数学分析11.1反常积分概念
反常积分1反常积分概念
第十一章反常积分一、主要内容与教学要求主要内容问题的提出，两类反常积分(无穷积分，无界函数的反常积分或瑕积分)的定义。
柯西收敛准则，无穷积分的性质，比较判别法，绝对收敛与条件收敛，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法。
瑕积分的性质与收敛判别。
教学要求1 理解无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念。
2 掌握无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法。
3 会应用敛散性的定义、性质及判别方法计算两类反常积分和证明两类反常积分有关的问题教学重点1 无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念2 无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法3无穷积分和瑕积分的计算教学难点1 两类反常积分敛散性的判别2 两类反常积分相关的证明问题。
二、本章教材处理建议1. 结合实际例子说明定积分在处理实际问题时条件的局限性，由如何突破条件的限制引入无穷积分与瑕积分的概念。
2. 通过变量替换，瑕积分与无穷积分可以互化，因此，它们有平行的理论和结果，讲课过程中，可以无穷积分为主，将相应的结论推广到瑕积分。
3. 反常积分具有线性运算性质，换元积分法和分步积分法仍然成立，进行反常积分的计算时，使学生明确，定积分的有关计算的方法与技巧仍然适用。
4.注意对反常积分审敛（包括绝对收敛，条件收敛和发散）进行归纳总结，要记住某些重要结果。
三、本章习题处理意见1. §11.1反常积分概念(P269)：横线以上1，2两题为直接通过计算判断反常积分敛散性的基本题，要求学生必须掌握。
横线以下各题可在课堂或习题课上讨论，注意4，5,6这三题之间的联系。
2. §11.2无穷积分的性质与收敛判别（P275）：2，4,5三题可作为课外练习.第3题课堂讨论，6，7,8，9这四题可在习题课上讲授或给予提示，同样要注意各题之间内在的联系。
第10题可在讲解阿贝尔判别法这一部分内容时讲授。
3．§11.3瑕积分的性质与收敛判别（P279）：第3题可作为课外练习.4,5，6三题习题课讲授。
数学《反常积分》讲义
第十一章 反常积分1 反常积分概念一、问题提出定积分 1) 积分区间的有穷性2) 被积函数的有界性如果函数(被积函数)的积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间上无界,应如何讨论它们的积分，这类积分称为反常积分(或广义积分，Cauchy-Riemann 积分, C-R 积分), 而上一章的定积分称为正常积分.例 1 (第二宇宙速度) 例 2 (流水时间)二、两类反常积分的定义定义1 设函数f 定义在无穷区间[,)a +∞上, 且在任何有限区间[,]a u 上可积, 如果存在极限lim()uau f x dx J →+∞=⎰, 那么称极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分(无穷积分)，记作()aJ f x dx +∞=⎰，并称()af x dx +∞⎰收敛, 有时也称f 在[,)a +∞上(Cauchy-Riemann )可积; 反之，若上述极限不存在, 则称()af x dx +∞⎰发散.注 1()af x dx +∞⎰收敛的几何意义：若f 在[,)a +∞上为非负连续函数，则介于曲线()y f x =，直线x a =及x 轴之间一块向右无限延伸的区域有面积J .注 2 类似可定义()lim()aauu f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰()()()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰lim()lim()uaauu u f x dx f x dx →+∞→-∞=+⎰⎰例 3 1) 讨论积分211dx x +∞+⎰，0211dx x -∞+⎰，211dx x +∞-∞+⎰的敛散性.2) 计算积分20125dx x x +∞++⎰.例4 讨论下列积分的敛散性.1) 11pdx x +∞⎰; 2) 21(ln )pdx x x +∞⎰.注3 设f 在[,)a +∞上连续，F 为f 的一个原函数，则()lim ()lim ()()()()uaau u f x dx f x dx F u F a F F a +∞→+∞→+∞==-=+∞-⎰⎰例 5 讨论sin axdx +∞⎰的敛散性注 4 ()f x dx +∞-∞⎰为两个非正常积分之和，而非lim()uuu f x dx -→+∞⎰.定义 2 设函数f 定义在区间(,]a b 上，在点a 的任一右邻域内无界, 但在任意内闭区间[,](,]b a b α⊂上有界且可积. 如果存在极限lim ()bu u af x dx J +→=⎰，那么称此极限为无界函数f 在(,]a b 上的反常积分，记作()baJ f x dx =⎰，并称反常积分()baf x dx ⎰收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分()baf x dx ⎰发散.在上述定义中函数f 在点a 的附近无界, 我们称a 为f 的瑕点, 而无界函数的反常积分()ba f x dx ⎰也称为瑕积分.注 5 1) 类似可定义瑕点为b 的瑕积分()lim ()buaau bf x dx f x dx -→=⎰⎰其中f 在b 的任一左邻域内无界，且在任何内闭区间[,][,)a a b β⊂上可积.2) 若,a b 都为f 的瑕点，且在任一内闭子区间[,](,)u v a b ⊂上可积，此时可定义瑕积分()()()bc b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰lim ()lim ()c vucu av bf x dx f x dx +-→→=+⎰⎰其中c 为(,)a b 内的任一实数，当且仅当右式两个瑕积分都收敛时，左式的瑕积分收敛.3) 若f 的瑕点(,)c a b ∈，则定义瑕积分()()()bc b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰lim ()lim ()u bavu cv cf x dx f x dx +-→→=+⎰⎰其中f 在[,)(,]a c c b ⋃上有定义,在c 的任一邻域内无界, 且在任何闭子区间[,][,)a u a c ⊂, [,](,]v b c b ⊂都可积，当且仅当右边两个瑕积分收敛时, 左边的瑕积分收敛.例 6 1) 计算瑕积分1⎰2) 讨论瑕积分1pdxx ⎰的敛散性(p >0)3) 讨论瑕积分0p dxx+∞⎰的敛散性(p >0) 4) 24=⎰5) 1⎰三、两类反常积分的关系设()f x 连续，b 为瑕点，则11211()()t b xbab af x dx f b dt t t=-+∞-=-⎰⎰瑕积分可转化为无穷积分设0a >，1121()()t xaadtg x dx g t t =+∞=-⎰⎰12011()a g dt t t =⎰无穷积分可转化为瑕积分由此可见，瑕积分与无穷积分可相互转化，因而它们有平行的理论和性质. 