极限
2. 两个重要的反常积分
例1. 计算反常积分
解:
思考:
分析:
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零” 的性质,
否则会出现错误 .
例2. 证明第一类 p 积分
证:当 p =1 时有
当 p ≠ 1 时有
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 .
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为
二、无界函数的反常积分
第一节
常义积分
积分限有限
被积函数有界
推广
一、无穷限的反常积分
反常积分
(广义积分)
反常积分的概念和计算
第八章
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力加速度，有
F( R) G Mm mg ，
R2
解得 G R2 g ，从而
M
x
W(x) R2mg
x R
1 r2
dr
R 2mg
1 r
R
Rmg1
R x
。
r x
R
图8.1.1
x
W(x) R2mg
x R
1 r2
dr
R 2mg
1 r
R
Rmg1
R x
。
显然，W lim W (x) ，因此 x
定义 8.1.2 设函数 f (x) 在 x b 的左邻域无界，若对于任意
(0,b a) , f (x) 在区间[a,b ] 上有界可积，且极限
b
lim f (x)dx
0 a
存在，则称反常积分
b
a
f
(x)dx
收敛（或称无界函数
f
(x)
在 [a, b]
上可积），
其积分值为
b
f (x)dx lim
例 8.1.3
讨论 eax dx 的敛散性（ a R ）。 0
解 当 a 0 时，
eax dx e ax
0
a
0
1a, ,
a 0, a 0.
当 a 0 时上述积分显然发散至 。
因此，当 a 0时， e ax dx 收敛于 1 ；当 a 0时， eax dx 发散。
为了求这个积分，先考虑物体从地面
（ r R）飞到 r x (x R) 处克服地球引力所做
的功W (x) （图 8.1.1）：
W(x) x F(r)dr 。 R
记 M 为地球的质量，由万有引力定律，有
Mm F(r) G
（ G 为万有引力常数），
r2
而在地球表面，地球的引力即为重力，记 g 是重
b f (x)dx ；
a
0 a
否则称反常积分
b
a
f
(x)dx
发散。
x a 为奇点和 x c (a, b) 为奇点的情况可以类似定义。注意当
W F(r)dr lim
x
F (r )dr
lim
Rmg1 R Rmg 。
R
x
R
x
x
将W Rmg 以及 g 9.8m/s2 ，地球半径 R 6371 km 代入关于 v0 的不等式， 得到
v0
2W
2Rg
263719.8103 11.2
m
这就是第二宇宙速度。
(km/s) 。
第八章 反常积分
§1 反常积分的概念和计算
反常积分 前面讨论 Riemann 积分时，假定了积分区间[a, b]有限且被积函 数 f (x) 在 [a, b]上有界，但在实际应用中经常会碰到不满足这两个条 件，却需要求积分的情况。所以，有必要突破 Riemann 积分的限制 条件，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称 为反常积分（或广义积分），而以前学过的 Riemann 积分相应地称 为正常积分(或常义积分)。
0
a
0
例 8.1.4 计算 1 dx . 1 x2
解
1 1 x2
dx
1 0 1 x2
dx
01 1 x2 dx
arctan x arctan x 0 。
0
例 8.1.4 计算 1 dx . 1 x2
解
1 1 x2
dx
1 0 1 x2
dx
01 1 x2 dx
A a
A
a A
因此反常积分
a
f
(x)dx
的敛散性等价
于函数极限 lim F(A) 的敛散性。当函数 A
f
(x)
0
时，反常积分
a
f
(x)dx
收敛表
示由曲线 y f (x) ，直线 x a 和 x 轴所
界定区域的面积（图 8.1.2）是个有限
值。
例 8.1.2
讨论
1
1 xp
dx
的敛散性（
p
R
）。
解 当 p 1时，
a
f
(x)dx
发散。
对反常积分
a
f
(x)dx
与
f
(x)dx
可类似地给出敛散性定义。
设 f (x) 在[a,)连续， F(x) 是它在[a,)上的一个原函数，由
Newton-Leibniz 公式，
f (x)dx lim
A
f (x)dx lim
F(x) A lim
[F(A) F(a)]，
a
形式，将反常积分形式地写成
f (x)dx F(x) ，
a
a
其中 F() 理解为极限值 lim F(x) 。 x
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达
形式，将反常积分形式地写成
f (x)dx F(x) ，
a
a
其中 F() 理解为极限值 lim F(x) 。 x
arctan x arctan x 0 。
0
如果函数 f (x) 在点 x0 的任何一个去心邻域上是无界的，则称 x0 为 f (x) 的奇点。由积分的区间可加性，我们假定 f (x) 在[a, b]上只有一个 奇点 x b。
定义 8.1.2 设函数 f (x) 在 x b 的左邻域无界，若对于任意
(0,b a) , f (x) 在区间[a,b ] 上有界可积，且极限
b
lim f (x)dx
0 a
存在，则称反常积分
b
a
f
(x)dx
收敛（或称无界函数
f
(x)
在 [a, b]
上可积），
其积分值为
b
f (x)dx lim
b f (x)dx ；
a
0 a
否则称反常积分
b
a
f
(x)dx
发散。
a
收敛的。
定义 8.1.1 设函数 f (x) 在 [a,) 有定义，且在任意有限区间
[a, A] [a,) 上可积，若极限
A
lim f (x)dx
A a
存在，则称反常积分
a
f
(x)dx
收敛（或称
f
(x)
在[a,)
上可积），其
积分值为
f (x)dx lim
A f (x)dx ；
a
A a
否则称反常积分
1
1 xp
dx
x p1 lim A 1 p
A 1
lim
A
A1 p 1
1 p
p11 ,,
p 1, p 1.
当 p 1时，
1 dx
lim
ln x
A
lim
ln A
。
1x
A
1 A
因此，当
p
1
时，反常积分p
；当
1
p
1 时，反
常积分
1
1 xp
dx
发散。
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达
无穷区间上的积分有三种形式： f (x)dx ， a f (x)dx 和 f (x)dx ，
a
由于形式上有
a
xt
a
f (x)dx f (t)dt f (t)dt
a
及
f (x)dx
f (x)dx
a f (x)dx ，
a
因此下面的讨论仅就
a
f
(x)dx
形式来展开。
注意：只有当 f (x)dx 和 a f (x)dx 都收敛时，才认为 f (x)dx 是