高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时达
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也 都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则 若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___． 其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________． 解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________． 解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________． 解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.
高中数学一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二2数学
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成□01x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作□02y ＝f [g (x )]． 在复合函数中，内层函数u ＝g (x )的值域必须是外层函数y ＝f (u )的定义域的子集．2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y x ′＝□03y u ′·u x ′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x )′＝2cos2x ，不能得出(sin2x )′＝cos2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________.(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________. (3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________.答案 (1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2x ＋12探究1 简单复合函数求导问题 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)； (3)y ＝sin(2x ＋1)；(4)y ＝3x ＋5.[解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2.(3)函数y ＝sin(2x ＋1)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(2x ＋1)′＝2cos u ＝2cos(2x ＋1)．(4)函数y ＝3x ＋5可以看作函数y ＝u 和u ＝3x ＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u )′·(3x ＋5)′＝32u ＝323x ＋5.拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．解 (1)设y ＝u12 ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12 )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u － 12 ·(－4x )＝12(1－2x 2) － 12 (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝102x ＋1ln 2.探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＞0)； (2)y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[解] (1)y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.(2)设y ＝u 2，u ＝sin ν，ν＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u ν′·νx ′＝2u ·cos ν·2＝4sin νcos ν＝2sin2ν＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.[解法探究] 此题有没有其他解法呢？[解] (1)因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·[ sin ( 2x ＋π3 ) ]′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 【跟踪训练2】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x2；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝错误!.(2)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4＝－12sin4x －2x cos4x .探究3 导数的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可．利用f (x )上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积．高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．【跟踪训练3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解 因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′| x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0.因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14.因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－38.1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A ．2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x )C ．e x－e －xD ．e x＋e－x答案 A 解析y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e x ＋e－x′＝12[(e x )′＋(e －x)′]＝12(e x －e －x)． 3．函数f (x )＝π2x 2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝2πxC ．f ′(x )＝2π2xD ．f ′(x )＝2πx 2＋2π2x答案 C解析 由f (x )＝π2x 2得f ′(x )＝2π2x ，故选C ．4．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.答案 18解析 f ′(x )＝4x3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13，f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13⇒a ＋b ＝5＋13＝18.5．设f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意知32＋a ＝32，故a ＝0.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件新
1. 能根据定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x， y＝ x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．几个常用函数的导数
函数 导数 函数
导数
f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12
3．函数 f(x)＝sinx，则 f′(6π)＝________.
解析：f′(x)＝cosx，所以 f′(6π)＝1. 答案：1
【解析】 (1)因为 y＝sinx，所以 y′＝cosx，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是
y′|x＝π6＝cosπ6＝
3 2.
所以过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2， 3
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6，
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
(2)因为 y′＝(x2)′＝2x， 设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于直线 PQ，
切线方程为 y－14＝－x＋12， 即 4x＋4y＋1＝0.
|素养提升|
1．基本初等函数的导数公式可分为四类 第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1(注意幂指数 α 可推广到全体 非零实数)； 第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函 数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axlna，当 a＝e 时，y＝ex 的导 数是指数函数的导数的一个特例； 第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝xl1na，也可写为(logax)′＝ 1x·logae，当 a＝e 时，y＝lnx 的导数是对数函数的导数的一个特例．
高中数学 121 几种常用函数的导数及导数的运算法则课件 新人教版选修22
(2)y′＝(xl＋nx1)′ ＝1xx＋x＋11－2lnx ＝1－x＋lnx1＋2 1x ＝x－xxx＋lnx1＋2 1.
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(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5) ＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5， ∴f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′ ＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
第三十页，共41页。
规律技巧 1在求曲线的切线方程时，注意两个“说 法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程. 在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线， 不论 点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
2求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标 为x0，y0，然后写出切线方程y－y0＝f′x0x－x0，代入点P 的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程.
(3)f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)
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名师讲解 1.有理数幂函数的导数(xn)′＝nxn－1(n为有理数)，应注意 其特点 (1)y＝xn中，x为自变量，n为常数． (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n－1)次幂的乘积． (3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立． (4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如( x )′ ＝(x12)′＝12x12－1＝12·x－12＝21 x.
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(3)∵y＝1＋ sin2xcos2x＝1＋12sinx，
∴y′＝(1＋12sinx)′＝12cosx.