例 7 讨论下列反常积分是否收敛 1) 2x xe dx +∞--∞⎰2) cos x e xdx +∞--∞⎰3) 2⎰4) 1(1)(ln )pdxp x x >⎰5) 1⎰例 8 举例说明瑕积分()b af x dx ⎰收敛，2()baf x dx ⎰未必收敛.例 9 1) 证明：若()af x dx +∞⎰收敛，且lim ()x f x A →+∞=，则0A =;2) 举例说明: ()af x dx +∞⎰收敛,f 在[,)a +∞上连续,未必有lim ()0x f x →+∞=成立.例 10 若f 在[,)a +∞上可导，且()af x dx +∞⎰与()af x dx +∞'⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.2 无穷积分的性质与收敛判别一、 无穷积分性质由()af x dx +∞⎰收敛lim ()lim()duau u F u f x dx →+∞→+∞⇔=⎰存在, 根据函数极限收敛的Cauchy 准则，我们有定理 1 (Cauchy 准则) 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔120,,,:G a u u G ε∀>∃≥∀>1221()()()u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.性质1 (线性性质) 若1()af x dx +∞⎰和2()af x dx +∞⎰都收敛, 12,k k 为任意常数, 则1122[()()]ak f x k f x dx +∞+⎰也收敛，且11221122[()()]()()aaak f x k f x dx k f x dx k f x dx +∞+∞+∞+=+⎰⎰⎰.性质2 (区间可加性) 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，b a >，则()af x dx +∞⎰与()bf x dx +∞⎰同敛散，且()()()b aabf x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰.定理2 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛0,,:()uG a u G f x dx εε+∞⇔∀>∃≥><⎰当.性质 3 (绝对收敛) 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()af x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰也收敛，且()()aaf x dx f x dx +∞+∞≤⎰⎰.定义1 若()af x dx +∞⎰收敛, 则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.性质3 说明绝对收敛的无穷积分其本身一定收敛，而反之未必成立. 我们称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛的无穷积分.性质4 (换元) 设:[,)[,)a ϕα+∞→+∞是光滑严格单调映射,且()a ϕα=，lim ()t t ϕ→+∞=+∞. 若()af x dx +∞⎰收敛，则(())()f t t dt αϕϕ+∞'⎰收敛，且()(())()af x dx f t t dt αϕϕ+∞+∞'=⎰⎰.性质5 (分部积分) 设,f g 为[,)a +∞上的光滑函数, 且lim ()()x f x g x →+∞⋅存在, 则()()af xg x dx +∞'⋅⎰与()()af xg x dx +∞'⎰同敛散，且它们收敛时有等式()()()()()()aaaf xg x dx f x g x f x g x dx +∞+∞+∞''⋅=⋅-⋅⎰⎰其中()()lim ()()()()ax f x g x f x g x f a g a +∞→+∞⋅=-.二、 无穷积分判别法1、比较判别法 (绝对收敛判别法)定理 3 (比较法则) 设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()()f x g x ≤，[,)x a ∈+∞. 则i) 当()ag x dx +∞⎰收敛时, 必有()af x dx +∞⎰收敛;ii) 当()af x dx +∞⎰发散时, 必有()ag x dx +∞⎰发散.例 1 判断积分22sin(1)5x dx x+∞++⎰的敛散性.1) Cauchy 判别法推论1 设f 定义在[,)(0)a a +∞>上，且在任何有限区间[,]a u 上可积，则有i) 当1(),[,)1p f x x a p x≤∈+∞>且时，()a f x dx +∞⎰收敛. ii) 当1(),[,)1p f x x a p x≥∈+∞≤且时，()a f x dx +∞⎰发散.2) 比较原则的极限形式推论 2 设f 和g 都在任何区间[,]a u 上可积, ()0g x >, 且()lim ()x f x c g x →+∞=. i) 当0c <<+∞时，()af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰同敛散;ii) 当0c =时，若()ag x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰收敛;iii) 当c =+∞时，若()ag x dx +∞⎰发散，则()af x dx +∞⎰发散.推论 3 设f 定义在[,)(0)a a +∞>上，且在任何有限区间[,]a u 上可积，且lim ()p x x f x λ→+∞=，则有i) 当1p >，0λ≤<+∞时，()af x dx +∞⎰收敛; ii) 当1p ≤，0λ<≤+∞时，()af x dx +∞⎰发散.例 2 讨论下列无穷积分的敛散性:1) 1x x e dx α-⎰2)21+∞⎰2、 Dirichlet 和Abel 判别法定理4 (Dirichlet ) 若()()ua F u f x dx =⎰在[,)a +∞上有界, ()g x 在[,)a +∞上x →+∞时单调趋于0, 则()()a f x g x dx +∞⋅⎰收敛.定理5 (Abel ) 若()af x dx +∞⎰收敛, ()g x 在[,)a +∞上单调有界, 则()()af xg x dx +∞⋅⎰收敛.定理6 (Dirichlet- Abel ) 设无穷积分()()()aaf x dx u x dv x +∞+∞=⎰⎰, 其中()u x单调, 且(),()u x v x 中一个有界, 另一个在x →+∞时趋于0, 则()af x dx +∞⎰收敛.例 3 讨论无穷积分1sin p xdx x +∞⎰与1cos (0)px dx p x +∞>⎰的敛散性.例 4 证明下列积分条件收敛.1) 21sin x dx +∞⎰,21cos x dx +∞⎰;2) 41sin x x dx +∞⋅⎰;3)1+∞⎰. 例 5 若()af x dx +∞⎰绝对收敛. 