反常积分概念
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
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比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
十一章反常积分
0
1
b
x
二、两类反常积分的定义. 两类反常积分的定义
定义1: 定义 设函数 f (x)定义在区间[a, +∞)上, 且在任何 有限区间[a, u]上可积，如果存在极限
u →+∞ a
lim
∫ f ( x )dx = J
u
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +∞)上 (x) [a, +∞) 的无穷限反常积分, 记作
u2
u 1
f (x)d <ε. x
２，比较原则
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
且满足
f (x ≤g(x x∈ a+ ) ) ), [, ∞
定理11.2（比较原则） （比较原则） 定理
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
[, ∞ 且满足 f (x) ≤g(x), x∈ a+ ) 则
若 g(x d 收 ，则 ∫ )x 敛 ∫
a
+ ∞
+ ∞
a
f (x d 收 ; ) x 敛
若 ∫
例1 : 讨论 ∫
+∞ 0
+ ∞
a
f (x d 发 ，则 g(x d 发 . ) x 散 ∫ )x 散
a
+ ∞
sin x dx的收敛性. 2 1+ x
a sin x x +b
3 2
例 2 : 讨论 ∫
+∞
a
+∞
a +∞
[k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx = k1 ∫
反常积分概念.
(1)
e
0
x
dx
(2)
1
1 x4
dx
(3)
1
1 dx x
解：
(1)
1be x dx
e x
b 1
1 eb
lim (1
b
eb
)
1
lim
b
1 eb
1
故
0
e
x
dx收敛，且
0
e
xdx
1
(2)
b 1
1 x4
dx
1 3x
3
b 1
1 3
1 3
b3
lim (
b
1 3
1 3b3
)
1 1 lim 3 3 b
a
b
简化上述过程： dx 1 x2
[arctanx]
2
( )
2
其中[arc
tanx]
应理解为lim x
arc
tan
x
lim
x
arc
tan
x
解(2):
0
xex
2
dx
[
1 2
ex2
]0
1 2
(0 1)
1 2
练习2：求下列无穷积分：
(1)
xe
x2 2
dx
(2)
0
e
x
dx
例6.
试确定广义积分 发散.
1
1 x2
dx
(2)
1
x
2dx
a dx
例7 计算反常积分 0
a2 x2
解 lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的瑕点.
反常积分和无穷级数的逻辑体系
反常积分和无穷级数的逻辑体系反常积分和无穷级数是数学中比较重要的两个分支，两者常常使用到极限的概念，但是它们也有着不同的性质和应用场景。
本文将从反常积分和无穷级数的定义、性质、收敛性及其应用等方面，进行较为全面的介绍和分析。
一、反常积分1.定义在正常情况下，积分的上下限是有限的，函数在这个区间内是有定义且有界的。
但是一些情况下，积分的上下限包含无穷或者函数在某些点的值发散，这时就需要用到反常积分。
反常积分的定义可以根据积分区间中极限存在或不存在分为两种情况：①区间有限，且$f(x)$在该区间内有界但出现无穷大的间断点，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \infty$或$\mathop{\lim }\limits_{x\to b} f(x) = \infty$。
此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t_1 \toa^+ ,t_2 \to b^- } \int_{t_1}^{t_2} f(x)\mathrm{d}x$$②区间不含一端点，而该端点处$f(x)$趋于无穷大，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \infty$。
此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to +\infty } \int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x$$或$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to -\infty } \int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x$$2.性质反常积分的基本性质包括线性性质、比较性质和底比复.其中比较性质是判断反常积分收敛与否的重要方法，其主要内容为：比较定理：设$0\leq f(x) \leq g(x)$,$a\leq x\leq b$,则有$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x$$比较判别法：设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上非负，则有a.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)} < +\infty $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；b.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，且 $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} > 0 $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。
