反常积分(1)
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
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A1 , A2 M 时 , 对一切 x [a, b] 都有
c
A2
A1
f ( x, y ) dy < .
(5)
证明：(充分性) 对每个 x, (3)式成立,这说明
f ( x, y ) dy 收敛, 从而
A1
f ( x, y ) dy 收敛,
A1
M
c
f ( x, y )dy
对参量 x 在[a, b] 上一致有界, 即存在正数 G ,
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对一切 M c 及一切 x [a, b] 都有 |
M c
f ( x, y )dy | M ;
(ii ) 对每一个 x [a, b], 函数 g g ( x, y ) 关于 y 是单调递减且当 y 时, 对参量 x , g ( x, y ) 一致地收敛于 0. 则含参量反常积分 一致收敛.
在(3)式中令 A2 得, | 故结论得证.
f ( x, y ) dy |
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例2
证明：若 z f ( x, y ) 在[a, b] [c, ) 上连续, 又
c
f ( x, y )dy
在[a, b) 上收敛 , 但在 x b 处发散, 则
A
sin xy dy y
Ax
sin u dy 0 . u
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sin xy 由于 dy 收敛, 对任意固定的 M 0, 0 y sin xy sin xy M 1 sin xy du M 1 y dy 0 y dy 0 y ( M 1) x sin u du : I ( x ), 0 u 则 I 在包含原点为左端点的某闭区间上连续, 于是
反常积分运用无穷小
反常积分运用无穷小
反常积分是指在计算积分时，被积函数在某些区间上存在某些不常见的性质，导致积分的结果无法直接通过常规积分方法计算得到。
在反常积分中，常用的一种技巧是使用无穷小来处理某些特殊情况。
例如，在计算某些不收敛的反常积分时，可以将其转化为柯西主值的形式。
柯西主值定义为将积分区间分割为两部分，分别计算每一部分的积分，然后将两个积分结果相加。
这种方法可以通过使用无穷小来处理积分中的发散现象。
另外，在计算某些奇点处的反常积分时，也可以运用无穷小。
奇点是指被积函数在某一点上不连续或发散的情况。
通过使用无穷小，可以将奇点附近的积分转化为更易处理的形式。
总之，反常积分中使用无穷小是一种常见的技巧，可以帮助人们处理一些特殊情况下的积分问题。
反常积分
∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
18
1
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铃
三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
反常积分1
例.计算 ∫ 2 lnsin xdx .
0
π
解：I = ∫ 2 lnsin xdx = 2 ∫ 4 lnsin 2tdt = 2 ∫ 4 ln(2sin x cos x )dx
0 0 0
π
x=2t
π
π
=
π
2
π
ln 2 + 2 ∫ 4 lnsin tdt + 2 ∫ 4 lncos tdt
0 0
π
π
∫
+∞
a
f (x)dx==− ∫1
1 x= t
1 1 f ( )dt （ 是 点 0 奇 ） 2 t at
0
此 今 重 讨 区 无 的 常 分 因 ， 后 点 论 间 限 反 积 。
： 意 下 实 注 注 以 事
x→ +∞
lim f (x) = 0推 出 不 ∫
+∞
a
f (x)dx 敛 收 .
二、 反常积分的 计算（常义 积分的运 算法则对 反常积分 仍成立）
1 0
1 x
e ∫－1 x 2 dx发散.
