反常积分(一)
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
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A1 , A2 M 时 , 对一切 x [a, b] 都有
c
A2
A1
f ( x, y ) dy < .
(5)
证明：(充分性) 对每个 x, (3)式成立,这说明
f ( x, y ) dy 收敛, 从而
A1
f ( x, y ) dy 收敛,
A1
M
c
f ( x, y )dy
对参量 x 在[a, b] 上一致有界, 即存在正数 G ,
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对一切 M c 及一切 x [a, b] 都有 |
M c
f ( x, y )dy | M ;
(ii ) 对每一个 x [a, b], 函数 g g ( x, y ) 关于 y 是单调递减且当 y 时, 对参量 x , g ( x, y ) 一致地收敛于 0. 则含参量反常积分 一致收敛.
在(3)式中令 A2 得, | 故结论得证.
f ( x, y ) dy |
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例2
证明：若 z f ( x, y ) 在[a, b] [c, ) 上连续, 又
c
f ( x, y )dy
在[a, b) 上收敛 , 但在 x b 处发散, 则
A
sin xy dy y
Ax
sin u dy 0 . u
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sin xy 由于 dy 收敛, 对任意固定的 M 0, 0 y sin xy sin xy M 1 sin xy du M 1 y dy 0 y dy 0 y ( M 1) x sin u du : I ( x ), 0 u 则 I 在包含原点为左端点的某闭区间上连续, 于是
反常积分
∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
18
1
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铃
三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
为什么 x的p次方分之一的反常积分
为什么x的p次方分之一的反常积分？一、引言在数学中，我们经常会遇到各种各样的积分问题。
其中有一类特殊的积分叫做反常积分，即在积分区间上存在某种特殊性质，导致积分无法直接计算的情况。
本文将就其中一种特殊的反常积分进行探讨，即“为什么x的p次方分之一的反常积分”。
二、反常积分的基本概念在了解x的p次方分之一的反常积分之前，我们首先需要了解反常积分的基本概念。
反常积分是指在定积分的计算过程中，如果被积函数在积分区间上存在无穷大、间断点或者无界点的情况，导致积分无法直接计算的情况。
这种积分称为反常积分，需要通过一定的方法进行求解。
三、x的p次方分之一的反常积分的特殊性质x的p次方分之一的反常积分在数学中具有一定的特殊性质，主要体现在对函数的积分区间以及函数的渐近性质上。
在进行这类反常积分的计算时，我们需要特别注意积分区间是否存在无穷大或者无界点，以及函数在这些点的渐近性质。
只有通过对函数渐近性质的分析，才能准确地判断反常积分的收敛性和发散性。
四、x的p次方分之一的反常积分的计算方法针对x的p次方分之一的反常积分，我们通常会采用换元积分法、分部积分法或者特殊积分方法进行计算。
在这些方法中，最关键的一点是要先对积分区间进行分析，确定是否存在无穷大或者无界点，并通过适当的变换或者分解化简原积分，使得原反常积分能够转化为可求解的定积分或者收敛级数。
五、个人观点与理解对于x的p次方分之一的反常积分，我个人认为在进行计算时需要特别注意函数的渐近性质，并通过变换或者分解化简原积分，使得原反常积分转化为可求解的定积分。
对于特殊的反常积分，我们还可以通过级数展开或者其他数学方法进行求解。
反常积分在数学中具有重要的地位，需要我们对积分方法有深入的理解和掌握。
六、总结与回顾通过本文的探讨，我们对x的p次方分之一的反常积分有了更深入的了解。
在进行这类反常积分的计算时，需要特别注意函数的积分区间和渐近性质，并通过适当的变换或者分解化简原积分，使得原反常积分能够转化为可求解的定积分或者收敛级数。
反常积分1
例.计算 ∫ 2 lnsin xdx .
