§1反常积分的概念
反常积分知识点总结框架
反常积分知识点总结框架一、反常积分的基本定义1.1 反常积分的概念反常积分是指积分区间为无穷区间或者积分函数在有限区间内存在间断点的积分。
对于无穷区间的积分，通常是指当积分区间的上限或下限取到无穷大时的情况。
而对于间断点处的积分，则是指在积分区间内，积分函数出现无穷大或不可导的情况。
1.2 反常积分的分类反常积分通常分为第一类和第二类两种情况。
第一类反常积分是指在无穷区间上的积分，通常是指当积分上限或下限趋于无穷大时的情况。
第二类反常积分是指在有限区间内积分函数发生间断的情况，通常是指积分函数在积分区间内出现无穷大或不可导的情况。
1.3 反常积分的性质反常积分有一些特殊的性质，包括线性性、可加性和可积性等。
具体来说，对于具体的积分函数和积分区间，可以根据这些性质来简化对反常积分的计算过程。
同时，这些性质也为我们理解和分析反常积分提供了重要的指导。
二、反常积分的计算方法2.1 无穷远点处的反常积分对于无穷远点处的反常积分，通常采用极限的方法进行计算。
具体而言，可以将无穷远点处的反常积分转化为极限形式，然后利用极限的性质和计算方法来求解反常积分的值。
这种方法通常比较直观和简单，适用于各类函数的反常积分计算。
2.2 间断点处的反常积分对于间断点处的反常积分，通常需要对积分区间进行分段讨论，然后将积分函数在每个子区间上进行化简和求解。
同时，还需要对积分函数在间断点附近的性质进行详细分析，以确保反常积分的计算过程是正确有效的。
2.3 特殊函数的反常积分一些特殊函数的反常积分计算通常需要依赖于一些特殊的方法和技巧。
例如，对于Gamma函数和Beta函数的反常积分计算，可以利用递推关系和变量替换等方法来简化计算过程，从而得到反常积分的精确解析表达式。
三、反常积分的应用3.1 物理学中的应用反常积分在物理学中有着重要的应用。
例如，在热力学和电磁学中，经常需要对一些特殊的物理量进行积分计算，而这些积分往往是反常积分。
反常积分1反常积分概念
第十一章反常积分一、主要内容与教学要求主要内容问题的提出，两类反常积分(无穷积分，无界函数的反常积分或瑕积分)的定义。
柯西收敛准则，无穷积分的性质，比较判别法，绝对收敛与条件收敛，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法。
瑕积分的性质与收敛判别。
教学要求1 理解无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念。
2 掌握无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法。
3 会应用敛散性的定义、性质及判别方法计算两类反常积分和证明两类反常积分有关的问题教学重点1 无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念2 无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法3无穷积分和瑕积分的计算教学难点1 两类反常积分敛散性的判别2 两类反常积分相关的证明问题。
二、本章教材处理建议1. 结合实际例子说明定积分在处理实际问题时条件的局限性，由如何突破条件的限制引入无穷积分与瑕积分的概念。
2. 通过变量替换，瑕积分与无穷积分可以互化，因此，它们有平行的理论和结果，讲课过程中，可以无穷积分为主，将相应的结论推广到瑕积分。
3. 反常积分具有线性运算性质，换元积分法和分步积分法仍然成立，进行反常积分的计算时，使学生明确，定积分的有关计算的方法与技巧仍然适用。
4.注意对反常积分审敛（包括绝对收敛，条件收敛和发散）进行归纳总结，要记住某些重要结果。
三、本章习题处理意见1. §11.1反常积分概念(P269)：横线以上1，2两题为直接通过计算判断反常积分敛散性的基本题，要求学生必须掌握。
横线以下各题可在课堂或习题课上讨论，注意4，5,6这三题之间的联系。
2. §11.2无穷积分的性质与收敛判别（P275）：2，4,5三题可作为课外练习.第3题课堂讨论，6，7,8，9这四题可在习题课上讲授或给予提示，同样要注意各题之间内在的联系。
第10题可在讲解阿贝尔判别法这一部分内容时讲授。
3．§11.3瑕积分的性质与收敛判别（P279）：第3题可作为课外练习.4,5，6三题习题课讲授。
反常积分概念.