且lim ()0x f x →+∞=，则2()af x dx +∞⎰必收敛.例6 设,,f g h 为[,)a +∞上三个连续函数，且()()()h x f x g x ≤≤. 证明：如果()ah x dx +∞⎰，()ag x dx +∞⎰收敛，那么()af x dx +∞⎰亦收敛.例 7 证明: 若f 在[,)a +∞上一致连续，且()af x dx +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.例 8 讨论下列无穷积分的敛散性1) 1ln n xdx x+∞⎰2) 31arctan 1x xdx x +∞+⎰3)21x edx +∞-⎰4) 1ln(1)px dx x +∞+⎰5) 0ln(1)px dx p x+∞+ (>0)⎰6) 0xdx ⎰7)21cos x e xdx +∞-⎰8) 0sin arctan xxdx x+∞⎰例9 证明：若f 是[,)a +∞上的单调函数,()af x dx +∞⎰收敛,则lim ()0x f x →+∞=, 且1()()f x o x x= , →+∞.注: 由()lim 1()x f x g x →+∞=, ()ag x dx +∞⎰收敛, 推不出()af x dx +∞⎰收敛.3 瑕积分的性质与判别法一、 瑕积分的性质 (瑕点为x a =)定理1 瑕积分()ba f x dx ⎰收敛0,0,εδ⇔∀>∃>当12,(,)u u a a δ∈+时,2121()()()bbu u u u f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.性质1 设函数1f , 2f 的瑕点同为a ，1k ，2k 为常数，则当瑕积分1()baf x dx ⎰，2()baf x dx ⎰都收敛时，瑕积分1122[()()]bak f x k f x dx +⎰必收敛，且11221122[()()]()()bb baaak f x k f x dx k f x dx k f x dx +=+⎰⎰⎰.性质2 设函数f 的瑕点为x a =，(,)c a b ∈, 则瑕积分()baf x dx ⎰与()caf x dx ⎰同敛散且()()()b c b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰, 其中()bcf x dx ⎰为定积分.性质3 若f 的瑕点为a , f 在(,]a b 的任一闭子区间[,]u b 上可积, 则当()baf x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰必收敛且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.当()baf x dx ⎰收敛时，称()baf x dx ⎰为绝对收敛; 而称本身收敛但不绝对收敛的瑕积分为条件收敛的瑕积分.二、瑕积分判别法定理2 (比较原则) 定义在(,]a b 上的两个函数,f g , 瑕点同为a , 在任闭子区间[,](,]u b a b ⊂上可积，且()()(,]f x g x x a b ≤ ∈，则i) 当()bag x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰必收敛 (从而()baf x dx ⎰也收敛) ;ii) 当()baf x dx ⎰发散时,()bag x dx ⎰发散.推论1 设f 定义在(,]a b 上，瑕点为a ，且在任何闭子区间[,](,]u b a b ⊂上可积，则 i) 当1()01()pf x p x a ≤, <<-时, ()baf x dx ⎰收敛;ii) 当1()1()pf x p x a ≥, ≥-时, ()baf x dx ⎰发散.推论2 若()0g x >，且()lim ()x af x cg x +→=, 则 i) 当0c <<+∞时,()b af x dx ⎰与()bag x dx ⎰同敛散;ii) 当0c =，()b ag x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰收敛;iii) 当c =+∞，()b ag x dx ⎰发散时, ()b af x dx ⎰发散.推论3 在推论2的条件下，若lim()()p x ax a f x λ+→-=, 则 i) 01,0p λ<<≤<+∞时, ()baf x dx ⎰收敛;ii) 1,0p λ≥<≤+∞时, ()baf x dx ⎰发散.定理 3 (Dirichlet- Abel ) 设瑕积分()()()b baaf x dx u x dv x =⎰⎰有唯一奇点a ,其中()u x 单调, 且(),()u x v x 中一个有界, 另一个在x a +→时趋于0, 则()baf x dx ⎰收敛.例 1 讨论下列瑕积分的敛散性.1) 10⎰2) 21ln dx x⎰3) 130arctan 1xdx x -⎰4) 201cos mxdx xπ-⎰5) 1⎰6) 10⎰7) 20(,0)sin cos p q dxp q x xπ>⎰例 2 讨论反常积分1()1x x dx xα-+∞Φ=+⎰的敛散性.例 3 证明瑕积分20ln(sin )J x dx π=⎰收敛，且ln 22J π=-，同时利用上述结果证明：1) 2ln(sin )ln 22d ππθθθ=-⎰2) 0sin 2ln 21cos d πθθθπθ=-⎰三、反常积分与正常积分的区别1、 Riemann 积分 f 在[,]a b 上可积，则f 在[,]a b 上有界. 无穷积分 f 在[,)a +∞上可积(()af x dx +∞⎰收敛) f ⇒在[,)a +∞上有界.如4()sin f x x x =⋅ 或者 ,()0,n x nf x x n =⎧=⎨≠⎩.2、Riemann 积分 f 在[,]a b 上可积⇒()f x 在[,]a b 上可积，但反之未必, 故Riemann 积分是绝对型积分，而无穷积分 ()f x 在[,)a +∞上可积⇒f 在[,)a +∞上可积，但反之未必, 故Cauchy-Reimann 积分是非绝对型积分, 如sin (),[1,)xf x x x=∈+∞.3、Riemann 积分 ,f g 在[,]a b 上可积⇒f g ⋅在[,]a b 上可积, 而无穷积分 ,f g 在[,)a +∞上可积⇒f g ⋅在[,)a +∞上可积.例4 证明：1) 11111p p x x dx dx x x --+∞=++⎰⎰2) 12π<<⎰3) 设f 在[,)a +∞上连续0a b <<，若lim ()x f x k →+∞=，则()()((0))ln f ax f bx adx f k x b+∞-=-⎰例5 证明: 1) 设f 在[,)a +∞上非负连续, 若0()xf x dx +∞⎰收敛, 则0()f x dx +∞⎰也收敛.2) 设f 在[,)a +∞上连续可微且当x →+∞时,()f x 递减趋于0, 则()f x dx +∞⎰收敛⇔0()xf x dx +∞'⎰收敛.习 题 课例 1 论述题:1) 设f 在(,)-∞+∞上连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，则()(),()()x x d d f t dt f x f t dt f x dx dx +∞-∞==-⎰⎰. 