0
π
解：I = ∫ 2 lnsin xdx = 2 ∫ 4 lnsin 2tdt = 2 ∫ 4 ln(2sin x cos x )dx
0 0 0
π
x=2t
π
π
=
π
2
π
ln 2 + 2 ∫ 4 lnsin tdt + 2 ∫ 4 lncos tdt
0 0
π
π
∫
+∞
a
f (x)dx==− ∫1
1 x= t
1 1 f ( )dt （ 是 点 0 奇 ） 2 t at
0
此 今 重 讨 区 无 的 常 分 因 ， 后 点 论 间 限 反 积 。
： 意 下 实 注 注 以 事
x→ +∞
lim f (x) = 0推 出 不 ∫
+∞
a
f (x)dx 敛 收 .
二、 反常积分的 计算（常义 积分的运 算法则对 反常积分 仍成立）
1 0
1 x
e ∫－1 x 2 dx发散.
： 该 分 若 注 奇 性 则 导 如 错 做 ： 注 对 积 ， 不 意 异 ， 会 致 下 误 法
1 1 1 1 1 e x x dx = −∫ e d( ) = −e = −e1 + e−1 = e−1 − e ∫－1 x2 1 － x −1 1 1 x
= n∫
+∞ 0
e − x x n −1 dx = nI n −1
于是I n = n !。综上，有
In = ∫
+∞
0
e − x x n dx = n ! ( n = 0,1, 2,…)
反常积分习题(1)
反常积分习题(1)反常积分是微积分中的一类特殊问题，在求解过程中常常需要细致入微地分析问题，找到合适的方法和技巧。
下面，本文将介绍一些反常积分的习题，并结合解题方法进行分析。
一、对于无限区段积分1. $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}$此类习题往往需要将其化为极限问题，一般可以将积分式中的$x$用$\lim_{n\to\infty}n$来代替，即$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\lnx}=\int_{1}^{\infty}\frac{d(\ln x)}{\lnx}=\lim_{n\to\infty}\int_{1}^{n}\frac{d(\ln x)}{\lnx}=\lim_{n\to\infty}\ln(\ln n)$$因此，该积分的值为$\ln(\ln\infty)=\infty$。
2. $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}(p>1)$如果将$p\le1$的情况考虑，式子将会无解，因此本题中规定$p>1$。
显然，当$p>1$时，积分的结果是发散的。
因为$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}=\begin{cases}\infty &p\le1\\\frac{1}{1-p} & p>1\end{cases}$$二、对于无界函数积分1. $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$解法较多，这里介绍两种：一种是利用广义瑕积分的极限定义，即$$\int_{R}^{\infty}\frac{\sinx}{x}dx=\lim_{t\to\infty}\int_{R}^{t}\frac{\sin x}{x}dx$$然后，较为复杂的就是证明该积分收敛，即$\lim_{R\to0}\lim_{t\to\infty}\int_{R}^{t}\frac{\sinx}{x}dx$存在。
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
11-1 反常积分概念
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解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重 力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R 处火箭所受的引力为
F mgR x
2 2
,
R 处需作功
于是火箭从地面上升到距地心为 r
R
r
mgR x
2
2
d x mgR
2
1 1 . R r
v 2 g(h x ) .
在时间d t内,桶中液面降低的微小量为d x,它们 之间应满足 π R 2 d x v π r 2 d t , 因此
dt r R
2 2
2g h x
dx , x 0 , h.
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于是流完一桶水所需时间为
t
0 r2
h
R
2
2g h x
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当 r
时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为
的 积 分
2 2
R
m gR x
2
d x lim
r
r R
m gR x
2
dx m gR .
由机械能守恒定律可求初速度
1 2 m v0 m gR . 2
v0
u a
F ( b ) lim F ( u ).
例4 计算瑕积分 0 ln x d x . 解
1
0 ln x d x 的瑕点为 0. 因此,
1 1
1
0 ln x d x lim x ln x d x 0
1
lim 0 ln 0
含参变量的反常积分(1)
类似可定义含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ , −+∞∞ ������ ������, ������ ������������ 的一 致收敛性.
定理15.2.2（Weierstrass判别法） 如果存在函数 ������(������) 使得
(������) ������ ������, ������ ≤ ������ ������ ，������ ≤ ������ ≤ +∞， ������ ≤ ������ ≤ ������，
(������) 反常积分���+��� ∞ ������(������)������������ 收敛， 则含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 [������, ������] 上一致收敛.