： 该 分 若 注 奇 性 则 导 如 错 做 ： 注 对 积 ， 不 意 异 ， 会 致 下 误 法
1 1 1 1 1 e x x dx = −∫ e d( ) = −e = −e1 + e−1 = e−1 − e ∫－1 x2 1 － x −1 1 1 x
= n∫
+∞ 0
e − x x n −1 dx = nI n −1
于是I n = n !。综上，有
In = ∫
+∞
0
e − x x n dx = n ! ( n = 0,1, 2,…)
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分(1)可编辑全文
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
反常积分习题(1)
反常积分习题(1)反常积分是微积分中的一类特殊问题，在求解过程中常常需要细致入微地分析问题，找到合适的方法和技巧。
下面，本文将介绍一些反常积分的习题，并结合解题方法进行分析。
一、对于无限区段积分1. $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}$此类习题往往需要将其化为极限问题，一般可以将积分式中的$x$用$\lim_{n\to\infty}n$来代替，即$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\lnx}=\int_{1}^{\infty}\frac{d(\ln x)}{\lnx}=\lim_{n\to\infty}\int_{1}^{n}\frac{d(\ln x)}{\lnx}=\lim_{n\to\infty}\ln(\ln n)$$因此，该积分的值为$\ln(\ln\infty)=\infty$。
2. $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}(p>1)$如果将$p\le1$的情况考虑，式子将会无解，因此本题中规定$p>1$。
显然，当$p>1$时，积分的结果是发散的。
因为$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}=\begin{cases}\infty &p\le1\\\frac{1}{1-p} & p>1\end{cases}$$二、对于无界函数积分1. $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$解法较多，这里介绍两种：一种是利用广义瑕积分的极限定义，即$$\int_{R}^{\infty}\frac{\sinx}{x}dx=\lim_{t\to\infty}\int_{R}^{t}\frac{\sin x}{x}dx$$然后，较为复杂的就是证明该积分收敛，即$\lim_{R\to0}\lim_{t\to\infty}\int_{R}^{t}\frac{\sinx}{x}dx$存在。
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
含参变量的反常积分(1)
类似可定义含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ , −+∞∞ ������ ������, ������ ������������ 的一 致收敛性.
定理15.2.2（Weierstrass判别法） 如果存在函数 ������(������) 使得
(������) ������ ������, ������ ≤ ������ ������ ，������ ≤ ������ ≤ +∞， ������ ≤ ������ ≤ ������，
(������) 反常积分���+��� ∞ ������(������)������������ 收敛， 则含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 [������, ������] 上一致收敛.
������
收敛，则称含参变量反常积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 ������ = ������������ 处 收敛，并称 ������������ 是它的收敛点。记 ������ 是含参变量反常积分 ���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 的所有收敛点构成的集合，则 ������ 是函数
(������) 对每个固定的 ������ ∈ [������, ������], ������(������, ������) 关于 ������ 是单调函数; (������) ������(������, ������) 一致有界: ∃ ������，使得对任意 ������ ∈ ������, +∞ , ������ ∈ [������, ������]， 有 ������ ������, ������ ≤ ������.
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R
故 M
R
(
kR
R)dx
R R2 x2
o x xdxR x
kRarcsin x R 2R2 kR2R2. R R
二、功
例2．设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，
试问将水全部吸出需作多少功？
解:如图建立坐标系，
10
母线 AB 的方程为 y10 2 x ，
f
(
x )dx
才收敛，否则就发散。
（2）由积分区间的可加性，③式等号右端的分点可以
为任一实数 c，特殊地取 c0 。
例如：不能说“∵sinx 是奇函数，(, ) 是对称区间，
∴ sinxdx0 ”，
这是因为
0
sinxdx 不存在。
例 2．计算反常积分
6
xdx
6 B(6,2)
在[0,6] 上任取一小区间[ x, xdx] ，
x
与它相应的小薄片的面积近似于宽为 dx ，
长为 2 y 2(3 x )6 x 的小矩形面积。 63
dA2(3 x )dx ，h x ， 6
∴ dP gh dA gx 2(3 x )dx 6
a a
穷区间 (, b] 上的反常积分，记为 b f ( x)dx ，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
4
.
c
为 f ( x) 在 (, ) 内的反常积分，记为 f ( x)dx ，即
c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
③
c
这时也称反常积分收敛；否则就称反常积分发散。
注 意：
（1）只有当③式右端两个积分都收敛时，广义积分
半圆 y R2 x2 （ R x R ）
R
o Rx
绕 x 轴旋转所得旋转体的表面积。
y x , R2 x2
1 y2
1
x2 R2 x2
R ,
R2 x2
则 A2
R
y
1 y2dx
R
2 R R2 x2 R dx2R R dx4R2.
o x
10
A
y
∴功的微元为dW xSdx ，
xdx
即dW (10 2 x)2 xdx, 3
W
15
(10
2
x)2
xdx1875
.
0
3
B 15 x
187510009857697.5(kJ ).
(10009.8牛顿 米3.)