2) 积分0()f x dx +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.3) 积分()baf x dx ⎰收敛，则此积分可用和式公式01lim ()ni i T i f x ξ→=∑来计算.4) 若lim ()x f x A →+∞=存在，()af x dx +∞⎰收敛，则0A =.5) 若0()f x dx +∞⎰收敛，lim ()0x f x →+∞=，则2()af x dx +∞⎰必收敛.6) 若()af x dx A +∞=⎰，则lim()nan f x dx A →+∞=⎰，但反之不成立.7) 若()af x dx +∞⎰收敛,g 有界, 则()()af xg x dx +∞⎰收敛.8) 若lim ()AAA f x dx -→+∞⎰存在，则()f x dx +∞-∞⎰收敛.例 2 计算下列无穷积分: 1) 0()x n n I e x dx n N +∞-=∈⎰2) 21dxx x+∞++⎰3) (1)(ln )padxa x x +∞>⎰4) 24011x dx x +∞++⎰5) 31⎰6)1+∞⎰例 3 1) 设1()(2)x x x x ϕ+=-，求321()1()x dx x ϕϕ'+⎰;2) 已知01()cos x x dt tϕ=⎰，求(0)ϕ'.例 4 证明: 0cos 1xdx x+∞+⎰收敛, 且0cos 11xdx x+∞≤+⎰.例 5 讨论下列积分收敛性 1)2301dx x x x +∞+++⎰2)0cos (0)kx e xdx k +∞->⎰3)0ln(1)m x dx x +∞+⎰4)1+∞⎰5)20sin mx dx x +∞⎰6) 01m n x dx x +∞+⎰ 7) 10p x x e dx +∞--⎰ 8) 0cos (0)1n ax dx n x+∞≥+⎰。
数学分析11.1反常积分概念
数学分析11.1反常积分概念(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十一章 反常积分 1 反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v 0至少要多大？解：设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=22xmgR .于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为：⎰rR 22x mgR dx=mgR 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-r 1R 1. 当r →+∞时，其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功. 可表示为：⎰+∞R22x mgR dx=⎰+→r R 22∞r xmgR lim dx=mgR. 又由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应满足：21mv 02=mgR. 以g=s 2, R=×106m 代入，可得v 0=mgR ≈s.例2：圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间 解：记桶中水液面到桶顶的距离为x ，则水从孔中流出的流速为： v=x)-2g(h ，其中g 为重力加速度.设很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx ，则 πR 2dx=v πr 2dt ，即有dt=x)-2g(h rR 22dx. ∴流完一桶水所需的时间为：t f =⎰h22x)-2g(h rR dx ，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为： t f =⎰-→u22h u x)-2g(h rR lim dx=)u -h -h (grR 2lim22h u -→=grR 2h lim 22hu -→.二、两类反常积分的定义定义1：设函数f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限⎰+→ua ∞u f(x)dx lim =J ，则称此极限J 为函数f 在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=⎰+∞a f(x)dx ，并称⎰+∞af(x)dx 收敛. 若极限不存在，则称⎰+∞af(x)dx 发散.类似的，可定义f 在(-∞,b]的无穷积分：⎰-b∞f(x)dx=⎰-→bu ∞u f(x)dx lim .又有⎰+-∞∞f(x)dx=⎰+∞a f(x)dx +⎰-b∞f(x)dx, 其中a 为任意实数，仅当右边两个无穷积分都收敛时，⎰+-∞∞f(x)dx 才收敛.例3：讨论无穷积分⎰+∞1px dx的收敛性. 解：当p=1时，⎰+∞1p xdx=⎰+→u 1∞u x dx lim =∞u lim +→lnu=+∞, 当p<1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =+∞, 当p>1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =1-p 1,∴当p ≤1时，⎰+∞1p x dx发散于+∞; 当p>1时，⎰+∞1p xdx 收敛.例4：讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞2p x(ln x)dx; (2)⎰+-+∞∞2x 1dx . 解：(1)∵⎰+∞2px(ln x)dx=⎰+∞ln2p t dt ; 根据例3的结论可知， 当p ≤1时发散; 当p>1时收敛. (2)⎰+-+∞∞2x 1dx =⎰++∞02x 1dx +⎰-+0∞2x 1dx =⎰++→u 02∞u x 1dxlim +⎰+-→0v 2∞v x 1dx lim =⎰++→u02∞u x 1dxlim+⎰+-→0v 2∞v x 1dx lim =∞u lim +→arttanu-∞v lim -→arttanv=π，收敛.定义2：设函数f 定义在区间(a,b]上，在a 点的任一右邻域内无界，但在任何[u,b]⊂(a,b]上有界且可积. 如果存在极限⎰+→bu a u f(x)dx lim =J ，则称此极限为无界函数f 在(a,b]上的反常积分，记作J=⎰ba f(x)dx ，并称反常积分⎰b a f(x)dx 收敛. a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba f(x)dx 又称为瑕积分. 若极限不存在，则称⎰ba f(x)dx 发散.类似的，可定义瑕点为b 时的瑕积分：⎰ba f(x)dx =⎰-→ua b u f(x)dx lim .其中f 在[a,b)有定义，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,b)上可积.