(1)
e
0
x
dx
(2)
1
1 x4
dx
(3)
1
1 dx x
解：
(1)
1be x dx
e x
b 1
1 eb
lim (1
b
eb
)
1
lim
b
1 eb
1
故
0
e
x
dx收敛，且
0
e
xdx
1
(2)
b 1
1 x4
dx
1 3x
3
b 1
1 3
1 3
b3
lim (
b
1 3
1 3b3
)
1 1 lim 3 3 b
a
b
简化上述过程： dx 1 x2
[arctanx]
2
( )
2
其中[arc
tanx]
应理解为lim x
arc
tan
x
lim
x
arc
tan
x
解(2):
0
xex
2
dx
[
1 2
ex2
]0
1 2
(0 1)
1 2
练习2：求下列无穷积分：
(1)
xe
x2 2
dx
(2)
0
e
x
dx
例6.
试确定广义积分 发散.
1
1 x2
dx
(2)
1
x
2dx
a dx
例7 计算反常积分 0
a2 x2
解 lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的瑕点.
《反常积分的概念》课件
02
反常积分在解决一些物理问题时，可以提供更精确、更可靠的
解决方案。
反常积分在物理问题中，可以用于研究物理系统的稳定性和动
03
态行为等。
在工程问题中的应用
01
反常积分在工程问题中主要用 于解决一些复杂的控制系统问 题，例如控制系统的稳定性、 响应特性和优化设计等。
02
反常积分在解决一些工程问题 时，可以提供更高效、更实用 的解决方案。
在数学分析中的应用
01
反常积分在数学分析中主要用于解决一些难以用常 规积分处理的积分问题。
02
反常积分在解决一些数学问题时，可以提供更简单 、更直观的解决方案。
03
反常积分在数学分析中，可以用于研究函数的性质 ，例如函数的连续性、可积性和可微性等。
在物理问题中的应用
01
反常积分在物理问题中主要用于描述一些非线性的物理现象， 例如波动、振动和混沌等。
反常积分的概念
contents
目录
• 反常积分概述 • 反常积分的计算方法 • 反常积分的收敛性判断 • 反常积分在数学物理中的应用 • 反常积分的扩展与展望
01 反常积分概述
定义与特点
定义
反常积分分为两种，一是无穷区间上 的反常积分，另一是瑕积分，它们都 拓展了定积分的概念。
特点
反常积分与定积分的不同之处在于， 其积分区间可能是无穷区间，或者被 积函数在积分区间内可能无界。
在工程领域的应用
在解决一些工程问题时，如信号处理、控制 系统分析和图像处理等，反常积分也发挥了 重要作用。
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感谢观看
无穷区间性质
反常积分在无穷区间上的积分值可能为无穷大或有限值，取决于被 积函数的性质。
反常积分的背景
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反 常积分(简称无穷积分),记作
并称
a
f ( x )dx 收敛, 否则称
J
a
f ( x )dx ,
a
f ( x )dx 发散.
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类似定义
f ( x )dx , f ( x )dx ulim u
u
b
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则称此极限为无界函数 f 在 (a, b] 上的反常积分,
记作
b
J f ( x )dx ,
a
b
并称 f ( x )dx 收敛. 若极限 lim u f ( x )dx 不存在,
通常称a 为 f 的瑕点. 又称 a f ( x )dx 为瑕积分, 类似定义瑕点为 b 时的瑕积分
a
x
f ( x )dx 收敛?
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
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P269: 1(2，3，7)；2(1，6，8)；5
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F (b) lim F ( u).
ua
b
例4 计算瑕积分 0 ln x dx . 解
1
x 的瑕点为 0. 0 ln xd 1 1 1 因此, 0 ln xdx x ln x 0 0 dx 1.