������
收敛，则称含参变量反常积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 ������ = ������������ 处 收敛，并称 ������������ 是它的收敛点。记 ������ 是含参变量反常积分 ���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 的所有收敛点构成的集合，则 ������ 是函数
(������) 对每个固定的 ������ ∈ [������, ������], ������(������, ������) 关于 ������ 是单调函数; (������) ������(������, ������) 一致有界: ∃ ������，使得对任意 ������ ∈ ������, +∞ , ������ ∈ [������, ������]， 有 ������ ������, ������ ≤ ������.
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lim
b
1
1 ln b
1
c. e x
1
dx ln x
lim b
b e
x
dx ln x
Байду номын сангаасlim
b
2
lnb 2
例 论反常积分 | x | x e xdx 的敛散性
证 | x|xexdx 0 1xexdx 1xexdx
0
当 1时，由于
0
1 xe xdx
1[(x
1)e x ]0
解
1
01
1
1 x 2 dx 1 x 2 dx 0 1 x2 dx
01
b1
lim a
a
1
x2 dx
lim
b
0 1 x 2 dx
lim[arctan a] lim arctan b
a
b
( )
22
例
证明反常积分
1
1 dx
xp
当p 1时，收敛于 当p 1时，发散
a a
设函数 f ( x) 在无穷区间 (, ) 上连续
c
f ( x)dx f (x)dx f (x)dx
c
其中 c 为取定的常数.
c
f ( x)dx f (x)dx f (x)dx
c
注意：当且仅当右端两个反常积分都收敛时,左端的 反常积分才收敛, 否则发散.
f ( x)dx F ( x) F () F (a)
1; p1
证
当p 1时
1
1 xp
dx
lim
b
b1 dx
1x
lim b
ln x
b 1
当p 1时
1
1
x
p
dx
lim
b
b1
x1 p b
1
x p dx
lim
b
1
p
1
,
lim
b
b1 p
1
p
1
p
1 1,
p 1 p 1
1
a x p dx(a 0)
当p 1时，收敛于 当p 1时，发散
a
a
F() lim F( x) x
例
计算 e xdx 0
解： e xdx lim b e xdx
0
b 0
lim [e x ] b
b
0
lim [1 eb ] 1. b
另解： e xdx [e x ]
0
0
lim (e x ) 1 x
1.
例
1
计算 1 x2 dx
a1 p ;
p1
1 dx 1 2
1 xx
3 1
2
1 dx
0.1 x
发散
1
dx
2 3x
发散
例 考察下列函数的敛散性：
1
a. e
dx x lnx
b dx
lim
lim ln ln b 0
b e x ln x b
b.
e
1 dx
x(ln x)2
lim
b
b dx e x(ln x)2
存在，则称此极限值为函数
f (x)
在无穷区间[a, )上的反常积分.
记作:
f (x)dx
a
即
f ( x)dx lim
b
f (x)dx
a
b a
这时也称反常积分
f ( x)dx
收敛，否则，发散.
a
类似可定义, 设函数 f ( x)在无穷区间(, b] 上连续，
b
b
任取 a b
f ( x)dx lim f (x)dx
11
B) 0
dx x
虽然积分区间是有限的，但是它在区间端点处不连续， 而且函数值趋于无穷大，故通常意义下的积分不存在， 称之为无界函数的反常积分。
7.5 反常积分（一）
一 无穷区间上的反常积分
定义
设函数 f ( x) 在无穷区间 [a, ) 上连续，取 b a,
若极限 lim b b a
f ( x)dx
故原反常积分发散
当 1时
|
x
|
xexdx
0
2xexdx 2
0
微积分II
Calculus II
第七章 定积分
§7.1 定积分的概念 §7.2 定积分的基本性质 §7.3 定积分计算基本公式 §7.4 定积分基本积分方法 §7.5 反常积分 §7.6 定积分的应用
引例
A) 1 dx 1 x2
它的积分区间是无限长的，通常意义下的积分不存在，称之 为无穷区间上的反常积分。