又若f 的瑕点c ∈(a,b)，则定义瑕积分⎰baf(x)dx =⎰c af(x)dx+⎰b cf(x)dx =⎰→u acu f(x)dx lim -+⎰+→bvcv f(x)dx lim ,其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,c)和[v,b]⊂(c,b]上都可积. 当且仅当⎰ca f(x)dx 和⎰bc f(x)dx 都收敛时，⎰ba f(x)dx 才收敛.又若a,b 都是f 的瑕点，而f 在任何[u,v]⊂(a,b)上可积，则定义瑕积分⎰baf(x)dx =⎰c af(x)dx+⎰b cf(x)dx =⎰+→c uau f(x)dx lim +⎰-→vcbv f(x)dx lim , 其中c 为(a,b)内任一实数. 当且仅当⎰+→c u a u f(x)dx lim 和⎰-→vc b v f(x)dx lim 都收敛时，⎰ba f(x)dx 才收敛.例5：计算瑕积分⎰102x -1dx 的值.解：⎰102x -1dx =⎰→u21u x -1dx lim -=-1u lim →arcsinu=2π.例6：讨论瑕积分⎰10qx dx(q>0)的收敛性. 解：当q=1时，⎰10q xdx=⎰+→1u 0u x dx lim =-+→0u lim lnu=+∞, 当0<q<1时，⎰10q x dx =⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =1-q 1, 当q>1时，⎰1q x dx =⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =+∞, ∴当q ≥1时，⎰10q x dx发散于+∞; 当0<q<1时，⎰+∞1p xdx 收敛.注：∵⎰∞+0p x dx=⎰10p x dx +⎰∞+1px dx (p>0)，右边两个反常积分不同时收敛， ∴⎰∞+0p xdx对任何实数p 发散.习题1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：(1)⎰∞+0x -2xe dx ；(2)⎰∞+∞-x -2xe dx ；(3)⎰∞+0xe 1dx ；(4)⎰+∞+12)x 1(x dx；(5)⎰++∞+∞-254x 4x dx ；(6)⎰∞+0x -x sin e dx ；(7)⎰∞+∞-x-x sin e dx ；(8)⎰+∞+02x 1dx . 解：(1)⎰∞+0x -2xe dx=⎰+→u0x -∞u 2xelim dx=)e 1(lim 212u -∞u -+→=21，收敛. (2)∵⎰0∞-x -2xe dx=⎰-→0u x -∞u 2xe lim dx=)1(e lim 212u -∞u --→=-21. ∴⎰∞+∞-x -2xe dx=⎰0∞-x -2xe dx+⎰∞+0x -2xe dx=0，收敛. (3)⎰∞+0xe1dx=-2⎰-+→u 02x∞u e lim d ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2x =-2)1e (lim 2u∞u --+→=2，收敛. (4)⎰+∞+12)x 1(x dx =⎰++→u 12∞u )x 1(x dx lim =1]u 12ln )1u 1[ln(lim ∞u +--++→=1-ln2，收敛. (5)∵⎰++0∞-254x 4x dx =⎰++-→0u 2∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→212u arctan 21arctan lim 41∞u=⎪⎭⎫⎝⎛+2π21arctan 41； ⎰+++∞254x 4x dx =⎰+++→u 02∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→21arctan -212u arctan lim 41∞u=⎪⎭⎫ ⎝⎛21arctan -2π41； ∴⎰++∞+∞-254x 4x dx =⎰++0∞-254x 4x dx +⎰+++∞0254x 4x dx =4π，收敛.(6)⎰∞+0x -x sin e dx=⎰+→u0x -∞u x sin e lim dx=∞u lim 21+→[-e -u(cosu+sinu)+1]=21，收敛.(7)∵⎰0∞-xx sin e dx=⎰→0ux ∞-u x sin e lim dx=∞u lim 21+→[e u (cosu-sinu)-1]= +∞，发散； ∴⎰∞+∞-x x sin e dx 发散. (8)⎰+∞+02x 1dx =⎰++→u2∞u x 1dx lim =)u 1u ln(lim 2∞u +++→=+∞，发散.2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值. (1)⎰bap a)-(x dx；(2)⎰102x -1dx ；(3)⎰20|1-x |dx ；(4)⎰102x-1x dx ； (5)⎰10x ln dx ；(6)⎰1x -1xdx ；(7)⎰102x -x dx ；(8)⎰10p x(lnx)dx . 解：(1)当p=1时，⎰ba p a)-(x dx =⎰+→b u a u a -x dx lim =a -u a-b ln lim a u +→=+∞，发散； 当p ≠1时，⎰bap a)-(x dx =⎰+→b u p a u a)-(x dx lim =1-p a u 1-p a)-(u 1lim p -11a)-p)(b -(11+→-， ∴当p ≥1时，⎰ba pa)-(x dx=+∞，发散. 当p<1时，⎰ba p a)-(x dx =1-p a)-p)(b -(11，收敛. (2)⎰12x -1dx =⎰-→u 021u x-1dx lim =u -1u 1ln lim 211u +-→=+∞，发散. (3)⎰2|1-x |dx =⎰211-x dx +⎰1x-1dx =⎰+→2u1u 1-x dx lim + ⎰-→v1v x-1dx lim=2)1-u 1(lim 1u -+→-2)1v -1(lim 1v --→=4，收敛.(4)⎰12x -1x dx=⎰-→u21u x -1x lim =-)1u -1(lim 21u --→=1，收敛.(5)⎰10x ln dx=⎰+→1u 0u lnx lim dx =+→0u lim (-ulnu-1+u)=-1，收敛.(6)⎰a0x -1x dx=⎰+a -1a 0222)t (12t dt=2(⎰+a -1a 02t 11dt-⎰+a -1a 022)t (11dt). 又⎰+a-1a 02t 11dt=arctan a -1a ，当a →1-时，其极限为2π.⎰+a-1a 022)t (11dt=⎰+a-1aarctan 022)θtan (11dtan θ=⎰a-1a arctan 02θcos d θ=21sinarctana -1a cosarctan a -1a +21arctan a-1a， 当a →1-时，其极限为4π. ∴⎰1x-1x dx=2(2π-4π)=2π，收敛.(7)取a ∈(0,1)，则⎰102x-x dx =⎰1a2x-x dx +⎰a2x-x dx =⎰-→ua21u x-x dx lim +⎰+→av20v x-x dx lim=2⎰-→u arcsin a arcsin 1u dt lim +2⎰+→aarcsin v arcsin 0v dt lim =π，收敛.