其中,
1
x ln x 0 lim x ln x lim ln 0.
b b
f ( x )dx
反常积分的概念
反常积分的概念
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
几何意义：
反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
例如的几何意义是：位于曲线
之下，X轴之上，直线x=0和x=a之间的图形面积，而x=a点的值虽
使无穷，但面积可求。
类型：
1.无穷区间反常积分
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。
2.无界函数反常积分
即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。
3.混合反常积分
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。
对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
敛散性判断：
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶
次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
11-1反常积分的概念
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
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思考题
积分
1
0
ln x xHale Waihona Puke 1dx的瑕点是哪几点？
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思考题解答
积分
1
0
ln x x1
dx
可能的瑕点是
x
0,
x1
lim ln x lim 1 1, x 1 不是瑕点, x1 x 1 x1 x
e pt ]0
1 lim te pt 0 1 (0 1) 1
p t
p2
p2
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引例2 曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim
1 dx
lim 2
1 x
x u 0 u
u 0
u
lim 2(1 u ) u 0
区间 [a, u] 上可积. 若存在极限
u
lim f ( x)dx J ,(1)
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分),记作
J a f ( x)dx,
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
.
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2）任取实数a，讨论如下两个 无穷积分：
y
y
1 1 x2
由于
a dx
1 x2 和
dx a 1 x2
a dx
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
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1 dx
lim 2 x 0
lim 2(1 ) 2
0
x
1
所围成的
y
y 1 x
A
O
x
二、两类反常积分的定义
定义1. 设 f (x) C [a , ) , 取 b a , 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,
记作
这时称反常积分
F (a )
注意: 若瑕点 c (a ,b) , 则
b
a f
(x) dx
F (b) F (c )
F (c ) F (a)
可相消吗?
例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
间断点, 则本质上是常义积分,
而不是反常积分.
例如,
则也有类似牛 – 莱公式的
计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x) dx
F (b )
F (a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
(x) dx
F (b)
F (a )
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
(x) dx
F (b )
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分 类似地 , 若
发散 .
f (x) C ( , b], 则定义
若 f (x) C ( , ) , 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现
,并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
引入记号
F () lim F ( x) ; F () lim F ( x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
例1. 计算反常积分
解: 思考:
[ arctan x ]
π ( π) π
2
2
y
y
1 1 x2
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
( x a)1q 1 q
(b a)1q
b
1 q
a ,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
第八章 反常积分
常义积分
推广
反常积分
积分限有限
被积函数有界
(广义积分)
§1 反常积分的概念
§2 无穷积分的性质与收敛判别准则
§3 瑕积分的性质与收敛判别准则
第一节 反常积分的概念
一、问题的提出 二、两类反常积分的定义
第八章
一、问题的提出
引例1. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
y
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
A O1
b
x
lim 1 b
1 b
1
引例2:曲线 开口曲边梯形的面积
与 x 轴, y 轴和直线 可记作
其含义可理解为
A lim 0
O
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零” 的性质,
否则会出现错误 .
例2. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
当 p ≠ 1 时有
ln x
a
x1 p 1 p
a
π] arctan 32 2 π
2
27
内容小结
1. 反常积分
积分区间无限 被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
,
(
p
1 1)
a
p 1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 .
例如 ,
1
1
定义2. 设 f (x) C (a , b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分,
记作
这时称反常积分 就称反常积分
类似地 , 若 则定义
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
f (x) C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx f (x) dx
lim c1 f ( x) dx lim b f ( x) dx
1 0 a
2 0 c 2
无界函数的积分又称作第二类反常积分,
无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
的收敛性 .
解所:下以述反解1常1法dx积x2是分否 正01确dx1:xx2
1
1
1
0
dx x2
1
11x2,0∴1 积 分 收1敛x
发散 .
1 0
例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
1 x2
0
x2
1 x2
dt
1
d(x
, a 1 p , p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 .
p 1 p 1 a 1 p ; p 1
例3. 计算反常积分
解: 原式 t e p t p
1 p2
e pt
1 p2
1 e p t d t p0
(b a)1q ; 1 q
例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2 (x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为反常
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
1
f
( x) f 2 (x)
d
x
1
d
f (x) f 2 (x)
arctan
f
(x) C
π] 2