(4)y′＝(
x x＋1
)′－(2x)′＝
x＋1－x x＋12
－2xln2＝
1 x＋12
－
2xln2.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第2课时 基本初等函数的导数公式学案 新人教A版选修22
1.2.2 第二课时 基本初等函数的导数公式一、课前准备 1.课时目标1.熟练记忆基本初等函数的导数公式;2.能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数;3.能利用基本初等函数的导数公式解决简单的综合问题。
2.基础预探1.基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c ，则f ′(x )＝________.(2)若f (x )＝x n，则f ′(x )＝________. (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________. (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________.(5)若f (x )＝a x，则f ′(x )＝________.(6)若f (x )＝e x，则f ′(x )＝________. (7)若f (x )＝log a x 则f ′(x )＝________.(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________. 二、学习引领1.对基本初等函数的导数公式的理解(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别。
(3)基本初等函数的导数公式，虽然在高考中单独考查该知识点的题目不多，但却是解决其他导数问题的重要基础，必需熟练记忆并掌握。
2.利用导数公式求曲线切线方程的步骤(1)先利用基本初等函数的导数公式求出函数的导数．(2)判断切线所经过的定点(x 0，y 0)是否在已知曲线上，当点在曲线上时，k ＝f ′(x 0)．当点不在曲线上时，应设切点为(x 1，y 1)，k ＝f ′(x 1)＝y 1－y 0x 1－x 0，求出切点．(3)利用点斜式方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)或y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0) 求得切线． 三、典例导析题型一 利用基本初等函数的公式求导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；思路导析：运用对数性质及三角变换公式，先将问题中不能直接利用公式的问题转化为基本初等函数，再求导数．解析：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(35x )′＝35315x -＝3525x -。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)学案(含解析
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x ·g ′x[g x ]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x－lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x－lg x 是函数f (x )＝3x与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3xln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3xln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x·ln x ；(4)y ＝lg x －1x2.解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e xx＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2； 解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x 1－x 2B ．x sin x －sin x －cos x1－x2C ．cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D ．cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x1－x －cos x ·－11－x2＝cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2. 3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin x C ．2e xsin xD ．－2e x(sin x ＋cosx )答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a2x 2＝x 2－a 2x2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．12 C ．－12D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －12.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22答案 B 解析 y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e xe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人
y＝3x－3， (2)解方程组y＝－13x－292，
得xy＝ ＝－16，52.
所以直线l1和l2的交点坐标为16，－52. l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，－232，0. 所以所求三角形的面积为S＝12×235×－52＝11225.
导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方 程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.方法是先求 出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切 点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求 切点坐标．
)
A．－x＋xex13
B．x＋xex13
C．－x＋xex12
D．x＋xex12
【答案】D 4．若f(x)＝(2x＋a)2，f′(2)＝20，则实数a＝________. 【答案】1
求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数． (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－ ＋11； (4)y＝－sin2x1－2cos24x.
4．对复合函数的求导，需注意以下几点：
(1)分清复合函数的复合关系，即是由哪些基本函数复合
而成的，适当选定中间变量；
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，如
求y＝sin2 2x＋π3 的导数，设y＝u2，u＝sin
v，v＝2x＋
π 3
，则
y′x＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2＝4sin 2x＋π3 cos 2x＋π3 ＝
f′xgx－fxg′x (4)gfxx′＝_________[_g__x_]_2________(g(x)≠0)．
2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的关系为___y_′__x_＝__y_′__u·_u_′__x __，即y对x的导数等于y对u的导数 与u对x的导数的乘积．
人教版高中数学第一章1.2第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式
则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1，0)代入方程：0－1a＝－a12(1－a)． 得 a＝12，代回方程①，整理可得切线方程为 4x＋y －4＝0.
[迁移探究 2] (将已知点改为已知切线的斜率)已知 曲线 y＝1x，求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
解：y＝1x，y′＝－x12.设切点坐标为 Aa，1a， 则切线斜率为 k＝－a12＝－13，解得 a＝± 3， 那么 A 3， 33，A′－ 3，－ 33.
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axln a y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝xln1 a
y＝ln x
y′＝1x
温馨提示 (1)注意 y＝sin x 和 y＝cos x 求导后的名 称变化及符号变化；(2)注意 y＝ax(a＞0，a≠1)和 y＝logax(a ＞0，a≠1)求导后 ln a 所处的位置．
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝ －13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
归纳升华 求曲线方程或切线方程时，应注意： (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲 线方程也满足切线方程，可联立方程求解； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设 出切点．
1．关于几个基本初等函数导数公式的特点： (1)幂函数 f(x)＝xα 中的 α 可以由 Q*推广到任意实数； (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符 号)正同余反”； (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自 然对数； (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的 倒数．