(8)∵⎰p x(lnx)dx =⎰p (lnx)d(lnx)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=1p p)(lnx)-(111p |x ln |ln 1-p ，，又⎰10p x(lnx)dx =⎰1a p x(lnx)dx +⎰a 0px(lnx)dx, a ∈(0,1).∴当p=1时，⎰1a p x(lnx)dx=⎰-→u a 1u xlnx dx lim =-→1u lim [ln(ln1)-ln(lna)]=-∞，发散. 当p ≠1时，⎰1ap x(lnx)dx =⎰-→u a p 1u x(lnx)dx lim =-→1u lim [1-p p)(lnu)-(11-1-p p)(lna)-(11]=∞，发散. ∴⎰10p x(lnx)dx 发散.3、举例说明：瑕积分⎰ba f(x)dx 收敛时，⎰ba 2(x)f dx 不一定收敛.解：令f(x)=x1，则⎰10f(x)dx=2，收敛. 但⎰102(x)f dx=⎰10x1dx 发散.4、举例说明：⎰+∞a f(x)dx 收敛且在[a,+∞)上连续时，不一定有f (x)lim ∞x +→=0.解：例如由狄利克雷判别法知，⎰+∞12sinx dx=⎰+∞1tsint dt 收敛，但∞x lim +→sinx 2不存在.5、证明：若⎰+∞a f(x)dx 收敛，且存在极限f (x)lim∞x +→=A ，则A=0. 证：若A ≠0，不妨设A>0，则由f (x)lim ∞x +→=A ，取ε=2A>0，存在M ，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2A ，即2A <f(x)<23A . 记f(x)=g(x)+2A，则⎰+∞a f(x)dx=⎰+∞a g(x)dx+⎰+∞a 2A dx ，∵⎰+∞a 2Adx 发散，∴⎰+∞a f(x)dx 发散，矛盾. ∴f (x)lim ∞x +→=A=0.6、证明：若f 在[a,+∞)上可导，且⎰+∞a f(x)dx 与⎰+'∞a (x)f dx 都收敛，则f (x)lim ∞x +→=0.证：∵⎰+'∞a (x)f dx=⎰'+→ua ∞u (x)f lim dx=∞u lim +→ [f(u)-f(a)]=f (x)lim ∞x +→-f(a)，收敛. ∴f (x)lim∞x +→存在，又⎰+∞af(x)dx 存在，根据第5题的结论有f (x)lim ∞x +→=0.11。
《反常积分的概念》课件
02
反常积分在解决一些物理问题时，可以提供更精确、更可靠的
解决方案。
反常积分在物理问题中，可以用于研究物理系统的稳定性和动
03
态行为等。
在工程问题中的应用
01
反常积分在工程问题中主要用 于解决一些复杂的控制系统问 题，例如控制系统的稳定性、 响应特性和优化设计等。
02
反常积分在解决一些工程问题 时，可以提供更高效、更实用 的解决方案。
在数学分析中的应用
01
反常积分在数学分析中主要用于解决一些难以用常 规积分处理的积分问题。
02
反常积分在解决一些数学问题时，可以提供更简单 、更直观的解决方案。
03
反常积分在数学分析中，可以用于研究函数的性质 ，例如函数的连续性、可积性和可微性等。
在物理问题中的应用
01
反常积分在物理问题中主要用于描述一些非线性的物理现象， 例如波动、振动和混沌等。
反常积分的概念
contents
目录
• 反常积分概述 • 反常积分的计算方法 • 反常积分的收敛性判断 • 反常积分在数学物理中的应用 • 反常积分的扩展与展望
01 反常积分概述
定义与特点
定义
反常积分分为两种，一是无穷区间上 的反常积分，另一是瑕积分，它们都 拓展了定积分的概念。
特点
反常积分与定积分的不同之处在于， 其积分区间可能是无穷区间，或者被 积函数在积分区间内可能无界。
在工程领域的应用
在解决一些工程问题时，如信号处理、控制 系统分析和图像处理等，反常积分也发挥了 重要作用。
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无穷区间性质
反常积分在无穷区间上的积分值可能为无穷大或有限值，取决于被 积函数的性质。
数学分析之十一章反常积分
于是: a 0
dx
a
lim
a2 x2 0 0
dx a2 x2
1 a
lim
0
arcsin
x a a c
o
lim
0
arcsin
a
a
a
0c
arcsin
1
2
a a x
图5-7-1
例5 : 讨论反常积分
1 1
dx x2
的收敛性
.
解
:
被积函数f
(x)
1 x2
在积分区间[1,1]上除x
0外连续,
f (x)dx
0
都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数 f (x)在
区间(, +)上无穷积分.记作 f (x)dx ,即
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
0
0
b
lim f (x)dx lim f (x)dx (3)
a a
b 0
这时, 也称无穷积分 f (x)dx 收敛;
a
b
a
( )
22
y
y
1
1 x2
obx
注:
为方便起见,
把
lim F
b
(x)ba
记作F
( x)a .
例2 : 计算无穷积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
解:
te ptdt lim b te ptdt
0
b 0
lim
b
t p
e pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
1 dx x
又
b 1
1 dx 2 x
数学分析(华中师范版)11-1
当r 时，
mgR 1 2 1 mgR . R x 2 dx mgR R r
r
2
这就是火箭无限远离地球需作的功。
记
R
2 r mgR mgR 2 2 dx lim R 2 dx mgR . r x x
动能 E W , 才能脱离地球引力，
o x
x
设在很小一段时间dt内，桶中液面降 低的微小量为dx，
则 R dx vr [0, h]. 2 g( h x )
2
流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”：
tf
h
0
r
2
R2 dx . 2 g( h x )
这里注意被积函数是 [0, h) 上的无界函数，
u a u b
极限为函数 f ( x ) 在区间(a , b] 上的反常积分（瑕积 分） ，称 a 为瑕点。记作a f ( x )dx .
b
b
b
f ( x )dx lim f ( x )dx a f ( x )dx ulim a u 0 a
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
c
b
f ( x )dx
f ( x ) dx ）
a
u
f ( x )dx lim
vc
b
v
如果 a f ( x )dx 和c f ( x )dx 都收敛，就称反常积分
c
b
a f ( x )dx 收敛；否则，就称发散.