例 3．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉 击入木板 1 厘米。如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等， 问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少厘米？
解：取积分变量为 x，积分区间为[ R,R] ，[ x, x dx] 是 [ R,R] 上的任一小区间，以对应小切线段的长度dS 代替 小弧段的长度S ，得到质量的微元
dM dS 1 y2 dx
y
dS
(k y) R dx R2 x2
S
(
kR R)dx, R2 x2
f
(
x2
)
f
(
xn
)]
1 ba
n i1
f
(
xi
)xi
当 n 愈大时 ，近似值的精确度愈高，所以
y lim 1 n ba
n i1
f
( xi
)xi
1 ba
b
f ( x)dx
a
即
y
1 ba
b
a
f
(
x)dx
。
在数学上称
1 b
a
b
a
f
2( x)dx
为函数 f
( x) 在 [a,b]
1 1 x
2
dx
。
简解解：al:im1a0111x121xxd22xddxx0b[lia1mr1cxt2a0bdn1xx1x]20dx 112x
2 dx
(
2
)
.
[arctaanlimx][arc应tan理x]解0a 成blximlim[aarcrctatnaxn]xb0
“开口曲边梯形”的面积 S 。 y
解： b1 ，则在[1, b] 上 曲线
y
1 x2
下的曲边梯形的面积为：
y
1 x2
Sb
Sb
b 1
1 x2
dx
1 x
b
1
1 1 ,
b
o1 b
x
而 S lim b
b1
1
1
x
2
dx
lim (1
b
b
)1.
此极限值就是“开口曲边梯形”的面积。同时将此
b a
穷区间[a, ) 上的反常积分，记为 f ( x)dx ，即 a
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
b a
①
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 2 设函数 f ( x)C(, b] ，取ab ，若极限
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x) 在无
R
2
R
R
R2 x2dx
R
o
x
y
xdx
R
x
4R R R2 x2 dx4R1R3 R3.
0
4
3．4．6 函数的平均值
一、函数的平均值
n如个何数定y义1,连y2续,函, y数n
将[a,b] n 等分 。当
n的f 很(算x)大在 术时[平a，,b均]小值上区的为间平[yx均 in11值,in呢x1iy？]i的. 长
转体的侧面积的微元为dA 。
在点 x 处旋转半径为 f ( x) ，
oa
x x xdx b
在曲线上点 P( x, f ( x)) 处的弧长微元 y
是 dL 1 f 2( x)dx ，
则 dA2f ( x)dL ，
oa
故
b
A 2a f ( x)
1 f 2( x)dx.
y f (x)
极限理解为函数
y
1 x2
在[1，+）上的定积分，记作
1
b1
1
x
2
dx
lim
b
1
x2 dx
称为函数
1 y x2
在[1，+)上的反常积分。
定义 1 设函数 f ( x)C[a, ) ，取 ba ，若极限
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x) 在无
3．4．4 旋转体的侧面积
设 f ( x) 在[a,b ]上非负，且有连续的导数。求由直线 xa ， xb ， y0 和曲线 y f ( x) 围成的平面图形， 绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体的侧面积。
[ x,xdx] [a,b] ， 设在[ x,xdx] 上相应的小旋
y y f (x)
R
R2 x2
R
例 6．求圆 x2 ( yb)2 a2(0ab)
y
绕 x 轴 旋转所得旋转体的表面积。
解：如图，上半圆与下半圆的方程分别是
y1b a2 x2 与 y2 b a2 x2 。
旋转体的表面积（环体的表面积）A a
oa x
是上、下半圆绕x 轴 旋转的侧面积之和，即
x x xdx b
[ 圆台的侧面积= 母线长(上底半径下底半径 ) 。在极限 状态，母线长是弧微元dL ；上底半径下底半径 2 f ( x) 。]
一般地
b
A 2a
f (x)
1 f 2( x)dx.
例 5．求半径为R的球的表面积A 。
y
解： 半径为 R 的球的表面积 A 等于
(1
1 x
2
)2
dx
0
1 x (1
2 x2 x 2 )2
dx
1
x2
0
[ 1
x
2
(1
x
2
)2
]dx
1 0 1 x
2
dx
1 2
0
1 xd(1 x2 )
1 x
2
[ 2 1
x
2
0
0
1 1 x
2
dx]
2
1 2
2
a
A2 a y1
1
y1 2dx2
a
a y2
1 y2 2dx
a
2
[
a
y1
1 y1 2 y2
1 y2 2 ]dx
2
a
[(b
a2x2 )
a
(b a2 x2 )
a
]dx
a
a2 x2
a2 x2
a
4ab
dx
a
8ab
因此第二次击入的深度为（ 2 1 ）厘米。
三、液体的压力
例 4.设有一竖直的闸门，形状是等腰梯形，上底为