反常积分的概念
反常积分的概念
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
几何意义：
反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
例如的几何意义是：位于曲线
之下，X轴之上，直线x=0和x=a之间的图形面积，而x=a点的值虽
使无穷，但面积可求。
类型：
1.无穷区间反常积分
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。
2.无界函数反常积分
即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。
3.混合反常积分
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。
对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
敛散性判断：
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶
次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
反常积分收敛才能使用积分定理
反常积分收敛才能使用积分定理反常积分收敛是一种关于积分的特殊概念，在数学领域中占据着重要的地位。
而要使用积分定理，首先必须确保反常积分的收敛性，这是一个基本条件。
本文将从此角度出发，深入探讨反常积分的收敛性对于使用积分定理的必要性，并根据此主题展开详细的讨论。
一、反常积分的概念及收敛性的重要性1. 反常积分的概念在数学上，当被积函数在给定区间上不是有界函数或者被积区间为无界区间时，传统的定积分无法直接求解。
这时候就需要引入反常积分的概念，来解决这类特殊情况下的积分计算问题。
2. 反常积分收敛的必要性反常积分的收敛性是指在积分区间上，被积函数在无穷远处趋于零并且积分结果存在有限值。
只有在反常积分收敛的情况下，才能够确保积分值的存在性和唯一性。
保证反常积分的收敛性是使用积分定理的前提条件之一。
二、如何判断反常积分是否收敛1. 收敛性判别法判断反常积分的收敛性有多种方法，常用的包括比较判别法、极限判别法、绝对收敛和条件收敛等。
这些方法在数学上都有严格的数学证明，可以有效地判断反常积分的收敛性。
2. 反常积分收敛的充分条件对于一般的反常积分，如果函数能够在积分区间上趋于有界，且不存在无穷间断点，那么该反常积分就是收敛的。
这是反常积分收敛的重要充分条件。
三、反常积分收敛与积分定理的关系1. 积分定理的应用范围在实际问题中，经常会遇到利用积分定理来求解曲线下面积、质心、转动惯量等问题。
而积分定理的使用范围包括了常规定积分和反常积分两种情况。
保证反常积分的收敛性对于使用积分定理来解决实际问题至关重要。
2. 反常积分收敛对积分定理的影响如果反常积分收敛，那么根据积分定理可以方便地求解出曲线下面积等问题；反之，如果反常积分发散，那么积分定理就无法适用。
反常积分的收敛性直接影响着积分定理的使用，是积分定理的前提条件之一。
四、个人观点与理解在数学领域中，反常积分的收敛性是使用积分定理的基本前提，对于保证积分定理的有效性至关重要。
反常积分绝对收敛定义
反常积分绝对收敛定义反常积分是数学中的一个重要概念，它与积分的性质和收敛性密切相关。
在数学分析中，我们通常讨论的是正常积分，也就是当被积函数在积分区间上有界、连续时，积分的收敛性。
但是，有些情况下，被积函数在积分区间上可能不满足有界和连续的条件，这时就需要引入反常积分的概念。
反常积分分为两种情况：无穷限的反常积分和间断点的反常积分。
无穷限的反常积分是指被积函数在无穷远处或无穷小附近发散或奇异的情况下的积分。
间断点的反常积分是指被积函数在积分区间上有一个或多个间断点的情况下的积分。
对于无穷限的反常积分，我们可以将积分区间划分为有限段，然后分别对每一段进行积分，再让这些积分的极限存在。
如果这个极限存在且有限，则称该反常积分绝对收敛；如果这个极限不存在或为无穷大，则称该反常积分发散。
需要注意的是，如果反常积分绝对收敛，则它一定收敛。
例如，考虑函数f(x)=1/x，在区间[1, +∞)上进行积分。
由于f(x)在这个区间上是无界的，我们可以将积分区间划分为[1, a]和(a, +∞)，其中a是一个大于1的实数。
对于[1, a]这一段，积分结果为ln(a)，对于(a, +∞)这一段，积分结果为-ln(a)。
当a趋向于无穷大时，这两段积分的极限存在且有限，所以这个反常积分绝对收敛，且积分结果为0。
对于间断点的反常积分，我们需要将积分区间划分为多个子区间，每个子区间内只有一个间断点，然后对每个子区间进行积分，再让这些积分的极限存在。
如果这个极限存在且有限，则称该反常积分绝对收敛；如果这个极限不存在或为无穷大，则称该反常积分发散。
例如，考虑函数g(x)=1/x，在区间[0, 1]上进行积分。
由于g(x)在x=0处有一个间断点，我们可以将积分区间划分为两个子区间：[0, a]和[a, 1]，其中a是一个大于0小于1的实数。
对于[0, a]这个子区间，积分结果为-ln(a)，对于[a, 1]这个子区间，积分结果为ln(1/a)。
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
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当10<+3时J：4发散.
1—0
同样，若f⑴的原函数为F⑴,瑕积分的牛顿.莱 布尼茨公式写作
|7(x) dr =F(x)\ba+ =F(b)-F(a+) = F(b)-YimF(u).