b
（4）如果a,b都是瑕点，则定义
a f ( x )dx a f ( x )dx c
反常积分的概念
反常积分的概念
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
几何意义：
反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
例如的几何意义是：位于曲线
之下，X轴之上，直线x=0和x=a之间的图形面积，而x=a点的值虽
使无穷，但面积可求。
类型：
1.无穷区间反常积分
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。
2.无界函数反常积分
即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。
3.混合反常积分
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。
对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
敛散性判断：
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶
次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
数学分析(华东师大)第十一章反常积分,DOC
第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。
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第十一章 反常积分 1 反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v 0至少要多大？解：设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=22xmgR .于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为：⎰rR 22x mgR dx=mgR 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-r 1R 1. 当r →+∞时，其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功. 可表示为：⎰+∞R22x mgR dx=⎰+→r R 22∞r x mgR lim dx=mgR. 又由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应满足：21mv 02=mgR. 以g=9.81m/s 2, R=6.371×106m 代入，可得v 0=mgR ≈11.2km/s.例2：圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：记桶中水液面到桶顶的距离为x ，则水从孔中流出的流速为： v=x)-2g(h ，其中g 为重力加速度.设很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx ，则 πR 2dx=v πr 2dt ，即有dt=x)-2g(h rR 22dx. ∴流完一桶水所需的时间为：t f =⎰h22x)-2g(h rR dx ，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为：t f =⎰-→u22h u x)-2g(h rR lim dx=)u -h -h (grR 2lim22h u -→=grR 2h lim 22hu -→.二、两类反常积分的定义定义1：设函数f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限⎰+→ua∞u f(x )dx lim=J ，则称此极限J 为函数f 在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=⎰+∞a f(x )dx ，并称⎰+∞a f(x )dx 收敛. 若极限不存在，则称⎰+∞a f(x )dx 发散.类似的，可定义f 在(-∞,b]的无穷积分：⎰-b∞f(x )dx=⎰-→bu∞u f(x )dx lim. 又有⎰+-∞∞f(x )dx=⎰+∞a f(x )dx +⎰-b∞f(x )dx, 其中a 为任意实数，仅当右边两个无穷积分都收敛时，⎰+-∞∞f(x )dx 才收敛.例3：讨论无穷积分⎰+∞1px dx的收敛性. 解：当p=1时，⎰+∞1p xdx=⎰+→u 1∞u x dx lim =∞u lim +→lnu=+∞, 当p<1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =+∞,当p>1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =1-p 1, ∴当p ≤1时，⎰+∞1p x dx发散于+∞; 当p>1时，⎰+∞1p xdx 收敛.例4：讨论下列无穷积分的收敛性：(1)⎰+∞2px (ln x )dx ; (2)⎰+-+∞∞2x1dx. 解：(1)∵⎰+∞2px (ln x )dx =⎰+∞ln2pt dt; 根据例3的结论可知， 当p ≤1时发散; 当p>1时收敛. (2)⎰+-+∞∞2x 1dx =⎰++∞02x 1dx +⎰-+0∞2x 1dx =⎰++→u 02∞u x 1dxlim +⎰+-→0v 2∞v x 1dx lim =⎰++→u02∞u x 1dxlim+⎰+-→0v 2∞v x1dx lim =∞u lim +→arttanu-∞v lim -→arttanv=π，收敛.定义2：设函数f 定义在区间(a,b]上，在a 点的任一右邻域内无界，但在任何[u,b]⊂(a,b]上有界且可积. 如果存在极限⎰+→bu a u f(x )dx lim =J ，则称此极限为无界函数f 在(a,b]上的反常积分，记作J=⎰ba f(x )dx ，并称反常积分⎰baf(x )dx 收敛. a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰baf(x )dx 又称为瑕积分. 若极限不存在，则称⎰ba f(x )dx 发散.类似的，可定义瑕点为b 时的瑕积分：⎰ba f(x )dx =⎰-→uab u f(x )dx lim .其中f 在[a,b)有定义，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,b)上可积.又若f 的瑕点c ∈(a,b)，则定义瑕积分⎰baf(x )dx =⎰c af(x )dx+⎰bcf(x )dx =⎰→u acu f(x )dx lim -+⎰+→bvcv f(x )dx lim ,其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,c)和[v,b]⊂(c,b]上都可积. 当且仅当⎰c a f(x )dx 和⎰bc f(x )dx 都收敛时，⎰ba f(x )dx 才收敛.又若a,b 都是f 的瑕点，而f 在任何[u,v]⊂(a,b)上可积，则定义瑕积分⎰baf(x )dx =⎰c af(x )dx+⎰b cf(x )dx =⎰+→c uau f(x )dx lim +⎰-→vcb v f(x )dx lim ,其中c 为(a,b)内任一实数. 当且仅当⎰+→cu a u f(x )dx lim 和⎰-→vcb v f(x )dx lim 都收敛时，⎰ba f(x )dx 才收敛.例5：计算瑕积分⎰102x -1dx 的值. 解：⎰102x -1dx =⎰→u21u x -1dx lim -=-1u lim →arcsinu=2π.例6：讨论瑕积分⎰1q xdx(q>0)的收敛性. 解：当q=1时，⎰10q xdx=⎰+→1u 0u x dx lim =-+→0u lim lnu=+∞,当0<q<1时，⎰1q xdx=⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =1-q 1, 当q>1时，⎰10q xdx=⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =+∞, ∴当q ≥1时，⎰10q xdx发散于+∞; 当0<q<1时，⎰+∞1p x dx 收敛. 注：∵⎰∞+0p x dx =⎰10p x dx +⎰∞+1px dx(p>0)，右边两个反常积分不同时收敛， ∴⎰∞+0p xdx对任何实数p 发散.习题1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值： (1)⎰∞+0x -2x e dx ；(2)⎰∞+∞-x -2x e dx ；(3)⎰∞+0xe 1dx ；(4)⎰+∞+12)x 1(x dx； (5)⎰++∞+∞-254x 4x dx ；(6)⎰∞+0x -x sin e dx ；(7)⎰∞+∞-x-x sin e dx ；(8)⎰+∞+02x 1dx . 解：(1)⎰∞+0x -2x e dx=⎰+→u0x -∞u 2x e lim dx=)e 1(lim 212u -∞u -+→=21，收敛. (2)∵⎰0∞-x -2x e dx=⎰-→0u x -∞u 2x e lim dx=)1(e lim 212u -∞u --→=-21. ∴⎰∞+∞-x -2x e dx=⎰0∞-x -2x e dx+⎰∞+0x -2x edx=0，收敛.(3)⎰∞+0xe1dx=-2⎰-+→u02x ∞u e lim d ⎪⎭⎫⎝⎛-2x =-2)1e (lim 2u∞u --+→=2，收敛. (4)⎰+∞+12)x 1(x dx =⎰++→u 12∞u )x 1(x dx lim =1]u12ln )1u 1[ln(lim ∞u +--++→=1-ln2，收敛. (5)∵⎰++0∞-254x 4x dx =⎰++-→0u 2∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→212u arctan 21arctan lim 41∞u=⎪⎭⎫⎝⎛+2π21arctan 41； ⎰+++∞254x 4x dx =⎰+++→u 02∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→21arctan -212u arctan lim 41∞u =⎪⎭⎫⎝⎛21arctan -2π41； ∴⎰++∞+∞-254x 4x dx =⎰++0∞-254x 4x dx +⎰+++∞0254x 4x dx =4π，收敛. (6)⎰∞+0x-x sin e dx=⎰+→u0x -∞u x sin e lim dx=∞u lim 21+→[-e -u(cosu+sinu)+1]=21，收敛. (7)∵⎰0∞-x x sin e dx=⎰→0ux ∞-u x sin e limdx=∞u lim 21+→[e u(cosu-sinu)-1]= +∞，发散；∴⎰∞+∞-x x sin e dx 发散. (8)⎰+∞+02x 1dx =⎰++→u2∞u x 1dx lim=)u 1u ln(lim 2∞u +++→=+∞，发散.2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值. (1)⎰bapa)-(x dx；(2)⎰102x -1dx ；(3)⎰20|1-x |dx ；(4)⎰102x -1x dx ； (5)⎰10x ln dx ；(6)⎰1x -1x dx ；(7)⎰102x -x dx ；(8)⎰10px (lnx )dx.解：(1)当p=1时，⎰ba p a)-(x dx =⎰+→b u a u a -x dx lim =a-u a -b lnlim a u +→=+∞，发散； 当p ≠1时，⎰bap a)-(x dx =⎰+→b u p a u a)-(x dx lim =1-p a u 1-p a)-(u 1lim p -11a)-p)(b -(11+→-， ∴当p ≥1时，⎰ba pa)-(x dx=+∞，发散. 当p<1时，⎰bap a)-(x dx =1-p a)-p)(b -(11，收敛. (2)⎰102x -1dx =⎰-→u 021u x -1dx lim =u-1u1lnlim 211u +-→=+∞，发散. (3)⎰2|1-x |dx =⎰211-x dx +⎰1x-1dx =⎰+→2u1u 1-x dx lim + ⎰-→v1v x-1dx lim=2)1-u 1(lim 1u -+→-2)1v -1(lim 1v --→=4，收敛.(4)⎰12x -1x dx=⎰-→u21u x -1x lim =-)1u -1(lim 21u --→=1，收敛.(5)⎰10x ln dx=⎰+→1u 0u lnx lim dx =+→0u lim (-ulnu-1+u)=-1，收敛.(6)⎰ax -1x dx=⎰+a -1a 0222)t (12t dt=2(⎰+a -1a02t 11dt-⎰+a-1a 022)t (11dt).又⎰+a-1a 02t 11dt=arctan a -1a ，当a →1-时，其极限为2π. ⎰+a-1a 022)t (11dt=⎰+a-1a arctan 022)θtan (11dtan θ=⎰a-1a arctan 02θcos d θ=21sinarctana -1a cosarctan a -1a +21arctan a-1a ， 当a →1-时，其极限为4π. ∴⎰1x -1x dx=2(2π-4π)=2π，收敛. (7)取a ∈(0,1)，则⎰12x-x dx =⎰1a2x-x dx +⎰a2x-x dx =⎰-→ua21u x-x dx lim +⎰+→av2v x-x dx lim=2⎰-→u arcsin a arcsin 1u dt lim +2⎰+→aarcsin v arcsin 0v dt lim =π，收敛.(8)∵⎰px (lnx )dx =⎰p (lnx )d(lnx )=⎪⎩⎪⎨⎧≠=1p p)(lnx )-(111p |x ln |ln 1-p ，，又⎰1px (lnx )dx=⎰1apx (lnx )dx +⎰apx (lnx )dx , a ∈(0,1).∴当p=1时，⎰1a px (lnx )dx =⎰-→ua1u xlnx dxlim =-→1u lim [ln(ln1)-ln(lna)]=-∞，发散. 当p ≠1时，⎰1a px (lnx )dx =⎰-→uap1u x (lnx )dx lim =-→1u lim [1-p p)(lnu)-(11-1-p p)(lna)-(11]=∞，发散. ∴⎰10px (lnx )dx发散.3、举例说明：瑕积分⎰b a f(x )dx 收敛时，⎰ba 2(x )f dx 不一定收敛. 解：令f(x)=x1，则⎰10f(x )dx=2，收敛. 但⎰102(x )f dx=⎰10x1dx 发散.4、举例说明：⎰+∞a f(x )dx 收敛且在[a,+∞)上连续时，不一定有f(x)lim ∞x +→=0.解：例如由狄利克雷判别法知，⎰+∞12sinx dx=⎰+∞1tsint dt 收敛，但∞x lim +→sinx 2不存在.5、证明：若⎰+∞a f(x )dx 收敛，且存在极限f(x)lim ∞x +→=A ，则A=0.证：若A ≠0，不妨设A>0，则由f(x)lim ∞x +→=A ，取ε=2A>0，存在M ，使 当x>M 时，有|f(x)-A|<2A ，即2A <f(x)<23A . 记f(x)=g(x)+2A，则⎰+∞a f(x )dx =⎰+∞a g(x )dx+⎰+∞a 2A dx ，∵⎰+∞a 2Adx 发散，∴⎰+∞a f(x )dx 发散，矛盾. ∴f(x)lim ∞x +→=A=0.6、证明：若f 在[a,+∞)上可导，且⎰+∞a f(x )dx 与⎰+'∞a (x )f dx 都收敛，则f(x)lim ∞x +→=0.证：∵⎰+'∞a (x )f dx=⎰'+→ua ∞u (x )f limdx=∞u lim +→ [f(u)-f(a)]=f(x)lim ∞x +→-f(a)，收敛. ∴f(x)lim ∞x +→存在，又⎰+∞a f(x )dx 存在，根据第5题的结论有f(x)lim ∞x +→=0.。