例4计算瑕积分
Inx dx.
o
解
°lmdx的瑕点为。•
因此,
fhnxdx = limlxlnxl1 -「dx)
Jo L0+\ * JS )
m+ J u
则称此极限为无界函数f在(。,。］上的反常积分,
记作
J = f(rxb)dx, J a 并称\Jbfu(x)6x收敛.若极限lim「/(Wdx不存在, J a
则称f/(x)dr发散.
通常称。为f的瑕点.
又称j"(x)W为瑕积分,
类似定义瑕点为人时的瑕积分
U
/(x) dx = lim I /(x)dx.
a
nb—-
其中/在［%幻有定义，在b的任一左邻域内无界,
在任［〃方F积
若/的瑕点 C典力）
CJ fa(x)dx = p/(xJ)dcx + Cf(x)dx J a
=lim
\
ru
/(x)dx
+
lim
f
pb
/(x)dx.
】q
—
c+Ju
me
若pJc/«dr和f7«dr都收敛，则J a称C f(x)dx J a 收敛.
直至流完桶中的水，共需多少时间？
解 桶内水位高度为 时,》辨芍阻速度为
v =y/2g(h-x).
在时间d n为，桶中液而降低的微小量为dx,它们
之间应满足狄2血=冲2皿因此
R =dx , x e
LJ
于是流完一桶水所需时间为
但由于被积函数是 确切含义为
dx.
0
一工）
上的所以它的
二、两类反贵积分的定义
f
辅奇论无穷积分j「竺的收敛性.
—= < 洁 "P
解
U
1 rP In",
因此,
wdx lim —=<
w—>4-G0
一 ，p〉l，
p-1
+8, PML
P
p = 1,
若f(x)的原函数为F(x), 无穷积分的牛顿一莱布尼
茨公式写作
+c广o +S
+CO
f /(x)dx=F(x) /
Ja
a
= F(4w)-F(a) = lim F(u)-F(a).
J R x rr+oo R
v 由机械能守恒定律可求初速度至少应使
壹〃=mgR.
= mgR.
用 g = 9.81(m/s2), R = 6.371 x 106 (m)代入,得
v0 =』2gR 躅 11.2 (km/s).
例2圆柱形桶的内壁高为加内半径为民桶底有 -半径为尸的小孔.试问从盛满水开始打开小孔
lim f(x) = A.
X->4-oo
当j+ /(x)dx收敛时，是否必有A =0?
例2讨论无穷积分
\+^tept dt (p〉o)的收敛性.
解
[te~ptdt = -—e~pt +C,
因此
L '"虹
+8
0
例3讨论瑕积分
=（o-o）-fo-41=4
I p） p
「W (g>0)的收敛性・
解
ux
,q尹1
故当0 vq<l时,
pidx .. pidx
——=lim ——
Jo M-＞。+J〃
J—oO
GO J U
p +8
ra
r+°°
\ /(x)dx = f /(x)dx+ f /(x)dx.
J —co
j —oo
ja
其中〃是(-oo, + oo)内任意一点.
定义2设函数f定义在(务。］上，在。的任意右邻
域内无界，但在任何内闭区间［w, b］上有界且可积.
如果存在极限
lim r［b /(x)dx
=lim _(1-功］=-1
复习思考题
p+8
1. f(x)在e+oo)上非负连续，且 £/(X)dx收敛，
是否必有 lim/(x) = 0?
X^+oO
2. /(x)在［但+8广非负连续， lim/(x) = 0,是否可
X-H-oo
推得f '/(x)dx收敛？
Ja ' 3. /Xx)在［〃,+oo)上定义，且
定义1 设函数/定义在［+8)上，且在任何有限
区间上可积•若存在极限
lim fW/(x)dx =J, NT+CO Ja
则称此极限J为函数f在
上的无密,岑8)
常积分(简称无穷积分)，记作
J = j+'/(x)dx, 并称/(x)dx收敛,否则称£ /(x)dx发散.
;类似定义
f /(x)dx = lim f /(x)dx9
一、反常积分的背景
在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性;被积函数的有界性.
但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间 上的“积分”或无界函数的“积分”.
例1（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初
速度％至少要多大?
设地球半径为R,火箭质量为们地面上的重
力加速度为g,按万有引力定理，在距地心 处火箭所受的引力为
x(> R)
mgR2
x2
于是火箭从地面上升到距地心为
处需作功 r(&g
1)
dr
=mg[RR
一 r)
当r t 峰,品极限 呻就是火箭无限远离地 球需作的
功.于是自然把这一极限写作上限为
+00的积分
e^mgR2
I —z—dx = lim